测试题 第一章 实数集与函数 （A） 1．证明：≥1时，有不等式 . 然后利用它证明：当≥2时，有 . 2．设S是非空数集，试给出数，但不是S的下确界的正面陈述. 3．验证函数，即无上界又无下界. 4．设是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，试问是奇函数还是偶函数？ 5．证明：. 6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）；（2）. 7．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何有； （2）对任何，存在，使得. 证明： （B） 1．设为正整数. （1）利用二项式展开定理证明： ，其中是连乘记号. （2）若，证明：  2．设，求， 3．设A，B为位于原点右方的非空数集，  证明：  4．设函数定义于内，试把延拓成R上的奇函数，分别如下： （1）； （2） 5．试给出函数，不是单调函数的正面陈述。 6．证明：当时，有不等式  7．设A，B是非空数集，记，证明： （1）； （2） 第二章 数列极限 （A） 1．按定义验证下列极限：  2．设，求 3．若，证明  4．设由下式定义  证明 5．试问下述论断是否正确，并说明理由： （1）  （2）若，则 6．设，求证：  7．设数列满足，则  （B） 1．求，其中 （1）； （2） 2．设，，…，，求极限 3．设，，，试证存在发散数列，满足 4．设正数数列，满足，则必能取到下确界。 5．设，，试证  6．若，，，， 证明  7．证明：若有界数列满足，则  第三章 函数极限 （A） 1．试按定义验证：  2．写出函数极限的定义，并按此验证：当时，  3、求极限  4、求极限：  5、举例说明下面关于的定义是不正确的：对于任意，存在，使得当时，便有 6、证明：在内无界，但时不是无穷大量。 7、设对任意正整数是中某些数的有限集，且当时○，定义函数  证明对所有中的 （B） 1、按定义验证：  2、写出函数极限的定义，并验证  3、求极限：  4、求极限：  5、证明： （1） （2） 6、设为时的无穷大量，与是多项式：  则当时，  7、设 （1）证明等式 （2）若，试证 第四章 函九的连续性 1．讨论函数的间断点及其类型. 2．设（1）函数在点连续，但函数在点不连续；（2）函数，都在点不连续，分别讨论+或·在点是否必定不连续？ 3．求极限： . 4．求极限： . 5．设ΔABC为平面上一个三角形，作平行于轴的直线与三解形相交，证明其中必有一条直线把三角形分成面积相等的两部分. 6．证明：（1）在区间（0，1）内不一致连续； （2）在区间（0，1）内一致连续. 7．设在上一致连续，在上连续，且，证明在上一致连续. （B） 1．讨论函数的间断点及其类型. 2．求极限：  3．求极限： . 4．设在I上连续，证明下述条件互相等价： （1）对任何≤； （2）对任何及任何0≤≤1；≤. 5．设为上的连续函数，对所有，且，证明必能取到最大值. 6. 设在上连续，为任意数. （1）证明在的图形上有一点离（，0）最近，即在内存在某一使得点（，0）到曲线上任一点（）的距离. （2）试证用R代替时上述结论也成立. 7.设函数为上的连续函数，且无上界.试证：若对任何区间，在内不能取得最小值，则的值域为区间. 第五章 导数和微分 （A） 1、求下列函数的导数； （1） （2） 2、求函数  在处的左、右导数，处可导吗？ 3 设  试求a,b之值，使得处可导 4、判断下列命题的真伪，并说明理由 （1）若处可导，且在邻域内，则； （2）若上的偶函数，且存在，则 5、求下列函数的阶导数；  （2） 6、设函数处可微，，证明存在x=0处连续的函数。 7、设证明 （1）适合方程  （2）求 （B） 1、求函数的导数 （1） （2） 2、求函数在处的左、右导数，处可导吗？ 3、设，且，求证处可导，又问这时 4、设  证明：存在，在x=0处连续，但在x=0处不可导。 5、试求由参变量方程  所确定的函数处的切线斜率 6、设内可导，试讨论 （1）存在是否可有存在？ （2）存在是否有存在？ 7、设是定义在内的函数，在其中某一点处可导，，为任意两个数列，满足条件：  且，试证  第六章 微分中值定理及其应用 （A） 1.设.证明: . 2.设函数在内可导,导函数在内有界,证明:是内的有界函数.反之,试问从函数有界是否能得到导函数是有界的? 3.证明:函数为次多项式的充要条件为:  4.设,证明方程仅有一实根. 5.设在上可导,且  试证:存在,使得,使得 . 6.设函数在区间上可导,且  7.若函数在上二阶可导,且,则存在,使得  (B) 1.设函数在上可导,且.