332211 eaeaeakajaiaa zyx ???
???? ??????
（ 1）指标表示法和符号约定
指标表示法
x,y,z 分别计作 x1,x2,x3，
ax,ay,az分别计作 a1,a2,a3，
而三个单位矢量 分别计作
也可表示为,
i 是自由指标, 可取 1,2,3。
,,,321 eee ???
ia
,,i j k
笛卡尔张量
332211 babababa ii ???
332211 eaeaeaea ii ???? ???
2 2 21 2 3iia a a a a a? ? ? ?
求和约定
在同一项中如有两个指标相同时, 就表示对该指标从 1到 3求和,
重复出现的指标称为 哑指标,
改变哑指标的字母并不改变表达式的内容 。
克罗内克 (Kronecker)符号
??
??
1
0
ij?
ji?
ji?
ij?
符号具有以下重要性质：
jiij ?? ?
ijij aa ??
3?ii?
ikjkij ??? ?
3?? iiijij ???
13312112,???? ??
ijijjjjjjj aaaaaaaa ???? ????,,,332211
3332211 ???? ???? ii
ksjtktjsi s tijk ?????? ??
ktijtijk ??? 2? ktktktkjjtktjji j ti j k ????????? 23 ?????
62 ?? kkijkijk ???
0?ijijk ??
ijk?置换符号
?
?
?
?
?
?
?
1
1
0
ijk?
i,j,k 偶排列, 123,231,312
i,j,k中有两个以上指标相同时
i,j,k 奇排列, 213,321,132
有以下重要性质：ijk?
jiij ee ?? ???
矢量和张量的运算举例
ki j kji eee ??? ???
1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 3,e e e e e e e e??? ? ? ? ? ? ?
? ?kjii j k eee ??? ????
1 2 3 1 1 1 2 3 1 3 2 1 1 1 3 2( ) 1,( ) ( ) 1e e e e e e e e e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? i j kj kiilj kllj klikji eeeee ????? ??????? ?????
321
321
321
bbb
aaa
eee
ebabaeeebeaba kjii j kjijijjii
???
???????
??????? ?
0??? aaaa kji j k ???
? ? ? ? ? ? ? ?lkljii j kllkjii j k eecbaecebacba ??????? ?????? ??
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cbacba kjii j kklljii j k ??? ???
? ? ? ? ? ? iiijjijijijjii babaeebaebeaba ??????? ???????
例题 1,展开下列求和式,
解：
332211).1( aaaaaaaa ii ???
333323321331
322322221221311321121111
332211).2(
aaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaa kkkkkkkjjk
???
??????
???
.).2(;).1( kjjkii aaaa
例题 2,已知,,求,
是位置矢量,;).3(;).2(;).1( vvwvwv ?????? ???
12( 4 ), ; ( 4 ), ; ( 4 ),,,e v e v r v r x i y j z k? ? ? ? ? ?
2 5,3v i j k w i j k? ? ? ? ? ?
.
4151231332211 ????????????? wvwvwvwvwv ii??
1 2 5
3 1 1
( 2 1 1 5 ) ( 3 5 1 1 ) ( 1 1 2 3 )
3 16 7
i j k
vw
i j k
i j k
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
30521 222332211 ????????? vvvvvvvvvv ii??解,
11111 ?????? vveveve jjjj ?????
1)52(1 ?????? kjiive ??????
jkjvkvevev
eveveve
zy
jiijii
??????
?????
52231 3 2321 2 3
111
??????
????
??
?
jkkijikjiive ???????????? 5252)52(1 ???????????
kyxjxzizyzyx
kji
vr )2()5()25(
521
???????
?
??
???
??
例题 3,证明
证明,
)()()( vuwwuvwvu ????????? ??????
mljl m ki j kmlk l mji j k
kji j k
wvuwvu
wvuwvu
????
?
??
???? )()( ?????
)()(
)(
vuwwuv
vuwwuv
wvu
jjijji
mljjlimjmil
??????
????
??
?? ????
()
()
j j k lm l m k
j k lm l m ijk i
ijk lm k j l m
u v w
u e v w e
u v w e
u v w
?
??
??
??
??
?
?
又证：
上述结果已经和上页第三步相同。
哈密顿算子
一个具有微分及矢量双重运算的算子
zkyjxi ?
??
?
??
?
??? ???
利用张量表示法哈密顿算子可写为
i
i xe ?
??? ?
