为保证无流体穿过球面 (即 球面 ),球内区域的总源汇之和必
需为零,
5.10 点源流场中的圆球
2ax l?
l
ax 20 ??
设在 x = l 处有一强度为 Q 的
点源，今在原点放置一半径为 a
的圆球，求球外流场分布。
在 点放置点源,
在 放置均匀连续分
布的线汇，线汇单位长度强度
为 q。
** O P Q O Q P O P Q O Q P? ? ? ? ? ? ?
*2 Qlaq ? 2* alQq ?
0??
Q?
P
QQ?
??
a ? ?
? ? ?
2a
l
l
o x
流函数
球外任一点 P 的流函数 ? ?
? ?
2
(,) 1 c o s
4
*
1 c os
4
4
Q
r
Q
qa
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对于球面上的 P点,? ?
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2
(,) 1 c o s
4
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1 c os
4
4
Q
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??
5.10 点源流场中的圆球
P
QQ?
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2a
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l
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2
2
c o s( ) c o s( )
c o s c o s
aa
l
a a
l
? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
2* a
lQq ?
考虑到几何关系
及
5.10 点源流场中的圆球
P
QQ?
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a ? ?
? ? ?
2a
l
l
o x
2 2 2
2
*
c o s c o s
44
*
( 1 c o s ) ( 1 c o s )
4
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l a l l
Ql
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??
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? ? ? ? ? ?? ? ? ?
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????
及
线汇流函数
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2*
(,) 1 c o s 1 c o s
4 4 4
**
1 c o s 1 c o s ( 1 c o s ) ( 1 c o s )
4 4 4
Q Q q a
aa
l
Q Q Q l
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????
?????? ???? alQQ ??? 4 *4)c o s1(
*(,) 0 0 *44Q Q l aa Q Qal?? ??? ? ? ? ? ? ?
a
Q
a
lQq ??
2*
?????? ???????? aarlaQlaQQr ???????? 4)c o s1(4)c o s1(4),(
令球面上流函数为零，
于是
球外一点 P的流函数表达式,
势函数
* t a n ( / 2 )(,) l n
4 4 4 t a n ( / 2 )
Q Q qr ???
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ??
??
t a n ( / 2 )ln
4 4 4 t a n ( / 2 )
Q Q a Q
la
?
? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ??
??
5.10 点源流场中的圆球
均匀流和一对等强度的点源和点汇叠加可得到绕流兰金卵球体的解 。
5.11 兰金卵球体
流函数 ? ?
2122 c o sc o s4s i n2
1 ??
??? ???
QUr
?
l
?
2r
l
1r
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Q ?
Q?
1? 2?
sinRr??
U
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h
L
U
设 面上,, 则0??
0rr? ?sin00 rR ?
? ?2120 c o sc o s4210 ??? ??? QUR
? ?20 1 2c os c os2 QR U ?????
021 ???? ??? ?? 21
00 ?R
3,
22
????
0R
取最大值。
时
时及
5.11 兰金卵球体
? ?Q Q?
h
L
U
?
l
?
2r
l
1r
r
Q ?
Q?
1? 2?
sinRr??
U
求对称卵球体的 和L h
卵球体后驻点速度为零，后驻点速度可由均匀流、
电源和点汇在该点的速度叠加得到。
0)(4)(4 22 ????? lLQlLQU ??
? ? 0222 ??? LUQllL ?
求解上式即可得到 L
5.11 兰金卵球体
? ?Q Q?
h
L
U
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l
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2r
l
1r
r
Q ?
Q?
1? 2?
sinRr??
U
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22
2
22
1
1
1
1c o s
hl
l
l
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???
?
???
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???? 2222
2
2 lh
l
lh
l
U
Qh
?
0222 ??? UQllhh ?
求解上式可得到 h 。
在卵球体表面
2???
l
h?
1tan ? l
h??
