为流体中一流体质点, 为 点邻域内另一任意流体质点,
如果速度场已知, 则同一瞬时上述 点对于 点的相对运动速度
可计算如下,M?
M?
M
u u uu x y z u i v j w kx y z? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
uuu ??? ????
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y
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v
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y
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x
x
u
u
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1.6 速度分解定理
速度梯度张量
M M
式中
写成分量形式
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u
y
u
x
u
u??
上式用矩阵表示为,
一个标量的梯度是一个矢量, 而一个矢量的梯度则是一个二阶
张量 。
是一个二阶张量，称为速度梯度张量。或
速度梯度张量也可表示成
或
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x
u
u
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速度梯度张量分解为两个张量
11
22
jji i i
ij ij
j j i j i
uuu u u sa
x x x x x
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1
2
1
2
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2
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2
1
ijs
jiij ss ?
只有 6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对
应相等，可表示为,是一个对称张量。该张量描
述流体微团的变形运动，称 应变率张量 。
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w
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u
x
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y
u
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ij
只有 3个独立分量, 对角线元素为零, 非对角线元素两
两互为负数, 可表示为, 是一个反对称张量 。
该张量描述流体微团的旋转运动, 称 旋转张量 。
ija
jiij aa ??
1
2
ji
ij
ji
uua
xx
????????
????
旋转张量
反对称张量只有三个独立量，可看作一个矢量的三个分量，
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2
1
u?? ??? 21?
这三个分量正好构成速度旋度的
123 ???a 231 ???a12 3a ???
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－ija
以 间的位移 和旋转张量 相乘，M M? r?? a
1 r o t
2r a x x r u rij j ij k j k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?a
在刚体的定点转动中，如果角速度为,则距定点距离 处
的旋转速度为, 比较知，
?? r??
r?? ???
u?? ??? 21?
速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的 2倍 。
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 点相
对于 M 点的速度变化 。
11
22
1
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2
jji i i
i j j
j j i j i
ij j ij j
uuu u u
u x x
x x x x x
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RD uuu ??? ??? ??
ru D ?? ?? ?? s M?
1 r o t
2Ru u r????
速度分解定理
上式以矢量形式可写为，
表示由于流体微团变形而产生的 点相对于 M点的
速度变化。
M?
取一由流体质点组成的线段元, r??
1.7 应变率张量
正应变率分量
rrr ??? ????
? ?()ddr r r u u u
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x y z
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设某瞬时 与 x轴重合, 则
应变率张量对角线分量分别是 x,y,z轴线上的线段元 的相对
伸长率, 称正应变率分量 。
同理
,,x y z? ? ?
2r??1r??
1 2 1 2
1 2 2 1
,,( ),( )
( ),( )
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r x i r y j r x r y
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r r x y r r x y
d t y d t x
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剪切应变率分量
取流体质点组成的线元,,设在某一瞬时 与 x轴重合，而
与 y轴重合，于是,1r
?? 2r??
? ? ? ?
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12 c o s
c o s s i n
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x y x y
x y x y
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x y d t d t
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x y x y x y
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式中 是 x 轴与 y 轴之间的夹角，, 于是，
应变率张量非角线分量分别是平行于 x 与 y 轴, z 与 x 轴, y 与
z 轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一半的负值, 称剪切
应变率分量 。
dt
d
x
w
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u zx?
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同理得,
iis
d iv ii u v wsux y z? ? ?? ? ? ?? ? ?
v?
体积应变率
应变率张量对角线分量之和 是一个标量，
取一流体团，体积为,外表面为 S，体积 的变化率等于通过封闭曲面 S
的速度通量，
v?
? ?? S dsunvdtd )( ???
? ? ?? ??? ??? vvSvv dvuvdsunvvdtdv ???? ???? 0 00 d iv1lim1lim1lim ???
uuvvv ?? d i v d i v 1lim 0 ?? ? ???
iis
应变率张量三个对角线分量之和 或速度的散度表示流体微元的相对体
积膨胀率 。
? ??? L ldu ??
1.8 速度环量和涡量
速度环量
速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量, 线积分沿逆时
针方向进行 。
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i
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j
j
k
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0??? u?
涡量
? 涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍,
? 涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比, 而与流体微团重心围绕
某一参考中心作圆周运动的角速度无关 。 流动是否有旋与流体质点的
运动轨迹无关 。 一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零 。
? 流场内处处 的流动称无旋流, 或称势流 。
的流动则称有旋流动 。
?? ?????? SS dsndsnu )( ????
