第二章 流体力学基本方程
2,1 质量守恒
2.1 欧拉质量守恒 质量守恒定理
上述积分的积分区域 V是任选的, 要使积分恒等于零, 只有被积函
数等于零,
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质量守恒定理 在流动过程中流体团体积 V的大小和形状可能会
发生变化, 但质量保持不变 。
由雷诺输运定理,
2.1 欧拉质量守恒 定常流动和不可压缩流体的连续方程
对于定常流动,, 连续方程可简化为,0?
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对于不可压缩流体,, 连续方程可简化为,
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流体质点可沿 线或 线流动，此时其密度保持为常数
或, 因此,但, 。
2.1 欧拉质量守恒 密度分层流动
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不可压缩流体
上述定义并不要求这个流体质点与
另一个流体质点的密度相等，即不
要求密度场为均匀场。
密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可
能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。
密度分层流动
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均质不可压缩流体 密度处处相等的不可压缩流体
不可压缩流体
均质流体
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密度不是 x,y,z的函数
密度也不是 t 的函数
在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
物质导数定义式
均质不可压缩流体
2.1 欧拉质量守恒
2.1 欧拉质量守恒 第二雷诺输运定理
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? ??? ?????? ? ?????
V kkV
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证明：
根据连续方程, 又
于是,
2.2 动量守恒定理
2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程
系统的动量,
作用在系统上的质量力
作用在系统上的表面力
由动量定理得积分形式的动量方程
? ?V dv u ?
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系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和 。
2.2 动量守恒定理 微分形式的动量方程
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2.2 动量守恒定理
用张量表示法表示动量方程
方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度
项；第二项是对流加速度项, 由速度分布的不均匀性引起, 即使是
定常流动这一项也可能不等于零 。 对流加速度项是非线性的 。
方程右边第一项是应力张量的散度, 表示作用在单位体积流体上
的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力 。
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用张量表示法表示动量方程,
2.2 动量守恒定理 守恒形式的动量方程
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2.3 能量方程
对于一个 静止的热力学系统 （ 或起始和终止状态处于
静止的系统 ）, 系统内能的增加等于外力对系统所作的
功与外界传递给系统的热量之和 。
一个确定的 流体团 也可看作一个热力学系统, 流体质
点总在 流动 中, 设该系统偏离平衡态不远,系统总能量
的变化率 （ 包括内能和动能 ） 等于外力对系统的作功功
率与通过导热向系统的传热功率之和 。
热力学第一定理2.3 能量方程
2.3 能量方程 积分形式的能量守恒方程
任取 流动系统 体积 V,外表面 S,表面外法线单位矢量为
系统总能量,, e 为单位质量流体的内能；
单位质量流体的动能
表面力作功功率,
质量力作功功率,
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传热功率, 热通量离开系统表面时为正, 这里求传递
给系统的传热功率, 所以积分号前加负号
根据能量守恒原理得积分形式的能量方程,
2.3 能量方程 微分形式的能量方程
dvuueDtDdvuueDtD VV 21 21 ?? ?????? ????????? ?? ???? ??
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第二雷诺输运定理
高斯定理
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2.3 能量方程 机械能方程
动量方程
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上述方程可看作在 i方向的受力平衡式和速度作点乘, 即方程两边
都乘以, 表示力的机械功功率, 所以上式是机械能守恒方程 。
两边同乘,
2.3 能量方程 内能方程
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上式左边表示内能的变化率, 第一项是当地变化率, 第二项是对流变
化率, 是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的 。 公式右
边是引起内能变化的动因, 第一项表示由于表面力的作用引起的机械
能向内能的转换功率, 第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传
热功率 。
总能量方程减去机械能方程
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2.4 Navier-Stokes方程
2.4 Navier-Stokes方程 N-S方程
s是应变率张量
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动量方程,
本构方程
不可压缩流体 (动力粘性系数为常数 )
2.4 Navier-Stokes方程
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2.4 Navier-Stokes方程
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2.5 能量方程
称耗损函数, 表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率,
这部分机械能向内能的转变是不可逆的, 在一切流体和一切流动中总大于
零 。
2.5 能量方程 内能方程
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,表示表面力作功功率，可包括两部分：
压缩功功率, 表示流体体积变化时, 外部压强在单位时间内
对单位体积流体作功的功率, 这种转变是可逆的；
导热功率
2.5 能量方程 能量方程其它形式
内能方程,
连续方程,
于是内能方程可改写为,
热力学关系式,
则内能方程可变换为,
或
?? ???????? )( TkupDtDe ?
