4.6 偶极子流动
显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点 。
F( ) μz z?
? ?F ( ) l n l n l n l n
ln
ln
F ( )
ε
< < 1
2z
2
22
22
ε
+
m m m z + εm
z
z z + ε (z - ε) = =
ε2 π 2π 2π z - ε 2π
-
z
m ε ε ε
= + + +
2 π z z z
m ε ε m ε ε
= + + = +
2 π z z 2π z z
m ε
z
πz
0
00
?
??
?
???? ????
??
?????? ??
??
?? ??????
??
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
l n ( ) ( )2 x < 1,1 + x = x + xo时
0mlim mε= π μ????
F( ) μz z?
4.6 偶极子流动
偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇
上式推导中用到,
设
? ?
m m?
F ( ) 22μ μz μ(x -iy)z = =z z z x + y?
22
yΨ = -μ
x + y
2
()
22
22
μ
x + y + y = 0
Ψ
μμ
x + y + =
2 Ψ 2Ψ
??
??
??
4.6 偶极子流动
流函数
令 ? 等于常数，
流线是圆心在 y 轴且通过原点的圆族。
W ( z )
( c os sin )
( )
- 2 i θ
22
- i θ
2
- i θ
R θ
dF μμ
= - = - e
dz z R
μ
= - θ - i θ e
R
= u - i u e
?
co s
s i n
R 2
θ 2
μ
u = - θ
R
μ
u = - θ
R
?
??
?
?
??
R θu,u
4.6 偶极子流动
速度场
流场中流线的方向可依据点源, 点汇的位置来确定, 也可
根据 方向而定 。
上述流动称偶极子流动, 处于流场中心的奇点称偶极子 。
强度为 μ,位于点 的偶极子的复位势：0z
F ( z )
0
μ
z - z?
4.6 偶极子流动
4.7 圆柱的无环量绕流
势函数和流函数满足的控制方程是线性的, 因此它们的解具有可
叠加性 。 依据这一原理, 上面给出的基本流动的复位势函数可以叠
加起来给出较为复杂的流动问题的解 。
叠加原理
显见, 只要选, 则在圆表面上 。 流动图谱见附图 。
可见看出圆 R＝ a把流场分为两部分：由于流体不可能穿越一条流线流动, 可以
断定偶极子流动被包围在圆内, 而均匀来流则被排斥在圆外 。 偶极子向上游的
流动由于受到均匀来流作用, 折转方向流向下游, 均匀来流流线则发生弯曲,
围绕圆 R＝ a从圆外流过 。
4.7 圆柱的无环量绕流
F ( z ) μU z + z?
iθz = a e
F ( z )
( ) c o s ( ) s i n
i θ - i θμU a e + e
a
μμU a + θ + i U a - θ
aa
?
?
2μ=Ua 0??
均匀流与偶极子叠加
沿 x方向的均匀流和在原点的偶
极子叠加给出圆柱绕流的解,
圆方程
( ) sinμΨ = U a - θa
圆表面的流函数
圆柱无环量绕流的复势函数
2μ=Ua
F ( z )
2
μ
U z +
z
a
= U z +
z
?
??
取
则圆柱无环量绕流的复势函数
用一个半径为 a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入
流场并与圆 R＝ a的流线相重合, 将不会对圆内的偶
极子流动和圆外的均匀来流形成干扰 。 移去金属壳
内的偶极子流体, 填充以固体材料形成一个固体圆
柱, 圆外的流动将保持不变, 也就是说速度为 U的均
匀来流和强度为 的偶极子流动叠加后在
的区域形成的流场即是速度为 U的均匀
来流绕流 R＝ a 的圆柱流动 。
2μ=Ua
Ra?