?? ???? LS ldudsn ????
Stokes定理
涡通量：
Stokes定理：
1.9 涡旋的运动学特性
涡管和微元涡管
涡线，流场中的一条曲线，曲线上各点的涡量矢量方向和
曲线在该点的切线方向相同。
涡管, 在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线, 在某瞬
时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面, 称涡管 。 涡管
横截面无限小时称涡管元 。
0)( ????????? u??
涡旋场是无源场
矢量恒等式，
涡旋场内无源无汇。
0???? ?
02121 ?????????????? ???? ??? SSSSV dsndsndsndv ???????
12
SSn d s n d s? ? ? ? ???
涡管的运动学特性
推论：对一个确定的涡管, 它的任一横截面上的涡通量是一个
常数 。 该常数称为涡管强度 。
? 由, 对图示涡管,
1
1
?????S dsn?? 2
2
?????S dsn??
21 ???
推论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等 。
? 由 Stokes定理
1S
2S
?
由于涡旋场是无源场, 可以推断, 涡线和涡管都不能在
流体内部中断 。
如果发生中断, 则在中断处取封闭曲面, 通过封闭曲面
的涡通量将不为零, 与无源场事实相矛盾 。
涡线和涡管只能在流体中自行封闭, 形成涡环, 或将其
头尾搭在固壁或自由面, 或延伸至无穷远 。
涡线和涡管都不能在流体内部中断
下标 表示面元 的法线方向。
0limn A
Fp
A??
??
?
n A?
nn pp ?? ???
np?
np??
1.10 应力张量
应力矢量
,正侧流体对负侧流体的作用应力；
,负侧流体对正侧流体的作用应力 。
? ???? nnnnp,??
np nnn ?? ???
? ? 22 nnnn p ?? ? ?? ?
? ?nznynxnp ???,, ??
? ?xzxyxxxp ???,, ??
应力矢量的投影
应力的双下标表示法：
第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向，
第 2 个下标表示应力投影方向。
n?
),,( tnrpp nn ???? ?
一点的应力状态
在运动的粘性流体中, 表面应力的方向和大小一般来说与其
作用面的方位有关 （ 表面应力方向与法向 并不一致 ）, 因
此描述一点的应力状态似乎就需要无限多个矢量 。
下面将证明过空间一点的三个相互垂直平面（可取三个坐标
平面）上的应力矢量或它们的九个分量完全描写了一点的应
力状态。
取四面体流体元,
应力矢量与应力张量
sA B C ???
snsO B C xx ?? ???
snsO A C yy ?? ???
zzO A B s n s??? ? ?
? ?),c o s (),,c o s (),,c o s (),,( znynxnnnnn zyx ???
惯性力,
重力,
表面力,
va?? ? ?
vg?? ?
spn?? xx sp ??? yy sp ??? zz sp ???
0?v?
应力矢量与应力张量
达朗贝尔原理：作用于四面体上的质量力 （ 重力 ）, 表面力
和惯性力及其力矩应该平衡 。
当, 重力, 惯性力为三阶无穷小量, 表面力为二阶无穷
小量, 因此仅需考虑表面力作用, 忽略惯性力和重力影响 。
??? 0F? 0???? ??? zzyyxxn spspspsp ???? ????
zzyyxx pppppp ?????? ?????? ???,,
zzyyxxn npnpnpp ???? ???
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),,(
jijni n ?? ?
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应力矢量与应力张量
ij?
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zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
???
???
???
jiij ?? ?
σ n?
应力张量
或 称应力张量
应力张量的对角线元素为法向应力分量, 非对角线元素为切向应力分量 。
用四面体上的表面力的合力矩为零可以证明 应力张量是对称张量, 只
有 6个独立分量, 其非对角线分量两两对应相等,
应力张量 不再与 有关, 而只是空间点位置和时间的函数, 由九个分
量 （ 6个独立分量 ） 组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态
。
jjini n?? ?
nx x x x
ny y y y
nz zz z
n
n
n
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znnnz
ynnny
xnnnx
n
n
n
??
??
??