2tan ?
hR ?0
时
? ?Q Q?
h
L
U
求对称卵球体的 和L h
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l
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2r
l
1r
r
Q ?
Q?
1? 2?
sinRr??
U
势函数
21 44
c o s),( rQrQUrr ????? ???
5.11 兰金卵球体
均匀来流绕流任意形状的三维物体 （ 或任意形状的三
维物体在静止流体中作匀速直线运动 ）, 流体作用于
物体的合力为零 。
5.12 达朗贝尔佯谬
取 和 面之间空间为控制体，运用动量定理于控制体，
iS 0S
?? ????? 00 SS dsnuudsnpF ????? ?
为物体对流体作用力F??
左边第 2项为 外流体对 内流体的
作用力,0S
0S
0S
iS
右边为单位时间通过 面流出控制
体的流体动量 。
因为 为物面, 通过 的流体动
量为零 。i
S
iS
0S
in
0n
F
U
动量定理
势流伯努利方程，,并考虑到cuup ??? )(
2 ??? ? ?
0
0 S dsnc ?
? ?? ?????? ????
0
)( 21
S
dsnuunuuF ??????? ?
uUu ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
0
0
2
1
2
11
22
S
S
F U u U u n U u U u n ds
U U u u u n U U n U u n
u U n u u n ds
?
?
??
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???
??
??
? ??
?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??
?
???
?? ? ?? ? ? ?
?
?
?
5.12 达朗贝尔佯谬
? ?0 2 0 S dsnU ? ? ?? ??0 0 S dsnUU ???
? ? 0
00
????????? ???
iSSS
dsnuUdsnuUdsnuU ?????????
iS
? ? ? ?? ?? ?????? ????????????? ???????
0
21
S
dsnuunUunuuuUF ???????????? ?
? ? ? ? ? ?uUnnUunuU ????????? ?????????
? ? ? ? ? ?? ?????? ?????????????
0
21S dsnuunuunuUF ?????????? ?
由连续方程
通过物面 的流量为零 。
矢量恒等式
为常数,为常矢量，2U U?
5.12 达朗贝尔佯谬
? ? ? ? ? ? ? ? ?
0
2
11
22SF U U u u u n U U n U u n u U n u u n d s?
? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??
????
因此当 半径取无穷大时,
量阶分析
??????????? ?
?
?
? 32
0
1
1c o s
44
)( c o s
rOrr
Q
r
PA
l
l
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???????? 21rOu?
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1
4
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32
1
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? ?2rOds ?
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? ??????????0 21 )(S rOdsnuu ???
? ??????????
0
2
1 )(
S r
Odsnuu ???
0?F?
0S
5.12 达朗贝尔佯谬
物体在实际流体中作匀速直线运动时, 由于粘性的
影响, 总会受到流体的阻力作用 。 物体的阻力由摩
擦阻力和压差阻力组成 。 流线型物体受到的阻力很
小, 与上述阻力为零的结论接近 。
5.12 达朗贝尔佯谬
5.13 奇点对物体的作用力
奇点可能是点源，点汇或偶极子。
以 So内, S 和 Si外的空间为控制
体, 应用动量定理于该控制体,
0
0
( ) ( )
i
i
SS
SS
F p n d s p n d s
p u u n d s p u u n d s
? ? ? ?
? ? ?
??
??
0S 0S由上节推导知，当 半径取无穷大时，对于 面的积分之和等于零，于是
? ?? ???
iS
dsnuunpF )( ????? ?
cuup ??? )(21 ???
? ?? ?????? ?????
iS
dsnuunuuF )( 21 ??????? ?
势流伯努利方程
iS
0S
in
0n
F
U
?
S
n
ix
点源 （ 汇 ） 对物体的作用力
奇点是强度为 Q 的点源, 则 Si 面上的速度为
iue
Qu ??? ??
??? 24
为除处奇点外的其他原因引起的速度，
iu?
iii uuue
QQuu ?????? ??????
????? 242
2
216
?? ?? eu
Qeunu
ii
?????? ??????
