注意：当 平面圆半径为 时,变换为 平面一椭圆。
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
? ca? z
实轴上的一段线段
z ?
??
?? c o s22 ccececz ii ????? ?
? ?? ice?平面
平面
茹柯夫斯基变换
平板机翼饶流（无环量）
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z
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2
22
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22
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i
i
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F z U c e
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zz
c
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4.15 库塔条件和平板机翼绕流
平面,
平面,
绕流复位势
驻点
? 平面,
z 平面,
?? ice??
2 c o s
0
xc
y
?????
??
?
U
上述平板机翼绕流中, 前驻点位于平
板下表面, 而后驻点则位于平板上表
面 。 在平板的前沿和后沿, 出现了大
于 角的绕流, 由绕角流动一节分析知
,流体绕过平板的前后缘时速度无穷
大, 压强负无穷大, 这在物理上是不
可能的 。
?
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
库塔条件
实际机翼的前沿设计为有限厚度, 具有
一定的曲率, 因此在机翼前沿实际速度
是有限的 。 后沿通常是尖的 。 要回避机
翼尖后沿出现速度无穷大的不实际流动
状况, 可以设想围绕机翼有一顺时针方
向旋转的环量, 环量大小正好把后驻点
移至后沿, 与尖角点重合 。
库塔条件：具有尖后沿的机翼在小攻角来流绕流条件下, 流体会自动调整
使后驻点与后缘尖角点重合 。
U
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
起动涡
设机翼突然起动速度很快达
到 （ 从机翼上看, 相当于
突然有无穷远来流绕过机翼
）, 此时是无环量绕流 （ 见
图 A）, 在机翼的后沿点 A流
动速度很大, 压强则很低 。
显然当机翼下面的流体绕过 A
点流向后驻点 B时, 流动是由
低压区流向高压区, 因此流
体将与物面分离, 产生如图 B
所示的逆时针方向旋转的涡
。 该涡是不稳定的, 旋涡将
在尾部脱落 （ 如图 B）, 随流
体一起向下游运动 。 称流向
下游的涡为起动涡 。
A
B
图 B
图 A
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
附着涡
设想在流场中作足够大的封闭流体线，包围机翼和剥落的旋涡。由开
尔文定理，在启动前，此流体线上环量为零，则此流体线上的环量将
始终保持为零。当有逆时针方向旋转的涡剥落时，在机翼上必然同时
产生一个强度相等方向相反的涡，使机翼成为有负环量的无旋流动。
正是由于这个原因，后驻点 B将向后缘点移动。在 B点达到后缘点 A前，
上述过程将继续进行，即不断有反时针旋涡流向下游，绕机翼的涡强
度不断增大，直至后驻点移到后缘点为止，这时上下两股流体在机翼
后缘汇合。称附着在机翼上的涡为附着涡。
?
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图 C
z
?
0??
U ?
?
? ? cieceUzF ii ???? ?? ln22 ?????????? ?? ?
? ? 22 1() 2iiciW U e e??? ? ? ?? ?? ? ?
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
复速度，
速度为, 攻角为 的均匀来流
绕流圆柱, 且围绕圆柱有强度为
的顺时针方向旋转的环量时绕
流复位势为,
当 平面内平板绕流的后驻点与
平板后缘角点重合时, 则 平面
圆柱绕流的后驻点则应在圆柱后
缘点, 即 的点 。
绕机翼环量的确定
? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
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2 s in
2
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iii i i i
ii
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?? ice?圆柱表面
驻点
?? s in4 Uc??
于是复位势，
( =0 )?在点
?
2 sin
2
2 sin 0 = 4 sin
2
U
c
U c U
c
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?
?
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?
?
?
?
? ? ? ? ?
当来流攻角为 时后沿点速度，
设顺时针方向环量,在后沿点引起速度，
要后沿点速度等于零则
?
U
将 代入上述圆柱有环量绕流复势可得当后驻点在
平板后沿角点时的复位势,
22()
22
zz c? ? ? ?
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2
22
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22
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22
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1
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F z U c e
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c
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??????