1.11 理想流体与静止流体的应力张量
一点的应力状态
在理想流体或静止流体中切应力为零
pnnzzyyxx ????? ????
n?
p?
p
由于 是任选的, 上式表明同一点各个不同方向上的法向应力是相等的 。 取
是强调压强与作用面的法线方向是相反的, 由此可见在理想流体或静止
流体中, 只要用一个标量函数即压力函数 便完全地描述了一点上的应力状
态 。
比较上 2 式得,
00
00
10
1
01
nn
ij n n
nn
ij
p
p
p
pp
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??
??
??
应力张量
1.12 本构方程
应力和应变率之间的关系, 或者说应力张量和应变率张量之间的关
系称本构方程 。
ijijij p ??? ???
ij?
p
ij?ij?
p ij? ij?
三点假设之一
运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量, 流体
压强此时即为静力学压强, 据此应力张量可表示为,
应力张量
热力学压强
剪切应力张量或偏应力张量。 由于流体运动而引起，当运动消失
时趋于零,也趋于静力学压强。由于, 均是对称张量，因
此偏应力张量 也是对称张量。
ij?
三点假设之二
ij?
j
ixu??偏应力张量 的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线性齐次函数。
k
ij ijk l
l
u
x??
??
?
这里假设应力张量是速度梯度张量的线性函数, 而且只和速度梯度张量有关,
满足上述关系的流体称牛顿流体, 不满足此关系的流体则称非牛顿流体 。
比例常数 应是一个 4阶张量 。
ijkl?
ijkl?
三点假设之三
流体是各向同性的, 流体的物理性质, 如粘性, 导热率等均与方向无关,
只是坐标位置的函数 。 从数学上讲, 即要求是 各向同性张量 。 各向
同性张量的每一分量经过坐标旋转变换后不改变其值 。
四阶各向同性张量可表示为
? ? ? ?jkiljlikjkiljlikkliji j k l ?????????????? ?????
? ?jkiljlikkliji j k l ????????? ???
l
ki j k lij
x
u
?
?? ??
ij?
ijkl?
ijkl?
由, 考虑到 对 i, j 两个指标是对称的, 对指标 i,
j 也应该是对称的, 于是 可进一步简化为,
ijkl? 对 k,l 也是对称的
? ?ki j i j k l i j k l k l k l i j k l k l i j k l k l i j k l k l
l
u s a s a s
x? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
?
本构方程
ijkl? kla
0?klijkla?
由于 对 k,l 对称, 而旋转张量 对 k,l 反对称, 因此
上式从数学上证明了偏应力与旋转无关, 而只和变形有关 。
? ?1
2
kl
i j i j k l i k j l i l j k
lk
jki
ij
k j i
uu
xx
uuu
x x x
? ? ? ? ? ? ? ? ?
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????
i
j
j
i
k
k
ijijij x
u
x
u
x
up ?????
? ?上式中的, 需由实验确定，其物理意义也需要进一步解释。
富立叶定律
Tkq ??? ?
i
i x
Tkq
?
???
动力粘性系数
)( yuu ? 0?? wv
dy
du?? ?
牛顿内摩擦定律
不可压缩流体的剪切流动
0???
k
k
x
u
???
?
???
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?
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????
i
j
j
i
ijij x
u
x
up ???不可压缩流体
p???? 332211 ??? 023323113 ???? ????
dy
du??? ??
2112
?与牛顿内摩擦定律比较可看出,即动力粘性系数。
1.13 粘性系数
第二粘性系数 和体积粘性系数? k
一点的平均正应力
? ?1 1 2 2 3 3
1
3
1
2 2 2
3
2
3
k k k
k k k
kk
kk
p
u u uu v w
p p p
x x x y x z
uu
p
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? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???
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????
k
k
k
k xukxupp ??????
?
??
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? ??? ??
3
2
?? 32??k式中, 称体积粘性系数 。
p
p
k
k
根据气体分子运动理论
分子平动能量的度量
分子总能量的度量，其中包括平动、转动、振动能量及
其他能量
平平动能量转换为其他形式能量的一个度量, 例如穿过激
波
能能量从平动能量转变为振动能量, 此时 不为零 。
k
k
k
k xukxupp ??????
?
??
?
? ??? ??
3
2
Stokes假设
pp ??
0?k
k
0?k
? ??
3
2??
对单原子气体只有分子平动能量, 此时 ；
对多原子气体和液体, 通常情况下 也可认为近似为零；
Stokes假设,, 此时只有一个粘性系数, 而 。
0???
k
k
x
u pp ?? k
???