24
代入动量式
? ? ? ?
2
2 4 2 2 2
2
2 4 2
1
2 1 6 2 4 4
1
3 2 2 4
i
i
i i i i iS
i i i i iS
Q Q Q Q
F e u u u e e u u e d s
QQ
e u u e u u e u d s
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? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
???? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?
? ? ? ?????
??
? ? ? ? ? ???
??
?
?
5.13 奇点对物体的作用力
当 时, 可看作常数, 常数, 于是上式积分的第 1,2项均
为一个常数和 相乘对 作面积分, 都应等于零 。
0?? iu? ?? ii uu ??
?e? i
S
?? ????? V iS iii dvuudseuui 0)( ????? ?
2
2 2 2 44 4 4 ????
?
??
?
??? iSiiS u
QdsuQdsuQF
ii
???? ??? ??
iuQF ?? ??
物体受到的力与点源强度 Q 成正比, 与速度 大小成正比, 方向与 相同,
是除了考虑中的奇点以外的其他原因在该奇点处引起的速度 。iu
?
iu?
iu?
5.13 奇点对物体的作用力
? ? ? ?22 4 2 1 3 2 2 4
i i i i i iS
QQF e u u e u u e u d s
? ? ?? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ???
???
偶极子对物体的作用力
点处速度为,
ixx? ix ue
Q ?? ?
24??
点处速度,??? ixx
24 ixi
uQ eu
x???
???
?
上述速度未考虑 处的点源对速度的影响。
ixx?
上述速度未考虑 处的点汇对速度的影响。
ixx ???
是除上述点源和点汇以外的原因引起的速度
iu?
5.13 奇点对物体的作用力
?
Q
?
Q?
ix ?
根据公式, 点源和点汇的流场作用在物体上的力分别为,
iuQF ?? ??
和 ?
?
??
?
? ?
ix ue
QQ ??
24??? 24 ixi uQQ e u x???? ???? ? ??? ???
点源和点汇共同作用力为，
x
uQ i
?
?? ???
??? ?
???
Q
Q 0
lim
x
uF i
?
??? ?? ??
?
设
上式中 是偶极子的强度。
5.13 奇点对物体的作用力
例, 求点源对一个圆球面的作用力。
由 5.10节知, 圆球外流场可由 x = l 处的 Q,处的点源 及
处的线汇叠加而成, 其中 l
ax 2? *Q
lax
20 ??
l
aQQ ?*
a
Q，线汇强度
于是处 x = l 的速度 （ 不考虑该点点源影响 ）,
? ?
2
22 02
/
44
a
xxl
i
a
Q ee Qa
lu d x
lxa
l
l
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???
???
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? ? xeall
aQF ??
222
32
4
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2 2
2
3
2
22
/ 1 1
44
4
x
x
x
a
Q
e Qal
e
laa
ll
ll
Qa
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l l a
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??
??
??? ? ?
??????
???? ??
??
??????
?
?
圆球被吸向点源 Q,作用力与 Q2成正比 。
5.13 奇点对物体的作用力
QQ? ?
a
2al
l
o x?
解
5.14 运动流体的动能
U
n
V
S
n
无界流场中均匀来流绕流物体时流体总动
能是无穷大的，而物体在静止流体中运动
时引起的流体动能则是有限值。本节研究
后一种情形下的流体动能。
oS
?? ?????? VV dvdvuuT 2)(21 ???? ??
取物面 和围绕物体的任意封闭曲面 间
的空间为 V，
S oS
?上式中 是由于物体运动引起的流体运动的势函数 。
流体动能的计算
U
n
V
S
n
oS
? ? ?????? 2 ?????????
02 ?? ?
? ?
? ?
22
22
VV
T dv dv
n ds ds
n
??? ? ? ?
? ? ?? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ?
?
??
??
0SS ???
?? ?????? SS dsndsnT 22 0 ??????
不可压缩流体
∵
??????? rO 1?