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4.15 库塔条件和平板机翼绕流
z 平面饶流平板的复位势
平板绕流升力
24 s i nY U U c? ? ? ?? ? ?
2
2 s i n1
2
l
Yc
UL
??
?
??
cL 4? ?? ?sin
??2?lc
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
上式与实验测量结果吻合, 说明库塔条件是正确的 。
上式中, 为平板机翼弦长 。 在小攻角条件下,
升力系数,
由库塔 — 茹柯夫斯基定理,
注意, 沿 方向力是负力, 即不是阻力, 而是, 引力,, 该力推动平
板逆向前进 。 这是由平板前缘速度无穷大, 压力为负无穷大造成的
。
22
2
4 s i n
4 s i n c o s
x
y
Y U c
Y U c
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2
2 2
y
x
c
c
Y
x
yx升力 是指垂直于来流方向的力, 沿 方向 （ 平板方向 ） 和 方向
的力则分别为,
zz0?m 1???
?
当 时, 平面翼型将退化为实轴上的一条线段, 因此当 时,
平面将是一个很薄的翼型, 推论可知, 控制着翼型的厚度 。
?
z
c???c???
经过茹柯夫斯基变换得到的 平面的翼型将是前沿圆滑, 后沿为尖角, 且
关于实轴对称, 因为 平面的圆通过 点, 而 点则位于圆内
,且圆对于实轴对称 。
a m??? ? ?????? 1cmca? 平面圆半径为, 圆心在点, 圆半径
? z平面偏心圆变换为 平面内的对称翼型
4,16 对称茹柯夫斯基翼型
z
t
l
?
c
?c?
a R
m
?
?
?
以上公式是在假设,忽略 的 2阶以上无穷小项时得到的。具
体推导过程见本节附录。
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t ?4
4
0.77
33
1 0.77
4
l
c
tt
ll
lt
a
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????
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23, 8 5 ( 1 2 ) 1 ( 2 )y x xt l l? ? ? ?
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
翼型表面方程,
翼型的特征几何尺寸厚度, 弦长 l,与 平面相关几何尺寸的关系如下,
几何尺寸的相互关系
z
t
l
?
c
?c?
a R
m
?
?
?
满足库塔条件的速度环量
?? s in4 Ua??
?
?????? ?? ltla 77.014
?? s i n77.01 ?????? ???? ltUl
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
上式中 是均匀来流的攻角
使翼型后沿成为后驻点所需的顺时针方向的环量值,
z
t
l
?
U
???? s in77.012 ?????? ???? ltlUUY
2
2 1 0.77 si n1
2
l
Ytc
lUl ???
??? ? ???
??
0?t
2 s inlc ???
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
当翼型过厚时, 气流会在翼型表面发生脱体, 形成低压的尾涡区, 反而
使升力下降 。 攻角过大时, 同样由于流体脱体而使升力徒然下降, 阻力
急剧增高, 称为失速 。
由上式可以看出, 在薄翼, 小攻角条件下, 升力与翼型厚度和来流对翼
型的攻角成正比, 这在一定范围内和实验结果相符合 。
升力
如 则上式蜕变成为平板绕流公式 。
上文的圆柱绕流的计算式中圆心总是在坐
标原点, 而本节中 平面圆心在 而
不是, 圆外一点相对于原点坐标
为, 而相对于圆心的置则为,
因此复位势计算式中应以 代替 。?
m???
0??
?
m??
m??
?
? ? ? ? ?????? ????????? ???? ? a miemaemUF ii ????? ?? ln22
?????? ?? ltla 77.014 33tm?
22()22zz c? ? ? ?
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
以 代入可得到 z 平面的相应复位势 。
复位势
式中
?
m?????
?? ?
m
? ?
4 0.77
33
41
3 3 3 3
t t m
l l c
ctmt
l
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附录
Ra,
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cR?? 02
2
2
2
2 ???? ?
c
m
R
m
1 2
2( 1 2 c o s ) [ 1 c o s ( ) ]mmc m R R ORR? ? ?? ? ? ? ? ?
