第 三 章 特殊方程
3.1 开尓文定理
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1
欧拉方程
理想流体,
设质量力有势且为单值函数,
代入欧拉方程得
§ 3.1 开尓文定理
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u d r? ? ??
()( ) ( )
()
CtC t C t
D D D u D d r D uu d r d r u d r u d u
D t D t D t D t D t
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( ) ( )
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C t C t
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( ) ( )
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C t C t
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D t D t D t
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沿物质周线的速度环量的随体导数
设由确定的流体质点组成的封闭物质线 C(t),其位置和形状随流动而变化,
上式推导中用到,
因为 为单值函数，
沿一条确定的流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上
的加速度的环量．
以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立
§ 3.1 开尓文定理
)(p???
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
d r d x i d y j d zk i j k
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d x d y d z d
x y z
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正压流体
设流体的密度仅是压强的函数
场论公式
式中 dф表示对空间的全微分
因为 δr是任选的，所以对正压流体流场中任一点有
§ 3.1 开尓文定理
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D u p G
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开尓文定理
设理想流体,质量力有势且为单值函数,
设正压流体
设在封闭的物质线 C(t) 上张一曲面 A(t),则由 STOKES 定理,
对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度
环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒,
§ 3.1 开尓文定理
开尔文定理成立的三个条件：
正压,
理想,
质量力有势 ；
放松其中任一条件,开尔文定理不成立 。
粘性, 斜压 与 外力无势 是引起速度环量和涡通量发生变化
的三大因素,
讨论 1
§ 3.1 开尓文定理
涡量场的散度为 0,,由此得出在每一瞬时通过同一涡管中任意截面
的涡通量处处相等,即涡管强度在空间上守恒,以上结论对任意流体都是正确
的 。
当满足开尔文定理成立条件时,涡管强度不但具有空间上的守恒性,而且具有
时间上的守恒性 。
( ) ( )C t A t
u d r n d A? ? ? ???
( ) ( )
0
C t A t
DDu d r n d A
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0???? ?
讨论 2
取 C(t)是涡管横截面上并围绕涡管一周的封闭物质周线,则在某一瞬时,
式中 A(t)是涡管截面,根据开尔文定理，
涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量,即涡管强度,不随时
间改变, 在运动过程中,涡管会发生变形：当涡管被拉伸时,涡量增大,涡管
被压缩时,涡量减小,以保持通过横截面的总的涡通量不变 。
§ 3.1 开尓文定理
涡旋不生不灭 若流体理想,正压,且外力有势,如果初
始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任一时刻
这部分流体皆无旋 ;反之,若初始时刻该部分流体有旋,
则以前或以后的任何时刻这部分流体皆为有旋 。
讨论 3
(1) 均匀来流定常不脱体绕流；
(2)物体从静止状态开始运动。
满足理想, 正压, 质量力有势：
第 1种情况下,流体质点来自无穷远处, 无穷远处无旋,所以整个流场无旋；
第 2种情况下,初始时刻,静止状态的流体无旋,所以任何时刻流体无旋 。
理想不可压缩流体在重力场作用下的流动
3.2 伯努利方程
1.沿流线或涡线成立的伯努利方程
设 理想流体,
()u u u p ft? ? ?? ? ?? ? ? ? ??
)()2()( uuuuuu ??
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( ) ( )2u u u pu u ft ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??
以上方程称 兰姆方程 。
设 外力有势, ；正压流体, ； 定常流动,Gf ???? )(???? ?? dpp 0?
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上式两边同时点乘, u? ??
22
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上式称伯努利方程, 或伯努利积分 。 C 称伯努利常数, C 沿同一条流
线或涡线为常数 。 当无穷远均匀来流绕流物体时, C对每一根流线都
相同, 此时伯努利方程三项和在全流场为常数 。
dl dl 平行于 或
2,势流伯努力方程
设理想流体, 正压, 外力有势, 可推得,
2
u d p u u Gu
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????? ? ? ? ? ? ???
? ???
再设势流,0??? ???u? )()(
tttu ?????????? ??
