4.11 镜像法
如欲求圆柱外一位于 点, 强度为 的点涡的复位势, 可在圆柱内 点
添加一强度为 的点涡, 在原点添加一强度为 的点涡, 三个奇点在圆柱
外共同产生的复位势即所求的复位势, 且保证圆柱面本身是一条流线 。
0z
?
2
0
a z
??
?
0z
2
0
2
0 az
az ? 0z
0
2
za
镜像法
当流体外部流场中存在奇点 （ 如点源, 点涡
等 ） 时, 常用镜像法求得满足边界条件的复
位势, 其作法是在物体内部适当位置也布置
奇点, 称为外部奇点的镜像, 使得由奇点及
其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一
条流线
请注意圆内 点即对于圆外一点 的所谓镜像点，它们的模的乘积等于
圆半径的平方,； 它们的圆心处于同一条直线上，即 和
有相同的幅角。
2
0
a z
2
0
a
z
?
?
?
0z
??
?
?
a
假设奇点全在 的上半平面内, 当无物体边界时, 其复速度势
为, 当实轴为边界时, 这些奇点在上半平面产生的复位势为
0?y
??zf
? ? ? ? ? ?zfzfzF ??
4.11 镜像法
以实轴为边界
式中 表示除 外其余复常数均取
其共轭值 。
如图求实轴上点涡 的复位势,
点涡复位势
??zf
?
? ? ? ?0ln2if z z z??? ? ?
? ? ? ?0ln2if z z z????
z
? ? ? ? ? ? ? ?? ?000
0
l n l n l n2 2 2 zzi i iF z z z z z zz? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
??
?
0z
0z
??
事实上在实轴上，, （ 即 的复共轭
函数，表示对 中所有复数取共轭 ),实数，
即实轴是一条 的流线，并且在 的区域内并未增加新
的奇点，即在上半平面内 的奇点和 的奇点完全一样，是除
原奇点外的解析函数。
oz
zz? ? ? ()f z f z? ()fz ??zf
??zf ? ? ? ? ? ???? zfzfzF
0?? 0?y
??zF ??zf
4.11 镜像法
这表明以实轴为边界时，一个点涡
的复位势等于它本身的复位势与其
以实轴为镜面的镜像点 处一个
反方向旋转的点涡的复位势的迭加。
??
?
0z
0z
??
事实上在虚轴上,, 实数, 即
虚轴是 的流线, 并且在 的区域内并不增加新的奇点 。
设奇点全在 的平面内, 当无物体边界时, 其复位势为, 当虚
轴为边界时, 这些奇点在右半平面内产生的复位势为
0?x ??zf
? ? ? ? ? ?zfzfzF ???
4.11 镜像法
以虚轴为边界
zz?? ? ? ()f z f z?? ( ) ( ) ( )F z f z f z? ? ?
0?? 0?x
复位势可以增加或减少一个常数, 而不影响流体运动, c可以略去 。 上式
表明当以虚轴为边界时, 一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以
虚轴为镜面的镜像点 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加 。
?
0z?
?? ??
0z
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
00
00
0
0
l n l n
22
l n l n
22
ln
2
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F z z z z z
ii
z z z z c
zzi
c
zz
??
??
?
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
?
oz?
以点涡为例，由上式
在圆上 所以 实数,
即圆周是一条流线 。 另一方面, 奇点位置, 全在圆外, 其镜像点位
置, 全在圆内, 圆外未增加奇点 。
设在无界流体中的复位势为, 其所有奇点都在圆 外, 当在流场
中有一个圆心在原点, 半径为 的圆柱时, 满足圆柱面是条流线的复位势为
??zf az ?
a
2( ) ( ) ( )aF z f z f
z??
222 2,,( ) ( ),aaz z z a z f f z
zz? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? zfzfzF
az ?0
aza ?
0
2
4.11 镜像法
圆定理
? ? f z U z?
z
aU
z
af 22 ???
?
???
?
?
? ? ???????? ?? zazUzF 2
圆柱的无环量绕流
平行流的复位势
圆柱无环量绕流的复速度势
这正是 4.7节所求得到的结果 。
例 1：设在 点有一强度为 的点涡,,, 求存在
半径为 的圆周 时的复位势0zz?
? az ?
0 ? ? ? ?0ln2 f z z zi????a
az?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
22
00
2 2 2
0
00
00
0
2
0
l n l n
22
l n l n l n l n l n
ln
2
l n l n
22
a i i a
F z f z f z z z
zz
a z a a
z z z z z
zz zz
i
F z z z
i a i
z z c
z
??