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
对 和实轴组成的三角形应用余弦定理,
? cosR???平面圆表面一点, ?
c
?c?
a R
m
?
?
?
? ?1 c o sc R c? ? ?? ? ?
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2
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1 1 c o s
1 1 c o s 1 1 c o s
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i
ii
c c ez c e
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2 c os
2 1 c os sin
xc
yc
?
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????
????
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
? ?2?O舍去高阶无穷小项,
将上式代入茹柯夫斯基变换式,
? ?2?O舍去高阶无穷小项,
2[ 1 c os ( ) ]mc m R OR ??? ? ? ?
0 s in 0 0,2dx xcd ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
cl 4??
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
l翼型弦长
翼型厚度 t
,是为翼型后沿最小厚度；
,是为翼型最厚处 y 坐标；
,相对厚度 。
? ?2 240 sin 1 c o s c o s 0 c o s 2 c o s 0,,33dyd ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 0y? ? ? ?
2 4 3 3,
3 3 2yc
????? ? ? ?
?ct 33? ?433?lt
? ?
2 c os
2 1 c os sin
xc
yc
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? ? ?
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????
翼型表面方程
yx,
2
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?
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??
?
? ???
c
x
c
xcy ?
4,33
lctc ???
2
212185.3 ????????????? ??? lxlxty
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
考虑到, 上式可化为,
从 表达式中消去 ν,
设 平面实轴上部圆弧上的一点 映射为 平面实轴以上半平面内的点, 则
与 连线夹角应为, 为常数, 因此 平面上部该段圆弧变换
为 平面上的一段圆弧 。
设 平面实轴下部圆弧上的一点映射为 平面实轴以下半平面内的 点, 则该
点与 连线夹角应为, 为常数, 可见 平面下部此段圆弧变
换为 平面上的同一段圆弧 。
4.17 圆弧翼型
平面偏心圆变换为 平面圆弧翼型z?
?
? zz
z
c2? 222??? ? ?
z
z
c2? ?
122??? ? ?
? z?
z
cz 2?? c???
c?
?
c2? ?z
z由茹柯夫斯基变换性质知, 平面 点将分别对应于 平面的,
且 平面上一点与 点连线的夹角是 平面上相应点与 点连线夹角的两
倍 。
1?
2?
cc?
m
2?
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1?
2? ??
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a
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222? ? ???
122? ? ???
z
l
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ζ 平面圆心在 ζ=im,
cl 4?
2 tg 2 h c m???
?????? ????
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?? cmmccm cm
cm
c
cm
m
ccc 22
2222
c o ss in2
2
2s in
2
???
4.17 圆弧翼型
特征尺寸
圆弧机翼弦长,
圆弧机翼弯度,
m h平面圆的偏心距 控制着圆弧机翼的弯度 。
圆弧半径,
1?
2?
cc?
m
2?
?
1?
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2?
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2
12
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2
2
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2
2
2
2 ?
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c
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m
cc
c
m
m
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2
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2
2
22
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m
cc
m
cyx
2,4 hmlc ?? ??
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???
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? ????
?
???
?
? ??
2
22222
16148 h
ll
h
lyx
圆弧圆心坐标,
圆弧方程,
化简并舍去高阶无穷小项,
代入
2c2c?
2?
2? ?? 2? ??
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h
1?
2?
cc?
m
2?
?
1?
2? ??
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22,mtg a m c cc??? ? ? ? ?
?????? ??? cmUc ?? s in4
4.17 圆弧翼型
?
?
? ???? ?? s i n2 Uu z
?
c???
?
圆柱的无环量绕流, 如果来流的攻角为, 则 平面驻点应在 A点, B点
速度,,方向沿逆时针方向 。 如果让 平面圆弧翼型的
后沿点成为驻点, 则 平面相应驻点应移至 B点, 即 点, 于是顺
时针方向旋转的环量 可确定为下：
速度环量
A
BU ?
?
?
升力
?????? ???????? ???? l hcUcmcUUY 2s in4s in4 22 ???????
?
?
?
?
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l
h
LU
Yc
l
2s i n2
2
1 2
??