4.7 圆柱的无环量绕流
叠加流场是绕流圆柱的解
前者是和实际情况符合的, 而后者则与实际不符,
这就是著名的达朗贝尔佯谬 。 这主要是由于 没有考
虑粘性对流动的影响 。 在粘性流动中圆柱将承受 由
于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层
分离所产生的压差阻力 。
尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有 重要的理论意
义 。
4.7 圆柱的无环量绕流
达朗贝尔佯谬
均匀来流绕流圆柱的速度场对 x 轴和 y 轴都是对称的，
因此压强分布对 x 轴和 y 轴也是对称的，于是圆柱所
受流体作用力的合力为零，即圆柱不但 不承受与气流
垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。
4.8 有环量圆柱绕流
F ( z ) ( ) l n2ai ΓU z + + z + cz2 π?
iθz = ae
F ( z ) ( ) l n ( ) c o s l ni θ -i θ i θi Γ Γ i ΓU a e + a e + a e + c = 2 U θ - θ + a + c2 π 2 π 2 π?
iΓc = - lna
2π
F ( z ) l n2ai ΓzU ( z + ) +z2 πa?
复势函数
无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加，
点涡的流线是同心圆, 圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡而改变 。
令, 则在圆柱面 Ψ＝ 0 。 于是,
W ( z ) ( ) ( ) ( )
( ) c o s ( ) sin
( ) c o s
( ) sin
2 2 - i θ2
- 2 i θ i θ -i θ -i θ
2 2 2
22
- i θ
22
2
R 2
2
θ 2
d F a i Γ 1 a iΓ e a iΓ
= U 1 - + = U 1 - e + = U e - e + e
d z z 2 π z R 2 π R R 2 π R
aa Γ
= U 1 - θ + i U 1 + θ + e
R R 2 πR
a
u = U 1 - θ
R
a Γ
u = - U 1 + θ-
R2 πR
??
? ??
??
?? ????
?? ??
????
?
?
?
?
?
??
sin
R
θ
u = 0
Γu = - 2 U θ-
2 πa
??
?
??
Ru =0 nu =0
4.8 有环量圆柱绕流
速度场
在圆柱面上 （ R＝ a）
,即,正是理想流体绕流圆柱时在圆柱表面应满足的
边界条件。
0 u? ?? sin Γ4πU a? ??
0 s i n 0 0,? ? ? ? ? ? ? ? ?
014 U a????
14 Ua? ?? 32?? ?
4.8 有环量圆柱绕流
圆柱面上的驻点
寻求在圆柱面上速度为 0的点，
?无环量流动,
?有环量流动，
有两个驻点, 分别位于 3,4象限, 且关于 y轴对称 。
顺时针点涡流场与绕流圆柱流场叠加在 1,2象限速度方
向相同, 速度增加；在 3,4象限速度方向相反, 速度减
少, 于是分别在 3,4象限的某个点处速度为零 。 相当于
把 θ＝ 0和 π的两个驻点分别移动至 3,4象限 。
一个驻点, 。
相当于 3,4象限的两个驻点, 当 Γ增大时, 相互靠近最
终汇合在圆柱面的最低点 。
014 Ua???? 14 Ua? ??
14 Ua? ??
c os
sin
2
2
2
2
aU ( 1 - ) θ = 0
R
a ΓU ( 1 + ) θ = -
R2 πR
?
??
?
?
??
(1)
(2)
3c os 0,
22
?? ? ? ? ? ?
2?
32?? ?
2
2
22
a ΓU 1 + =
R2 πR
ΓR - R + a = 0
2 πU
??
??
??
4.8 有环量圆柱绕流
圆柱面外的驻点
Γ继续增加,, 驻点就不可能保持在圆柱面上, 而是进入流体中 。
驻点方程
由 （ 1）
因为在 方向点涡和圆柱绕流流场速度方向相同, 合速度不可能为零 。
取 代入 (2)，
2
2
R Γ 4πU a
=-
a4 πU a Γ
Γ 4πU a
=+
4 πU a Γ
??
??
??? ? ? ??
??
??
?????????
? ? ? ? ?????????
? ????
??
4 / 0,0U a R? ? ? ?
2R Γ 4πU a
= 1 + 1 -a4 πU a Γ
??????