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? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
?
? ? ? ?
????
? ? ? ???
??
上式中常数可以删去 。 这正
是我们在介绍镜像法时举例
提到的圆外点涡流场的结果 。
4.11 镜像法
解：
2
0
a
z
?
?
?
0z
??
?
?
a
4.12 保角变换
复变函数 把 平面上的区域映射到 平面的
某区域上去 。 如果函数 在 平面处处解析且, 则
的值与增量 的方向无关, 而只是点的函数, 设,
或, 则上式中, 只应是点的函数 。
iyxz ?? ??? i??
??zf z ? ? 0' ?zf dzd?
?? iAedzd ?
id Ae dz?? ? A ?
? ?zf??
dz
保角变换
dz d?? ? ? ???
p p?
c
c?
x
y ?
?
z ?
? ?zf??
4.12 保角变换
由上式可以看出在 平面上一点处具有长度为 的线元, 经
过 变换以后, 在 平面的相应线元 的长度伸长了 倍,
变为, 而且曲线的方位旋转了 角 。 由于 只是 的
函数, 过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角
度, 且旋转方向相同, 于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角
在变换后保持不变, 这种映射称为保角映射 。
z
dz dz
? ?zf?? ? d? A
dzAd ?? ? dzd?
z
dz d?? ? ? ???
p p?
c
c?
x
y ?
?
z ?
02
2
2
2
?? ???? ?? yx
? ? ? ? ? ? ? ?,,,,,x y x y x y? ? ? ?? ? ? ? ?????
4.12 保角变换
拉普拉斯方程
z? ?yx,?已知 在 平面内满足拉氏方程，
? ?yx,?? ?? ?yx,?? ? ? ?zf??上式中, 可以从 得到。
? ?yx,?? ?zf?? ? ? ???,?保角变换 把 变换为 平面中的函数,
2 2 2 2
2 2 2 2,; 0,0x y y x x y x y
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
02
2
2
2
?? ???? ?? ??
? ???,? ?由上述条件可以证明 在 平面内也满足拉氏方程,
（参阅,Fundamental Mechanics of Fluids》,pp.92-97）
? ?? ?zfi ??? ???? 是解析函数, 和 应分别满足柯西 — 黎曼条件
和拉氏方程，
4.12 保角变换
? ?zf??
?
? ???,?
z
? ?yx,? z
?保角变换 把 平面中的拉氏方程转换为 平面中
的拉氏方程，即如果 在 平面内是调和函数，
在 平面内也必然是调和函数。
4.12 保角变换
? ?zf??
? ? ? ? ? ? ? ?Φ x,y + i Ψ x,y = Φ ξ,η + i Ψ ξ,η
? ? ? ? ? ?yxiyxzF,,????
? ? ? ? ? ???????,,iF ???
? ? ? ?? ? ? ?zFzfFF ???
4.12 保角变换
若存在保角变换
复位势
??,?z因为 在 平面和 平面都满足拉氏方程，
?在 平面是复位势
相反也成立 。
z在 平面是复位势
如果 平面内 已知, 则 平面内相应的复位势 可通过
代入变换函数而求得,
? ? ??F z ??zF
若
则
4.12 保角变换
在平面无旋流动理论中应用保角变换的基本思想是把 平
面 （ 物理平面 ） 上比较复杂的外形变换成 平面 （ 映射平
面 ） 上简单的外形, 如圆或无穷长平板, 而这些简单外形
的流动复位势是已知的, 于是就可求得复杂外形流动问题
的复位势 。
?
z
物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换, 而是相互成比
例, 比例系数取决于变换函数 。 经过保角变换复速度的大小, 方
向都改变了 。
? ? ? ? ? ? ? ?d F z d FddW z Wd z d z d d z??? ??? ? ?
4.12 保角变换
复速度
m
?
CC
m u n dl u dy v dx? ? ? ???
CC
u dl u dx v du? ? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
( )
CC
C
W z d z u i v x i d y
u d x v d y i u d y v d x
im
? ? ?
? ? ? ?????
? ? ?
??
?
4.12 保角变换
点源和点汇
设 是封闭曲线 C内所有涡的强
度, 是 C内所有源的强度, 则
C
dl
udy
vdx
? ? ? ? ? ?
zz
zz
C C C
dzi m W z d z W z d W d i m
d ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
????? z zmm??