??????????? 21rOn?
)( 2rOds ?
? ?????????0 1S rOdsnn?
∴
? ???0 0S dsnn?
? ???? S dsnT 2 ???
0S )( ??r
当 取得无穷大时,
上式即当物体在静止流体中运动时周
围流体的总动能 。
5.14 运动流体的动能
5.15 虚拟质量和表观质量
非匀速直线运动物体的受力
物体在均质不可压缩流体中作匀速直线运动时受到的合力为零 。 而当物体作不
定常运动, 比如说作加速运动时, 物体周围的流体也被加速, 于是运动物体将
会受到周围流体的反作用力 。 设物体对流体的作用力为, 运动速度为,
则依据动能定理, D
? U?
()2V
dD U u u dv
dt
?? ? ??
? ?V dvuu )(2 ??? 即流体所具有的总动能。
圆球的变速直线运动
?c o s21 2
3
???
?
???
? ?
r
arU
速度为 U 的均匀来流绕流半
径为 a 的圆球的速度势，
圆球在静止的流体中以速度 U 沿 x 轴负方向作直线运动时流体的速度势
,可通过给上式叠加一个沿 x 轴负方向的速度为 U 的均匀流的速度势而
得到,
???? c o s21c o sc o s21 2
3
2
3
r
aUUr
r
arU ??
???
?
???
? ??
5.15 虚拟质量和表观质量
a
U
??? c o s 33raUrn ???????
??? 22 c o s21 aUn ????
?? ?????? SV dssdvuuT 2 )(2 ???? ??
23222
0
2
0 3
1 s i n c o s
2
1
2 UadaaUd ??????
? ?? ??
?
??
?
? ??? ??
dt
dUUaDU 3
3
2 ??? dtdUaD 332 ???
D x流体对圆球的阻力大小与 相等，方向沿 轴正方向。
由动能定理,
于是在圆球表面上,
流体动能为，
5.15 虚拟质量和表观质量
考虑圆球的变速直线运动, 设圆球除上述流体阻力外还受到主动力 F 的作
用, 则依据牛顿第二定理,
虚拟质量和表观质量
dt
dUaDF 3
0 3
4 ????
是圆球密度。代入阻力表达式，0?
dt
dUa
dt
dUaF 3
03 3
4
3
2 ???? ??
dt
dUMM
dt
dUaaF
f ??
??
?
? ???
?
??
?
? ??
2
1
3
2
3
4
0330 ????
由上式可见如果给圆球质量 增加一个质量, 那么在运
用动力学方程过程中就可以直接使用总质量进行计算, 而不必再考虑周围流体对
圆球运动的影响 。 式中 是圆球所排开的液体的质量, 把 称作虚拟质量或
附加质量, 称作表观质量 。
300 34 aM ??? 33221 aM f ???
fM fM21
fMM 210 ?
5.15 虚拟质量和表观质量
对一个任意形状的物体的变速直线运动，运动方程可写作，
? ? dtdUMkMF ifii ?? 0 )3,2,1( ?i
其中 是依赖于物体形状的系数 。 一个长轴为 2a, 短轴为 2b 的旋转椭球
的 值给出在下表中, 其中 是椭球平行于长轴运动时的系数值, 而 则
是随球平行于短轴运动时的系数值 。
ik 1k 2k
ik
旋转椭球的虚拟质量系数
1
2
/ 1 2 3 4 5 6
k 0, 5 0, 2 1 0 0, 1 2 2 0, 0 8 2 0, 0 5 9 0, 0 2 9 0
k 0, 5 0, 7 0 2 0, 8 0 3 0, 8 6 0 0, 8 9 5 0, 9 4 5 1
ab ?
当 a = b 时，,即圆球的虚拟质量系数为 0.5。
2
1
21 ?? kk
5.15 虚拟质量和表观质量
解：设水滴半径为 a,水的密度为, 空气密度为,0? ?