????
??
根号前取“一”
意味着驻点在圆内，这是不可能的。
根号前取,+”
号
R/a>1,驻点在圆柱面外正下方。
14 Ua? ??
由于环量的存在, 流场对 x 轴不再对称, 在圆柱上表面顺时针
的环流和无环量的绕流方向相同, 因此速度增加, 而在下表面
则方向相反, 速度减少 。 根据伯努利方程上表面压强减小, 下
表面压强增大, 于是 产生向上的合力, 称升力 。
4.8 有环量圆柱绕流
升力和阻力
有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x
轴方向圆柱所受表面力合力为零。
4.9 布拉修斯公式
0
0
2
C
2
C
ρX - Y i = i W d z
2
ρM = - R e z W d z
2
??
????
?
?
求圆柱受力和力矩的方法
?压强积分方法
从复位势求出柱体表面速度分布；
再利用伯努利方程求出柱体表面压强分布，作积分求出表面力合
力与合力矩。
?复变函数方法
布拉修斯公式
而曲线积分则可利用留数定理求出。
4.9 布拉修斯公式
柱体受力分析
设定常均匀来流绕流任意形
状的柱体，周围流体对柱体
的作用力可简化为作用在柱
体重心的力 X,Y 以及力矩
M（ 取 xoy坐标原点在柱体
质心）。
取任意形状封闭曲面 C0 包围柱体, 柱体表面为 Ci。 以 C0, Ci 间
的空间为控制体, 控制体内的流体受到 C0 外流体的压强 p的作
用, 同时受到柱体的反作用力 － X,－ Y,以及反力矩－ M的
作用 。
X
Y
n
M
iC
n
oC
udy
vdx pdy
pdx
dl
V V S S
D Q
Dt
CS
F ρu d V = ρu d V + ρu u n d S = ρu
t
F= ρu δ Q
?? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
CS
CS
F= ρu δQx
F= ρvδQy
?
?
?
?
4.9 布拉修斯公式
动量定理
写成分量形式，
00CC- X - p d y = u ρ(udy - vdx)??
00CC- Y + p d x = v ρ(udy - vdx)??
i 0 0C S C C C? ? ? ?? ? ? ?
δQ = udy-vdx
? ?22ρp = c - u + v2
00CCc d x c d y 0????
? ?
? ?
0
0
22
C
22
C
X= ρ u vd x - u - v d y
Y = -ρ u vd y + u - v d x
???
?????
???
?????
?
?
4.9 布拉修斯公式
应用动量定理于上述控制体,
x方向，
y方向,
Ci 是一条流线，没有流体穿过
通过 C0上的微分面积的体积流量
微元面在 x和 y方向受到的压力则分别为,－ p dy,p dx
伯努利方程
代入 x 和 y 方向的动量方程, 并考虑到, 得
X
Y
n
M
iC
n
oC
udy
vdx
pdy
pdx
dl
CS
CS
F= ρuδQx
F= ρvδQy
?
?
?
?
布拉修斯公式
W( )z
? ? ? ?
00
0
22
CC
2 2 2 2
C
ρρ
i W d z = i u - i v d x + i d y
22
11
= ρ u v d x - (u - v )d y + i u v d y + (u - v )d x
22
??? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ???
??
?
0
2
C
ρX - i Y = i W dz
2 ?
4.9 布拉修斯公式
上式中 X,Y是作用在柱体重心的力, 方向分别沿 x 与 y 轴正向； C0
是包围柱体的任意曲面； W为复速度 。
与动量定理求出的柱体受力 X,Y的表达式相比得,
若已知复速度, 则
CSM = r u ρ δQ?? ?
? ?00CC- M + ( x p d x + y p d y ) = ρ v x (u d y - v d x ) - ρ u y (u d y - v d x )??