点涡, 点源经保角变换后强度保持不变 。
设 是 平面和 平面上的相应封闭曲线, 和 分
别是 内一个点涡的强度和一个点源的强度, 则
,zCC? z ? z? zm
zC
4.12 保角变换
? ? ? ?dW z Wdz? ??
（ 为实数 ）2c
4.13 茹柯夫斯基变换
在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同, 速度的大小
和夹角都相等 。
??
2cz ?? ?? ???? z
??
2cz ??
茹柯夫斯基变换
在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换
22
2,1
c d z cz
d? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? ddz0
0??
4.13 茹柯夫斯基变换
奇点
是奇点。该点通常位于物体内部，对研究物体外流动无影响。
2
21
??
c
d
dz ??
c??? 0?
?d
dz
4.13 茹柯夫斯基变换
保角变换失效点
时
c??? ?? 2cz ??称临界点 (critical points),在临界点
变换不保角 。
? ? 22 122 ccccz ?????? ????
? ?212 ccz ??? ??
22
2
z c c
z c c
?
?
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????
2
2
1
2
1
2
1
2
1
???
?
???
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iv
iv
i
i
e
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eR
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? ? ? ?2121 2
2
2
1
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R
R ??
???
?
???
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2
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2
1 ??
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?
???
???
?
?
R
R ? ?
2121 2 vv ??? ??
? z平面上的两条线的夹角在 平面上变换为原夹角的 2倍。
1?
12???
2? 1?
2?
c? c
?
1?
12???
2?
z
1R
2R
2c? 2c
??
2cz ??
4.13 茹柯夫斯基变换
c??? z? 平面通过 点的光滑曲线在 平面变换为尖角
1?
122?????
2?
c? c
?
12 2???? ??
1?
12? ? ???
2?
z
2c? 2c12? ? ?? ??
12
12
0
2
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
12
12
0
22
3 2
22
????
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
2cz ??
圆变线段
ivce??
22
2 c o s
iv
iv
iv iv
ccz c e
ce
c e c e c v
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
4.13 茹柯夫斯基变换
?z z
z
?
2c
在上述变换中，圆变换为线段，圆外区域变换为整个 平面，圆内区域
也变换为整个 平面，这可用圆外点 和圆内点 对应于 平面同
一点来证明，因此上述变换是双值的。实际流动中，圆内区域在物体内
部，上述双值性对研究物体外流场不造成理论上的困难。
? 平面上圆心在原点，半径为 c 的圆变换为 z平面实轴上的割线段。
c???在 变换的保角性被破坏了。
?
cc?
c
z
2c? 2c
椭圆半长轴, 半短轴, 长轴沿 x 轴, 短轴沿 Y 轴 。
?
ivae?? ca?
22
22
( ) c o s ( ) sin
i v i vccz a e e
a
cc
a v i a v
aa
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2
2
( ) c o s
( ) s in
c
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c
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2
2
22
2
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???
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?
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???
?
???
?
?
a
ca
y
a
ca
x
a
ca 2? aca 2?
4.14 椭圆绕流
茹柯夫斯基变换
平面内圆方程，
椭圆变圆
?z
a
2ca
a?
2ca
a? ?
设 平面内均匀来流速度为 U,相对
于椭圆主轴攻角为 。 因为在无穷远
处茹柯夫斯基变换是恒等变换, 可知
平面内无穷远处的相应速度也为 U
,攻角也为 。
?
? ? ? ? 2 2 2 i i i ia a aF f f U e U e U e e? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
4.14 椭圆绕流
在 平面原点放置圆柱, 根据圆周定理可得绕流圆柱复位势,
? iUe???平面均匀来流复势,
z
?
?
?
圆柱绕流复位势
?
?
Z
?
U
U
第一部分为均匀来流复位势；
第二部分为由于椭圆引起的扰动流的复位势, 在物面附近时影响显著,
当 时趋于零 。??z
2
22
22
( )
22
( )
22
c z z
zc
zz
c
??
?
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
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2 2
2
2
2
22
2
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22
22
i
i
i i i
z z U a e
F z U c e
zz
c
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U ze e e c
c
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?
?
??
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?? ??
??
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?? ??
?? ??? ? ? ? ?
?? ??
????
????
4.14 椭圆绕流
z?? z??为满足,, 根号前取, +”
，
椭圆绕流复位势
平面椭圆绕流复位势,? ? 2iiaF U e e????
??
??????
??
两个特例 和 。0??
2???
2
???0??
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2
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0 [ ( ) c o s ( ) s in ]
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2
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c
xa
a
c
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a
?