利用哈密顿算子进行运算时, 先进行微分运算, 后进行矢量运算 。
)()()()()(
iiji
ij
ji
ji
j
j
i
i xxxxxxeexexe ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
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???
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?
????? ?????? ????
i
i
i
i xexe ?
??
?
??? ??? ?? )(
? ? ? ?
i
i
i
j
ij
i
j
jijj
i
i x
a
x
a
x
aeeea
xea ?
??
?
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???
?
?
???? ??????
j
k
ii j k
i
j
ki j k
i
j
jijj
i
i x
ae
x
ae
x
aeeea
xea ?
??
?
??
?
????
?
???? ??????? ??)()(
321
321
321
2
1
1
2
3
1
3
3
1
2
3
2
2
3
1 )()()(
aaa
xxx
eee
x
a
x
a
e
x
a
x
a
e
x
a
x
a
e
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???
???
例题 1.分别写出 在直角坐标下的表达式,aa ?? ????????,,,??
kzjyixxe
i
i
????
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??
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??
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??? ?????
2
2
2
2
2
2
)( zyxxx
ii ?
??
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????? ?????
z
a
y
a
x
a
x
aa zyx
i
i
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??
?
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??
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???? ?
)()()(
321
321
321
y
a
x
a
k
x
a
z
a
j
z
a
y
a
i
aaa
zyx
kji
aaa
xxx
eee
a
xyzxyz
zyx
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???
???
??????
?
解,
例题 2,是位置矢量,,证明,,r x i y j z k? ? ?
rr ??
( 1 ), ; ( 2 ), 3 ; ( 3 ), 0 ; ( 4 ) ( ),rr r r a r a ar? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是常矢量,
证明, (1).
,rrrxexrer ii
i
i
???
??????
.,222222 rxxr
zyx
xzyx
xx
r i
i
???
??
???????? 即
以上证明中用到
(2),()
3
j
i j j i j
ii
j i
ij ii
ii
x
r e x e e e
xx
x x
xx
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ?
? ? ? ?
??
3???????????? zzyyxxr?
0
)(
???
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???
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???
ki i kjiki j k
i
j
ki j k
i
j
jijj
i
i
ee
x
x
e
x
x
eeex
x
er
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??????
???
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aaeae
x
x
aexa
x
era
iiijji
i
j
jijj
i
i
???
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???
??
????
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)()(
(4),
(3),
例题 3.证明,0,0)( ????????? sa?
i
kj
i j kk
j
ii j k ex
s
xsxes
?? )()(
?
?
?
???
?
????? ??
0
)]()([
)]()([
)]()([
)]()([
)]()([
)]()([
1221
3
3113
2
2332
1
12
321
21
3123
31
213
13
2312
23
132
32
1231
?
?
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xx
s
x
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x
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xx
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x
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x
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xx
s
x
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x
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xx
s
x
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x
s
xx
s
x
e
x
s
xx
s
x
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证明：
k
i j k i
j
aae
x?
?? ? ?
?
0
)()()(
)()()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()(
1
3
22
3
13
2
1
1
2
32
1
33
1
2
1
3
2
321
2
3
1
312
3
2
1
213
1
2
3
231
2
1
3
132
3
1
2
123
?
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xx
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xx
a
x
x
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xx
a
xx
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x
x
a
xx
a
x
x
a
xx
a
x
x
a
xx
a
x
x
a
xx
a
x
e
x
a
x
ea
x
ea
l
m
j
m j l
l
m
i
ijj l m
j
l
m
j l m
i
ij
i
i
??
??
??
???
?
?????
（ 2） 张量
标量, 矢量和张量
标量 是一维的量, 它只需 1个数及单位来表示, 如温度, 密度 。
矢量 则不仅有数量的大小, 而且有指定的方向, 它必需由某一空间坐标
系的 3 个坐标轴方向的分量来表示, 因此矢量是三维的量 。
三维空间中的 二阶张量 是一个 9维的量, 必须用 9个分量才可完整的表示
,如应力, 变形速率 。
三维空间中的 n 阶张量 由 3n 个分量组成 。
标量和矢量均可看作低阶张量, 标量为零阶张量, 而矢量为一阶张量 。
笛卡尔张量 。
二阶张量
二阶张量有 9个分量, 通常也可表示为矩阵形式, 即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
ppp
ppp
ppp
p ij
（ 3） 二阶张量的代数运算
张量相等
两个张量相等则各分量一一对应相等 。 设,, 若
则
若两个张量在某一直角坐标系中相等, 则它们在任意一个直角坐标系中
也相等 。
ija?a ijb?b
ba?
ijij ba ?