4.9 布拉修斯公式
动量矩定理
对我们研究的控制体, 只需要考虑 z方向分量方程,
pdy
pdx
ρvδQ,ρuδQ
方程左边第一项是柱体对流体的反力矩,
第二项是 C0外的流体作用在 C0上的压力对坐标原点 （ 柱体重心 ） 的矩 。
方程右边则是单位时间净流出控制面的流体动量矩, 方括号内两项分别
表示动量 对坐标原点的矩 。 由于没有流体通过柱体
表面 Ci,积分只在 C0上进行 。
X
Y
n
M
iC
n
oC
udy
vdx
? ?221p = c - ρ u -v2
00CCc d x c d y 0????
0
22[ ( ) ( ) 2 ( ) ]
2 CM u v x d x y d y u v x d y y d x
?? ? ? ? ? ??
利用伯努利方程 消去上式内的压强项, 并考虑到
,力矩 M可表示为,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
00
0
0
22
CC
22
C
22
C
ρρ
zW d z = x + i y u - i v d x + i d y
22
ρ
= u - v x d x - y d y + 2 u v x d y + y d x
2
ρ
+ i u - v x d y + y d x - 2 u v x d x - y d y
2
??
??
??
??
??
?
?
0
2
c
ρM = - R e zW d z
2 ???????
4.9 布拉修斯公式
上式中 Re 表达取复变数的实部 。 M是作用在柱体上的力矩, 逆时针方向
为正； C0为围绕柱体的任意曲面； W为复速度 。
与由动量矩定理求出的力矩 M的表达式比较可得,
以复速度作如下积分式，
布拉修斯合力矩公式
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
如 F(Z) 在环形域 处处解析, 该环形域中心在点, 那么 F(z)可用
级数表示为
上述级数称罗伦级数 。
10r < r < r 0z
? ? ? ?F ( ),,,,,,221 0 1 0 2 02 00
bbz + + a + a ( z - z ) + a ( z - z )
z - zz - z? ? ?
罗伦级数
如 F(z)在曲线 C内的区域中除有限个奇点 外解析, 则
式中 是 F(z) 在点 的留数, 是 F(z) 在点 的留数, 等等 。
0
1zz?
1 2 3 nz,z,z,...z
()1 2 nC F ( z) d z = 2 π i R + R +,.,+ R?
1z 2z2
R
1R
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
留数
一个函数在 点的留数就是该函数对于 的罗伦级数
0z 0z
项的系数 。
留数定理
0
2
C
ρX - i Y = i W δz
2 ?
W ( )
W ( )
2
2
2 2 2 4 2 2
22
2 4 3 2 2
ai Γ
z = U - +
z πz
U a U a iU Γ iU Γ a Γ
z = U - + + - -
zz π z π z π z
?? ?
???
???
?
?
iU??
ρ iU ΓX - i Y = i 2 π i = -i ρU
2 π
?? ???
??
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
作用在圆柱上的力
函数 W2 在 Co 内 的奇点只有一个,z = 0点,即点涡和偶极子的所在点。
在 z＝ 0点的留数为,
布拉修斯公式,
定常均匀来流绕流圆柱, 圆柱半径为 a,来流速度为 U,绕圆柱环量为 Γ
（ 顺时针 ）, 则
由上式可见在 x 方向的阻力为零, 升力等于环量 Γ与来流速
度 U 和流体密度 ρ 的乘积,
Y=ρUΓ
上式为正值, 即负方向的环量产生向上的升力 。 该公式称
为库塔－儒科夫斯基公式 。
显见 Γ＝ 0 时 Y＝ 0,无环量绕流无升力 。
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
作用在圆柱上的力
函数 在 Co 内 的奇点只有 点, 该点留数为 。
0
2R e
2 CM z W d z
? ???? ??
???
2 2 2 4 2 222
3 2 2
2
4
U a U a i U i U az W U z
z z z z? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
2 zW 0?z
2
222
42 ???? aU
2
22
2Re 2 2 024M i U a
? ?
?
???? ?? ? ? ? ?????
????
作用在圆柱上的力矩
布拉修斯合力矩公式，
没有力矩作用在圆柱上
显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点 。
F( ) μz z?