?
?
? ? ??
?
?
? ? ? ?
??
4.14 椭圆绕流
驻点为
平面椭圆绕流驻点,
平面圆柱绕流驻点
驻点
?
????
?
如欲求圆柱外一位于 点, 强度为 的点涡的复位势, 可在圆柱内 点
添加一强度为 的点涡, 在原点添加一强度为 的点涡, 三个奇点在圆柱
外共同产生的复位势即所求的复位势, 且保证圆柱面本身是一条流线 。
0z
?
2
0
a z
??
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2
0
2
0 az
az ? 0z
0
2
za
镜像法
当流体外部流场中存在奇点 （ 如点源, 点涡
等 ） 时, 常用镜像法求得满足边界条件的复
位势, 其作法是在物体内部适当位置也布置
奇点, 称为外部奇点的镜像, 使得由奇点及
其镜像产生的复速度势满足物体边界总是一
条流线
请注意圆内 点即对于圆外一点 的所谓镜像点，它们的模的乘积等于
圆半径的平方,； 它们的圆心处于同一条直线上，即 和
有相同的幅角。
2
0
a z
2
0
a
z
?
?
?
0z
??
?
?
a
假设奇点全在 的上半平面内, 当无物体边界时, 其复速度势
为, 当实轴为边界时, 这些奇点在上半平面产生的复位势为
0?y
??zf
? ? ? ? ? ?zfzfzF ??
4.11 镜像法
以实轴为边界
式中 表示除 外其余复常数均取
其共轭值 。
如图求实轴上点涡 的复位势,
点涡复位势
??zf
?
? ? ? ?0ln2if z z z??? ? ?
? ? ? ?0ln2if z z z????
z
? ? ? ? ? ? ? ?? ?000
0
l n l n l n2 2 2 zzi i iF z z z z z zz? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
??
?
0z
0z
??
事实上在实轴上，, （ 即 的复共轭
函数，表示对 中所有复数取共轭 ),实数，
即实轴是一条 的流线，并且在 的区域内并未增加新
的奇点，即在上半平面内 的奇点和 的奇点完全一样，是除
原奇点外的解析函数。
oz
zz? ? ? ()f z f z? ()fz ??zf
??zf ? ? ? ? ? ???? zfzfzF
0?? 0?y
??zF ??zf
4.11 镜像法
这表明以实轴为边界时，一个点涡
的复位势等于它本身的复位势与其
以实轴为镜面的镜像点 处一个
反方向旋转的点涡的复位势的迭加。
??
?
0z
0z
??
事实上在虚轴上,, 实数, 即
虚轴是 的流线, 并且在 的区域内并不增加新的奇点 。
设奇点全在 的平面内, 当无物体边界时, 其复位势为, 当虚
轴为边界时, 这些奇点在右半平面内产生的复位势为
0?x ??zf
? ? ? ? ? ?zfzfzF ???
4.11 镜像法
以虚轴为边界
zz?? ? ? ()f z f z?? ( ) ( ) ( )F z f z f z? ? ?
0?? 0?x
复位势可以增加或减少一个常数, 而不影响流体运动, c可以略去 。 上式
表明当以虚轴为边界时, 一个点涡的复位势等于她本身的复位势与其以
虚轴为镜面的镜像点 处一个反方向旋转的点涡的复位势的迭加 。
?
0z?
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0z
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00
00
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22
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以点涡为例，由上式
在圆上 所以 实数,
即圆周是一条流线 。 另一方面, 奇点位置, 全在圆外, 其镜像点位
置, 全在圆内, 圆外未增加奇点 。
设在无界流体中的复位势为, 其所有奇点都在圆 外, 当在流场
中有一个圆心在原点, 半径为 的圆柱时, 满足圆柱面是条流线的复位势为
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4.11 镜像法
圆定理
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z
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圆柱的无环量绕流
平行流的复位势
圆柱无环量绕流的复速度势
这正是 4.7节所求得到的结果 。
例 1：设在 点有一强度为 的点涡,,, 求存在
半径为 的圆周 时的复位势0zz?
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上式中常数可以删去 。 这正
是我们在介绍镜像法时举例
提到的圆外点涡流场的结果 。
4.11 镜像法
解：
2
0
a
z
?
?
?
0z
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a
4.12 保角变换
复变函数 把 平面上的区域映射到 平面的
某区域上去 。 如果函数 在 平面处处解析且, 则
的值与增量 的方向无关, 而只是点的函数, 设,
或, 则上式中, 只应是点的函数 。
iyxz ?? ??? i??