张量加减
设,, 则
张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张
量才能相加减 。
ija?a ijb?b
ij ijab? ? ?ab
张量数乘
二阶张量 乘以标量,,则
张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量 。
a ? ab ??
ijij ab ??
点积和双点积
设,, 定义点积为jiij eea ???a
jiij eeb ???b
? ? ? ?lkkljiij eebeea ???? ???ba
lijlijlijkklij eebaeeba ???? ?? ?
二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运
算，得到一个新的二阶张量。
二阶张量与矢量的点积 则定义为
矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。
? ? kijjkikjjkii ebaeebeaa ????? ????? b kiki eba ??
? ? ? ? ijkkijkkjiij eabeaeeba ????? ?????b ijij eab ??
? ? ? ?lkkljiij eebeea ????,,?ba ijijjlikklij baba ?? ??
二阶张量的双点积 定义为：
二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量 。
两个矢量 的并矢定义为
也可写成
并矢是一个二阶张量 。 坐标单位矢量的两两并矢 称为并基,
三维空间的二阶并基共有 9个 。
并矢运算不服从交换律 。
,i i j ja a e b b e??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
332313
322212
312111
bababa
bababa
bababa
baba ji
??
? ? jiji eebaba ???? ?
jiee??
并矢
共轭张量
设 P 是一个二阶张量, 则 也为一个二阶张量, 称为 P的共轭张量,
可表示为
ijp?p
jic p?p
cp
11 21 31
12 22 32
13 23 33
P c j i
p p p
p p p p
p p p
??
????
??
(4)共轭张量,对称张量、反对称张量和张量的分解
若二阶张量分量 之间满足
则称此张量为对称张量, 可表示为
一个对称张量, 只有 6个独立的分量 。
ijp
jiij pp ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
332313
232212
131211
sss
sss
sss
s ijs
对称张量
若二阶张量分量 之间满足
则称此张量为反对称对张量, 可表示为
一个反对称张量只有 3个独立的分量, 对角线各元素均
为零 。
ijp
ij jipp??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
0
2331
2312
3112
aa
aa
aa
a ija
反对称张量
张量分解定理
一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之
和：
容易验证上式右边第一项是对称张量, 第二项是反对称张量 。
? ? ? ?cppppp ???? 2121 c
（ 5） 张量的微分运算
梯度
设矢量, 则
一个矢量的梯度是一个新的二阶张量 。 一般来讲,
一个 n 阶张量的梯度是 阶张量 。
iieaa ?? ?
? ? ji
i
j
jj
i
i eex
aea
xea
?????
?
??
???
?
???
?
?
???
1?n
散度
设二阶张量,
一个二阶张量的散度是一个矢量 。 一般来讲, 一个 阶张量的散度是
阶张量 。
jiij eep ???p
? ? k
j
jk
kij
i
jk
kjjk
i
i ex
pe
x
peep
xe
?????
?
??
?
???
???
?
???
?
?
???? ?p
n
1?n
（ 6） 各向同性张量
在连续介质力学中, 通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无关,
即介质是各向同性的连续介质 。 表示这类力学性质的张量称为各向同性
张量, 如流体粘性, 电导率等 。 在数学上可作为下定义, 若一个张量在
正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值, 经过任一正交坐标变换后均保持
不变, 则称此张量为各向同性张量 。
零阶张量 （ 标量 ） 和任意阶零张量都是各向同性张量 。 这里零张量是指
全部分量值均为零的张量 。
一阶张量 （ 矢量 ） 除零矢量外, 都是各向异性张量 。
二阶各向同性张量都可写成 的形式，其中 为一标量常数。
三阶各向同性张量都可写成 的形式, 其中 为一标量常数 。
四阶各向同性张量都可表示为
其中,, 都是标量常数 。 当 i,j两指标对称时
其中 和 都是标量常数 。
ij?? ?
ijk?? ?
jkiljlikkliji j k lH ????????? ???
?
?
? ?jkiljlikkliji j k lH ???????? ???
?
?
?
例题 1.设, 求
解：
kzjyiuu ???? ???,uu ?? ??
