第一章 流体力学基本概念
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径
统计方法
把流体看作由运动的分子组成, 认为宏观现象起源于分子运动, 运用力
学定律和概率论预测流体的宏观性质 。
对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运
系数（ μ, κ ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。
连续介质方法
把流体看作连续介质, 而忽略分子的存在, 假设场变量 （ 速度, 密
度, 压强等 ） 在连续介质的每一点都有唯一确定的值, 连续介质遵
守质量, 动量和能量守恒定律 。 从而推导出场变量的微分方程组 。
流体力学采用连续介质的方法
l im ( )V mV?? ?? ??? ?
l im ( )V vmu m? ???? ?? ?
?
连续介质方法
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时，
可用统计平场的方法定义场变量如下：
在微观上充分大，宏观上充分小。
1.1 连续介质假说
31 L
n ???
连续介质方法的适用条件
n为单位体积的分子数 （ 特征微观尺度是分子自由程 ）,
L为最小宏观尺度 。
在通常温度和压强下, 边长 2微米的立方体中大约包含 2× 108个气
体分子或 2× 1011液体分子；在日常生活和工程中, 绝大多数场合
均满足上述条件, 连续介质方法无论对气体和液体都适用 。
1.1 连续介质假说
火箭穿越大气层边缘, 此时微观特征尺度接近宏观特征尺度；
研究激波结构, 此时宏观特征尺度接近微观特征尺度 。
连续介质方法失效场合
1.1 连续介质假说
流体质点
流体质点是流体力学研究的最小单元 。
当讨论流体速度, 密度等变量时, 实际上是指流体质点的速
度和密度 。
由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙
地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
1.1 连续介质假说
(,,,)u u x y z t?
(,,,)x y z t???
欧拉参考系
当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
着眼于空间点, 在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化 。
独立变量 x,y,z,t
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
0 0 0(,,,)r r x y z t?
拉格朗日参考系
着眼于流体质点, 描述每个流体质点自始至终的运动, 即它
的位置随时间变化,
式中 x0,y0,z0 是 t =t 0时刻流体质点空间位置的坐标 。
独立变量 x0,y0,z0,t。
x,y,z 不再是独立变量, x- x0 = u ( t - t0),y - y0 = v (t - t0),
z - z0 = w (t - t0),T =T(x0,y0,z0,t),ρ=ρ(x0,y0,z0,t)。
用 x0,y0,z0来区分不同的流体质点, 而用 t来确定流体质点
的不同空间位置 。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
通常力学和热力学定律都是针对系统的, 于是需要在 拉格朗日参考系下推导
基本守恒方程, 而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的, 因此
需要寻求联系两种参考系下场变 量及其导数的关系式
系统
某一确定流体质点集合的总体 。 随时间改变其空间位置, 大小和形状；系统边
界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成 。
在拉格朗日参考系中, 通常把注意力集中在流动的系统上, 应用质量, 动量和
能量守恒定律于系统, 即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组
控制体
流场中某一确定的空间区域, 其边界称控制面 。 流体可以通过控制面流进流
出控制体, 占据控制体的流体质点随时间变化 。
为了在欧拉参考系中推导控制方程, 通常把注意力集中在通过控制体的流体
上, 应用质量, 动量和能量守恒定律于这些流体, 即可得到欧拉参考系中的
基本方程组 。
系统和控制体 1.2 欧拉和拉格朗日参考系
),,,( tzyxuu ?? ?
zyxt
u
,,
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?
),,,( 000 tzyxuu ?? ?
000,,zyxt
u ?
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Dt
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欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系,
某一空间点上的流体速度变化, 称当地导数或局部
导数 。
拉格朗日参考系,
在欧拉参考系下用 表示流体质点的速度变化 。
流体质点的速度变化, 即加速度 。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
?
Dt
D?
? ?DtD?
物质导数
流体质点的物理量随时间的变化率 。 物质导数 又称 质点导数,
随体导数 。
设场变量, 则 表示某一流体质点的 随时间的变化
,即一个观察者随同流体一起运动, 并且一直盯着某一特定流
体质点时所看到的 随时间的变化 。
是拉格朗日参考系下的时间导数 。
t ),,,( tzyx?? ?
