第四章 二维势流
理想不可压缩流体流动 ― 基本方程组
如果 ρ=常数, 上述 4个方程包含 4个未知数, p,方程组是封闭的 。 由于忽略
了流体的可压缩性, 流体动力学问题和热力学问题可分开来解,连续方程和动
量方程不再需要和能量方程联立求解, 但压强和速度仍然耦合在一起, 需要
同时解出 。
? ?
u = 0
u1+ u u = - p + f
t ρ
???
? ?
? ?? ?
? ??
u
忽略流动的粘性和可压缩性, 连续方程和 N-S方程可化简为,
理想不可压缩流体流动 — 基本方程组的边界条件
u n = U n??
u n = 0?
,r u u ?? ? ?
粘性流动采用的是固壁上的无滑移条件, 由于理想流体动量方程中失掉了高
阶粘性项, 欧拉方程比 N-S方程低了一阶, 她就不需要象粘性流方程组那样
多的边界条件 。 对 理想流体采用法向无穿透条件, 壁面上允许存在切向滑移
速度,
固壁静止时,
上述边界条件相当于要求 固体壁面是流场中的一条流线。
无穷远边界条件,
Ω=0 u = 0??
0 u u = Φ? ? ? ? ?
u = 0 Φ = 0? ? ? ? ??
势流
势流 流场中处处涡量为零, 称势流 。 或 。
在重力场作用下的理想不可压缩流体, 如果绕流物体的流动起始于无旋
流动, 开尔文定理保证流动始终保持无旋, 即势流 。
速度势函数
不可压缩流体
Φ称速度势函数 。
在不可压缩流体条件下 Φ满足拉普拉斯方程
势流基本方程组
2Φ = 0
Φ p 1++ Φ Φ + g z = f(t)
t ρ2
?
? ? ??
?
Φ=0
n
?
?
,r u u ?? ? ?
2Φ=0?
u,pu,p
u=Φ?
边界条件
在静止固壁上,
无穷远处，
势流方程组 与一般 理想不可压缩流动方程组 相比在数学上有了较大的 简化,
?后者有四个方程，而前者只有两个方程。
?欧拉方程是非线性方程,是线性方程，线性方程一个突出优点是
解具有可叠加性。势流伯努利方程也是非线性的，但不存在求解困难。
?后者求解过程中,耦合在一起需联立求解，对于势流 不再
耦合在一起，可分开求解：先求出 Φ，, 即可求得速度场，再求
解伯努利方程得到压强场。
也是解, 其中 是不全为零的常数 。
在后续章节会经常用到线性方程的这一性质 。
2Φ=0?
12Φ,Φ
1 1 2 2Φ = c Φ + c Φ
12c,c
拉氏方程解的可叠加性
如 是解, 则
4.1 流函数
uv+ = 0
xy
??
??
Ψ
u=
y
Ψ
v = -
x
??
? ??
?
??
? ??
流函数
不可压缩流体平面流动的连续方程
则函数 Ψ自动满足上述连续方程, Ψ称流函数
定义
4.1 流函数Ω
Ω=Ωk
vuΩ = -
xy
??
??
22
22
Ψ Ψ Ψ ΨΩ = - - = - +
x x y y x y
????? ? ? ? ? ??? ??????
? ? ? ? ? ??? ?? ??
2Ω= - Ψ?
2Ψ=0?
流函数 Ψ从满足连续方程出发而定义, 因此适用于无旋和有旋流动,
在无旋条件下 Ψ满足拉式方程 。
势函数 Φ从满足无旋条件出发而定义, 因此只适用于势流 。 在不可压
缩流体条件下 Φ满足拉式方程 。
流函数 Ψ与涡量
对于 xoy平面的二维流动,
代入 Ψ,
如流动无旋 则：
4.1 流函数
? ?Ψ =Ψ x,y
ΨΨd Ψ = d x + d y = -vd x + u d y
xy
??
Ψ=const
d Ψ = - v dx + u dy = 0
Ψ
d y v=
d x u
????
??