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上式称 势流伯努利方程, 也称 柯西 — 拉格朗日积分 。 f (t) 是时间的函数,
在同一瞬时, 在全流场它是同一个常数 。
2
dp GC??
?
? ??? ? ??
上式中 C在全流场为常数,且不随时间变化。请注意伯努利积分中的 C只是
沿同一条流线或涡线为常数
如果流动是定常的, 则
3．从能量方程出发推导的伯努利方程
Du pG
Dt??? ? ? ? ?
设理想流体, 外力有势, 由欧拉方程
Duu u p u G
Dt??? ? ? ?? ? ??
考虑到 G是外力场势能，它只是空间位置的函数，不随时间改变，
DtDGGu ????
()2D u u D GupD t D t??? ? ? ?? ?
对理想流体且无热传导时以焓表示的能量方程可写为，
D h D p
D t D t? ?
() 2D u u D p D Gh u pD t D t D t???? ? ? ? ? ?
1()
2
D u u phG
D t t?
??? ? ?
?
上两式相加,
从能量方程出发推导的伯努利方程
设 定常流,
( ) 02D u uhGDt ?? ? ?
上式表示一个流体质点在它的运动轨迹的所有点上总能量保持不变,
CGuuh ???? 2 ??
CGuupe ????? 2
??
?
在定常流条件下, 流场迹线和流线合二为一, 因此, 上式也可认为总能量沿
同一条流线保持不变, 在满足理想流体, 无热传导, 外力有势, 定常流条件
下, 单位质量流体的总能量沿同一条流线保持不变 。 当流体内部处处无粘性
无热传导时, 可认为流动是等熵的, 所以上述定理也可叙述为 当流动为等熵,
定常且外力有势时, 总能量沿流线不变 。
1
pphe ?
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1 ( ) 0
21
pu u G?
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伯努利方程的特殊形式
?完全气体, 可压缩等熵流
伯努利方程可化为 1
p
p
p
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R
c pp
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?不可压缩流体
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2
pu u g z C
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热力学第一定律,
无热传导条件下,
即流体质点内能不变。
设外力只有重力，当 Z轴垂直向上时
于是
伯努利方程的特殊形式
3.3 克罗柯方程
热力学关系式
热力学第一定理,)1()1(
?? pdTd spddqde ????
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peh ??
)1()( ?? pdTd spddh ???
dhT d sdp ??? ?
hsTp ?????? ?
克罗柯方程
对理想流体有兰姆方程成立,
fpuuutu ?????? ?? ???????????? )2(
设定常流动，且忽略质量力的作用,)
2(
uupu ???? ???????
?
以热力学量 s 和 h 来置换兰姆方程中的 p 和 ρ,
0hsTu ?????? ??
克罗柯方程反映了定常流中总能和熵的变化与涡量之间的相容关系 。 请注意
克罗柯方程成立的条件,理想流体, 定常流动, 质量力作用可略去不计 。
20
uuhh ?? ???式中,为滞止焓。
hsTp ?????? ?
均能流动
在理想流体, 绝热定常流动条件下, 忽略质量力作用时, 由伯努利方程知
滞止焓沿流线不变,
0,h const?
（沿流线）
在无穷远均匀来流条件下, 及其他一些条件下, 滞止焓沿每一条流线相
同, 滞止焓在流场中处处为常数, 是为均能流动 。 克罗柯方程简化为
u T s? ? ? ? ?
可以看出：
1） 无旋流动必是均熵的, 即在流场 s = 常数；
2） 非均熵流动必是有旋流动；
3) 均熵流动不一定是无旋的,此时可能
0,0,/ /uu? ? ? ?
CGuuh ???? 2 ??
?? ??u
对于平面流 动和轴对 称流动,, 此时 垂直于流 线,
由, 也应垂直于流线 。 可写成标量形式,
????u ????u
u T s?? ? ? ? s? u T s?? ? ? ?