相同。以上结果与
j
i
j
ijj
i
i
j
i
j
ij
i
j
kkiji
i
j
kk
ji
i
j
jj
i
i
e
x
u
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x
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z
w
w
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w
v
x
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uj
z
u
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x
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x
u
euuu
ee
x
u
eu
x
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bx
x
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x
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y
v
v
x
v
uj
y
u
v
x
u
uiuu
bx
y
by
x
u
uuuue
x
u
ue
x
u
u
euu
x
euu
x
eeuu
x
euu
k
j
k
jk
j
j
k
kkj
j
kkj
i
ijkjkj
i
i
???
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????
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???????
222
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)()(
()
()(
(
)()()(
,0)()(
)(
)()()()(
?????
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并由上题结果，
?
例题 2.
解
).,uubjbxibyu ????? （为常数，求其中已知 ?????
z
zzzyzx
y
yzyyyx
x
xzxyxx
i
j
ij
i
ij
j
i
g
zyxz
p
z
ww
y
vw
x
uw
w
t
g
zyxy
p
z
wv
y
vv
x
uv
v
t
g
zyxx
p
z
wu
y
vu
x
uu
u
t
g
xx
p
uu
x
u
t
?
???
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)()()(
)()()(
)()()(
)(
例题 3.写出下述方程在直角坐标系中的表达式
式中 τ 是切应力张量 (二阶张量 ).
解, 将上述矢量用张量表示法写出,
gpuuut ???? ?? ???????????? τ)()(
例题 4.设 τ 是对称张量,证明
证明,
)()(,τττ ????????? uuu ???
:, ( )
()
( ) ( ) ( )
()
()
j
ll
ij i j k l ij ik jl ij
k k i
ij i j k k ij k jk i ij j i
k ij j i ij j ik
kk
ij j
ij j j ij
i i i
jk
k
j
l
uuu
u e e e e
x x x
u e e u e u e u e
u e u e u
xx
u
uu
x x x
e
x
u u e
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
??
?
???
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
???
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
τ
τ
τ
τ
τ ()
( ) ( ),
jk jk jl ij
l k l lk l j
j j j i
ij j ij j
j ij j ij
i i i i
e u u u
x x x x
uu
u u u u u
x x x x
? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
τ τ τ
???? ??????
（ 1）指标表示法和符号约定
指标表示法
x,y,z 分别计作 x1,x2,x3，
ax,ay,az分别计作 a1,a2,a3，
而三个单位矢量 分别计作
也可表示为,
i 是自由指标, 可取 1,2,3。
,,,321 eee ???
ia
,,i j k
笛卡尔张量
332211 babababa ii ???
332211 eaeaeaea ii ???? ???
2 2 21 2 3iia a a a a a? ? ? ?
求和约定
在同一项中如有两个指标相同时, 就表示对该指标从 1到 3求和,
重复出现的指标称为 哑指标,
改变哑指标的字母并不改变表达式的内容 。
克罗内克 (Kronecker)符号
??
??
1
0
ij?
ji?
ji?
ij?
符号具有以下重要性质：
jiij ?? ?
ijij aa ??
3?ii?
ikjkij ??? ?
3?? iiijij ???
13312112,???? ??
ijijjjjjjj aaaaaaaa ???? ????,,,332211
3332211 ???? ???? ii
ksjtktjsi s tijk ?????? ??
ktijtijk ??? 2? ktktktkjjtktjji j ti j k ????????? 23 ?????
62 ?? kkijkijk ???
0?ijijk ??
ijk?置换符号
?
?
?
?
?
?
?
1
1
0
ijk?
i,j,k 偶排列, 123,231,312
i,j,k中有两个以上指标相同时
i,j,k 奇排列, 213,321,132
有以下重要性质：ijk?
jiij ee ?? ???
矢量和张量的运算举例
ki j kji eee ??? ???
1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 3,e e e e e e e e??? ? ? ? ? ? ?
? ?kjii j k eee ??? ????
1 2 3 1 1 1 2 3 1 3 2 1 1 1 3 2( ) 1,( ) ( ) 1e e e e e e e e e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? i j kj kiilj kllj klikji eeeee ????? ??????? ?????
321
321
321
bbb
aaa
eee
ebabaeeebeaba kjii j kjijijjii
???
???????
??????? ?
0??? aaaa kji j k ???
? ? ? ? ? ? ? ?lkljii j kllkjii j k eecbaecebacba ??????? ?????? ??
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cbacba kjii j kklljii j k ??? ???
? ? ? ? ? ? iiijjijijijjii babaeebaebeaba ??????? ???????