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???
?
?
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????
i
j
j
i
ijij x
u
x
up ???
不可压缩流体
包含 的项自动消失，
如果速度场已知, 则同一瞬时上述 点对于 点的相对运动速度
可计算如下,M?
M?
M
u u uu x y z u i v j w kx y z? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
uuu ??? ????
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x
x
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1.6 速度分解定理
速度梯度张量
M M
式中
写成分量形式
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y
u
x
u
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上式用矩阵表示为,
一个标量的梯度是一个矢量, 而一个矢量的梯度则是一个二阶
张量 。
是一个二阶张量，称为速度梯度张量。或
速度梯度张量也可表示成
或
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x
u
u
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速度梯度张量分解为两个张量
11
22
jji i i
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j j i j i
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x x x x x
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1
2
1
2
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2
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2
1
ijs
jiij ss ?
只有 6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对
应相等，可表示为,是一个对称张量。该张量描
述流体微团的变形运动，称 应变率张量 。
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y
w
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u
x
v
y
u
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ij
只有 3个独立分量, 对角线元素为零, 非对角线元素两
两互为负数, 可表示为, 是一个反对称张量 。
该张量描述流体微团的旋转运动, 称 旋转张量 。
ija
jiij aa ??
1
2
ji
ij
ji
uua
xx
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旋转张量
反对称张量只有三个独立量，可看作一个矢量的三个分量，
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u?? ??? 21?
这三个分量正好构成速度旋度的
123 ???a 231 ???a12 3a ???
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－ija
以 间的位移 和旋转张量 相乘，M M? r?? a
1 r o t
2r a x x r u rij j ij k j k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?a
在刚体的定点转动中，如果角速度为,则距定点距离 处
的旋转速度为, 比较知，
?? r??
r?? ???
u?? ??? 21?
速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的 2倍 。
表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 点相
对于 M 点的速度变化 。
11
22
1
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2
jji i i
i j j
j j i j i
ij j ij j
uuu u u
u x x
x x x x x
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ru D ?? ?? ?? s M?
1 r o t
2Ru u r????
速度分解定理
上式以矢量形式可写为，
表示由于流体微团变形而产生的 点相对于 M点的
速度变化。
M?
取一由流体质点组成的线段元, r??
1.7 应变率张量
正应变率分量
rrr ??? ????
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u u u
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x y z
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设某瞬时 与 x轴重合, 则
应变率张量对角线分量分别是 x,y,z轴线上的线段元 的相对
伸长率, 称正应变率分量 。
同理
,,x y z? ? ?
2r??1r??
1 2 1 2
1 2 2 1
,,( ),( )
( ),( )
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d t y d t x
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剪切应变率分量
取流体质点组成的线元,,设在某一瞬时 与 x轴重合，而
与 y轴重合，于是,1r
?? 2r??
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12 c o s
c o s s i n
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x y x y
x y x y
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x y x y x y
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式中 是 x 轴与 y 轴之间的夹角，, 于是，
应变率张量非角线分量分别是平行于 x 与 y 轴, z 与 x 轴, y 与
z 轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一半的负值, 称剪切
应变率分量 。
dt
d
x
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u zx?
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同理得,
iis
d iv ii u v wsux y z? ? ?? ? ? ?? ? ?
v?
体积应变率
应变率张量对角线分量之和 是一个标量，
取一流体团，体积为,外表面为 S，体积 的变化率等于通过封闭曲面 S
的速度通量，
v?
? ?? S dsunvdtd )( ???
? ? ?? ??? ??? vvSvv dvuvdsunvvdtdv ???? ???? 0 00 d iv1lim1lim1lim ???
uuvvv ?? d i v d i v 1lim 0 ?? ? ???
iis
应变率张量三个对角线分量之和 或速度的散度表示流体微元的相对体
积膨胀率 。
? ??? L ldu ??
1.8 速度环量和涡量
速度环量
速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量, 线积分沿逆时
针方向进行 。
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i
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j
j
k
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0??? u?
涡量
? 涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍,
? 涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比, 而与流体微团重心围绕
某一参考中心作圆周运动的角速度无关 。 流动是否有旋与流体质点的
运动轨迹无关 。 一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零 。
? 流场内处处 的流动称无旋流, 或称势流 。
的流动则称有旋流动 。
?? ?????? SS dsndsnu )( ????