例 空气中有一球形水滴, 求水滴下落的加速度 。
030 3
4 ??aM ?
?? 33221 aM f ?
dt
dUaagaga ?
?
??
?
? ??? ???????? 3
03303 3
2
3
4
3
4
3
4
水滴质量为,
球形水滴的虚拟质量为,
水滴力平衡方程为，
??
??
2
1
)(
0
0
?
?? g
dt
dU由此得
0???? gdtdU ?
0????
gdtdU 2??
上式即水滴下落的加速度；当, 则 。
气泡在液体中上升, 如液体密度远大于空气密度, 即, 则
5.15 虚拟质量和表观质量
需为零,
5.10 点源流场中的圆球
2ax l?
l
ax 20 ??
设在 x = l 处有一强度为 Q 的
点源，今在原点放置一半径为 a
的圆球，求球外流场分布。
在 点放置点源,
在 放置均匀连续分
布的线汇，线汇单位长度强度
为 q。
** O P Q O Q P O P Q O Q P? ? ? ? ? ? ?
*2 Qlaq ? 2* alQq ?
0??
Q?
P
QQ?
??
a ? ?
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2a
l
l
o x
流函数
球外任一点 P 的流函数 ? ?
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5.10 点源流场中的圆球
P
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2
2
c o s( ) c o s( )
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? ? ?
2* a
lQq ?
考虑到几何关系
及
5.10 点源流场中的圆球
P
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2 2 2
2
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( 1 c o s ) ( 1 c o s )
4
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? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
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????
及
线汇流函数
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2*
(,) 1 c o s 1 c o s
4 4 4
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4 4 4
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*(,) 0 0 *44Q Q l aa Q Qal?? ??? ? ? ? ? ? ?
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令球面上流函数为零，
于是
球外一点 P的流函数表达式,
势函数
* t a n ( / 2 )(,) l n
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Q Q a Q
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5.10 点源流场中的圆球
均匀流和一对等强度的点源和点汇叠加可得到绕流兰金卵球体的解 。
5.11 兰金卵球体
流函数 ? ?
2122 c o sc o s4s i n2
1 ??
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2r
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时及
5.11 兰金卵球体
? ?Q Q?
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sinRr??
U
求对称卵球体的 和L h
卵球体后驻点速度为零，后驻点速度可由均匀流、
电源和点汇在该点的速度叠加得到。
0)(4)(4 22 ????? lLQlLQU ??
? ? 0222 ??? LUQllL ?
求解上式即可得到 L
5.11 兰金卵球体
? ?Q Q?
h
L
U
?
l
?
2r
l
1r
r
Q ?
Q?
1? 2?
sinRr??
U
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22
2
22
1
1
1
1c o s
hl
l
l
htg ?????? ??
???
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???
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???? 2222
2
2 lh
l
lh
l
U
Qh
?
0222 ??? UQllhh ?
求解上式可得到 h 。
在卵球体表面
2???
l
h?
1tan ? l
h??
2tan ?
hR ?0
时
? ?Q Q?
h
L
U
求对称卵球体的 和L h
?
l
?
2r
l
1r
r
Q ?
Q?
1? 2?
sinRr??
U
势函数
21 44
c o s),( rQrQUrr ????? ???
5.11 兰金卵球体
均匀来流绕流任意形状的三维物体 （ 或任意形状的三
维物体在静止流体中作匀速直线运动 ）, 流体作用于
物体的合力为零 。
5.12 达朗贝尔佯谬
取 和 面之间空间为控制体，运用动量定理于控制体，
iS 0S
?? ????? 00 SS dsnuudsnpF ????? ?
为物体对流体作用力F??
左边第 2项为 外流体对 内流体的
作用力,0S
0S
0S
iS
右边为单位时间通过 面流出控制
体的流体动量 。
因为 为物面, 通过 的流体动
量为零 。i
S
iS
0S
in
0n
F
U
动量定理
势流伯努利方程，,并考虑到cuup ??? )(
2 ??? ? ?
