第三章 函数极限 §1 函数极限概念 例1 用方法验证： . 解 （1）消去分式分子、分母中当时的零化因子（x-1）： . （2）把化为，其中为x的分式： ， 其中. （3）确定的邻域0<|x-1|<，并估计在此邻域内的上界：取，当0<|x-1|<时，可得 ≤， ， 于是 . （4）要使≤，只要取.于是应取 ， 当0<|x-1|<时，. 例2 用方法验证： . 解  注意到当时，上式可以充分小，但是直接解不等式 ， 希望由此得到x<-M，整个过程相当繁复，现用放大法简化求M的过程.因为由 ， 便可求得，考虑到所需要的是.于是，当x<-M时， . 例3 证明. 分析 利用极限否定形式的正面陈述证明是学习函数极限中的难点.关键在于仔细观察时，函数sinx变化的状态，适当选取与（），使得.这是今后掌握证明题和学习后继课程的基本技巧. 证 利用的正面陈述，应当证：，使得. 当此取，取，使得，于是 ， 这样就证得. 例4 设. 求在整数点n处的极限与. 分析 初学的读者可能对求函数的在某点的左、右极限感的困难，有效的方法是仔细观察函数在该点的左、右邻域内的表达式与变化的状态. 解 先求.设，当时，有 ， 于是 =. 同理，设，当时，有 ， 于是 =. 例5 证明函数  在任何点处不存在. 证 若，要证，≠A.即 ，. 若A=0，取，由实数的稠密性，有理数（为何在中取？） . 若A≠0，取，由实数的稠密性，有理数， . 于是有不存在. 对于=0的情形，只需考虑右极限. §2 函数极限的性质 例1 求极限. 分析 求极限中的困难是，且其中出现根式，使用的方法是作变换，然后对变量y的分式应用四则运算法则简化后求极限. 解 作变换，，，于是 =   . 当时，，有  例2 设，在某邻域内，又证明 . （2.5） 解 由，时， . 又因为，故对上述（不妨取），当时，.由此可得：当时 ， 即 . 注 称（2.5）为复合求极限法，（2.5）不仅对型的极限成立，且对于都成立. 例3 求下列极限  解  = 最后等式是应用了复合求极限法. 例4 设a>0，证明 . 分析 我们知道数列极限：，下面是用这已知的数列极限求证函数极限. 证 设a>1，当n≤x<n+1时（） . 因为，所以. 于是当x>N+1时，[x]+1>x≥[x]>N，则有 ， 即证得 . 同理可证当a≤1时结论也成立. 例5 设，证明 . 证 设，于是有 ， 令，从例4可知，由函数极限的迫敛性，证得 . §3 函数极限存在的条件 例1 设  试用归结原则证明时，不存在. 证 若，取为有理点列，；取为无理点列，.因为 ， ， 于是由归结原则可知不存在. 例2 设  若，用柯西准则的否定形式证明不存在. 是否存在？ 证 需证，使得.当，取，取，使为有理数，为无理数，此时 . 由此可知不存在. 因为，所以=0. 例3 设是[a,b]上严格递增函数，又若对，有.证明 . 分析 因为是[a,b]上的严格递增函数，所以存在反函数.如果以为从可以推得，因而，那就错了，这是因为并非是[a,b]上的连续函数（第四章），因而不能断定的连续性.本题证明应从反证法着手，由此可见数列极限的否定形式的正面陈述在证明题中的重要性. 证 用反证法，若，则，，使得 . 由，和的严格递增性，有 . 因为，于是对上式取的极限后，得到 ，而这是不可能的.所以有. 例4 设函数是上单调，则极限存在的充要条件是在上有界. 分析 上述结论说明函数单侧极限的单调有界定理的条件不仅是充分而且是必要的，而它的必要性的证明是利用了单侧函数极限的局部有界性. 证 [必要性] 若存在，则由函数极限的局部有界性，在内有界.而在（不妨设）上是单调函数，于是，≤，由此函数在上有界. [充分性] 若函数在上有界，因为在上单调，由函数极限的单调有界定理，存在. 例5 设在点的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列，，， ， （3,12） 都有，则. 分析 由归结原则可知：上述结论不仅是充分的，而且是必要的.本题可看作函数极限归结原则的加强形式，即子列只要满足（3.12）的加强条件就可以了.注意下面证明中选子列的方法. 证 用反证法.若，则 ，使得.取，，使得.取，，使得； ………… 取，，使得与相矛盾.所以成立. §4 两个重要的极限 例1 求极限. 解 作变换，当时，，于是有  == ==. 例2 求极限. 解  == = 例3 求极限（n为正整数） 解 = 作变换，当，于是 == 例4 试求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （3）； 分析 这几个极限不小心时容易混淆.把（1）误认为；（2）与（4）函数相同，但变量x的趋向不同；（3）与（5）也有类似的情况.注意变理的趋向是避免出错的关键. 解 （1）由，可知=0. （2）由，可得=0（也可按==0求得相同结果）. （3）因为，所以=0. （4）取，，由归结原则，不存在. （5）作变换，有，于是 = 例5 设某种细菌繁殖的速度在合适的条件下与当时已有的数量成正比，即，其中k为比例常数，问经过时间t以后细菌数量为多少？ 解 为了计算出时刻t时的细菌数量，先把时间间隔等分为n份.由于繁殖过程可看作连续变化的，因此当n充分大时，在每个小区间中繁殖速度可近似看作常数. 在内细菌繁殖数量为，在这段时间末细菌数量为； 在末细菌数量为； ………… 在时间t时，细菌数量为. 当n赵来越大时，上述数量与实际的数量越来越接近.设，有  =. 由此可见，这类细菌的增长规律是符合于指数规律的. 注 实际上，上述证明中应用了幂函数的连续性（见第四章）. §5 无穷小量与无穷大量 例1 试确定α的值，使下列函数与当时为同阶无穷小量： （1）；（2）；（3）. 解 （1）因为=，于是  这样α=2； （2）设，当时，，于是 ， 这样α=1； （3） ===， 由此可见α=1. 说明 解题中应用了复合求极限法 . 例2 试确定α的值，使下列函数与当时为同阶无穷小量： （1）； （2）； （3） 解 （1）由 ， 可知α=3. （2）因为=，于是 ， 这样. （3）由于 ， 因此. 例3 证明当时，以下无穷小量 （1）， （2）， 对任何n都不与（n>0）是同阶无穷小量. 证（1），  = （由（5.4）） 于是当时与不是同阶无穷小量. （2），  =， （由（5.4）） 于是当时与不是同阶无穷小量. 注 本例说明：并非每个时的无穷小量都与某个是同阶无穷小量. 例4 若时，都是无穷小量，且 ， 则 证 因为，于是 ，， 这样 . 即  注 等价的两个无穷小量中某个量加上比它们高阶的无穷小量，仍不改变其等价性，这性质在无穷小量运算或比较时是有用的. 例5 证明双曲线，（a,b>0）有两条斜渐近线. 证 由双曲线方程可解得x>0时的两个分支： ， 由（5.5）可求得 =， =， ， . 于是当时以为斜渐近线，以为斜渐近线.同理，双曲线x<0部分的两个分支为 ，， 可证当时以为斜渐近线，以为斜渐近线.由此可见双曲线以为其斜渐近线.