Ψ=const
流函数性质 1
Ψ = const,的线是流线。
空间任意相邻两点间的流函数变化,
若两点取在 的同一条曲线上,
上式即流线方程 。
表示一个流线族 。
B
A
BB
21
AA
Q = - v d x + u d y
Q = - v d x + u d y
ΨΨ
= d x + d y = d Ψ = Ψ -Ψ
xy
??
??
?
??
4.1 流函数流函数性质 2
在两条流线间流动的流体流量等
于这两条流线的流函数值之差 。
通过 dl 的流体流量
udy
v dx
dl
1Ψ=Ψ
2Ψ=Ψ
A
B
d Φ = udx + vdy = 0
Φ
ΦΨ
d y u
=-
d x v
d y d y u v
+ 1 = - + 1 = 0
d x d x v u
??
??
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
ΦΦd Φ = d x + d y = u d x + vd y
xy
??
? ?Φ=Φ x,y
Φ=const
4.1 流函数流函数性质 3
流线和等势线相互正交
的线称等势线。
空间任意相邻两点间的势函数变化，
在一条等势线上的任意两点间，
即流线和等势线相互正交。
4.2 复位势和复速度
Φ Ψ Φ Ψu = =,v = = -
x y y x
? ? ? ?
? ? ? ?
ΦΨ
=
xy
ΦΨ
=-
yx
???
? ???
? ?
???
? ???
科西 -黎曼条件
上式称柯西 -黎曼条件 。
流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。
z= x + i y
4.2 复位势和复速度复位势
F(z) 的实数部分是速度势函数 Φ,虚数部分是流函数 Ψ。
Φ,Ψ满足柯西－黎曼条件, 根据复变函数理论, F(Z) 是解析函数 。
构造复函数,
F(z)=Φ+ iψ
dF
dz
d F F ΦΨW ( z) = = = + i
d z x x x
? ? ?
? ? ?
()W z u iv??
W = u + iv
( ) ( ) 22W W = u - i v u + i v = u + v = u u?
4.2 复位势和复速度复速度
因为 F(z) 是解析函数，因此其导数 的值与求导方向无关，只是
平面点的函数。
请注意 w(z) 的虚部是 -v, 实际速度则是上述复速度的共軛值，
复速度与共軛复速度的乘积等于速度矢量与其本身点乘。
平面内的速度 可分解为 u,v,
也可分解为
u
R θu,u
c o s s in
s in c o s
R θ
R θ
u = u θ -u θ
v = u θ + u θ
??
?
c o s s in s in c o s
1
c o s s in c o s s in
R θR
R θ
-i θ
R θ
W = u - iv
= ( u θ - u θ ) - i (u θ + u θ )
= u ( θ - i θ ) - i u ( θ + θ )
i
W = ( u - i u ) e
?
c o s sin-i θ= - i,e = θ - i θi?
4.2 复位势和复速度柱坐标下的复速度
于是
V
u
v
Ru
u?
?
22Φ = 0,Ψ = 0??
2Φ=0? 2Ψ=0?
4.2 复位势和复速度平面无旋运动和复位势
任何一个平面无旋运动都存在着相应的速度势函数 Φ 和流函数 Ψ，
Φ 和 Ψ 满足柯西－黎曼条件 即,于是可构造一个
解析函数 F(z) 与之对应。
(z)Φ,Ψ F?
( ) Fz Φ,Ψ?
给定一个解析函数 F(z),其实数和虚数部分 Φ 和 Ψ 必定满足柯西
－黎曼条件，,,因此可分别看作
一个平面无旋运动的速度势函数和流函数，即有一个平面无旋运
动与 F(z)对应 （当然并非所有的 Φ 和 Ψ 都可以作出有物理意义的
解释）。
平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系。
复变函数是强有力的数学工具。复变函数的方法不能推广到三维
流动中去。
4.3 均匀流
F(z)= c z (c为实数 )
W(z) = c = u – i v
如沿 x轴方向速度为 U,则
F(z) = U z
u=c
v=0
??
?
从本节开始将给出一些基本流动的复位势 。
U
F(z) =－ i c z (c为实数 )
W(z)=－ i c = u－ i v
如沿 y轴方向速度为 V 则：
F(z)=-i V z
u=0
v=c
??
