第五章 轴对称运动
轴对称运动
鱼雷、火箭、炮弹、潜艇等的运动是轴对
称运动。
轴对称流动中，任一通过对称轴的平面上
的流动图案都是相同的。
要形成轴对称流动，物体外形必须是轴对
称的，而且来流必须沿着对称轴方向。
本章采用球坐标（ ）描述轴对称
流动。由于轴对称，流动具有如下特点,??,,r
0??u0????
r
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5.1 速度势
在无旋流动中存在速度势 ?
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对于不可压缩流体，
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0s ins in11 222 ??????? ??????????? ???? ?????? rrrrr
平面流动的流函数满足连续方程 。 在三维流动中, 一般无法找到一个
标量函数满足连续方程, 但在轴对称运动条件下, 这样的流函数是存
在的 。
5.2 Stokes 流函数
Stokes 流函数
不可压缩流体在球坐标下的连续方程
0??? u?
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? ? ? ? 0 s i n s i n2 ?????? ???? ururr r
令
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则 自动满足连续方程,
称 Stokes 流函数。
?
5.2 Stokes 流函数
无旋流动的 Stokes 流函数方程
平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程, Stokes流函数在无旋条件下满足的
方程不是拉氏方程 。
设无旋流动 0u?? ?
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01 222222 ????????? ?????? rrc tgr
通常通过求解 的拉氏方程得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解。在有旋流动
中，势函数不存在，只有应用流函数才能找到一个标量方程来代替矢量形式的运
动方程。
?
5.2 Stokes 流函数
Stokes 流函数的性质
过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以,等于通过以这两点的
任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。
?2
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2
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si n si n
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B
5.3 势流方程的解
分离变量
),( ??? r? 满足拉氏方程，
0s ins in11 222 ??????? ??????????? ???? ?????? rrrrr
)()( ?? TrR?
0s ins in222 ?????????????? ???? ddTd dr RdrdRrdrdrT
RT
r2两边同乘以
?????????????? ???? ddTd dTdrdRrdrdR s ins in11 2
方程一边是 r 的函数，一边是 ?
的函数，要恒等必需两边均等于常数，
)1(1 2 ???????? lldrdRrdrdR
)1(s ins in1 ????????? llddTddT ????
式中 l 可为整数也可为非整数 。
勒让德方程
5.3 势流方程的解
0)1(s ins in1 ????????? TllddTd d ????
?cos?x
xd
dx
x ?
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?
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)( co s)( ?? lll PCT ?
1cos ???
)(cos?lP
?,2,1,0?l
是第一类勒让德函数, 当 l 不
为整数时, 其在 时发散 。
取
l 取整数 。上式为勒让德方程，通解为
)(cos?lQ
0?lD
1cos ???
为第二类勒让德函数，当
时对所有的 l 值发散，所以应取
5.3 势流方程的解
欧拉方程
0)1(2222 ???? RlldrdRrdr Rdr
为欧拉方程，对于非负整数，欧拉方程通解可写为，
1)( ??? l
ll
ll r
BrArR
R 的方程，
5.3 势流方程的解
势函数通解
根据线性方程解的叠加原理，势函数的通解可由勒让德方程的解和欧
拉方程的解叠加而成，
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l
ll
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l
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勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为，
其前 3项分别是，
? ?1!2 1)( 2 ?? xdxdlxP llll
1)(0 ?xP
xxP ?)(1
? ?1321)( 22 ?? xxP
5.4 均匀流
势函数
沿 x 方向均匀流，速度为 U,P点的势函数,
Ux??
?cosrx ?
?? c o sUr?
?
x
r
?
P
U
5.4 均匀流流函数
根据流函数与势函数之间的关系式求均匀流的流函数，
??????????? ???????? s i n1c o ss i n1 22 rUrru r
)(s i n21c o ss i n 222 rfUrUr ?????? ??????
?????????????? )(s i ns i n1s i ns i n11 2 rfUrrUrrru ????????
( ) 0 ( )f r f r c? ? ? ?