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上两式分别是以熵和焓表示的能量方程
2.6 牛顿流体的基本方程组
2.6 牛顿流体的基本方程组 基本方程组
以上方程包括 7个标量方程, 7个未知量,uj,ρ, p, e,T, 方程组是
封闭的 。 方程中出现的 λ,μ,κ等参数均可认为是 p 和 T 的函数 。
对完全气体, 状态方程和内能公式可分别写为, 。
通常考虑的质量力是重力，此时单位质量力可用重力加速度来表示
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基本方程组包括连续方程, N-S 方程, 能量方程及状态方程和内能公式,
当密度 ρ为常数时, 上述连续方程和 N-S方程共 4个标量
方程, 未知量 uj,p也是 4个, 形成一个封闭的方程组 。
也就是说, 压强场和速度场只需求解以上方程组即可
得到, 然后再求解能量方程得到温度场, 流体动力学
问题和热力学问题可分开求解, 能量方程和连续方程,
N-S方程不再耦合在一起, 使问题得到简化 。
2.6 牛顿流体的基本方程组
不可压缩流体（ 动力粘性系数 μ 为常数 ）
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2.7 边界条件
2.7 边界条件
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流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定
某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需
要给出 初始条件和边界条件 。
初始条件 就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态, 即 t=t0时
边界条件 指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件，本节主要
研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触
面，其中至少有一种介质是我们所考虑的流体，并假设分界面两边的
物质互不渗透，原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。
初始条件和边界条件
2.7 边界条件 曲面上的表面张力
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?
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21
21
11
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?表面张力的合力指向凹面一侧，与压力差平衡。 为表面
张力系数。
当分界面两边为不同介质时,
界面上存在着表面张力, 分界
面两侧的压强一般不相等, 凹
面一侧的压强会大于凸面一侧
的压强 。 作两个垂直于界面曲
面切平面而且相互正交的平面,
它们和界面曲面交线的曲率半
径分别为 R1,R2,则曲面两侧
压强差可表示为 p1 - p2
1R
2R
1p
2p
2.7 边界条件 液液分界面的边界条件
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?动力学边界条件
作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，
上式中 指向介质 1,R1,R2 的曲率半径中心在 指向一侧时取正
值,, 分别是介质 1,2 的应力张量 。 是表面张力系数 。 将
上式分解为法向和切向分量,
分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时, 表面张力会
导致法向应力的一个突跃 。
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介质 2
介质 1
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2.7 边界条件 液液分界面的边界条件
?运动学、热力学条件
界面两侧介质运动速度相等（无滑移
条件、粘附条件），
界面两侧温度和热流量相等，
n
介质 2
介质 1
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液固分界面边界条件2.7 边界条件
固壁静止时,
在固体边界上给定的条件是固壁的运动, 而不是固体中
的应力, 因此应放弃动力学边界条件,
0???n
0p p
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液气分界面边界条件2.7 边界条件
由于气体密度和粘度都很低, 它
的运动一般不会对液体产生显著
影响, 应当放弃速度边界条件而
采用应力边界条件,
设 为大气压强,为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲
率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时，法应力条件可写为
n
液
气
0),,,( ?tzyxF
自由面的运动学边界条件2.7 边界条件
液气边界 最典型的是水与大气的分界面, 即自由面 。 自由面的形状
通常是待求的内容 。 自由面本身是运动和变形的, 设其方程为,
假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则 自由面流体
质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。
上式用到点的自由面法向单位矢量 。
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自由面上 点在 t 时刻的法向速度为，p
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设自由面上一点 p 在 t 时刻的位置矢量为,在该点的法向单位矢
量为, 经过 时间后,点运动到点,则
自由面的运动学边界条件2.7 边界条件
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设 t 刻在 点的流体质点的速度为, 则 流体质点的法向
速度,
上式即自由面的运动学边界条件 。
自由面的运动学边界条件2.7 边界条件
流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度，
2,1 质量守恒
2.1 欧拉质量守恒 质量守恒定理
上述积分的积分区域 V是任选的, 要使积分恒等于零, 只有被积函
数等于零,
? ?V dvDtD 0?
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质量守恒定理 在流动过程中流体团体积 V的大小和形状可能会
发生变化, 但质量保持不变 。
由雷诺输运定理,
2.1 欧拉质量守恒 定常流动和不可压缩流体的连续方程
对于定常流动,, 连续方程可简化为,0?