?
4.17 圆弧翼型
0?? 0?h
?? sin2?lc
由上式可见, 机翼弯度的影响是增加升力 。 注意, 在有弯度的机翼绕流
中, 即使攻角, 仍有升力存在 。 当 时上式蜕变为平板绕流
公式 。
平面圆周上一点相对于原点坐标为, 而相对于圆心的位置为
,以 代替 代入圆柱绕流复位势表达式即得 Z 平面
复位势,
以
代入上式即得到 平面绕流圆弧翼型的复位势 。
复位势
? ? ? ? ?????? ????????? ???? ? a imieimaeimUF ii ????? ?? ln22
4.17 圆弧翼型
2
2 2,,,s in
2 2 2 4
z z h l hc m a c U l
l? ? ?
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? ? ? ?
z
?
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?
?
im?????
m
??
4.18 茹柯夫斯基翼形
平面偏心圆圆心在第二象限, 偏心距为 m,与 x 轴夹角为 δ,由于存在
负实轴方向的位移 m cosδ和正虚轴方向的位移 m sinδ,可以想到 z 平面机
翼应既有厚度, 又有弯度, 为使翼形后沿为角点, 偏心圆应通过 ＝ c 点 。
Z 平面机翼的特征尺寸有弦长 l,最大厚度 t,最大弯度 h。
?
?
? 平面偏心圆变换为 z 平面茹柯夫斯基翼形
h
t
l
?
a
?
m cc?
Z 平面翼型中心线是中心在 y 轴的一段圆弧, 上下表面可通过在圆弧方程
上加减厚度影响而得出,
22 2 2
2
2
l l l x 2 xy = 1 + - x - 0, 3 8 5 t 1 - 2 1 -
4 1 6 h 8 h l l
?? ? ? ? ???? ? ? ? ?
? ? ? ???
翼型方程
4.18 茹柯夫斯基翼形
23, 8 5 (1 2 ) 1 ( 2 )y x xt l l? ? ? ?
???????? ?????????? ?? 2
22222
16148 h
ll
h
lyx圆弧翼型
对称翼型
t0.77l
2hα+
l
l
t 2 hc = 2 π 1 + 0,7 7 sin α +
ll
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
4.18 茹柯夫斯基翼形
升力
对称茹柯夫斯基翼型的升力系数相对于平板翼形升力系数增
加了, 圆弧翼型的升力系数与平板翼型升力系数相
比相当于把攻角 α增加到, 综合两者影响得茹柯夫
斯基翼型升力系数,
22 s i n
l
hc l????????
??
2 1 0, 7 7 s i nl tc l??????????
圆弧翼型
对称翼型
4.18 茹柯夫斯基翼形
复位势
? ?F l n ( )2 i α i δi δ -i α i δa e iΓ ζ - m e( ζ) = U ζ - m e e + +ζ - m e 2 π a??????
如图 m cosδ 相当于对称翼形变换中负实轴方向的位移 m,m sinδ 相当于圆弧
翼形变换中正虚轴方向的位移 m, 于是
c o s,sin,tc h l l tcm δ = - 0,7 7 m δ = c =,a = + 0,7 7l 2 4 4 l
综合考虑弯度和厚度影响, 速度环量
s i nt 2 hΓ = πU l 1 + 0.77 α +ll? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
将以上等式代入 平面复位势表达式即可得出 z
平面复位势 。
以上推导是在假定翼型的厚度和弯度都很小的条件
下进行的 。
?
平面内偏心圆上一点相对与原点的坐标为, 而相对于圆心的位置则
为 。 以 代替 代入圆柱绕流复位势表达式得,?
?
i δζ-me
?
i δζ-me
?
?
m
cc?
?
ime ??????
??
P
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
? ca? z
实轴上的一段线段
z ?
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?? c o s22 ccececz ii ????? ?