?? 22 s i n21 Ur?
取 c = 0
设原点流函数 ? = 0,P 点流函数为 ?, 则均匀流穿过位置矢
量围绕对称轴旋转形成的圆锥面的流量为 2 ??；
5.4 均匀流
流函数 ?也可确定如下：
圆锥面在垂直于流动方向的投影面积为, 考虑到穿
过圆锥面的流体将全部通过该投影面积, 有
2)sin( ?? r
2)s i n(2 ???? rU?
?? 22 s i n21 Ur?
?
x
r
?
P
U
o
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5.5 源和汇
势函数
设空间点 源 Q 位于原点，强度为 Q,作半径为 r 的圆球面包围点源，
由于对称的原因，球面上的速度分量 0?
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rurQ 2 4??
24 r
Qu
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r
Q
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请注意上式中负号对应于点源，正号对应于点汇。原点是一个奇点。
考虑到
ru
Q
?
r
流函数 5.5 源和汇
设点源 Q 稍稍偏离原点位于原点以右，则点源释放的流体将通过 OP 围
绕对称轴旋转产生的圆锥面以及圆锥面在垂直于对称轴方向的投影面流出。
通过圆锥面向外流出的流量，
通过圆锥面投影面的流量，
如果让点源位于原点左边，则得到的流函数与上式仅相差一个常数，而并
不影响得到的流场分布。
流函数也可利用势函数与流函数关系式求得,
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代入
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)c o s1(4 ??? ??? Q
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P
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5.6 偶极子流动
势函数
求一对相等强度的点源和点汇
在 P 点的势函数，
4 4 ( )
1
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4
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Q
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Qx 0
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设
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称偶极子的强度 。 请注意在求上述偶极子势函数过程中, 点汇在 x
轴正方向放置, 点源在 x 轴负方向放置, 相互无限靠近 。
?
5.6 偶极子流动
?
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Q Q??
P
x
o
流函数
5.6 偶极子流动
依据流函数与势函数之间的关系式求偶极子流的流函数,
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?????? c o ss i n2 r????
)(s i n4 2 rfr ??? ????
2321 1 1s in s in ( )s in 4 s in 4 frr r r r r r? ? ? ???? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ?
( ) 0 ( )f r f r c?? ? ? ?0?c
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取
5.6 偶极子流动
上述均匀流，点源（汇）和偶极子流动的势函数都可以看作是势流方程
的基本解。由 5.3节，
)( c o s ),(
0 1
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（对所有值），
为 均匀流的势函数。
（对所 l 值），0?lA
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4
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Q
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为 点源的势函数。
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l（ 对所有 值 ）,
上述基本流的势函数和流函数叠加起来可以得到更为复杂的势流流动。
为偶极流的势函数。
5.6 偶极子流动
5.7 半无穷体绕流
均匀流和一个位于原点的点源叠加可得到半无穷体绕流 。
流函数
)c o s1(4s i n21),( 22 ????? ??? QUrr
2
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2c o s2c o s1 2
?? ?? 2c o s2s i n2s i n ??? ?推导上式中用到
5.7 半无穷体绕流半无穷体特征尺寸
令 为物面,为物面的坐标，0??
0r
0
1
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Qr
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令
0??
R 是无穷长圆柱的半径 。
由图可以看出，半无穷体把流动分为两部分，均匀来流在体外，而点源
流动在体内，互不相混。可以想象用一个壳体代替 的界面，移去
内部点源的流体而不影响壳体外的绕流流动。
2QU?
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0 QR U??
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P
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5.7 半无穷体绕流
可从势函数和流函数求得半穷体头部附近的速度和压强分布 。
r
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势函数
∵ 为常数, ∴ 的流面是一个球面, 令球面半径
均匀流和位于原点的偶极子叠加得
到圆球绕流流动。
5.8 圆球绕流流函数
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设 面上,
3/1
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a
势函数
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3
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5.8 圆球绕流
5.9 线源
设源（汇）在区间 均匀连续分布，线源强度（即单位长
度的源强）为
Lx ??0
q
点坐标为（ ），相关尺寸间关系如下：P ?,r
?ct g RX ?