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对于不可压缩流体,, 连续方程可简化为,
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流体质点可沿 线或 线流动，此时其密度保持为常数
或, 因此,但, 。
2.1 欧拉质量守恒 密度分层流动
0?DtD?
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1???
不可压缩流体
上述定义并不要求这个流体质点与
另一个流体质点的密度相等，即不
要求密度场为均匀场。
密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可
能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。
密度分层流动
0D uD t t t? ? ????? ? ?? ? ?
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均质不可压缩流体 密度处处相等的不可压缩流体
不可压缩流体
均质流体
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密度不是 x,y,z的函数
密度也不是 t 的函数
在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
物质导数定义式
均质不可压缩流体
2.1 欧拉质量守恒
2.1 欧拉质量守恒 第二雷诺输运定理
?? ? VV dvDtDdvDtD ????
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证明：
根据连续方程, 又
于是,
2.2 动量守恒定理
2.2 动量守恒定理
积分形式的动量方程
系统的动量,
作用在系统上的质量力
作用在系统上的表面力
由动量定理得积分形式的动量方程
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系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的质量力和表面力之和 。
2.2 动量守恒定理 微分形式的动量方程
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2.2 动量守恒定理
用张量表示法表示动量方程
方程左边表示单位体积流体的动量变化率：第一项是当地加速度
项；第二项是对流加速度项, 由速度分布的不均匀性引起, 即使是
定常流动这一项也可能不等于零 。 对流加速度项是非线性的 。
方程右边第一项是应力张量的散度, 表示作用在单位体积流体上
的表面力；第二项表示作用在单位体积流体上的质量力 。
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用张量表示法表示动量方程,
2.2 动量守恒定理 守恒形式的动量方程
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2.3 能量方程
对于一个 静止的热力学系统 （ 或起始和终止状态处于
静止的系统 ）, 系统内能的增加等于外力对系统所作的
功与外界传递给系统的热量之和 。
一个确定的 流体团 也可看作一个热力学系统, 流体质
点总在 流动 中, 设该系统偏离平衡态不远,系统总能量
的变化率 （ 包括内能和动能 ） 等于外力对系统的作功功
率与通过导热向系统的传热功率之和 。
热力学第一定理2.3 能量方程
2.3 能量方程 积分形式的能量守恒方程
任取 流动系统 体积 V,外表面 S,表面外法线单位矢量为
系统总能量,, e 为单位质量流体的内能；
单位质量流体的动能
表面力作功功率,
质量力作功功率,
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传热功率, 热通量离开系统表面时为正, 这里求传递
给系统的传热功率, 所以积分号前加负号
根据能量守恒原理得积分形式的能量方程,
2.3 能量方程 微分形式的能量方程
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第二雷诺输运定理
高斯定理
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2.3 能量方程 机械能方程
动量方程
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上述方程可看作在 i方向的受力平衡式和速度作点乘, 即方程两边
都乘以, 表示力的机械功功率, 所以上式是机械能守恒方程 。
两边同乘,
2.3 能量方程 内能方程
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上式左边表示内能的变化率, 第一项是当地变化率, 第二项是对流变
化率, 是由于流体质点从一个区域运动到另一个区域引起的 。 公式右
边是引起内能变化的动因, 第一项表示由于表面力的作用引起的机械
能向内能的转换功率, 第二项则表示由于导热从外界向系统内部的传
热功率 。
总能量方程减去机械能方程
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2.4 Navier-Stokes方程
2.4 Navier-Stokes方程 N-S方程
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动量方程,
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不可压缩流体 (动力粘性系数为常数 )
2.4 Navier-Stokes方程
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2.4 Navier-Stokes方程
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2.5 能量方程
称耗损函数, 表示流体变形时粘性应力对单位体积流体的作功功率,
这部分机械能向内能的转变是不可逆的, 在一切流体和一切流动中总大于