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平面
茹柯夫斯基变换
平板机翼饶流（无环量）
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22
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4.15 库塔条件和平板机翼绕流
平面,
平面,
绕流复位势
驻点
? 平面,
z 平面,
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上述平板机翼绕流中, 前驻点位于平
板下表面, 而后驻点则位于平板上表
面 。 在平板的前沿和后沿, 出现了大
于 角的绕流, 由绕角流动一节分析知
,流体绕过平板的前后缘时速度无穷
大, 压强负无穷大, 这在物理上是不
可能的 。
?
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
库塔条件
实际机翼的前沿设计为有限厚度, 具有
一定的曲率, 因此在机翼前沿实际速度
是有限的 。 后沿通常是尖的 。 要回避机
翼尖后沿出现速度无穷大的不实际流动
状况, 可以设想围绕机翼有一顺时针方
向旋转的环量, 环量大小正好把后驻点
移至后沿, 与尖角点重合 。
库塔条件：具有尖后沿的机翼在小攻角来流绕流条件下, 流体会自动调整
使后驻点与后缘尖角点重合 。
U
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
起动涡
设机翼突然起动速度很快达
到 （ 从机翼上看, 相当于
突然有无穷远来流绕过机翼
）, 此时是无环量绕流 （ 见
图 A）, 在机翼的后沿点 A流
动速度很大, 压强则很低 。
显然当机翼下面的流体绕过 A
点流向后驻点 B时, 流动是由
低压区流向高压区, 因此流
体将与物面分离, 产生如图 B
所示的逆时针方向旋转的涡
。 该涡是不稳定的, 旋涡将
在尾部脱落 （ 如图 B）, 随流
体一起向下游运动 。 称流向
下游的涡为起动涡 。
A
B
图 B
图 A
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
附着涡
设想在流场中作足够大的封闭流体线，包围机翼和剥落的旋涡。由开
尔文定理，在启动前，此流体线上环量为零，则此流体线上的环量将
始终保持为零。当有逆时针方向旋转的涡剥落时，在机翼上必然同时
产生一个强度相等方向相反的涡，使机翼成为有负环量的无旋流动。
正是由于这个原因，后驻点 B将向后缘点移动。在 B点达到后缘点 A前，
上述过程将继续进行，即不断有反时针旋涡流向下游，绕机翼的涡强
度不断增大，直至后驻点移到后缘点为止，这时上下两股流体在机翼
后缘汇合。称附着在机翼上的涡为附着涡。
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图 C
z
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4.15 库塔条件和平板机翼绕流
复速度，
速度为, 攻角为 的均匀来流
绕流圆柱, 且围绕圆柱有强度为
的顺时针方向旋转的环量时绕
流复位势为,
当 平面内平板绕流的后驻点与
平板后缘角点重合时, 则 平面
圆柱绕流的后驻点则应在圆柱后
缘点, 即 的点 。
绕机翼环量的确定
? ? ? ?
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驻点
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于是复位势，
( =0 )?在点
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2 sin
2
2 sin 0 = 4 sin
2
U
c
U c U
c
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
当来流攻角为 时后沿点速度，
设顺时针方向环量,在后沿点引起速度，
要后沿点速度等于零则
?
U
将 代入上述圆柱有环量绕流复势可得当后驻点在
平板后沿角点时的复位势,
22()
22
zz c? ? ? ?
? ?
2
22
22
22
{ ( ) }
22
()
22
1
2 s in l n ( )
22
i
iz z c e
F z U c e
zz
c
zz
i U c c
c
?
?
?
?
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? ? ? ? ???
?? ??
????
??????
????
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
z 平面饶流平板的复位势
平板绕流升力
24 s i nY U U c? ? ? ?? ? ?
2
2 s i n1
2
l
Yc
UL
??
?
??
cL 4? ?? ?sin
??2?lc
4.15 库塔条件和平板机翼绕流
上式与实验测量结果吻合, 说明库塔条件是正确的 。
上式中, 为平板机翼弦长 。 在小攻角条件下,
升力系数,
由库塔 — 茹柯夫斯基定理,
注意, 沿 方向力是负力, 即不是阻力, 而是, 引力,, 该力推动平
板逆向前进 。 这是由平板前缘速度无穷大, 压力为负无穷大造成的
。
22
2
4 s i n
4 s i n c o s
x
y
Y U c
Y U c
? ? ?