?
4.3 均匀流
V
F -i α(z ) = c e z
W
c o s s in
-i( z ) = c e
= c - i c
= u - i v
?
??
c o s
s in
u = c α
v = c α
??
?
iαV e
F -i(z ) = V e z?
4.3 均匀流
(c,α为实数 )
如速度如图示, 用速度的模和幅角表示为, 则
?
4.4 （汇）和点涡
F ln (z ) = c z
= iθz = x + i y R e
（ c>0,实数 ）
（ 0<θ <2π ）
点源
F l n l niθ( z ) = c ( R e ) = c R + i c θ
lnΦ = c R
Ψ = c θ
??
?
4.4 点源（汇）和点涡点源：势函数，流函数
等势线,R = c,以原点为中心的同心圆族 。
流线,θ = c,从原点出发的射线族 。
? ?W -i θ -iθR θd F c c( z) = = = e = u - i u ed z z R
R
θ
cu=
R
u = 0
??
?
??
RR 0,u? ? ?
4.4 点源（汇）和点涡
点源,速度场
可看作在原点有一点源释放流体向四周均匀流出, 速度只有 R方向分量, 离
开原点愈远速度愈小 。 根据连续方程, 通过每个同心圆的流体流量相等 。
原点是奇点, 速度无穷大
2 π 2 π
R
00
c
m = u R d θ = R d θ = 2 π c
R
m
c=
2 π
??
F( ) ln mz = z2π
0z
? ?F ( ) l n 0mz z - z2 π?
4.4 点源（汇）和点涡点源,强度 m
强度 m定义为单位时间从点源释放出的流体流量 （ 设垂直于流场为单位高
度 ） 。 围绕半径为 R的圆作积分,
若点源在点, 则
F( ) ln-mzz2π?
? ?F ( ) l n 0-mz z - z2 π?
4.4 点源（汇）和点涡点汇
以－ m 代替 m 就得到点汇的复位势,
或
F ( ) l n z
l n ( )
ln
iθ
z ic
ic R e
ic R
??
??
??cθ
ln
Φ = c θ
Ψ = - c R
??
?
c??
4.4 点源（汇）和点涡点涡：势函数 流函数
等势线, 从圆点出发的射线族；
流线 R＝ c,同心圆族 。
?
?u
d
W ( )
d
()-i θ -iθR θ
F - ic
z-
zz
c
- i e u - iu e
R
??
??
R
θ
u = 0
cu=
R
??
?
??
4.4 点源（汇）和点涡
点涡,速度场
速度只有 θ方向分量，流动沿逆时针方向（ c>0）。
原点是奇点，速度无穷大。
?
?u
2 π 2 π
θ
00
cΓ = u d l = u R d θ = R d θ = 2 π c
R?? ? ?
Γc=
2π
F ( ) l n l n ΓΓz = - i z = z2 π 2π i
0z
F ( ) l n ( ) l n ( )00ΓΓz - i z - z z - z2 π 2 π i??
?? ?
4.4 点源（汇）和点涡点涡强度
以速度环量来度量点涡强度,
点涡位于点 时,
以 代替 即可得出顺时针旋转的涡 。
Γu=
2πR?
uR? ??
4.4 点源（汇）和点涡自由涡和强制涡
自由涡
速度随着 R增加而减少，沿任一不包括奇点在内的封闭曲线的速度
环量为零，即除奇点外，流动是无旋的。可以认为所有的环量和涡
量都集中在奇点。
强制涡
速度与 R成正比，整个流体象刚体一样围绕中心旋转，旋转角速度
为 ω。 此种流场是处处有旋的。
一个典型的龙卷风流场在核心部分是强制涡流动，涡核周围的流动
则表现为自由涡。
（ ω为常数）
F ( ) nz U z?
12n?
iθz = Re
4.5 绕角流动
U,n 为实数, 。
0<θ<2π
F ( )
c o s n s in
c o s
s in
n i n θ
nn
n
n
z U R e
U R i U R
Φ = U R nθ
Ψ = U R nθ
?
?
??
??
?
??
nθ
nR sin n c??