? ?F ( ) l n l n l n l n
ln
ln
F ( )
ε
< < 1
2z
2
22
22
ε
+
m m m z + εm
z
z z + ε (z - ε) = =
ε2 π 2π 2π z - ε 2π
-
z
m ε ε ε
= + + +
2 π z z z
m ε ε m ε ε
= + + = +
2 π z z 2π z z
m ε
z
πz
0
00
?
??
?
???? ????
??
?????? ??
??
?? ??????
??
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
?
?
l n ( ) ( )2 x < 1,1 + x = x + xo时
0mlim mε= π μ????
F( ) μz z?
4.6 偶极子流动
偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇
上式推导中用到,
设
? ?
m m?
F ( ) 22μ μz μ(x -iy)z = =z z z x + y?
22
yΨ = -μ
x + y
2
()
22
22
μ
x + y + y = 0
Ψ
μμ
x + y + =
2 Ψ 2Ψ
??
??
??
4.6 偶极子流动
流函数
令 ? 等于常数，
流线是圆心在 y 轴且通过原点的圆族。
W ( z )
( c os sin )
( )
- 2 i θ
22
- i θ
2
- i θ
R θ
dF μμ
= - = - e
dz z R
μ
= - θ - i θ e
R
= u - i u e
?
co s
s i n
R 2
θ 2
μ
u = - θ
R
μ
u = - θ
R
?
??
?
?
??
R θu,u
4.6 偶极子流动
速度场
流场中流线的方向可依据点源, 点汇的位置来确定, 也可
根据 方向而定 。
上述流动称偶极子流动, 处于流场中心的奇点称偶极子 。
强度为 μ,位于点 的偶极子的复位势：0z
F ( z )
0
μ
z - z?
4.6 偶极子流动
4.7 圆柱的无环量绕流
势函数和流函数满足的控制方程是线性的, 因此它们的解具有可
叠加性 。 依据这一原理, 上面给出的基本流动的复位势函数可以叠
加起来给出较为复杂的流动问题的解 。
叠加原理
显见, 只要选, 则在圆表面上 。 流动图谱见附图 。
可见看出圆 R＝ a把流场分为两部分：由于流体不可能穿越一条流线流动, 可以
断定偶极子流动被包围在圆内, 而均匀来流则被排斥在圆外 。 偶极子向上游的
流动由于受到均匀来流作用, 折转方向流向下游, 均匀来流流线则发生弯曲,
围绕圆 R＝ a从圆外流过 。
4.7 圆柱的无环量绕流
F ( z ) μU z + z?
iθz = a e
F ( z )
( ) c o s ( ) s i n
i θ - i θμU a e + e
a
μμU a + θ + i U a - θ
aa
?
?
2μ=Ua 0??
均匀流与偶极子叠加
沿 x方向的均匀流和在原点的偶
极子叠加给出圆柱绕流的解,
圆方程
( ) sinμΨ = U a - θa
圆表面的流函数
圆柱无环量绕流的复势函数
2μ=Ua
F ( z )
2
μ
U z +
z
a
= U z +
z
?
??
取
则圆柱无环量绕流的复势函数
用一个半径为 a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入
流场并与圆 R＝ a的流线相重合, 将不会对圆内的偶
极子流动和圆外的均匀来流形成干扰 。 移去金属壳
内的偶极子流体, 填充以固体材料形成一个固体圆
柱, 圆外的流动将保持不变, 也就是说速度为 U的均
匀来流和强度为 的偶极子流动叠加后在
的区域形成的流场即是速度为 U的均匀
来流绕流 R＝ a 的圆柱流动 。
2μ=Ua
Ra?