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X
x
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如图取线元, 线元的源强
为, 则 点流函数,
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流函数
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5.9 线源
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势函数
2
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5.9 线源
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轴对称运动
鱼雷、火箭、炮弹、潜艇等的运动是轴对
称运动。
轴对称流动中，任一通过对称轴的平面上
的流动图案都是相同的。
要形成轴对称流动，物体外形必须是轴对
称的，而且来流必须沿着对称轴方向。
本章采用球坐标（ ）描述轴对称
流动。由于轴对称，流动具有如下特点,??,,r
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5.1 速度势
在无旋流动中存在速度势 ?
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对于不可压缩流体，
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平面流动的流函数满足连续方程 。 在三维流动中, 一般无法找到一个
标量函数满足连续方程, 但在轴对称运动条件下, 这样的流函数是存
在的 。
5.2 Stokes 流函数
Stokes 流函数
不可压缩流体在球坐标下的连续方程
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则 自动满足连续方程,
称 Stokes 流函数。
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5.2 Stokes 流函数
无旋流动的 Stokes 流函数方程
平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程, Stokes流函数在无旋条件下满足的
方程不是拉氏方程 。
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通常通过求解 的拉氏方程得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解。在有旋流动
中，势函数不存在，只有应用流函数才能找到一个标量方程来代替矢量形式的运
动方程。
?
5.2 Stokes 流函数
Stokes 流函数的性质
过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以,等于通过以这两点的
任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。
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5.3 势流方程的解
分离变量
),( ??? r? 满足拉氏方程，
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0s ins in222 ?????????????? ???? ddTd dr RdrdRrdrdrT
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r2两边同乘以
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方程一边是 r 的函数，一边是 ?
的函数，要恒等必需两边均等于常数，
)1(1 2 ???????? lldrdRrdrdR
)1(s ins in1 ????????? llddTddT ????
式中 l 可为整数也可为非整数 。
勒让德方程
5.3 势流方程的解
0)1(s ins in1 ????????? TllddTd d ????
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是第一类勒让德函数, 当 l 不
为整数时, 其在 时发散 。
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l 取整数 。上式为勒让德方程，通解为
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为第二类勒让德函数，当
时对所有的 l 值发散，所以应取
5.3 势流方程的解
欧拉方程
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为欧拉方程，对于非负整数，欧拉方程通解可写为，
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R 的方程，
5.3 势流方程的解
势函数通解
根据线性方程解的叠加原理，势函数的通解可由勒让德方程的解和欧
拉方程的解叠加而成，
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勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为，
其前 3项分别是，
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1)(0 ?xP
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5.4 均匀流
势函数
沿 x 方向均匀流，速度为 U,P点的势函数,
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5.4 均匀流流函数
根据流函数与势函数之间的关系式求均匀流的流函数，
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取 c = 0
设原点流函数 ? = 0,P 点流函数为 ?, 则均匀流穿过位置矢
量围绕对称轴旋转形成的圆锥面的流量为 2 ??；
5.4 均匀流
流函数 ?也可确定如下：
圆锥面在垂直于流动方向的投影面积为, 考虑到穿
过圆锥面的流体将全部通过该投影面积, 有
2)sin( ?? r
2)s i n(2 ???? rU?
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5.5 源和汇
势函数
设空间点 源 Q 位于原点，强度为 Q,作半径为 r 的圆球面包围点源，
由于对称的原因，球面上的速度分量 0?
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rurQ 2 4??