0
0 S dsnc ?
? ?? ?????? ????
0
)( 21
S
dsnuunuuF ??????? ?
uUu ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
0
0
2
1
2
11
22
S
S
F U u U u n U u U u n ds
U U u u u n U U n U u n
u U n u u n ds
?
?
??
??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???
??
??
? ??
?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??
?
???
?? ? ?? ? ? ?
?
?
?
5.12 达朗贝尔佯谬
? ?0 2 0 S dsnU ? ? ?? ??0 0 S dsnUU ???
? ? 0
00
????????? ???
iSSS
dsnuUdsnuUdsnuU ?????????
iS
? ? ? ?? ?? ?????? ????????????? ???????
0
21
S
dsnuunUunuuuUF ???????????? ?
? ? ? ? ? ?uUnnUunuU ????????? ?????????
? ? ? ? ? ?? ?????? ?????????????
0
21S dsnuunuunuUF ?????????? ?
由连续方程
通过物面 的流量为零 。
矢量恒等式
为常数,为常矢量，2U U?
5.12 达朗贝尔佯谬
? ? ? ? ? ? ? ? ?
0
2
11
22SF U U u u u n U U n U u n u U n u u n d s?
? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??
????
因此当 半径取无穷大时,
量阶分析
??????????? ?
?
?
? 32
0
1
1c o s
44
)( c o s
rOrr
Q
r
PA
l
l
ll ?
?
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???????? 21rOu?
rerOrr
Qnu ??? ??
?
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?
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32
1
4
c o s
4 ?
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rr erOer
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32
1
4 ?
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??? ddrds s i n2?
? ?2rOds ?
? ??????????0 1 )(S rOdsnuU ???
? ??????????0 21 )(S rOdsnuu ???
? ??????????
0
2
1 )(
S r
Odsnuu ???
0?F?
0S
5.12 达朗贝尔佯谬
物体在实际流体中作匀速直线运动时, 由于粘性的
影响, 总会受到流体的阻力作用 。 物体的阻力由摩
擦阻力和压差阻力组成 。 流线型物体受到的阻力很
小, 与上述阻力为零的结论接近 。
5.12 达朗贝尔佯谬
5.13 奇点对物体的作用力
奇点可能是点源，点汇或偶极子。
以 So内, S 和 Si外的空间为控制
体, 应用动量定理于该控制体,
0
0
( ) ( )
i
i
SS
SS
F p n d s p n d s
p u u n d s p u u n d s
? ? ? ?
? ? ?
??
??
0S 0S由上节推导知，当 半径取无穷大时，对于 面的积分之和等于零，于是
? ?? ???
iS
dsnuunpF )( ????? ?
cuup ??? )(21 ???
? ?? ?????? ?????
iS
dsnuunuuF )( 21 ??????? ?
势流伯努利方程
iS
0S
in
0n
F
U
?
S
n
ix
点源 （ 汇 ） 对物体的作用力
奇点是强度为 Q 的点源, 则 Si 面上的速度为
iue
Qu ??? ??
??? 24
为除处奇点外的其他原因引起的速度，
iu?
iii uuue
QQuu ?????? ??????
????? 242
2
216
?? ?? eu
Qeunu
ii
?????? ??????
24
代入动量式
? ? ? ?
2
2 4 2 2 2
2
2 4 2
1
2 1 6 2 4 4
1
3 2 2 4
i
i
i i i i iS
i i i i iS
Q Q Q Q
F e u u u e e u u e d s
e u u e u u e u d s
? ? ? ?
? ? ?
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? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
???? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?
? ? ? ?????
??
? ? ? ? ? ???
??
?
?
5.13 奇点对物体的作用力
当 时, 可看作常数, 常数, 于是上式积分的第 1,2项均
为一个常数和 相乘对 作面积分, 都应等于零 。
0?? iu? ?? ii uu ??