4.7 圆柱的无环量绕流
叠加流场是绕流圆柱的解
前者是和实际情况符合的, 而后者则与实际不符,
这就是著名的达朗贝尔佯谬 。 这主要是由于 没有考
虑粘性对流动的影响 。 在粘性流动中圆柱将承受 由
于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层
分离所产生的压差阻力 。
尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有 重要的理论意
义 。
4.7 圆柱的无环量绕流
达朗贝尔佯谬
均匀来流绕流圆柱的速度场对 x 轴和 y 轴都是对称的，
因此压强分布对 x 轴和 y 轴也是对称的，于是圆柱所
受流体作用力的合力为零，即圆柱不但 不承受与气流
垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。
4.8 有环量圆柱绕流
F ( z ) ( ) l n2ai ΓU z + + z + cz2 π?
iθz = ae
F ( z ) ( ) l n ( ) c o s l ni θ -i θ i θi Γ Γ i ΓU a e + a e + a e + c = 2 U θ - θ + a + c2 π 2 π 2 π?
iΓc = - lna
2π
F ( z ) l n2ai ΓzU ( z + ) +z2 πa?
复势函数
无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加，
点涡的流线是同心圆, 圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡而改变 。
令, 则在圆柱面 Ψ＝ 0 。 于是,
W ( z ) ( ) ( ) ( )
( ) c o s ( ) sin
( ) c o s
( ) sin
2 2 - i θ2
- 2 i θ i θ -i θ -i θ
2 2 2
22
- i θ
22
2
R 2
2
θ 2
d F a i Γ 1 a iΓ e a iΓ
= U 1 - + = U 1 - e + = U e - e + e
d z z 2 π z R 2 π R R 2 π R
aa Γ
= U 1 - θ + i U 1 + θ + e
R R 2 πR
a
u = U 1 - θ
R
a Γ
u = - U 1 + θ-
R2 πR
??
? ??
??
?? ????
?? ??
????
?
?
?
?
?
??
sin
R
θ
u = 0
Γu = - 2 U θ-
2 πa
??
?
??
Ru =0 nu =0
4.8 有环量圆柱绕流
速度场
在圆柱面上 （ R＝ a）
,即,正是理想流体绕流圆柱时在圆柱表面应满足的
边界条件。
0 u? ?? sin Γ4πU a? ??
0 s i n 0 0,? ? ? ? ? ? ? ? ?
014 U a????
14 Ua? ?? 32?? ?
4.8 有环量圆柱绕流
圆柱面上的驻点
寻求在圆柱面上速度为 0的点，
?无环量流动,
?有环量流动，
有两个驻点, 分别位于 3,4象限, 且关于 y轴对称 。
顺时针点涡流场与绕流圆柱流场叠加在 1,2象限速度方
向相同, 速度增加；在 3,4象限速度方向相反, 速度减
少, 于是分别在 3,4象限的某个点处速度为零 。 相当于
把 θ＝ 0和 π的两个驻点分别移动至 3,4象限 。
一个驻点, 。
相当于 3,4象限的两个驻点, 当 Γ增大时, 相互靠近最
终汇合在圆柱面的最低点 。
014 Ua???? 14 Ua? ??
14 Ua? ??
c os
sin
2
2
2
2
aU ( 1 - ) θ = 0
R
a ΓU ( 1 + ) θ = -
R2 πR
?
??
?
?
??
(1)
(2)
3c os 0,
22
?? ? ? ? ? ?
2?
32?? ?
2
2
22
a ΓU 1 + =
R2 πR
ΓR - R + a = 0
2 πU
??
??
??
4.8 有环量圆柱绕流
圆柱面外的驻点
Γ继续增加,, 驻点就不可能保持在圆柱面上, 而是进入流体中 。
驻点方程
由 （ 1）
因为在 方向点涡和圆柱绕流流场速度方向相同, 合速度不可能为零 。
取 代入 (2)，
2
2
R Γ 4πU a
=-
a4 πU a Γ
Γ 4πU a
=+
4 πU a Γ
??
??
??? ? ? ??
??
??
?????????
? ? ? ? ?????????
? ????
??
4 / 0,0U a R? ? ? ?
2R Γ 4πU a
= 1 + 1 -a4 πU a Γ
??????