0)( ??? dndsTU
式中, U,Ω 分别是速度和涡量的模, n 表示垂直于流线的法向坐标 。 此时
如 Ω = 0, 则,s为常数；如 s 为常数, 则,于是 Ω = 0 。
即 如流动无旋, 则必是均熵的；如流动均熵, 则必是无旋的 。
0?dnds0?dnds
克罗柯方程把流场的涡量和流体的熵联系起来, 它在空气动力学中占有重要地位 。
飞行器在静止空气中运动, 当物体飞行速度小于某个临界流速时, 整个流场中物
理量是连续分布的 。 而当物体飞行速度超过临界速度后, 流场中就可能出现间断
面, 通过这些间断面物理量有突跃变化 。 对于亚临界流动的情况, 如果流体是理
想的, 流场是正压的且质量力有势, 则根据开尔文定理, 在物体运动过程中, 周
围流场始终是无旋的 。 因为在物体开始运动的初始时刻流场是静止的, 从而是无
旋的 。 在超临界流动情况下, 流场中出现了间断面 。 在间断面上, 开尔文定理不
再适用, 而克罗柯定理却可以回答流场是否有旋的问题 。
物体在原静止空气中作超音速运动时, 头部激波前的流场是是均匀的, 而在该区
域 h0为常数,在绝热运动的假设下, 完全气体质点通过间断面时, h0保持不变 。 根
据伯努利方程在间断面后的每一条流线上, h0仍将保持不变 。 因此在整个流场中,
h0等于同一常数,▽ h0 = 0,为均能流动 。
在绝热运动假设下, 完全气体质点通过激波时, 熵 s有突跃, 且此突跃量与激波
面与来流的夹角有关 。 由此可知, 在曲面激波的后面, 流场不再是均熵的,从而
流动必是有旋的 。 但激波强度不大时, 则激波后的流场中的涡量也是不大的 。
3.4 涡量方程
???????? ?????? uuuuu )2()(
21 ( ) ( ) 2upu u u ut ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2( ) ( ) ( ) ( ) 2u u u puut ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
涡量方程
设 ρ= const.,μ= const.,并考虑到恒等式
则 N-S方程可写为
对上式两边取旋度,
t?
? 2?
2( ) u
t ?
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?
将求旋度运算和,运算交换顺序, 并考虑梯度的旋度等于零, 得
对于二元流动，涡量 垂直于流动平面,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
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u u u u u
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?
以上两涡量方程中没有压强 p出现, 可在压强场未知情况下求解
速度场和涡量场 。
)(21)( 222 uuuup ?????? ??????????? ?
已知涡量场求解压强场
已知速度场可利用以下方程求解压强场,
上式这是一个泊松方程, 她的推导留给读者自己完成 。
3.1 开尓文定理
fpuutu ???
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Gpuutu ?????????? ???
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1
欧拉方程
理想流体,
设质量力有势且为单值函数,
代入欧拉方程得
§ 3.1 开尓文定理
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沿物质周线的速度环量的随体导数
设由确定的流体质点组成的封闭物质线 C(t),其位置和形状随流动而变化,
上式推导中用到,
因为 为单值函数，
沿一条确定的流体质点组成的物质周线的速度环量的随体导数等于该周线上
的加速度的环量．
以上结论是纯运动学性质的,因此对任何流体都成立
§ 3.1 开尓文定理
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正压流体
设流体的密度仅是压强的函数
场论公式
式中 dф表示对空间的全微分
因为 δr是任选的，所以对正压流体流场中任一点有
§ 3.1 开尓文定理
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开尓文定理
设理想流体,质量力有势且为单值函数,
设正压流体
设在封闭的物质线 C(t) 上张一曲面 A(t),则由 STOKES 定理,
对于正压,体积力单值有势的理想流体流动,沿任意封闭的物质周线上的速度
环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中守恒,
§ 3.1 开尓文定理
开尔文定理成立的三个条件：
正压,
理想,
质量力有势 ；
放松其中任一条件,开尔文定理不成立 。
粘性, 斜压 与 外力无势 是引起速度环量和涡通量发生变化
的三大因素,
讨论 1
§ 3.1 开尓文定理
涡量场的散度为 0,,由此得出在每一瞬时通过同一涡管中任意截面
的涡通量处处相等,即涡管强度在空间上守恒,以上结论对任意流体都是正确
的 。
当满足开尔文定理成立条件时,涡管强度不但具有空间上的守恒性,而且具有
时间上的守恒性 。
( ) ( )C t A t
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( ) ( )