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x y z t t x y z
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D? 在欧拉参考系下的表达式 （ 在欧拉参考系下推导 ）
时刻，
时刻，
泰勒级数展开，
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,,,,,,,,,,,,,,,,x y z x y z y z t x y z x y z x y t x y zx z t
D x x y z
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在欧拉参考系下的表达式 （ 在拉格朗日参考系下推导 ）
此时 不再是独立变量, 而是 的函数
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k xutxuxuxutDt
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k xu ?
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上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的就地导数和对流导数联系起来 。
称对流导数或位变导数, 流体物性随空间坐标变化而变化, 当流
体质点空间位置随时间变化时, 在流动过程中会取不同的 值,
因此也会引起 的改变 。
欧拉时间导数, 称局部导数或就地导数, 表示空间某一点流
体物理量随时间的变化；
物质导数 ；
矢量和张量形式的物质导数
dt
kdF ?? ?
Vk udv?? ?
V
DF u d v
Dt ?? ?
V
D N D dvD t D t ?? ?
1.4 雷诺输运定理
对系统体积分的随体导数
通常的力学和热力学定理都是应用于系统的，于是就会遇到求对系
统体积分的随体导数。
(,)rt?
VN dv???
设 是单位体积流体的物理分布函数, 而 是系
统体积内包含的总物理量, 则
动量定理
221 ",,,"2u u N M M U M U? ? ? ? 11取 ", 则 为 ",22举例，
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ttN
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系统和 CV 在初始时刻
重合,CV固定不动
公式推导
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公式推导
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DtDN
CS u ndA?? ?
???CVdt ??
系统中的变量 N对时间的变化率
固定控制体内的变量 N对时间的变化率，
由 的不定常性引起
N 流出控制体的净流率，由于系统的
空间位置和体积随时间改变引起
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C V C S
DN d u n d A
D t t ? ? ???
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物理意义
高斯公式，
[ ( ) ],[ ) ]kV V V V
k
DDd v u d v d v u d v
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I II
IIICSI
CSIII
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n?1dA
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uu
1.5 流线, 迹线和脉线
1,流线
流场中的一条曲线, 曲线上各点的速度矢量方向和曲线在
该点的切线方向相同 。
定常流动用一幅流线图就可表示出流场全貌；非定流动
中, 通过空间点的流体质点的速度大小和方向随时间而
变化, 此时谈到流线是指某一给定瞬时的流线 。
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0
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把时间当作常数积分以上方程组，即可得流线方程。
电力线，磁力线，用于理论分析。
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微分方程
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)(sxx ? )(syy ? )(szz ?
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0xx? 0yy? 0zz?
参数方程
选用 作为参变量，
积分上式可得到流线参数方程,
,则参数方程的初始条件可定为，若已知流线经过点
消去 s即可得到流线方程。
在参考点 s为零，沿流线其值增加。
( 1 2 ),,0u x t v y w? ? ? ?
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ey
ex
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解：
积分以上方程得,
由条件 时，,可解出，
消去 得，
例, 设两维流动,求通过 （ 1,1） 点的流线 。
由以方程可以看出, 通过 （ 1,1） 点的流线随时间变化而变化 。
若求 时通过 （ 1,1） 点的流线, 让以上方程中, 0?t0?t
??
?
?
?
s
s
ey
ex
xy?
2,迹线
流体质点在空间运动时描绘出来的曲线 。
在定常流动情况下, 任何一个流体质点的迹线, 同时也是
一条流线, 即质点沿不随时间变化的流线运动 。
迹线的微分方程组
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t
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),,,(
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000
000
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tzyxxx
t
请注意在以上方程组中 是自变量。 是流体质点的空间
坐标，因此都是 的函数。
初始条件：
,,x y z
0,,o o ot x = x y y z z? ? ?时，
( 1 2 ),,0u x t v y w? ? ? ?
(1 2 )
dx xt
dt
dy y
dt
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?
? ?
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0t? 1?? yx 121 ?? cc
t
解：
积分以上方程得,
由条件 时，,可解出，
消去 得，
例, 设两维流动,求 通过 （ 1,1） 点的迹线 。0?t
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?