????
??
根号前取“一”
意味着驻点在圆内，这是不可能的。
根号前取,+”
号
R/a>1,驻点在圆柱面外正下方。
14 Ua? ??
由于环量的存在, 流场对 x 轴不再对称, 在圆柱上表面顺时针
的环流和无环量的绕流方向相同, 因此速度增加, 而在下表面
则方向相反, 速度减少 。 根据伯努利方程上表面压强减小, 下
表面压强增大, 于是 产生向上的合力, 称升力 。
4.8 有环量圆柱绕流
升力和阻力
有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x
轴方向圆柱所受表面力合力为零。
4.9 布拉修斯公式
0
0
2
C
2
C
ρX - Y i = i W d z
2
ρM = - R e z W d z
2
??
????
?
?
求圆柱受力和力矩的方法
?压强积分方法
从复位势求出柱体表面速度分布；
再利用伯努利方程求出柱体表面压强分布，作积分求出表面力合
力与合力矩。
?复变函数方法
布拉修斯公式
而曲线积分则可利用留数定理求出。
4.9 布拉修斯公式
柱体受力分析
设定常均匀来流绕流任意形
状的柱体，周围流体对柱体
的作用力可简化为作用在柱
体重心的力 X,Y 以及力矩
M（ 取 xoy坐标原点在柱体
质心）。
取任意形状封闭曲面 C0 包围柱体, 柱体表面为 Ci。 以 C0, Ci 间
的空间为控制体, 控制体内的流体受到 C0 外流体的压强 p的作
用, 同时受到柱体的反作用力 － X,－ Y,以及反力矩－ M的
作用 。
X
Y
n
M
iC
n
oC
udy
vdx pdy
pdx
dl
V V S S
D Q
Dt
CS
F ρu d V = ρu d V + ρu u n d S = ρu
t
F= ρu δ Q
?? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
CS
CS
F= ρu δQx
F= ρvδQy
?
?
?
?
4.9 布拉修斯公式
动量定理
写成分量形式，
00CC- X - p d y = u ρ(udy - vdx)??
00CC- Y + p d x = v ρ(udy - vdx)??
i 0 0C S C C C? ? ? ?? ? ? ?
δQ = udy-vdx
? ?22ρp = c - u + v2
00CCc d x c d y 0????
? ?
? ?
0
0
22
C
22
C
X= ρ u vd x - u - v d y
Y = -ρ u vd y + u - v d x
???
?????
???
?????
?
?
4.9 布拉修斯公式
应用动量定理于上述控制体,
x方向，
y方向,
Ci 是一条流线，没有流体穿过
通过 C0上的微分面积的体积流量
微元面在 x和 y方向受到的压力则分别为,－ p dy,p dx
伯努利方程
代入 x 和 y 方向的动量方程, 并考虑到, 得
X
Y
n
M
iC
n
oC
udy
vdx
pdy
pdx
dl
CS
CS
F= ρuδQx
F= ρvδQy
?
?
?
?
布拉修斯公式
W( )z
? ? ? ?
00
0
22
CC
2 2 2 2
C
ρρ
i W d z = i u - i v d x + i d y
22
11
= ρ u v d x - (u - v )d y + i u v d y + (u - v )d x
22
??? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ???
??
?
0
2
C
ρX - i Y = i W dz
2 ?
4.9 布拉修斯公式
上式中 X,Y是作用在柱体重心的力, 方向分别沿 x 与 y 轴正向； C0
是包围柱体的任意曲面； W为复速度 。
与动量定理求出的柱体受力 X,Y的表达式相比得,
若已知复速度, 则
CSM = r u ρ δQ?? ?
? ?00CC- M + ( x p d x + y p d y ) = ρ v x (u d y - v d x ) - ρ u y (u d y - v d x )??