例题 1,展开下列求和式,
解：
332211).1( aaaaaaaa ii ???
333323321331
322322221221311321121111
332211).2(
aaaaaa
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaa kkkkkkkjjk
???
??????
???
.).2(;).1( kjjkii aaaa
例题 2,已知,,求,
是位置矢量,;).3(;).2(;).1( vvwvwv ?????? ???
12( 4 ), ; ( 4 ), ; ( 4 ),,,e v e v r v r x i y j z k? ? ? ? ? ?
2 5,3v i j k w i j k? ? ? ? ? ?
.
4151231332211 ????????????? wvwvwvwvwv ii??
1 2 5
3 1 1
( 2 1 1 5 ) ( 3 5 1 1 ) ( 1 1 2 3 )
3 16 7
i j k
vw
i j k
i j k
? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
30521 222332211 ????????? vvvvvvvvvv ii??解,
11111 ?????? vveveve jjjj ?????
1)52(1 ?????? kjiive ??????
jkjvkvevev
eveveve
zy
jiijii
??????
?????
52231 3 2321 2 3
111
??????
????
??
?
jkkijikjiive ???????????? 5252)52(1 ???????????
kyxjxzizyzyx
kji
vr )2()5()25(
521
???????
?
??
???
??
例题 3,证明
证明,
)()()( vuwwuvwvu ????????? ??????
mljl m ki j kmlk l mji j k
kji j k
wvuwvu
wvuwvu
????
?
??
???? )()( ?????
)()(
)(
vuwwuv
vuwwuv
wvu
jjijji
mljjlimjmil
??????
????
??
?? ????
()
()
j j k lm l m k
j k lm l m ijk i
ijk lm k j l m
u v w
u e v w e
u v w e
u v w
?
??
??
??
??
?
?
又证：
上述结果已经和上页第三步相同。
哈密顿算子
一个具有微分及矢量双重运算的算子
zkyjxi ?
??
?
??
?
??? ???
利用张量表示法哈密顿算子可写为
i
i xe ?
??? ?
利用哈密顿算子进行运算时, 先进行微分运算, 后进行矢量运算 。
)()()()()(
iiji
ij
ji
ji
j
j
i
i xxxxxxeexexe ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
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???
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?
????? ?????? ????
i
i
i
i xexe ?
??
?
??? ??? ?? )(
? ? ? ?
i
i
i
j
ij
i
j
jijj
i
i x
a
x
a
x
aeeea
xea ?
??
?
??
?
????
???
?
???
?
?
???? ??????
j
k
ii j k
i
j
ki j k
i
j
jijj
i
i x
ae
x
ae
x
aeeea
xea ?
??
?
??
?
????
?
???? ??????? ??)()(
321
321
321
2
1
1
2
3
1
3
3
1
2
3
2
2
3
1 )()()(
aaa
xxx
eee
x
a
x
a
e
x
a
x
a
e
x
a
x
a
e
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???
???
例题 1.分别写出 在直角坐标下的表达式,aa ?? ????????,,,??
kzjyixxe
i
i
????
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??
?
??
?
??? ?????
2
2
2
2
2
2
)( zyxxx
ii ?
??
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??
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????? ?????
z
a
y
a
x
a
x
aa zyx
i
i
?
??
?
??
?
??
?
???? ?
)()()(
321
321
321
y
a
x
a
k
x
a
z
a
j
z
a
y
a
i
aaa
zyx
kji
aaa
xxx
eee
a
xyzxyz
zyx
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?
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???
???
??????
?
解,
例题 2,是位置矢量,,证明,,r x i y j z k? ? ?
rr ??
( 1 ), ; ( 2 ), 3 ; ( 3 ), 0 ; ( 4 ) ( ),rr r r a r a ar? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?是常矢量,
证明, (1).
,rrrxexrer ii
i
i
???
??????
.,222222 rxxr
zyx
xzyx
xx
r i
i
???
??
???????? 即
以上证明中用到
(2),()
3
j
i j j i j
ii
j i
ij ii
ii
x
r e x e e e
xx
x x
xx
??
??
? ? ? ? ? ?
??
? ?
? ? ? ?
??
3???????????? zzyyxxr?
0
)(
???
?
?
?
?
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???
?
?
???
ki i kjiki j k
i
j
ki j k
i
j
jijj
i
i
ee
x
x
e
x
x
eeex
x
er
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??????