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C t A t
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讨论 2
取 C(t)是涡管横截面上并围绕涡管一周的封闭物质周线,则在某一瞬时,
式中 A(t)是涡管截面,根据开尔文定理，
涡管在随流体运动过程中通过其任一横截面的涡通量,即涡管强度,不随时
间改变, 在运动过程中,涡管会发生变形：当涡管被拉伸时,涡量增大,涡管
被压缩时,涡量减小,以保持通过横截面的总的涡通量不变 。
§ 3.1 开尓文定理
涡旋不生不灭 若流体理想,正压,且外力有势,如果初
始时刻在某部分流体内无旋,则以前或以后任一时刻
这部分流体皆无旋 ;反之,若初始时刻该部分流体有旋,
则以前或以后的任何时刻这部分流体皆为有旋 。
讨论 3
(1) 均匀来流定常不脱体绕流；
(2)物体从静止状态开始运动。
满足理想, 正压, 质量力有势：
第 1种情况下,流体质点来自无穷远处, 无穷远处无旋,所以整个流场无旋；
第 2种情况下,初始时刻,静止状态的流体无旋,所以任何时刻流体无旋 。
理想不可压缩流体在重力场作用下的流动
3.2 伯努利方程
1.沿流线或涡线成立的伯努利方程
设 理想流体,
()u u u p ft? ? ?? ? ?? ? ? ? ??
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以上方程称 兰姆方程 。
设 外力有势, ；正压流体, ； 定常流动,Gf ???? )(???? ?? dpp 0?
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上式两边同时点乘, u? ??
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上式称伯努利方程, 或伯努利积分 。 C 称伯努利常数, C 沿同一条流
线或涡线为常数 。 当无穷远均匀来流绕流物体时, C对每一根流线都
相同, 此时伯努利方程三项和在全流场为常数 。
dl dl 平行于 或
2,势流伯努力方程
设理想流体, 正压, 外力有势, 可推得,
2
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再设势流,0??? ???u? )()(
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上式称 势流伯努利方程, 也称 柯西 — 拉格朗日积分 。 f (t) 是时间的函数,
在同一瞬时, 在全流场它是同一个常数 。
2
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上式中 C在全流场为常数,且不随时间变化。请注意伯努利积分中的 C只是
沿同一条流线或涡线为常数
如果流动是定常的, 则
3．从能量方程出发推导的伯努利方程
Du pG
Dt??? ? ? ? ?
设理想流体, 外力有势, 由欧拉方程
Duu u p u G
Dt??? ? ? ?? ? ??
考虑到 G是外力场势能，它只是空间位置的函数，不随时间改变，
DtDGGu ????
()2D u u D GupD t D t??? ? ? ?? ?
对理想流体且无热传导时以焓表示的能量方程可写为，
D h D p
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1()
2
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上两式相加,
从能量方程出发推导的伯努利方程
设 定常流,
( ) 02D u uhGDt ?? ? ?
上式表示一个流体质点在它的运动轨迹的所有点上总能量保持不变,
CGuuh ???? 2 ??
CGuupe ????? 2
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在定常流条件下, 流场迹线和流线合二为一, 因此, 上式也可认为总能量沿
同一条流线保持不变, 在满足理想流体, 无热传导, 外力有势, 定常流条件
下, 单位质量流体的总能量沿同一条流线保持不变 。 当流体内部处处无粘性
无热传导时, 可认为流动是等熵的, 所以上述定理也可叙述为 当流动为等熵,
定常且外力有势时, 总能量沿流线不变 。
1
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1 ( ) 0
21
pu u G?
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伯努利方程的特殊形式
?完全气体, 可压缩等熵流
伯努利方程可化为 1
p
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R
c pp
cc
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?不可压缩流体
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2
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热力学第一定律,
无热传导条件下,
即流体质点内能不变。
设外力只有重力，当 Z轴垂直向上时
于是
伯努利方程的特殊形式
3.3 克罗柯方程
热力学关系式
热力学第一定理,)1()1(
?? pdTd spddqde ????