4.9 布拉修斯公式
动量矩定理
对我们研究的控制体, 只需要考虑 z方向分量方程,
pdy
pdx
ρvδQ,ρuδQ
方程左边第一项是柱体对流体的反力矩,
第二项是 C0外的流体作用在 C0上的压力对坐标原点 （ 柱体重心 ） 的矩 。
方程右边则是单位时间净流出控制面的流体动量矩, 方括号内两项分别
表示动量 对坐标原点的矩 。 由于没有流体通过柱体
表面 Ci,积分只在 C0上进行 。
X
Y
n
M
iC
n
oC
udy
vdx
? ?221p = c - ρ u -v2
00CCc d x c d y 0????
0
22[ ( ) ( ) 2 ( ) ]
2 CM u v x d x y d y u v x d y y d x
?? ? ? ? ? ??
利用伯努利方程 消去上式内的压强项, 并考虑到
,力矩 M可表示为,
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
00
0
0
22
CC
22
C
22
C
ρρ
zW d z = x + i y u - i v d x + i d y
22
ρ
= u - v x d x - y d y + 2 u v x d y + y d x
2
ρ
+ i u - v x d y + y d x - 2 u v x d x - y d y
2
??
??
??
??
??
?
?
0
2
c
ρM = - R e zW d z
2 ???????
4.9 布拉修斯公式
上式中 Re 表达取复变数的实部 。 M是作用在柱体上的力矩, 逆时针方向
为正； C0为围绕柱体的任意曲面； W为复速度 。
与由动量矩定理求出的力矩 M的表达式比较可得,
以复速度作如下积分式，
布拉修斯合力矩公式
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
如 F(Z) 在环形域 处处解析, 该环形域中心在点, 那么 F(z)可用
级数表示为
上述级数称罗伦级数 。
10r < r < r 0z
? ? ? ?F ( ),,,,,,221 0 1 0 2 02 00
bbz + + a + a ( z - z ) + a ( z - z )
z - zz - z? ? ?
罗伦级数
如 F(z)在曲线 C内的区域中除有限个奇点 外解析, 则
式中 是 F(z) 在点 的留数, 是 F(z) 在点 的留数, 等等 。
0
1zz?
1 2 3 nz,z,z,...z
()1 2 nC F ( z) d z = 2 π i R + R +,.,+ R?
1z 2z2
R
1R
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
留数
一个函数在 点的留数就是该函数对于 的罗伦级数
0z 0z
项的系数 。
留数定理
0
2
C
ρX - i Y = i W δz
2 ?
W ( )
W ( )
2
2
2 2 2 4 2 2
22
2 4 3 2 2
ai Γ
z = U - +
z πz
U a U a iU Γ iU Γ a Γ
z = U - + + - -
zz π z π z π z
?? ?
???
???
?
?
iU??
ρ iU ΓX - i Y = i 2 π i = -i ρU
2 π
?? ???
??
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
作用在圆柱上的力
函数 W2 在 Co 内 的奇点只有一个,z = 0点,即点涡和偶极子的所在点。
在 z＝ 0点的留数为,
布拉修斯公式,
定常均匀来流绕流圆柱, 圆柱半径为 a,来流速度为 U,绕圆柱环量为 Γ
（ 顺时针 ）, 则
由上式可见在 x 方向的阻力为零, 升力等于环量 Γ与来流速
度 U 和流体密度 ρ 的乘积,
Y=ρUΓ
上式为正值, 即负方向的环量产生向上的升力 。 该公式称
为库塔－儒科夫斯基公式 。
显见 Γ＝ 0 时 Y＝ 0,无环量绕流无升力 。
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
作用在圆柱上的力
函数 在 Co 内 的奇点只有 点, 该点留数为 。
0
2R e
2 CM z W d z
? ???? ??
???
2 2 2 4 2 222
3 2 2
2
4
U a U a i U i U az W U z
z z z z? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
2 zW 0?z
2
222
42 ???? aU
2
22
2Re 2 2 024M i U a
? ?
?
???? ?? ? ? ? ?????
????
作用在圆柱上的力矩
布拉修斯合力矩公式，
没有力矩作用在圆柱上