?? ???? LS ldudsn ????
Stokes定理
涡通量：
Stokes定理：
1.9 涡旋的运动学特性
涡管和微元涡管
涡线，流场中的一条曲线，曲线上各点的涡量矢量方向和
曲线在该点的切线方向相同。
涡管, 在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线, 在某瞬
时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面, 称涡管 。 涡管
横截面无限小时称涡管元 。
0)( ????????? u??
涡旋场是无源场
矢量恒等式，
涡旋场内无源无汇。
0???? ?
02121 ?????????????? ???? ??? SSSSV dsndsndsndv ???????
12
SSn d s n d s? ? ? ? ???
涡管的运动学特性
推论：对一个确定的涡管, 它的任一横截面上的涡通量是一个
常数 。 该常数称为涡管强度 。
? 由, 对图示涡管,
1
1
?????S dsn?? 2
2
?????S dsn??
21 ???
推论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等 。
? 由 Stokes定理
1S
2S
?
由于涡旋场是无源场, 可以推断, 涡线和涡管都不能在
流体内部中断 。
如果发生中断, 则在中断处取封闭曲面, 通过封闭曲面
的涡通量将不为零, 与无源场事实相矛盾 。
涡线和涡管只能在流体中自行封闭, 形成涡环, 或将其
头尾搭在固壁或自由面, 或延伸至无穷远 。
涡线和涡管都不能在流体内部中断
下标 表示面元 的法线方向。
0limn A
Fp
A??
??
?
n A?
nn pp ?? ???
np?
np??
1.10 应力张量
应力矢量
,正侧流体对负侧流体的作用应力；
,负侧流体对正侧流体的作用应力 。
? ???? nnnnp,??
np nnn ?? ???
? ? 22 nnnn p ?? ? ?? ?
? ?nznynxnp ???,, ??
? ?xzxyxxxp ???,, ??
应力矢量的投影
应力的双下标表示法：
第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向，
第 2 个下标表示应力投影方向。
n?
),,( tnrpp nn ???? ?
一点的应力状态
在运动的粘性流体中, 表面应力的方向和大小一般来说与其
作用面的方位有关 （ 表面应力方向与法向 并不一致 ）, 因
此描述一点的应力状态似乎就需要无限多个矢量 。
下面将证明过空间一点的三个相互垂直平面（可取三个坐标
平面）上的应力矢量或它们的九个分量完全描写了一点的应
力状态。
取四面体流体元,
应力矢量与应力张量
sA B C ???
snsO B C xx ?? ???
snsO A C yy ?? ???
zzO A B s n s??? ? ?
? ?),c o s (),,c o s (),,c o s (),,( znynxnnnnn zyx ???
惯性力,
重力,
表面力,
va?? ? ?
vg?? ?
spn?? xx sp ??? yy sp ??? zz sp ???
0?v?
应力矢量与应力张量
达朗贝尔原理：作用于四面体上的质量力 （ 重力 ）, 表面力
和惯性力及其力矩应该平衡 。
当, 重力, 惯性力为三阶无穷小量, 表面力为二阶无穷
小量, 因此仅需考虑表面力作用, 忽略惯性力和重力影响 。
??? 0F? 0???? ??? zzyyxxn spspspsp ???? ????
zzyyxx pppppp ?????? ?????? ???,,
zzyyxxn npnpnpp ???? ???
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应力矢量与应力张量
ij?
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zzzyzx
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???
???
jiij ?? ?
σ n?
应力张量
或 称应力张量
应力张量的对角线元素为法向应力分量, 非对角线元素为切向应力分量 。
用四面体上的表面力的合力矩为零可以证明 应力张量是对称张量, 只
有 6个独立分量, 其非对角线分量两两对应相等,
应力张量 不再与 有关, 而只是空间点位置和时间的函数, 由九个分
量 （ 6个独立分量 ） 组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态
。
jjini n?? ?
nx x x x
ny y y y
nz zz z
n
n
n
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znnnz
ynnny
xnnnx
n
n
n
??
??
??