? ? ? ?
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?
??
???
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??
??
??
2
2 2
y
x
c
c
Y
x
yx升力 是指垂直于来流方向的力, 沿 方向 （ 平板方向 ） 和 方向
的力则分别为,
zz0?m 1???
?
当 时, 平面翼型将退化为实轴上的一条线段, 因此当 时,
平面将是一个很薄的翼型, 推论可知, 控制着翼型的厚度 。
?
z
c???c???
经过茹柯夫斯基变换得到的 平面的翼型将是前沿圆滑, 后沿为尖角, 且
关于实轴对称, 因为 平面的圆通过 点, 而 点则位于圆内
,且圆对于实轴对称 。
a m??? ? ?????? 1cmca? 平面圆半径为, 圆心在点, 圆半径
? z平面偏心圆变换为 平面内的对称翼型
4,16 对称茹柯夫斯基翼型
z
t
l
?
c
?c?
a R
m
?
?
?
以上公式是在假设,忽略 的 2阶以上无穷小项时得到的。具
体推导过程见本节附录。
1??? ?
t ?4
4
0.77
33
1 0.77
4
l
c
tt
ll
lt
a
l
?
?
??
??
????
??
23, 8 5 ( 1 2 ) 1 ( 2 )y x xt l l? ? ? ?
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
翼型表面方程,
翼型的特征几何尺寸厚度, 弦长 l,与 平面相关几何尺寸的关系如下,
几何尺寸的相互关系
z
t
l
?
c
?c?
a R
m
?
?
?
满足库塔条件的速度环量
?? s in4 Ua??
?
?????? ?? ltla 77.014
?? s i n77.01 ?????? ???? ltUl
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
上式中 是均匀来流的攻角
使翼型后沿成为后驻点所需的顺时针方向的环量值,
z
t
l
?
U
???? s in77.012 ?????? ???? ltlUUY
2
2 1 0.77 si n1
2
l
Ytc
lUl ???
??? ? ???
??
0?t
2 s inlc ???
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
当翼型过厚时, 气流会在翼型表面发生脱体, 形成低压的尾涡区, 反而
使升力下降 。 攻角过大时, 同样由于流体脱体而使升力徒然下降, 阻力
急剧增高, 称为失速 。
由上式可以看出, 在薄翼, 小攻角条件下, 升力与翼型厚度和来流对翼
型的攻角成正比, 这在一定范围内和实验结果相符合 。
升力
如 则上式蜕变成为平板绕流公式 。
上文的圆柱绕流的计算式中圆心总是在坐
标原点, 而本节中 平面圆心在 而
不是, 圆外一点相对于原点坐标
为, 而相对于圆心的置则为,
因此复位势计算式中应以 代替 。?
m???
0??
?
m??
m??
?
? ? ? ? ?????? ????????? ???? ? a miemaemUF ii ????? ?? ln22
?????? ?? ltla 77.014 33tm?
22()22zz c? ? ? ?
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
以 代入可得到 z 平面的相应复位势 。
复位势
式中
?
m?????
?? ?
m
? ?
4 0.77
33
41
3 3 3 3
t t m
l l c
ctmt
l
? ? ? ?
??
附录
Ra,
? ?2 2 2 2 c o sa R m R m ??? ? ? ?
? ? 22 2 2( 1 2 c o s )mmc m R RR ?? ? ? ?
cR?? 02
2
2
2
2 ???? ?
c
m
R
m
1 2
2( 1 2 c o s ) [ 1 c o s ( ) ]mmc m R R ORR? ? ?? ? ? ? ? ?
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
对 和实轴组成的三角形应用余弦定理,
? cosR???平面圆表面一点, ?
c
?c?
a R
m
?
?
?
? ?1 c o sc R c? ? ?? ? ?
? ?1 1 c osRc ??? ? ?????
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
2 2
2
1 1 c o s
1 1 c o s
1 1 c o s 1 1 c o s
i
i
ii
c c ez c e
c
c e c O e
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?
?
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??????