证明:当时,有;当时,有. 2.证明不等式  3.设函数在上连续,当时,,其中为常数,又.证明在内有唯一的实根. 4.设函数在点的某一领域内存在四阶导数,且 4.设函数在点的某一领域内存在四阶导数,且.证明:对于此领域内异于的任何都有 , 其中与关于对称. 5.设函数在上连续,在内可导,.试证:对任何,存在使得. 6.设定义在内的函数满足条件: (1)  (2) 证明:. 7.设在上二阶可导,且,试证存在使得 . 第七章 实数的完备性 （A） 1、试证明：数列只有0和1两个聚点。 2、试证：为数列的聚点的充要条件存在于列，使得  3、试验：若存在，有界，则  4、设上的连续函数，，证明存在 5、设函数，存在，对任何，都有 ； 证明：存在的唯一的 6、试用数列的柯西准则证明区间套定理。 （B） 求下列数列的上、下级限： （1）； （2） 2、设上的连续函数，有非空零点集合  试证E的上、下确界都属于E 3、证明，若， 4、证明：若则  5、试用有限覆盖定理证明栖西准则。 6、设有界数列满足条件  若记a,b分别的下极限与上极限，则[a,b]中任何数都是的聚点。 第八章 不定积分 （A） 1．求一曲线，使在其上每一点处的切线斜率为，且通过点（1，2） 2．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） （B） 1．设，求 2．分析如下推演过程错在何处： 用分部积分法来计算有   两边消去后，得出了-1=0 3．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 4．建立的递推计算公式。 第九章 定积分 （A） 1．求 2．通过化为定积分计算  3．证明：若f在[0，1]上为一递减函数，则对任给的，恒有  4．证明：若f在[a,b]上连续，，则必有  5．设f在上为一递减函数，试证  6．设f在上可导，，且满足  试求的表达式。 7．设f在[0，1]上连续可微，且满足 ， 试证  （B） 1．设，求 2．证明：对任何正数p,q，恒有  并求其值。 3．证明：  4．证明：若f在[a,b]上可积，，则必有  5．设f在上为一可微的凸函数，试证  6．设f在[a,b]上有界，证明：若对任给的，f在上可积，则f在[a,b]上亦必可积。 7．设f在[0，1]上存在连续的导数，且满足 试证 （1）； （2） 第十章测试题 （A） 1、试求由与所围图形的公共部分的面积A（见图10-39）。 2、已知抛物叶形线的方程为，其图形示于图10-40。试求： （1）被此叶形线围住部分A的面积（仍记为A）； （2）A的边界的周长s； （3）A绕x轴旋转所得旋转体的表面积S。 3、如图10-41所示的量杯，其表面是由抛物线绕y轴旋转而成的旋转曲面，杯内盛有高h的液体。试问再注入体积为V的液体后，液面将升高多少？ 4、设有两个质点，质量为与，位于坐轴的原点，位于坐标轴上点。试求质点沿坐标轴自点A移至点B（）时，克服二质点间引力所做的功（设）。 5、对于§3范例1中的水箱，当它装满水时，计算每一椭圆形端面上所受到水的静压力。 （B） 1、试求边界曲线为   的平面图形的面积A（曲线形状见图10-42）。 2、极坐标曲线 如图10-43（a）所示。试求该曲线所围最小一叶的面积A（图中（b）为其放大图）、周长s和它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积S。 3、将椭圆绕x轴旋转得一旋转曲面，该曲面围成一旋转体。将此旋转体沿x轴方向穿心打一个孔（见图10-44），使剩下的环形体的体积等于原椭球体积的一半。试求钻孔的半径r。 4、已知油在输没管内流动时，在油管中心处的流速最大，越靠近管壁流速越小。由实验确定，流速和考察点偏离管以后距离x之间，有关系： ， 其中k为比例常数（与油的温度、粘滞度、油压等因素有关），r为油管半径。试求油流过油管的流量（流量=流速截面积）。 5、把质量为m的物体从地球（其半径为R）表面发射到高度为h的位置，需要花费多大的功？需要有多大的初始速度？ 6、有一以O（0,0）,A（0,1）,B（2,1）为顶点的折线段，已知其任一点处的线密度等于该点到原点距离的平方。试分别求线段OA、AB和整条折线段OAB的质心坐标。 第十一章测试题 （A） 1、判别下列反常积分的敛散性： （1） （2） 2、讨论的收敛性。 3、证明：  4、设在任何上可积。证明：若 （为正整数）， 则 5、设在上连续可微，且在上有界，试证反常积分收敛。 （B） 1、判别下列反常积分的敛散性： （1） （2） 2、讨论的收敛性。 3、证明不等式  并随之有：。 4、设在上连续，，且  证明：若，则收敛。 5、设在上连续，为瑕点。证明：若收敛，则必绝对收敛。