4.5 绕角流动势函数 流函数
这两条发自原点的射线构成交角为 π/n 的角形区域, 两条线之
间的流线由 决定 。
零流线为 θ＝ 0,θ＝ π/n
n?
0??
n
???
4.5 绕角流动典型流动
n 应大于 ?,小于 ? 时得到大于 2π的区域，这显然没有物理意义。
n=2
n=1
n = ?
0??
0??
0??
2???
???
2???
d
W ( )
d
( c o s s in )
( )
n - 1 n - 1 i ( n - 1 ) θ
n - 1 n - 1 - iθ
iθ
R θ
F
z n U z = n U R e
z
n U R n θ i n U R n θ e
u - i u e
??
??
?
c o s
s in
n - 1
R
n - 1
θ
u = n U R n θ
u = - n U R n θ
??
??
?
R
π0< θ <,u > 0,u < 02n
?
R θ
ππ< θ <,u < 0,u < 02 n 2
4.5 绕角流动速度场
U>0 时沿流线的速度方向已表示在左图中 。
n?
0??
n
???
角点处速度
角点处流速在 n>1和 n<1时截然不同：小于 π角 （ n>1） 时绕
流角点处流速为零；大于 π角 （ n<1） 时绕流角点处流速趋
于无穷大, 根据伯努利方程该点压强趋于负无穷大；等于 π
角 （ n=1） 时直线流动介于两者之间, 角点处速度取有限值 。
2 2 n - 1
R θV = u + u = n U R
0,n > 1
V = U,n = 1
,n < 1
?
?
?
?
??
4.5 绕角流动
n=2
n=1
n = ?
0??
0??
0??
2???
???
2???
当 n>1时,, 远处的流体沿着某边线
以无穷大的速度流来, 然后沿另一条边线以无穷大速
度流去, 这实际上是不可能存在的 。 绕角流之所以具
有普遍性是因为角点附近的流动反映了物体绕流问题
中角点附近的流场, 因此可以用来分析被绕流物体角
点附近的流动特性 。
,Ru? ? ? ?
4.5 绕角流动
理想不可压缩流体流动 ― 基本方程组
如果 ρ=常数, 上述 4个方程包含 4个未知数, p,方程组是封闭的 。 由于忽略
了流体的可压缩性, 流体动力学问题和热力学问题可分开来解,连续方程和动
量方程不再需要和能量方程联立求解, 但压强和速度仍然耦合在一起, 需要
同时解出 。
? ?
u = 0
u1+ u u = - p + f
t ρ
???
? ?
? ?? ?
? ??
u
忽略流动的粘性和可压缩性, 连续方程和 N-S方程可化简为,
理想不可压缩流体流动 — 基本方程组的边界条件
u n = U n??
u n = 0?
,r u u ?? ? ?
粘性流动采用的是固壁上的无滑移条件, 由于理想流体动量方程中失掉了高
阶粘性项, 欧拉方程比 N-S方程低了一阶, 她就不需要象粘性流方程组那样
多的边界条件 。 对 理想流体采用法向无穿透条件, 壁面上允许存在切向滑移
速度,
固壁静止时,
上述边界条件相当于要求 固体壁面是流场中的一条流线。
无穷远边界条件,
Ω=0 u = 0??
0 u u = Φ? ? ? ? ?
u = 0 Φ = 0? ? ? ? ??
势流
势流 流场中处处涡量为零, 称势流 。 或 。
在重力场作用下的理想不可压缩流体, 如果绕流物体的流动起始于无旋
流动, 开尔文定理保证流动始终保持无旋, 即势流 。
速度势函数
不可压缩流体
Φ称速度势函数 。
在不可压缩流体条件下 Φ满足拉普拉斯方程
势流基本方程组
2Φ = 0
Φ p 1++ Φ Φ + g z = f(t)
t ρ2
?
? ? ??
?
Φ=0
n
?
?
,r u u ?? ? ?
2Φ=0?
u,pu,p
u=Φ?