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? ?2 c os 2 1 c os si nz c i? ? ? ?? ? ?????
? ?
2 c os
2 1 c os sin
xc
yc
?
? ? ?
????
????
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
? ?2?O舍去高阶无穷小项,
将上式代入茹柯夫斯基变换式,
? ?2?O舍去高阶无穷小项,
2[ 1 c os ( ) ]mc m R OR ??? ? ? ?
0 s in 0 0,2dx xcd ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
cl 4??
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
l翼型弦长
翼型厚度 t
,是为翼型后沿最小厚度；
,是为翼型最厚处 y 坐标；
,相对厚度 。
? ?2 240 sin 1 c o s c o s 0 c o s 2 c o s 0,,33dyd ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 0y? ? ? ?
2 4 3 3,
3 3 2yc
????? ? ? ?
?ct 33? ?433?lt
? ?
2 c os
2 1 c os sin
xc
yc
?
? ? ?
????
????
翼型表面方程
yx,
2
21212 ??
??
?
???
?
??
?
? ???
c
x
c
xcy ?
4,33
lctc ???
2
212185.3 ????????????? ??? lxlxty
4.16 对称茹柯夫斯基翼型
考虑到, 上式可化为,
从 表达式中消去 ν,
设 平面实轴上部圆弧上的一点 映射为 平面实轴以上半平面内的点, 则
与 连线夹角应为, 为常数, 因此 平面上部该段圆弧变换
为 平面上的一段圆弧 。
设 平面实轴下部圆弧上的一点映射为 平面实轴以下半平面内的 点, 则该
点与 连线夹角应为, 为常数, 可见 平面下部此段圆弧变
换为 平面上的同一段圆弧 。
4.17 圆弧翼型
平面偏心圆变换为 平面圆弧翼型z?
?
? zz
z
c2? 222??? ? ?
z
z
c2? ?
122??? ? ?
? z?
z
cz 2?? c???
c?
?
c2? ?z
z由茹柯夫斯基变换性质知, 平面 点将分别对应于 平面的,
且 平面上一点与 点连线的夹角是 平面上相应点与 点连线夹角的两
倍 。
1?
2?
cc?
m
2?
?
1?
2? ??
?
a
2c2c?
222? ? ???
122? ? ???
z
l
h
ζ 平面圆心在 ζ=im,
cl 4?
2 tg 2 h c m???
?????? ????
??
?? cmmccm cm
cm
c
cm
m
ccc 22
2222
c o ss in2
2
2s in
2
???
4.17 圆弧翼型
特征尺寸
圆弧机翼弦长,
圆弧机翼弯度,
m h平面圆的偏心距 控制着圆弧机翼的弯度 。
圆弧半径,
1?
2?
cc?
m
2?
?
1?
2? ??
?
a
2c2c?
2?
2? ?? 2? ??
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c
m
m
cc
c
m
c
mc
tg
tg
c
tg
cy
2
12
1
2
2
2
2 2
2
2 ?
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2
2
2
2 ?
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??
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? ???
?
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?
? ?
?
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?
? ???
c
m
m
cc
c
m
m
ccyx
2
2
2
2
22
2 4 ??
?
?
???
? ??
???
?
???
? ??
m
cc
m
cyx
2,4 hmlc ?? ??
?
???
?
? ????
?
???
?
? ??
2
22222
16148 h
ll
h
lyx
圆弧圆心坐标,
圆弧方程,
化简并舍去高阶无穷小项,
代入
2c2c?
2?
2? ?? 2? ??
?
h
1?
2?
cc?
m
2?
?
1?
2? ??
?
a
? ???? ??? s i n22 Ua
? ???? ??? s i n4 Ua
22,mtg a m c cc??? ? ? ? ?
?????? ??? cmUc ?? s in4
4.17 圆弧翼型
?
?
? ???? ?? s i n2 Uu z
?
c???
?
圆柱的无环量绕流, 如果来流的攻角为, 则 平面驻点应在 A点, B点
速度,,方向沿逆时针方向 。 如果让 平面圆弧翼型的
后沿点成为驻点, 则 平面相应驻点应移至 B点, 即 点, 于是顺
时针方向旋转的环量 可确定为下：
速度环量
A
BU ?