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1
t
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ecy
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t
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3,脉线
从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的
染色液，该染色液形成一条纤细色线，称为脉线。或另定义如
下，把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时连接起来
得到的一条线。
脉线又称烟线, 染色线 。
脉线本质上是流体质点的迹线，所以可通过求解迹线方程而
得到。
dtwdzvdyudx ???
迹线的微分方程组
初始条件：
0,,oot x x y y z z?? ? ? ?时，
积分以上方程组得，
?
?
?
?
?
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?
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),,,,(
),,,,(
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000
000
000
?
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tzyxzz
tzyxyy
tzyxxx
上述方程即 ?时刻从点 进入流场的流体质点的迹线方程。0 0 0,,x y z
事实上当 固定, 而让 变化 （ ） 时, 上述表
达式给出了 时刻由点 注入流场的一个流体质点
的迹线；而当固定 而让 变化 （ ） 时, 上述
表达式则给出了在 时刻前经由 点注入流场的不
同流体质点在 时刻的不同空间位置, 即脉线 。
?
t
t??
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t
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当 取 的值时，上述方程即给出 t 时刻的脉线。? t??
( 1 2 ),,0u x t v y w? ? ? ?
(1 2 )
dx xt
dt
dy y
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1?? yx
解：
积分以上方程得,
由条件 时，,可解出，
例, 设两维流动,求通过 （ 1,1） 点的脉线 。
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1
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t
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以上即通过 （ 1,1） 点的脉线参数方程 。 显然在不同时刻
（ 取不同值时 ） 脉线形状也不同 。t
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yyx ln1??
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消去 得,
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???
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?
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t
tt
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以上例题中 时刻经过 （ 1,1） 点的流线, 迹线和脉线如图示 。
可以看出, 在非定常流动条件下, 三种曲线一般是不重合的 。 在
定常流动条件下, 三种曲线合而为一 。
0?t
在流场内作一非流线且不自相
交的封闭曲线, 在某一瞬时通
过该曲线上各点的流线构成一
个管状表面, 称流管 。 若流管
的横截面无限小, 则称流管元
。
流管表面由流线组成, 所以流
体不能穿过流管侧面流进流出
,而只能从流管一端流入, 而
从另一端流出 。
流管
1.1 连续介质假说
推导流体力学基本方程的两条途径
统计方法
把流体看作由运动的分子组成, 认为宏观现象起源于分子运动, 运用力
学定律和概率论预测流体的宏观性质 。
对于偏离平衡态不远的流体可推导出质量、动量和能量方程，给出输运
系数（ μ, κ ）的表达式。
对于单原子气体已有成熟理论，对多原子气体和液体理论尚不完整。
连续介质方法
把流体看作连续介质, 而忽略分子的存在, 假设场变量 （ 速度, 密
度, 压强等 ） 在连续介质的每一点都有唯一确定的值, 连续介质遵
守质量, 动量和能量守恒定律 。 从而推导出场变量的微分方程组 。
流体力学采用连续介质的方法
l im ( )V mV?? ?? ??? ?
l im ( )V vmu m? ???? ?? ?
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连续介质方法
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时，
可用统计平场的方法定义场变量如下：
在微观上充分大，宏观上充分小。
1.1 连续介质假说
31 L
n ???
连续介质方法的适用条件
n为单位体积的分子数 （ 特征微观尺度是分子自由程 ）,
L为最小宏观尺度 。
在通常温度和压强下, 边长 2微米的立方体中大约包含 2× 108个气
体分子或 2× 1011液体分子；在日常生活和工程中, 绝大多数场合
均满足上述条件, 连续介质方法无论对气体和液体都适用 。
1.1 连续介质假说
火箭穿越大气层边缘, 此时微观特征尺度接近宏观特征尺度；
研究激波结构, 此时宏观特征尺度接近微观特征尺度 。
连续介质方法失效场合
1.1 连续介质假说
流体质点
流体质点是流体力学研究的最小单元 。
当讨论流体速度, 密度等变量时, 实际上是指流体质点的速
度和密度 。
由确定流体分子组成的流体团，流体由流体质点连续无间隙
地组成，流体质点的体积在微观上充分大，在宏观上充分小。
1.1 连续介质假说
(,,,)u u x y z t?