边界条件
在静止固壁上,
无穷远处，
势流方程组 与一般 理想不可压缩流动方程组 相比在数学上有了较大的 简化,
?后者有四个方程，而前者只有两个方程。
?欧拉方程是非线性方程,是线性方程，线性方程一个突出优点是
解具有可叠加性。势流伯努利方程也是非线性的，但不存在求解困难。
?后者求解过程中,耦合在一起需联立求解，对于势流 不再
耦合在一起，可分开求解：先求出 Φ，, 即可求得速度场，再求
解伯努利方程得到压强场。
也是解, 其中 是不全为零的常数 。
在后续章节会经常用到线性方程的这一性质 。
2Φ=0?
12Φ,Φ
1 1 2 2Φ = c Φ + c Φ
12c,c
拉氏方程解的可叠加性
如 是解, 则
4.1 流函数
uv+ = 0
xy
??
??
Ψ
u=
y
Ψ
v = -
x
??
? ??
?
??
? ??
流函数
不可压缩流体平面流动的连续方程
则函数 Ψ自动满足上述连续方程, Ψ称流函数
定义
4.1 流函数Ω
Ω=Ωk
vuΩ = -
xy
??
??
22
22
Ψ Ψ Ψ ΨΩ = - - = - +
x x y y x y
????? ? ? ? ? ??? ??????
? ? ? ? ? ??? ?? ??
2Ω= - Ψ?
2Ψ=0?
流函数 Ψ从满足连续方程出发而定义, 因此适用于无旋和有旋流动,
在无旋条件下 Ψ满足拉式方程 。
势函数 Φ从满足无旋条件出发而定义, 因此只适用于势流 。 在不可压
缩流体条件下 Φ满足拉式方程 。
流函数 Ψ与涡量
对于 xoy平面的二维流动,
代入 Ψ,
如流动无旋 则：
4.1 流函数
? ?Ψ =Ψ x,y
ΨΨd Ψ = d x + d y = -vd x + u d y
xy
??
Ψ=const
d Ψ = - v dx + u dy = 0
Ψ
d y v=
d x u
????
??
Ψ=const
流函数性质 1
Ψ = const,的线是流线。
空间任意相邻两点间的流函数变化,
若两点取在 的同一条曲线上,
上式即流线方程 。
表示一个流线族 。
B
A
BB
21
AA
Q = - v d x + u d y
Q = - v d x + u d y
ΨΨ
= d x + d y = d Ψ = Ψ -Ψ
xy
??
??
?
??
4.1 流函数流函数性质 2
在两条流线间流动的流体流量等
于这两条流线的流函数值之差 。
通过 dl 的流体流量
udy
v dx
dl
1Ψ=Ψ
2Ψ=Ψ
A
B
d Φ = udx + vdy = 0
Φ
ΦΨ
d y u
=-
d x v
d y d y u v
+ 1 = - + 1 = 0
d x d x v u
??
??
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
ΦΦd Φ = d x + d y = u d x + vd y
xy
??
? ?Φ=Φ x,y
Φ=const
4.1 流函数流函数性质 3
流线和等势线相互正交
的线称等势线。
空间任意相邻两点间的势函数变化，
在一条等势线上的任意两点间，
即流线和等势线相互正交。
4.2 复位势和复速度
Φ Ψ Φ Ψu = =,v = = -
x y y x
? ? ? ?
? ? ? ?
ΦΨ
=
xy
ΦΨ
=-
yx
???
? ???
? ?
???
? ???
科西 -黎曼条件
上式称柯西 -黎曼条件 。
流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。
z= x + i y
4.2 复位势和复速度复位势
F(z) 的实数部分是速度势函数 Φ,虚数部分是流函数 Ψ。
Φ,Ψ满足柯西－黎曼条件, 根据复变函数理论, F(Z) 是解析函数 。
构造复函数,
F(z)=Φ+ iψ
dF
dz
d F F ΦΨW ( z) = = = + i
d z x x x
? ? ?
? ? ?
()W z u iv??
W = u + iv
( ) ( ) 22W W = u - i v u + i v = u + v = u u?
