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1,教科书 (1.6)
在下边习题求解中会用到以下公式, 请参阅有关资料 。
柱坐标与直角坐标
A(r,?,z)X
Z
r?
Y
(,,) (,,)
(,),(,),
sin
c os
c os
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r z x y z
r r x y x y z z
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球坐标与直角坐标
2,试对柱坐标形式的微六面体,建立运动方程,
r
dr
dz
x
z
d? ?
解, 系统总动量变化率 = 控制体内动量变
化率 + 经控制面净流出的动量流率
控制体内动量变化率,
经控制面净流出的动量流率
r 方向
?方向
Z 方向
( ) ( )
[ ( ) ] [ ( ) ]
()
r r r r r
r r r r
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u ur u ur r z u ur u ur r z
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[ ( ) ] ( )u r r z u r r z t u r r z u r r z ttt? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ???? ? ?
()u r r zt ? ? ?? ???
系统总动量变化率 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]
11
{ [ ( ) ( ) ( ) ] [ ] }
rz
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u r u u r u u u r u r z
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r u u r u u r u u r z
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r r z z r
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{[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ] }
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微元体所受的重力
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依据动量定理
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pDu g rp rp
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2
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[ ( ) ( ) ]
1
[ ( ) ( ) ]
1
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3,小球在理想流体中作缓慢匀速直线运动，试给出小球表面流体速度
所必须满足的边界条件
wvu,,
解,取固定坐标系如图,球面方程为
22220 )]([ azytxx ????
22220 )]([ azytxxF ?????
0?DtDF 0???????????? zFwyFvxFutF
022)(2)(2 000 ??????? zwyvxxuuxx
dt
tdxu )(0
0 ?
令
物面边界条件为,
式中,
0))(( 00 ????? wzvyuuxx
0x
x00 dxu dt?o
又解, 取运动坐标系 固结在小球上,'''' zyxo
2222 ''' azyx ???
2222 '''' azyxF ????
球面方程
令
流体相对于动坐标系速度
动坐标系和固定坐标系间关系为,
,,,0 wvuu ?
zzyyxxx ???? ',',' 0
0??nur ??
kwjviuuu r ???? ???? )( 0
' 2 ' 2 ' 2 '
''
F x i y j z kn
FF
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0))(( 00 ????? wzvyuuxx
将以上两式代入物面条件得：
y?
x?
0u
4,试写出自由表面波动时的运动学边界条件
),,( tzxy ??
),,( tzxyF ???
0????????????? zFwyFvxFutFDtDF
0??????????? zwvxut ???
????? )( ??????????????? utzwxutv ?
解：
),,( tzxy ??
x
y
h
5,分别写出绕流固体圆球，圆球状液滴，圆球状汽泡时的边界条件：
解,1) 固体圆球,ar? 0,0 ??
ruu ?
??r ????? ppUuUu r,s i n,c o s ?? ?
2) 液滴 0?r 为有限值
?uur,
ar?
??
??
?? RR
r uuu
)2()1(
)2()1(,0
?
??
??r ????? ppUuUu r,s i n,c o s ?? ?
3)气泡
ar?
0R?? ?
??r ????? ppUuUu r,s i n,c o s ?? ?
请注意上述情况均为轴对称运动。
（水平方向 =0）
6,从 N-S方程出发，作出适当的假定。推导以下各方程。设不可压缩流体,
(a)
(b)
(c)
2
0 2
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22
1 ()
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（ a）设解：
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p
dt
tdv ?
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(b) 方向的 N-S方程
22
22
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22()z z z z zuvt x y x y?
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y
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对 y 求偏导
22
22
1 ()v v v p v vuv
t x y y x y??
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对 x 求偏导
求导后的两式相减
7,方程简化：两无穷大平板间的充分发展流动（层流）,
0 0uvw x?? ? ? ??
0uz z????方向无限长
0ut????定常流
)(yuu ?
解：
h
x
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y
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2
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dx
dp
yd
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2
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Uuhy
uy 00边界条件：
8,圆管内的充分发展流动（层流）,
0?? ?uu r
()11 0 0r z zuru u u
r r r z z??
?? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
0zut????定常流动
0zu?????轴对称流动
)(ruu zz ?
解：
连续方程
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2
2
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2
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r d r d r d z??
0,?? zuar
zur,0?
边界条件,
为有有限值
解,轴对称流动 ;
9 圆管进口段，多孔壁，层流定常流动,ConstV
w ?
0,0u ? ?????
0
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0
r
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轴对称流动
且为常数
0rut????定常流动
)(ruu rr ?
1 ( ) 0 (,)x
r x x
ur u u u r x
r r x
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??连续方程
( ),(,),0,(,)r r x xu u r u u r x u p = p r x?? ? ? ?
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边界条件