?e? i
S
?? ????? V iS iii dvuudseuui 0)( ????? ?
2
2 2 2 44 4 4 ????
?
??
?
??? iSiiS u
QdsuQdsuQF
ii
???? ??? ??
iuQF ?? ??
物体受到的力与点源强度 Q 成正比, 与速度 大小成正比, 方向与 相同,
是除了考虑中的奇点以外的其他原因在该奇点处引起的速度 。iu
?
iu?
iu?
5.13 奇点对物体的作用力
? ? ? ?22 4 2 1 3 2 2 4
i i i i i iS
QQF e u u e u u e u d s
? ? ?? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ???
???
偶极子对物体的作用力
点处速度为,
ixx? ix ue
Q ?? ?
24??
点处速度,??? ixx
24 ixi
uQ eu
x???
???
?
上述速度未考虑 处的点源对速度的影响。
ixx?
上述速度未考虑 处的点汇对速度的影响。
ixx ???
是除上述点源和点汇以外的原因引起的速度
iu?
5.13 奇点对物体的作用力
?
Q
?
Q?
ix ?
根据公式, 点源和点汇的流场作用在物体上的力分别为,
iuQF ?? ??
和 ?
?
??
?
? ?
ix ue
QQ ??
24??? 24 ixi uQQ e u x???? ???? ? ??? ???
点源和点汇共同作用力为，
x
uQ i
?
?? ???
??? ?
???
Q
Q 0
lim
x
uF i
?
??? ?? ??
?
设
上式中 是偶极子的强度。
5.13 奇点对物体的作用力
例, 求点源对一个圆球面的作用力。
由 5.10节知, 圆球外流场可由 x = l 处的 Q,处的点源 及
处的线汇叠加而成, 其中 l
ax 2? *Q
lax
20 ??
l
aQQ ?*
a
Q，线汇强度
于是处 x = l 的速度 （ 不考虑该点点源影响 ）,
? ?
2
22 02
/
44
a
xxl
i
a
Q ee Qa
lu d x
lxa
l
l
??
??
???
???
??
?
? ? xeall
aQF ??
222
32
4
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?
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2 2
2
3
2
22
/ 1 1
44
4
x
x
x
a
Q
e Qal
e
laa
ll
ll
Qa
e
l l a
??
?
??
??
??? ? ?
??????
???? ??
??
??????
?
?
圆球被吸向点源 Q,作用力与 Q2成正比 。
5.13 奇点对物体的作用力
QQ? ?
a
2al
l
o x?
解
5.14 运动流体的动能
U
n
V
S
n
无界流场中均匀来流绕流物体时流体总动
能是无穷大的，而物体在静止流体中运动
时引起的流体动能则是有限值。本节研究
后一种情形下的流体动能。
oS
?? ?????? VV dvdvuuT 2)(21 ???? ??
取物面 和围绕物体的任意封闭曲面 间
的空间为 V，
S oS
?上式中 是由于物体运动引起的流体运动的势函数 。
流体动能的计算
U
n
V
S
n
oS
? ? ?????? 2 ?????????
02 ?? ?
? ?
? ?
22
22
VV
T dv dv
n ds ds
n
??? ? ? ?
? ? ?? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ?
?
??
??
0SS ???
?? ?????? SS dsndsnT 22 0 ??????
不可压缩流体
∵
??????? rO 1?
??????????? 21rOn?
)( 2rOds ?
? ?????????0 1S rOdsnn?
∴
? ???0 0S dsnn?
? ???? S dsnT 2 ???
0S )( ??r
当 取得无穷大时,
上式即当物体在静止流体中运动时周
围流体的总动能 。
5.14 运动流体的动能
5.15 虚拟质量和表观质量
非匀速直线运动物体的受力
物体在均质不可压缩流体中作匀速直线运动时受到的合力为零 。 而当物体作不
定常运动, 比如说作加速运动时, 物体周围的流体也被加速, 于是运动物体将
会受到周围流体的反作用力 。 设物体对流体的作用力为, 运动速度为,
则依据动能定理, D
? U?