4.2 复位势和复速度复速度
因为 F(z) 是解析函数，因此其导数 的值与求导方向无关，只是
平面点的函数。
请注意 w(z) 的虚部是 -v, 实际速度则是上述复速度的共軛值，
复速度与共軛复速度的乘积等于速度矢量与其本身点乘。
平面内的速度 可分解为 u,v,
也可分解为
u
R θu,u
c o s s in
s in c o s
R θ
R θ
u = u θ -u θ
v = u θ + u θ
??
?
c o s s in s in c o s
1
c o s s in c o s s in
R θR
R θ
-i θ
R θ
W = u - iv
= ( u θ - u θ ) - i (u θ + u θ )
= u ( θ - i θ ) - i u ( θ + θ )
i
W = ( u - i u ) e
?
c o s sin-i θ= - i,e = θ - i θi?
4.2 复位势和复速度柱坐标下的复速度
于是
V
u
v
Ru
u?
?
22Φ = 0,Ψ = 0??
2Φ=0? 2Ψ=0?
4.2 复位势和复速度平面无旋运动和复位势
任何一个平面无旋运动都存在着相应的速度势函数 Φ 和流函数 Ψ，
Φ 和 Ψ 满足柯西－黎曼条件 即,于是可构造一个
解析函数 F(z) 与之对应。
(z)Φ,Ψ F?
( ) Fz Φ,Ψ?
给定一个解析函数 F(z),其实数和虚数部分 Φ 和 Ψ 必定满足柯西
－黎曼条件，,,因此可分别看作
一个平面无旋运动的速度势函数和流函数，即有一个平面无旋运
动与 F(z)对应 （当然并非所有的 Φ 和 Ψ 都可以作出有物理意义的
解释）。
平面无旋运动和解析函数之间存在一一对应的关系。
复变函数是强有力的数学工具。复变函数的方法不能推广到三维
流动中去。
4.3 均匀流
F(z)= c z (c为实数 )
W(z) = c = u – i v
如沿 x轴方向速度为 U,则
F(z) = U z
u=c
v=0
??
?
从本节开始将给出一些基本流动的复位势 。
U
F(z) =－ i c z (c为实数 )
W(z)=－ i c = u－ i v
如沿 y轴方向速度为 V 则：
F(z)=-i V z
u=0
v=c
??
?
4.3 均匀流
V
F -i α(z ) = c e z
W
c o s s in
-i( z ) = c e
= c - i c
= u - i v
?
??
c o s
s in
u = c α
v = c α
??
?
iαV e
F -i(z ) = V e z?
4.3 均匀流
(c,α为实数 )
如速度如图示, 用速度的模和幅角表示为, 则
?
4.4 （汇）和点涡
F ln (z ) = c z
= iθz = x + i y R e
（ c>0,实数 ）
（ 0<θ <2π ）
点源
F l n l niθ( z ) = c ( R e ) = c R + i c θ
lnΦ = c R
Ψ = c θ
??
?
4.4 点源（汇）和点涡点源：势函数，流函数
等势线,R = c,以原点为中心的同心圆族 。
流线,θ = c,从原点出发的射线族 。
? ?W -i θ -iθR θd F c c( z) = = = e = u - i u ed z z R
R
θ
cu=
R
u = 0
??
?
??
RR 0,u? ? ?
4.4 点源（汇）和点涡
点源,速度场
可看作在原点有一点源释放流体向四周均匀流出, 速度只有 R方向分量, 离
开原点愈远速度愈小 。 根据连续方程, 通过每个同心圆的流体流量相等 。
原点是奇点, 速度无穷大
2 π 2 π
R
00
c
m = u R d θ = R d θ = 2 π c
R
m
c=
2 π
??
F( ) ln mz = z2π
0z
? ?F ( ) l n 0mz z - z2 π?
4.4 点源（汇）和点涡点源,强度 m
强度 m定义为单位时间从点源释放出的流体流量 （ 设垂直于流场为单位高
度 ） 。 围绕半径为 R的圆作积分,
若点源在点, 则
F( ) ln-mzz2π?
? ?F ( ) l n 0-mz z - z2 π?
4.4 点源（汇）和点涡点汇
以－ m 代替 m 就得到点汇的复位势,
或
F ( ) l n z
l n ( )
ln
iθ
z ic
ic R e
ic R
??
??