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保角变换
dz d?? ? ? ???
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4.12 保角变换
由上式可以看出在 平面上一点处具有长度为 的线元, 经
过 变换以后, 在 平面的相应线元 的长度伸长了 倍,
变为, 而且曲线的方位旋转了 角 。 由于 只是 的
函数, 过同一点的所有曲线伸长了同样的倍数和旋转了同样的角
度, 且旋转方向相同, 于是过同一点的任意两条曲线之间的夹角
在变换后保持不变, 这种映射称为保角映射 。
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4.12 保角变换
拉普拉斯方程
z? ?yx,?已知 在 平面内满足拉氏方程，
? ?yx,?? ?? ?yx,?? ? ? ?zf??上式中, 可以从 得到。
? ?yx,?? ?zf?? ? ? ???,?保角变换 把 变换为 平面中的函数,
2 2 2 2
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2
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2
?? ???? ?? ??
? ???,? ?由上述条件可以证明 在 平面内也满足拉氏方程,
（参阅,Fundamental Mechanics of Fluids》,pp.92-97）
? ?? ?zfi ??? ???? 是解析函数, 和 应分别满足柯西 — 黎曼条件
和拉氏方程，
4.12 保角变换
? ?zf??
?
? ???,?
z
? ?yx,? z
?保角变换 把 平面中的拉氏方程转换为 平面中
的拉氏方程，即如果 在 平面内是调和函数，
在 平面内也必然是调和函数。
4.12 保角变换
? ?zf??
? ? ? ? ? ? ? ?Φ x,y + i Ψ x,y = Φ ξ,η + i Ψ ξ,η
? ? ? ? ? ?yxiyxzF,,????
? ? ? ? ? ???????,,iF ???
? ? ? ?? ? ? ?zFzfFF ???
4.12 保角变换
若存在保角变换
复位势
??,?z因为 在 平面和 平面都满足拉氏方程，
?在 平面是复位势
相反也成立 。
z在 平面是复位势
如果 平面内 已知, 则 平面内相应的复位势 可通过
代入变换函数而求得,
? ? ??F z ??zF
若
则
4.12 保角变换
在平面无旋流动理论中应用保角变换的基本思想是把 平
面 （ 物理平面 ） 上比较复杂的外形变换成 平面 （ 映射平
面 ） 上简单的外形, 如圆或无穷长平板, 而这些简单外形
的流动复位势是已知的, 于是就可求得复杂外形流动问题
的复位势 。
?
z
物理平面和映射平面的复速度间不是一对一变换, 而是相互成比
例, 比例系数取决于变换函数 。 经过保角变换复速度的大小, 方
向都改变了 。
? ? ? ? ? ? ? ?d F z d FddW z Wd z d z d d z??? ??? ? ?
4.12 保角变换
复速度
m
?
CC
m u n dl u dy v dx? ? ? ???
CC
u dl u dx v du? ? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
( )
CC
C
W z d z u i v x i d y
u d x v d y i u d y v d x
im
? ? ?
? ? ? ?????
? ? ?
??
?
4.12 保角变换
点源和点汇
设 是封闭曲线 C内所有涡的强
度, 是 C内所有源的强度, 则
C
dl
udy
vdx
? ? ? ? ? ?
zz
zz
C C C
dzi m W z d z W z d W d i m
d ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
????? z zmm??
点涡, 点源经保角变换后强度保持不变 。
设 是 平面和 平面上的相应封闭曲线, 和 分
别是 内一个点涡的强度和一个点源的强度, 则
,zCC? z ? z? zm
zC
4.12 保角变换
? ? ? ?dW z Wdz? ??
（ 为实数 ）2c
4.13 茹柯夫斯基变换
在无穷远处物理平面和映射平面上的复速度相同, 速度的大小
和夹角都相等 。
??
2cz ?? ?? ???? z
??
2cz ??
茹柯夫斯基变换
在无穷远处茹柯夫斯基变换是恒等变换
22
2,1
c d z cz
d? ? ? ?? ? ? ? ???? ?? ddz0
0??
4.13 茹柯夫斯基变换
奇点
是奇点。该点通常位于物体内部，对研究物体外流动无影响。
2
21
??
c
d
dz ??
c??? 0?
?d
dz
4.13 茹柯夫斯基变换
保角变换失效点
时
c??? ?? 2cz ??称临界点 (critical points),在临界点
变换不保角 。
? ? 22 122 ccccz ?????? ????