()2V
dD U u u dv
dt
?? ? ??
? ?V dvuu )(2 ??? 即流体所具有的总动能。
圆球的变速直线运动
?c o s21 2
3
???
?
???
? ?
r
arU
速度为 U 的均匀来流绕流半
径为 a 的圆球的速度势，
圆球在静止的流体中以速度 U 沿 x 轴负方向作直线运动时流体的速度势
,可通过给上式叠加一个沿 x 轴负方向的速度为 U 的均匀流的速度势而
得到,
???? c o s21c o sc o s21 2
3
2
3
r
aUUr
r
arU ??
???
?
???
? ??
5.15 虚拟质量和表观质量
a
U
??? c o s 33raUrn ???????
??? 22 c o s21 aUn ????
?? ?????? SV dssdvuuT 2 )(2 ???? ??
23222
0
2
0 3
1 s i n c o s
2
1
2 UadaaUd ??????
? ?? ??
?
??
?
? ??? ??
dt
dUUaDU 3
3
2 ??? dtdUaD 332 ???
D x流体对圆球的阻力大小与 相等，方向沿 轴正方向。
由动能定理,
于是在圆球表面上,
流体动能为，
5.15 虚拟质量和表观质量
考虑圆球的变速直线运动, 设圆球除上述流体阻力外还受到主动力 F 的作
用, 则依据牛顿第二定理,
虚拟质量和表观质量
dt
dUaDF 3
0 3
4 ????
是圆球密度。代入阻力表达式，0?
dt
dUa
dt
dUaF 3
03 3
4
3
2 ???? ??
dt
dUMM
dt
dUaaF
f ??
??
?
? ???
?
??
?
? ??
2
1
3
2
3
4
0330 ????
由上式可见如果给圆球质量 增加一个质量, 那么在运
用动力学方程过程中就可以直接使用总质量进行计算, 而不必再考虑周围流体对
圆球运动的影响 。 式中 是圆球所排开的液体的质量, 把 称作虚拟质量或
附加质量, 称作表观质量 。
300 34 aM ??? 33221 aM f ???
fM fM21
fMM 210 ?
5.15 虚拟质量和表观质量
对一个任意形状的物体的变速直线运动，运动方程可写作，
? ? dtdUMkMF ifii ?? 0 )3,2,1( ?i
其中 是依赖于物体形状的系数 。 一个长轴为 2a, 短轴为 2b 的旋转椭球
的 值给出在下表中, 其中 是椭球平行于长轴运动时的系数值, 而 则
是随球平行于短轴运动时的系数值 。
ik 1k 2k
ik
旋转椭球的虚拟质量系数
1
2
/ 1 2 3 4 5 6
k 0, 5 0, 2 1 0 0, 1 2 2 0, 0 8 2 0, 0 5 9 0, 0 2 9 0
k 0, 5 0, 7 0 2 0, 8 0 3 0, 8 6 0 0, 8 9 5 0, 9 4 5 1
ab ?
当 a = b 时，,即圆球的虚拟质量系数为 0.5。
2
1
21 ?? kk
5.15 虚拟质量和表观质量
解：设水滴半径为 a,水的密度为, 空气密度为,0? ?
例 空气中有一球形水滴, 求水滴下落的加速度 。
030 3
4 ??aM ?
?? 33221 aM f ?
dt
dUaagaga ?
?
??
?
? ??? ???????? 3
03303 3
2
3
4
3
4
3
4
水滴质量为,
球形水滴的虚拟质量为,
水滴力平衡方程为，
??
??
2
1
)(
0
0
?
?? g
dt
dU由此得
0???? gdtdU ?
0????
gdtdU 2??
上式即水滴下落的加速度；当, 则 。
气泡在液体中上升, 如液体密度远大于空气密度, 即, 则
5.15 虚拟质量和表观质量