??cθ
ln
Φ = c θ
Ψ = - c R
??
?
c??
4.4 点源（汇）和点涡点涡：势函数 流函数
等势线, 从圆点出发的射线族；
流线 R＝ c,同心圆族 。
?
?u
d
W ( )
d
()-i θ -iθR θ
F - ic
z-
zz
c
- i e u - iu e
R
??
??
R
θ
u = 0
cu=
R
??
?
??
4.4 点源（汇）和点涡
点涡,速度场
速度只有 θ方向分量，流动沿逆时针方向（ c>0）。
原点是奇点，速度无穷大。
?
?u
2 π 2 π
θ
00
cΓ = u d l = u R d θ = R d θ = 2 π c
R?? ? ?
Γc=
2π
F ( ) l n l n ΓΓz = - i z = z2 π 2π i
0z
F ( ) l n ( ) l n ( )00ΓΓz - i z - z z - z2 π 2 π i??
?? ?
4.4 点源（汇）和点涡点涡强度
以速度环量来度量点涡强度,
点涡位于点 时,
以 代替 即可得出顺时针旋转的涡 。
Γu=
2πR?
uR? ??
4.4 点源（汇）和点涡自由涡和强制涡
自由涡
速度随着 R增加而减少，沿任一不包括奇点在内的封闭曲线的速度
环量为零，即除奇点外，流动是无旋的。可以认为所有的环量和涡
量都集中在奇点。
强制涡
速度与 R成正比，整个流体象刚体一样围绕中心旋转，旋转角速度
为 ω。 此种流场是处处有旋的。
一个典型的龙卷风流场在核心部分是强制涡流动，涡核周围的流动
则表现为自由涡。
（ ω为常数）
F ( ) nz U z?
12n?
iθz = Re
4.5 绕角流动
U,n 为实数, 。
0<θ<2π
F ( )
c o s n s in
c o s
s in
n i n θ
nn
n
n
z U R e
U R i U R
Φ = U R nθ
Ψ = U R nθ
?
?
??
??
?
??
nθ
nR sin n c??
4.5 绕角流动势函数 流函数
这两条发自原点的射线构成交角为 π/n 的角形区域, 两条线之
间的流线由 决定 。
零流线为 θ＝ 0,θ＝ π/n
n?
0??
n
???
4.5 绕角流动典型流动
n 应大于 ?,小于 ? 时得到大于 2π的区域，这显然没有物理意义。
n=2
n=1
n = ?
0??
0??
0??
2???
???
2???
d
W ( )
d
( c o s s in )
( )
n - 1 n - 1 i ( n - 1 ) θ
n - 1 n - 1 - iθ
iθ
R θ
F
z n U z = n U R e
z
n U R n θ i n U R n θ e
u - i u e
??
??
?
c o s
s in
n - 1
R
n - 1
θ
u = n U R n θ
u = - n U R n θ
??
??
?
R
π0< θ <,u > 0,u < 02n
?
R θ
ππ< θ <,u < 0,u < 02 n 2
4.5 绕角流动速度场
U>0 时沿流线的速度方向已表示在左图中 。
n?
0??
n
???
角点处速度
角点处流速在 n>1和 n<1时截然不同：小于 π角 （ n>1） 时绕
流角点处流速为零；大于 π角 （ n<1） 时绕流角点处流速趋
于无穷大, 根据伯努利方程该点压强趋于负无穷大；等于 π
角 （ n=1） 时直线流动介于两者之间, 角点处速度取有限值 。
2 2 n - 1
R θV = u + u = n U R
0,n > 1
V = U,n = 1
,n < 1
?
?
?
?
??
4.5 绕角流动
n=2
n=1
n = ?
0??
0??
0??
2???
???
2???
当 n>1时,, 远处的流体沿着某边线
以无穷大的速度流来, 然后沿另一条边线以无穷大速
度流去, 这实际上是不可能存在的 。 绕角流之所以具
有普遍性是因为角点附近的流动反映了物体绕流问题
中角点附近的流场, 因此可以用来分析被绕流物体角
点附近的流动特性 。
,Ru? ? ? ?
4.5 绕角流动