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欧拉参考系
当采用欧拉参考系时，定义了空间的场。
着眼于空间点, 在空间的每一点上描述流体运动随时间的变化 。
独立变量 x,y,z,t
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
0 0 0(,,,)r r x y z t?
拉格朗日参考系
着眼于流体质点, 描述每个流体质点自始至终的运动, 即它
的位置随时间变化,
式中 x0,y0,z0 是 t =t 0时刻流体质点空间位置的坐标 。
独立变量 x0,y0,z0,t。
x,y,z 不再是独立变量, x- x0 = u ( t - t0),y - y0 = v (t - t0),
z - z0 = w (t - t0),T =T(x0,y0,z0,t),ρ=ρ(x0,y0,z0,t)。
用 x0,y0,z0来区分不同的流体质点, 而用 t来确定流体质点
的不同空间位置 。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
通常力学和热力学定律都是针对系统的, 于是需要在 拉格朗日参考系下推导
基本守恒方程, 而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考系下求解的, 因此
需要寻求联系两种参考系下场变 量及其导数的关系式
系统
某一确定流体质点集合的总体 。 随时间改变其空间位置, 大小和形状；系统边
界上没有质量交换；始终由同一些流体质点组成 。
在拉格朗日参考系中, 通常把注意力集中在流动的系统上, 应用质量, 动量和
能量守恒定律于系统, 即可得到拉格朗日参考系中的基本方程组
控制体
流场中某一确定的空间区域, 其边界称控制面 。 流体可以通过控制面流进流
出控制体, 占据控制体的流体质点随时间变化 。
为了在欧拉参考系中推导控制方程, 通常把注意力集中在通过控制体的流体
上, 应用质量, 动量和能量守恒定律于这些流体, 即可得到欧拉参考系中的
基本方程组 。
系统和控制体 1.2 欧拉和拉格朗日参考系
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欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
欧拉参考系,
某一空间点上的流体速度变化, 称当地导数或局部
导数 。
拉格朗日参考系,
在欧拉参考系下用 表示流体质点的速度变化 。
流体质点的速度变化, 即加速度 。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
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物质导数
流体质点的物理量随时间的变化率 。 物质导数 又称 质点导数,
随体导数 。
设场变量, 则 表示某一流体质点的 随时间的变化
,即一个观察者随同流体一起运动, 并且一直盯着某一特定流
体质点时所看到的 随时间的变化 。
是拉格朗日参考系下的时间导数 。
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此时 不再是独立变量, 而是 的函数
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上式把拉格朗日导数和欧拉参考系中的就地导数和对流导数联系起来 。
称对流导数或位变导数, 流体物性随空间坐标变化而变化, 当流
体质点空间位置随时间变化时, 在流动过程中会取不同的 值,
因此也会引起 的改变 。
欧拉时间导数, 称局部导数或就地导数, 表示空间某一点流
体物理量随时间的变化；
物质导数 ；
矢量和张量形式的物质导数
dt
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Vk udv?? ?
V
DF u d v
Dt ?? ?
V
D N D dvD t D t ?? ?
1.4 雷诺输运定理
对系统体积分的随体导数
通常的力学和热力学定理都是应用于系统的，于是就会遇到求对系
统体积分的随体导数。
(,)rt?
VN dv???
设 是单位体积流体的物理分布函数, 而 是系
统体积内包含的总物理量, 则
动量定理
221 ",,,"2u u N M M U M U? ? ? ? 11取 ", 则 为 ",22举例，
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t
ttN
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系统和 CV 在初始时刻
重合,CV固定不动
公式推导
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公式推导
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CS u ndA?? ?
???CVdt ??
系统中的变量 N对时间的变化率
固定控制体内的变量 N对时间的变化率，
由 的不定常性引起
N 流出控制体的净流率，由于系统的
空间位置和体积随时间改变引起
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C V C S
DN d u n d A
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物理意义
高斯公式，
[ ( ) ],[ ) ]kV V V V
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IIICSI
CSIII
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1.5 流线, 迹线和脉线
1,流线
流场中的一条曲线, 曲线上各点的速度矢量方向和曲线在
该点的切线方向相同 。
定常流动用一幅流线图就可表示出流场全貌；非定流动
中, 通过空间点的流体质点的速度大小和方向随时间而
变化, 此时谈到流线是指某一给定瞬时的流线 。
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tzyxw
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把时间当作常数积分以上方程组，即可得流线方程。
电力线，磁力线，用于理论分析。
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微分方程
dswdzvdyudx ???