24 r
Qu
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请注意上式中负号对应于点源，正号对应于点汇。原点是一个奇点。
考虑到
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流函数 5.5 源和汇
设点源 Q 稍稍偏离原点位于原点以右，则点源释放的流体将通过 OP 围
绕对称轴旋转产生的圆锥面以及圆锥面在垂直于对称轴方向的投影面流出。
通过圆锥面向外流出的流量，
通过圆锥面投影面的流量，
如果让点源位于原点左边，则得到的流函数与上式仅相差一个常数，而并
不影响得到的流场分布。
流函数也可利用势函数与流函数关系式求得,
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5.6 偶极子流动
势函数
求一对相等强度的点源和点汇
在 P 点的势函数，
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称偶极子的强度 。 请注意在求上述偶极子势函数过程中, 点汇在 x
轴正方向放置, 点源在 x 轴负方向放置, 相互无限靠近 。
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5.6 偶极子流动
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5.6 偶极子流动
依据流函数与势函数之间的关系式求偶极子流的流函数,
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5.6 偶极子流动
上述均匀流，点源（汇）和偶极子流动的势函数都可以看作是势流方程
的基本解。由 5.3节，
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（对所有值），
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1 4
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lB
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l（ 对所有 值 ）,
上述基本流的势函数和流函数叠加起来可以得到更为复杂的势流流动。
为偶极流的势函数。
5.6 偶极子流动
5.7 半无穷体绕流
均匀流和一个位于原点的点源叠加可得到半无穷体绕流 。
流函数
)c o s1(4s i n21),( 22 ????? ??? QUrr
2
2222 s in4s in
2
s in
)c o s1(
2s in
2
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U
Q
UU
Q
Ur ??
???
2c o s2c o s1 2
?? ?? 2c o s2s i n2s i n ??? ?推导上式中用到
5.7 半无穷体绕流半无穷体特征尺寸
令 为物面,为物面的坐标，0??
0r
0
1
4 s i n ( / 2 )
Qr
U???
0?? ??0r
2??? U
Qr
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???
U
Qr
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0
s i ns i n c o s
4 s i n ( / 2 ) 2
QQRr
UU
???
? ? ?? ? ?
0??
U
QR
??
令
0??
R 是无穷长圆柱的半径 。
由图可以看出，半无穷体把流动分为两部分，均匀来流在体外，而点源
流动在体内，互不相混。可以想象用一个壳体代替 的界面，移去
内部点源的流体而不影响壳体外的绕流流动。
2QU?
4QU?
0 QR U??
?
x
r
?
P
o
R
5.7 半无穷体绕流
可从势函数和流函数求得半穷体头部附近的速度和压强分布 。
r
QUrr
???? 4c o s),( ??
势函数
∵ 为常数, ∴ 的流面是一个球面, 令球面半径
均匀流和位于原点的偶极子叠加得
到圆球绕流流动。
5.8 圆球绕流流函数
????? 222 s i n4s i n21 rUr ??
0??
0rr?
设 面上,
3/1
0 2 ??
??
?
??
Ur ?
?
32 Ua?? ?
?? 232 s i n21 ???????? ?? rarU
0r 0?? ar ?0
,则
a
势函数
?? c o s21 2
3
???????? ?? rarU
5.8 圆球绕流
5.9 线源
设源（汇）在区间 均匀连续分布，线源强度（即单位长
度的源强）为
Lx ??0
q
点坐标为（ ），相关尺寸间关系如下：P ?,r
?ct g RX ?
?c t g RLX ??
?? sin
R?
?? sin
R?
?
r ?
? ? ?
? d?
L
X
x
sin sinRr?????
如图取线元, 线元的源强
为, 则 点流函数,
?d
?qd P
流函数
)c o s1(4 0 ???? ??? ? L qd
c tgXR????
??? dRd cs c 2???
? ?
2 1
c sc ( 1 c os )
4 4 si n
11
c tg c tg
4 si n si n
44
v
qR qR
d c tg
qR
qR X L X q
L
R R R R
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??
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???
? ? ? ? ? ? ? ???
??
?
5.9 线源
?
r ?
? ? ?
? d?
L
X
x
sin sinRr?????
势函数
2
0
c s c
4 4 4 s in
s in
l n tg ( /2 )
l n tg
4 2 4 l n tg ( /2 )
L q d q R q d
d
Rr
??
??
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??
? ? ? ?
?
???
?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
5.9 线源
?
r ?
? ? ?
? d?
L
X
x
sin sinRr?????