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克罗柯方程
对理想流体有兰姆方程成立,
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设定常流动，且忽略质量力的作用,)
2(
uupu ???? ???????
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以热力学量 s 和 h 来置换兰姆方程中的 p 和 ρ,
0hsTu ?????? ??
克罗柯方程反映了定常流中总能和熵的变化与涡量之间的相容关系 。 请注意
克罗柯方程成立的条件,理想流体, 定常流动, 质量力作用可略去不计 。
20
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hsTp ?????? ?
均能流动
在理想流体, 绝热定常流动条件下, 忽略质量力作用时, 由伯努利方程知
滞止焓沿流线不变,
0,h const?
（沿流线）
在无穷远均匀来流条件下, 及其他一些条件下, 滞止焓沿每一条流线相
同, 滞止焓在流场中处处为常数, 是为均能流动 。 克罗柯方程简化为
u T s? ? ? ? ?
可以看出：
1） 无旋流动必是均熵的, 即在流场 s = 常数；
2） 非均熵流动必是有旋流动；
3) 均熵流动不一定是无旋的,此时可能
0,0,/ /uu? ? ? ?
CGuuh ???? 2 ??
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对于平面流 动和轴对 称流动,, 此时 垂直于流 线,
由, 也应垂直于流线 。 可写成标量形式,
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u T s?? ? ? ? s? u T s?? ? ? ?
0)( ??? dndsTU
式中, U,Ω 分别是速度和涡量的模, n 表示垂直于流线的法向坐标 。 此时
如 Ω = 0, 则,s为常数；如 s 为常数, 则,于是 Ω = 0 。
即 如流动无旋, 则必是均熵的；如流动均熵, 则必是无旋的 。
0?dnds0?dnds
克罗柯方程把流场的涡量和流体的熵联系起来, 它在空气动力学中占有重要地位 。
飞行器在静止空气中运动, 当物体飞行速度小于某个临界流速时, 整个流场中物
理量是连续分布的 。 而当物体飞行速度超过临界速度后, 流场中就可能出现间断
面, 通过这些间断面物理量有突跃变化 。 对于亚临界流动的情况, 如果流体是理
想的, 流场是正压的且质量力有势, 则根据开尔文定理, 在物体运动过程中, 周
围流场始终是无旋的 。 因为在物体开始运动的初始时刻流场是静止的, 从而是无
旋的 。 在超临界流动情况下, 流场中出现了间断面 。 在间断面上, 开尔文定理不
再适用, 而克罗柯定理却可以回答流场是否有旋的问题 。
物体在原静止空气中作超音速运动时, 头部激波前的流场是是均匀的, 而在该区
域 h0为常数,在绝热运动的假设下, 完全气体质点通过间断面时, h0保持不变 。 根
据伯努利方程在间断面后的每一条流线上, h0仍将保持不变 。 因此在整个流场中,
h0等于同一常数,▽ h0 = 0,为均能流动 。
在绝热运动假设下, 完全气体质点通过激波时, 熵 s有突跃, 且此突跃量与激波
面与来流的夹角有关 。 由此可知, 在曲面激波的后面, 流场不再是均熵的,从而
流动必是有旋的 。 但激波强度不大时, 则激波后的流场中的涡量也是不大的 。
3.4 涡量方程
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21 ( ) ( ) 2upu u u ut ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2( ) ( ) ( ) ( ) 2u u u puut ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
涡量方程
设 ρ= const.,μ= const.,并考虑到恒等式
则 N-S方程可写为
对上式两边取旋度,
t?
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2( ) u
t ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
将求旋度运算和,运算交换顺序, 并考虑梯度的旋度等于零, 得
对于二元流动，涡量 垂直于流动平面,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
u u u u u
uu
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以上两涡量方程中没有压强 p出现, 可在压强场未知情况下求解
速度场和涡量场 。
)(21)( 222 uuuup ?????? ??????????? ?
已知涡量场求解压强场
已知速度场可利用以下方程求解压强场,
上式这是一个泊松方程, 她的推导留给读者自己完成 。