???
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aaeae
x
x
aexa
x
era
iiijji
i
j
jijj
i
i
???
?
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?
???
??
????
?
)()(
(4),
(3),
例题 3.证明,0,0)( ????????? sa?
i
kj
i j kk
j
ii j k ex
s
xsxes
?? )()(
?
?
?
???
?
????? ??
0
)]()([
)]()([
)]()([
)]()([
)]()([
)]()([
1221
3
3113
2
2332
1
12
321
21
3123
31
213
13
2312
23
132
32
1231
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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x
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xx
s
x
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x
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xx
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x
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x
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xx
s
x
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x
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xx
s
x
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x
s
xx
s
x
e
x
s
xx
s
x
e
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?
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??
??
证明：
k
i j k i
j
aae
x?
?? ? ?
?
0
)()()(
)()()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()(
1
3
22
3
13
2
1
1
2
32
1
33
1
2
1
3
2
321
2
3
1
312
3
2
1
213
1
2
3
231
2
1
3
132
3
1
2
123
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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x
a
xx
a
xx
a
x
x
a
xx
a
xx
a
x
x
a
xx
a
x
x
a
xx
a
x
x
a
xx
a
x
x
a
xx
a
x
e
x
a
x
ea
x
ea
l
m
j
m j l
l
m
i
ijj l m
j
l
m
j l m
i
ij
i
i
??
??
??
???
?
?????
（ 2） 张量
标量, 矢量和张量
标量 是一维的量, 它只需 1个数及单位来表示, 如温度, 密度 。
矢量 则不仅有数量的大小, 而且有指定的方向, 它必需由某一空间坐标
系的 3 个坐标轴方向的分量来表示, 因此矢量是三维的量 。
三维空间中的 二阶张量 是一个 9维的量, 必须用 9个分量才可完整的表示
,如应力, 变形速率 。
三维空间中的 n 阶张量 由 3n 个分量组成 。
标量和矢量均可看作低阶张量, 标量为零阶张量, 而矢量为一阶张量 。
笛卡尔张量 。
二阶张量
二阶张量有 9个分量, 通常也可表示为矩阵形式, 即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
ppp
ppp
ppp
p ij
（ 3） 二阶张量的代数运算
张量相等
两个张量相等则各分量一一对应相等 。 设,, 若
则
若两个张量在某一直角坐标系中相等, 则它们在任意一个直角坐标系中
也相等 。
ija?a ijb?b
ba?
ijij ba ?
张量加减
设,, 则
张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张
量才能相加减 。
ija?a ijb?b
ij ijab? ? ?ab
张量数乘
二阶张量 乘以标量,,则
张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量 。
a ? ab ??
ijij ab ??
点积和双点积
设,, 定义点积为jiij eea ???a
jiij eeb ???b
? ? ? ?lkkljiij eebeea ???? ???ba
lijlijlijkklij eebaeeba ???? ?? ?
二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运
算，得到一个新的二阶张量。
二阶张量与矢量的点积 则定义为
矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。
? ? kijjkikjjkii ebaeebeaa ????? ????? b kiki eba ??
? ? ? ? ijkkijkkjiij eabeaeeba ????? ?????b ijij eab ??
? ? ? ?lkkljiij eebeea ????,,?ba ijijjlikklij baba ?? ??
二阶张量的双点积 定义为：
二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量 。
两个矢量 的并矢定义为
也可写成
并矢是一个二阶张量 。 坐标单位矢量的两两并矢 称为并基,
三维空间的二阶并基共有 9个 。
并矢运算不服从交换律 。
,i i j ja a e b b e??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
332313
322212
312111
bababa
bababa
bababa
baba ji
??
? ? jiji eebaba ???? ?
jiee??
并矢
共轭张量
设 P 是一个二阶张量, 则 也为一个二阶张量, 称为 P的共轭张量,
可表示为
ijp?p
jic p?p
cp
11 21 31
12 22 32
13 23 33
P c j i
p p p
p p p p
p p p
??
????
??