? ?212 ccz ??? ??
22
2
z c c
z c c
?
?
????? ??
????
2
2
1
2
1
2
1
2
1
???
?
???
??
iv
iv
i
i
e
e
eR
eR
?
?
?
?
? ? ? ?2121 2
2
2
1
2
1 vvii ee
R
R ??
???
?
???
??
?
???
2
2
1
2
1 ??
?
?
???
???
?
?
R
R ? ?
2121 2 vv ??? ??
? z平面上的两条线的夹角在 平面上变换为原夹角的 2倍。
1?
12???
2? 1?
2?
c? c
?
1?
12???
2?
z
1R
2R
2c? 2c
??
2cz ??
4.13 茹柯夫斯基变换
c??? z? 平面通过 点的光滑曲线在 平面变换为尖角
1?
122?????
2?
c? c
?
12 2???? ??
1?
12? ? ???
2?
z
2c? 2c12? ? ?? ??
12
12
0
2
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
12
12
0
22
3 2
22
????
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
2cz ??
圆变线段
ivce??
22
2 c o s
iv
iv
iv iv
ccz c e
ce
c e c e c v
? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
4.13 茹柯夫斯基变换
?z z
z
?
2c
在上述变换中，圆变换为线段，圆外区域变换为整个 平面，圆内区域
也变换为整个 平面，这可用圆外点 和圆内点 对应于 平面同
一点来证明，因此上述变换是双值的。实际流动中，圆内区域在物体内
部，上述双值性对研究物体外流场不造成理论上的困难。
? 平面上圆心在原点，半径为 c 的圆变换为 z平面实轴上的割线段。
c???在 变换的保角性被破坏了。
?
cc?
c
z
2c? 2c
椭圆半长轴, 半短轴, 长轴沿 x 轴, 短轴沿 Y 轴 。
?
ivae?? ca?
22
22
( ) c o s ( ) sin
i v i vccz a e e
a
cc
a v i a v
aa
?
?
?? ? ? ?
? ? ? ?
2
2
( ) c o s
( ) s in
c
x a v
a
c
y a v
a
?
???
?
?
? ??
??
12
2
2
22
2
?
???
?
???
?
?
?
???
?
???
?
?
a
ca
y
a
ca
x
a
ca 2? aca 2?
4.14 椭圆绕流
茹柯夫斯基变换
平面内圆方程，
椭圆变圆
?z
a
2ca
a?
2ca
a? ?
设 平面内均匀来流速度为 U,相对
于椭圆主轴攻角为 。 因为在无穷远
处茹柯夫斯基变换是恒等变换, 可知
平面内无穷远处的相应速度也为 U
,攻角也为 。
?
? ? ? ? 2 2 2 i i i ia a aF f f U e U e U e e? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
4.14 椭圆绕流
在 平面原点放置圆柱, 根据圆周定理可得绕流圆柱复位势,
? iUe???平面均匀来流复势,
z
?
?
?
圆柱绕流复位势
?
?
Z
?
U
U
第一部分为均匀来流复位势；
第二部分为由于椭圆引起的扰动流的复位势, 在物面附近时影响显著,
当 时趋于零 。??z
2
22
22
( )
22
( )
22
c z z
zc
zz
c
??
?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
2 2
2
2
2
22
2
2
22
22
22
i
i
i i i
z z U a e
F z U c e
zz
c
a z z
U ze e e c
c
?
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? ? ?
?
?
??
??
??? ? ? ???
?? ??
?? ??
??
??
?? ??
?? ??
?? ??? ? ? ? ?
?? ??
????
????
4.14 椭圆绕流
z?? z??为满足,, 根号前取, +”
，
椭圆绕流复位势
平面椭圆绕流复位势,? ? 2iiaF U e e????
??
??????
??
两个特例 和 。0??
2???
2
???0??
?
? ?00,iia e a e a e?????? ?? ? ? ?
z
0
2
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cz ??
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0 ( ) c o s ( ) s i n
ii c c cz a e e a i a
a a a
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0 [ ( ) c o s ( ) s in ]
ccz a i a
aa??? ? ? ? ?
2
2
( ) c o s
( ) sin
c
xa
a
c
ya
a
?
?
?
???
?
?
? ??
??
2
2
( ) c o s
( ) sin
c
xa
a
c
ya
a
?
?
?
? ? ??
?
?
? ? ? ?
??
4.14 椭圆绕流
驻点为
平面椭圆绕流驻点,
平面圆柱绕流驻点
驻点
?
????
?