1.11 理想流体与静止流体的应力张量
一点的应力状态
在理想流体或静止流体中切应力为零
pnnzzyyxx ????? ????
n?
p?
p
由于 是任选的, 上式表明同一点各个不同方向上的法向应力是相等的 。 取
是强调压强与作用面的法线方向是相反的, 由此可见在理想流体或静止
流体中, 只要用一个标量函数即压力函数 便完全地描述了一点上的应力状
态 。
比较上 2 式得,
00
00
10
1
01
nn
ij n n
nn
ij
p
p
p
pp
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??
应力张量
1.12 本构方程
应力和应变率之间的关系, 或者说应力张量和应变率张量之间的关
系称本构方程 。
ijijij p ??? ???
ij?
p
ij?ij?
p ij? ij?
三点假设之一
运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量, 流体
压强此时即为静力学压强, 据此应力张量可表示为,
应力张量
热力学压强
剪切应力张量或偏应力张量。 由于流体运动而引起，当运动消失
时趋于零,也趋于静力学压强。由于, 均是对称张量，因
此偏应力张量 也是对称张量。
ij?
三点假设之二
ij?
j
ixu??偏应力张量 的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线性齐次函数。
k
ij ijk l
l
u
x??
??
?
这里假设应力张量是速度梯度张量的线性函数, 而且只和速度梯度张量有关,
满足上述关系的流体称牛顿流体, 不满足此关系的流体则称非牛顿流体 。
比例常数 应是一个 4阶张量 。
ijkl?
ijkl?
三点假设之三
流体是各向同性的, 流体的物理性质, 如粘性, 导热率等均与方向无关,
只是坐标位置的函数 。 从数学上讲, 即要求是 各向同性张量 。 各向
同性张量的每一分量经过坐标旋转变换后不改变其值 。
四阶各向同性张量可表示为
? ? ? ?jkiljlikjkiljlikkliji j k l ?????????????? ?????
? ?jkiljlikkliji j k l ????????? ???
l
ki j k lij
x
u
?
?? ??
ij?
ijkl?
ijkl?
由, 考虑到 对 i, j 两个指标是对称的, 对指标 i,
j 也应该是对称的, 于是 可进一步简化为,
ijkl? 对 k,l 也是对称的
? ?ki j i j k l i j k l k l k l i j k l k l i j k l k l i j k l k l
l
u s a s a s
x? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
?
本构方程
ijkl? kla
0?klijkla?
由于 对 k,l 对称, 而旋转张量 对 k,l 反对称, 因此
上式从数学上证明了偏应力与旋转无关, 而只和变形有关 。
? ?1
2
kl
i j i j k l i k j l i l j k
lk
jki
ij
k j i
uu
xx
uuu
x x x
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i
j
j
i
k
k
ijijij x
u
x
u
x
up ?????
? ?上式中的, 需由实验确定，其物理意义也需要进一步解释。
富立叶定律
Tkq ??? ?
i
i x
Tkq
?
???
动力粘性系数
)( yuu ? 0?? wv
dy
du?? ?
牛顿内摩擦定律
不可压缩流体的剪切流动
0???
k
k
x
u
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???
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i
j
j
i
ijij x
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x
up ???不可压缩流体
p???? 332211 ??? 023323113 ???? ????
dy
du??? ??
2112
?与牛顿内摩擦定律比较可看出,即动力粘性系数。
1.13 粘性系数
第二粘性系数 和体积粘性系数? k
一点的平均正应力
? ?1 1 2 2 3 3
1
3
1
2 2 2
3
2
3
k k k
k k k
kk
kk
p
u u uu v w
p p p
x x x y x z
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p
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? ? ? ? ???
????
k
k
k
k xukxupp ??????
?
??
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? ??? ??
3
2
?? 32??k式中, 称体积粘性系数 。
p
p
k
k
根据气体分子运动理论
分子平动能量的度量
分子总能量的度量，其中包括平动、转动、振动能量及
其他能量
平平动能量转换为其他形式能量的一个度量, 例如穿过激
波
能能量从平动能量转变为振动能量, 此时 不为零 。
k
k
k
k xukxupp ??????
?
??
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? ??? ??
3
2
Stokes假设
pp ??
0?k
k
0?k
? ??
3
2??
对单原子气体只有分子平动能量, 此时 ；
对多原子气体和液体, 通常情况下 也可认为近似为零；
Stokes假设,, 此时只有一个粘性系数, 而 。
0???
k
k
x
u pp ?? k
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???
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??
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????
i
j
j
i
ijij x
u
x
up ???
不可压缩流体
包含 的项自动消失，