(4)共轭张量,对称张量、反对称张量和张量的分解
若二阶张量分量 之间满足
则称此张量为对称张量, 可表示为
一个对称张量, 只有 6个独立的分量 。
ijp
jiij pp ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
332313
232212
131211
sss
sss
sss
s ijs
对称张量
若二阶张量分量 之间满足
则称此张量为反对称对张量, 可表示为
一个反对称张量只有 3个独立的分量, 对角线各元素均
为零 。
ijp
ij jipp??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
0
2331
2312
3112
aa
aa
aa
a ija
反对称张量
张量分解定理
一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之
和：
容易验证上式右边第一项是对称张量, 第二项是反对称张量 。
? ? ? ?cppppp ???? 2121 c
（ 5） 张量的微分运算
梯度
设矢量, 则
一个矢量的梯度是一个新的二阶张量 。 一般来讲,
一个 n 阶张量的梯度是 阶张量 。
iieaa ?? ?
? ? ji
i
j
jj
i
i eex
aea
xea
?????
?
??
???
?
???
?
?
???
1?n
散度
设二阶张量,
一个二阶张量的散度是一个矢量 。 一般来讲, 一个 阶张量的散度是
阶张量 。
jiij eep ???p
? ? k
j
jk
kij
i
jk
kjjk
i
i ex
pe
x
peep
xe
?????
?
??
?
???
???
?
???
?
?
???? ?p
n
1?n
（ 6） 各向同性张量
在连续介质力学中, 通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无关,
即介质是各向同性的连续介质 。 表示这类力学性质的张量称为各向同性
张量, 如流体粘性, 电导率等 。 在数学上可作为下定义, 若一个张量在
正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值, 经过任一正交坐标变换后均保持
不变, 则称此张量为各向同性张量 。
零阶张量 （ 标量 ） 和任意阶零张量都是各向同性张量 。 这里零张量是指
全部分量值均为零的张量 。
一阶张量 （ 矢量 ） 除零矢量外, 都是各向异性张量 。
二阶各向同性张量都可写成 的形式，其中 为一标量常数。
三阶各向同性张量都可写成 的形式, 其中 为一标量常数 。
四阶各向同性张量都可表示为
其中,, 都是标量常数 。 当 i,j两指标对称时
其中 和 都是标量常数 。
ij?? ?
ijk?? ?
jkiljlikkliji j k lH ????????? ???
?
?
? ?jkiljlikkliji j k lH ???????? ???
?
?
?
例题 1.设, 求
解：
kzjyiuu ???? ???,uu ?? ??
相同。以上结果与
j
i
j
ijj
i
i
j
i
j
ij
i
j
kkiji
i
j
kk
ji
i
j
jj
i
i
e
x
u
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x
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z
w
w
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w
v
x
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z
u
w
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x
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x
u
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x
u
euuu
ee
x
u
eu
x
eu
????
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y
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x
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x
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y
v
v
x
v
uj
y
u
v
x
u
uiuu
bx
y
by
x
u
uuuue
x
u
ue
x
u
u
euu
x
euu
x
eeuu
x
euu
k
j
k
jk
j
j
k
kkj
j
kkj
i
ijkjkj
i
i
???
??
????
?
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???????
222
)
)()(
()
()(
(
)()()(
,0)()(
)(
)()()()(
?????
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并由上题结果，
?
例题 2.
解
).,uubjbxibyu ????? （为常数，求其中已知 ?????
z
zzzyzx
y
yzyyyx
x
xzxyxx
i
j
ij
i
ij
j
i
g
zyxz
p
z
ww
y
vw
x
uw
w
t
g
zyxy
p
z
wv
y
vv
x
uv
v
t
g
zyxx
p
z
wu
y
vu
x
uu
u
t
g
xx
p
uu
x
u
t
?
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???
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?
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)()()(
)()()(
)()()(
)(
例题 3.写出下述方程在直角坐标系中的表达式
式中 τ 是切应力张量 (二阶张量 ).
解, 将上述矢量用张量表示法写出,
gpuuut ???? ?? ???????????? τ)()(
例题 4.设 τ 是对称张量,证明
证明,
)()(,τττ ????????? uuu ???
:, ( )
()
( ) ( ) ( )
()
()
j
ll
ij i j k l ij ik jl ij
k k i
ij i j k k ij k jk i ij j i
k ij j i ij j ik
kk
ij j
ij j j ij
i i i
jk
k
j
l
uuu
u e e e e
x x x
u e e u e u e u e
u e u e u
xx
u
uu
x x x
e
x
u u e
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
??
?
???
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
???
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
τ
τ
τ
τ
τ ()
( ) ( ),
jk jk jl ij
l k l lk l j
j j j i
ij j ij j
j ij j ij
i i i i
e u u u
x x x x
uu
u u u u u
x x x x
? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
τ τ τ