零 。
2.5 能量方程 内能方程
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,表示表面力作功功率，可包括两部分：
压缩功功率, 表示流体体积变化时, 外部压强在单位时间内
对单位体积流体作功的功率, 这种转变是可逆的；
导热功率
2.5 能量方程 能量方程其它形式
内能方程,
连续方程,
于是内能方程可改写为,
热力学关系式,
则内能方程可变换为,
或
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上两式分别是以熵和焓表示的能量方程
2.6 牛顿流体的基本方程组
2.6 牛顿流体的基本方程组 基本方程组
以上方程包括 7个标量方程, 7个未知量,uj,ρ, p, e,T, 方程组是
封闭的 。 方程中出现的 λ,μ,κ等参数均可认为是 p 和 T 的函数 。
对完全气体, 状态方程和内能公式可分别写为, 。
通常考虑的质量力是重力，此时单位质量力可用重力加速度来表示
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基本方程组包括连续方程, N-S 方程, 能量方程及状态方程和内能公式,
当密度 ρ为常数时, 上述连续方程和 N-S方程共 4个标量
方程, 未知量 uj,p也是 4个, 形成一个封闭的方程组 。
也就是说, 压强场和速度场只需求解以上方程组即可
得到, 然后再求解能量方程得到温度场, 流体动力学
问题和热力学问题可分开求解, 能量方程和连续方程,
N-S方程不再耦合在一起, 使问题得到简化 。
2.6 牛顿流体的基本方程组
不可压缩流体（ 动力粘性系数 μ 为常数 ）
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2.7 边界条件
2.7 边界条件
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流体力学微分方程组是描述流体运动的普遍适用的方程组，要确定
某种具体的流体运动，也就是要找出方程组的一组确定的解，还需
要给出 初始条件和边界条件 。
初始条件 就是在初始时刻流体运动应该满足的初始状态, 即 t=t0时
边界条件 指在流体运动边界上方程组的解应该满足的条件，本节主要
研究两种介质界面上的边界条件。这里说的界面是指两种介质的接触
面，其中至少有一种介质是我们所考虑的流体，并假设分界面两边的
物质互不渗透，原来的边界在以后时刻永远是两介质的界面。
初始条件和边界条件
2.7 边界条件 曲面上的表面张力
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21
21
11
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?表面张力的合力指向凹面一侧，与压力差平衡。 为表面
张力系数。
当分界面两边为不同介质时,
界面上存在着表面张力, 分界
面两侧的压强一般不相等, 凹
面一侧的压强会大于凸面一侧
的压强 。 作两个垂直于界面曲
面切平面而且相互正交的平面,
它们和界面曲面交线的曲率半
径分别为 R1,R2,则曲面两侧
压强差可表示为 p1 - p2
1R
2R
1p
2p
2.7 边界条件 液液分界面的边界条件
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?动力学边界条件
作用在界面两侧的表面力和表面张力相平衡，
上式中 指向介质 1,R1,R2 的曲率半径中心在 指向一侧时取正
值,, 分别是介质 1,2 的应力张量 。 是表面张力系数 。 将
上式分解为法向和切向分量,
分界面两侧的切向应力总是连续的；当界面曲率不为零时, 表面张力会
导致法向应力的一个突跃 。
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介质 2
介质 1
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2.7 边界条件 液液分界面的边界条件
?运动学、热力学条件
界面两侧介质运动速度相等（无滑移
条件、粘附条件），
界面两侧温度和热流量相等，
n
介质 2
介质 1
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液固分界面边界条件2.7 边界条件
固壁静止时,
在固体边界上给定的条件是固壁的运动, 而不是固体中
的应力, 因此应放弃动力学边界条件,
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0p p
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液气分界面边界条件2.7 边界条件
由于气体密度和粘度都很低, 它
的运动一般不会对液体产生显著
影响, 应当放弃速度边界条件而
采用应力边界条件,
设 为大气压强,为液气边界面上的液体侧压强，自由面曲
率中心在气相一侧，液体的粘性可忽略时，法应力条件可写为
n
液
气
0),,,( ?tzyxF
自由面的运动学边界条件2.7 边界条件
液气边界 最典型的是水与大气的分界面, 即自由面 。 自由面的形状
通常是待求的内容 。 自由面本身是运动和变形的, 设其方程为,
假定在自由面上的流体质点始终保持在自由面上，则 自由面流体
质点的法向速度，应该等于自由面本身在该点的法向速度。
上式用到点的自由面法向单位矢量 。
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自由面上 点在 t 时刻的法向速度为，p
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设自由面上一点 p 在 t 时刻的位置矢量为,在该点的法向单位矢
量为, 经过 时间后,点运动到点,则
自由面的运动学边界条件2.7 边界条件
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设 t 刻在 点的流体质点的速度为, 则 流体质点的法向
速度,
上式即自由面的运动学边界条件 。
自由面的运动学边界条件2.7 边界条件
流体质点的法向速度等于自由面本身在该点的法向速度，