?
?
升力
?????? ???????? ???? l hcUcmcUUY 2s in4s in4 22 ???????
?
?
?
?
?
? ???
l
h
LU
Yc
l
2s i n2
2
1 2
??
?
4.17 圆弧翼型
0?? 0?h
?? sin2?lc
由上式可见, 机翼弯度的影响是增加升力 。 注意, 在有弯度的机翼绕流
中, 即使攻角, 仍有升力存在 。 当 时上式蜕变为平板绕流
公式 。
平面圆周上一点相对于原点坐标为, 而相对于圆心的位置为
,以 代替 代入圆柱绕流复位势表达式即得 Z 平面
复位势,
以
代入上式即得到 平面绕流圆弧翼型的复位势 。
复位势
? ? ? ? ?????? ????????? ???? ? a imieimaeimUF ii ????? ?? ln22
4.17 圆弧翼型
2
2 2,,,s in
2 2 2 4
z z h l hc m a c U l
l? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
z
?
?im??im??
?
?
im?????
m
??
4.18 茹柯夫斯基翼形
平面偏心圆圆心在第二象限, 偏心距为 m,与 x 轴夹角为 δ,由于存在
负实轴方向的位移 m cosδ和正虚轴方向的位移 m sinδ,可以想到 z 平面机
翼应既有厚度, 又有弯度, 为使翼形后沿为角点, 偏心圆应通过 ＝ c 点 。
Z 平面机翼的特征尺寸有弦长 l,最大厚度 t,最大弯度 h。
?
?
? 平面偏心圆变换为 z 平面茹柯夫斯基翼形
h
t
l
?
a
?
m cc?
Z 平面翼型中心线是中心在 y 轴的一段圆弧, 上下表面可通过在圆弧方程
上加减厚度影响而得出,
22 2 2
2
2
l l l x 2 xy = 1 + - x - 0, 3 8 5 t 1 - 2 1 -
4 1 6 h 8 h l l
?? ? ? ? ???? ? ? ? ?
? ? ? ???
翼型方程
4.18 茹柯夫斯基翼形
23, 8 5 (1 2 ) 1 ( 2 )y x xt l l? ? ? ?
???????? ?????????? ?? 2
22222
16148 h
ll
h
lyx圆弧翼型
对称翼型
t0.77l
2hα+
l
l
t 2 hc = 2 π 1 + 0,7 7 sin α +
ll
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
4.18 茹柯夫斯基翼形
升力
对称茹柯夫斯基翼型的升力系数相对于平板翼形升力系数增
加了, 圆弧翼型的升力系数与平板翼型升力系数相
比相当于把攻角 α增加到, 综合两者影响得茹柯夫
斯基翼型升力系数,
22 s i n
l
hc l????????
??
2 1 0, 7 7 s i nl tc l??????????
圆弧翼型
对称翼型
4.18 茹柯夫斯基翼形
复位势
? ?F l n ( )2 i α i δi δ -i α i δa e iΓ ζ - m e( ζ) = U ζ - m e e + +ζ - m e 2 π a??????
如图 m cosδ 相当于对称翼形变换中负实轴方向的位移 m,m sinδ 相当于圆弧
翼形变换中正虚轴方向的位移 m, 于是
c o s,sin,tc h l l tcm δ = - 0,7 7 m δ = c =,a = + 0,7 7l 2 4 4 l
综合考虑弯度和厚度影响, 速度环量
s i nt 2 hΓ = πU l 1 + 0.77 α +ll? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
将以上等式代入 平面复位势表达式即可得出 z
平面复位势 。
以上推导是在假定翼型的厚度和弯度都很小的条件
下进行的 。
?
平面内偏心圆上一点相对与原点的坐标为, 而相对于圆心的位置则
为 。 以 代替 代入圆柱绕流复位势表达式得,?
?
i δζ-me
?
i δζ-me
?
?
m
cc?
?
ime ??????
??
P