)(sxx ? )(syy ? )(szz ?
s
),,( 000 zyx
0?s
0xx? 0yy? 0zz?
参数方程
选用 作为参变量，
积分上式可得到流线参数方程,
,则参数方程的初始条件可定为，若已知流线经过点
消去 s即可得到流线方程。
在参考点 s为零，沿流线其值增加。
( 1 2 ),,0u x t v y w? ? ? ?
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ex
s
tyx 21??
解：
积分以上方程得,
由条件 时，,可解出，
消去 得，
例, 设两维流动,求通过 （ 1,1） 点的流线 。
由以方程可以看出, 通过 （ 1,1） 点的流线随时间变化而变化 。
若求 时通过 （ 1,1） 点的流线, 让以上方程中, 0?t0?t
??
?
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s
s
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ex
xy?
2,迹线
流体质点在空间运动时描绘出来的曲线 。
在定常流动情况下, 任何一个流体质点的迹线, 同时也是
一条流线, 即质点沿不随时间变化的流线运动 。
迹线的微分方程组
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000
000
tzyxzz
tzyxyy
tzyxxx
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请注意在以上方程组中 是自变量。 是流体质点的空间
坐标，因此都是 的函数。
初始条件：
,,x y z
0,,o o ot x = x y y z z? ? ?时，
( 1 2 ),,0u x t v y w? ? ? ?
(1 2 )
dx xt
dt
dy y
dt
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0t? 1?? yx 121 ?? cc
t
解：
积分以上方程得,
由条件 时，,可解出，
消去 得，
例, 设两维流动,求 通过 （ 1,1） 点的迹线 。0?t
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3,脉线
从流场中的一个固定点向流场中连续地注入与流体密度相同的
染色液，该染色液形成一条纤细色线，称为脉线。或另定义如
下，把相继经过流场同一空间点的流体质点在某瞬时连接起来
得到的一条线。
脉线又称烟线, 染色线 。
脉线本质上是流体质点的迹线，所以可通过求解迹线方程而
得到。
dtwdzvdyudx ???
迹线的微分方程组
初始条件：
0,,oot x x y y z z?? ? ? ?时，
积分以上方程组得，
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000
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tzyxyy
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上述方程即 ?时刻从点 进入流场的流体质点的迹线方程。0 0 0,,x y z
事实上当 固定, 而让 变化 （ ） 时, 上述表
达式给出了 时刻由点 注入流场的一个流体质点
的迹线；而当固定 而让 变化 （ ） 时, 上述
表达式则给出了在 时刻前经由 点注入流场的不
同流体质点在 时刻的不同空间位置, 即脉线 。
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),,( 000 zyx
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当 取 的值时，上述方程即给出 t 时刻的脉线。? t??
( 1 2 ),,0u x t v y w? ? ? ?
(1 2 )
dx xt
dt
dy y
dt
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1?? yx
解：
积分以上方程得,
由条件 时，,可解出，
例, 设两维流动,求通过 （ 1,1） 点的脉线 。
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2
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1
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ecy
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以上即通过 （ 1,1） 点的脉线参数方程 。 显然在不同时刻
（ 取不同值时 ） 脉线形状也不同 。t
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在 时刻,
消去 得,
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以上例题中 时刻经过 （ 1,1） 点的流线, 迹线和脉线如图示 。
可以看出, 在非定常流动条件下, 三种曲线一般是不重合的 。 在
定常流动条件下, 三种曲线合而为一 。
0?t
在流场内作一非流线且不自相
交的封闭曲线, 在某一瞬时通
过该曲线上各点的流线构成一
个管状表面, 称流管 。 若流管
的横截面无限小, 则称流管元
。
流管表面由流线组成, 所以流
体不能穿过流管侧面流进流出
,而只能从流管一端流入, 而
从另一端流出 。
流管
