1,拉格朗日变数 (a,b,c) 给出的流体运动规律为 22,(1 ),tx a e y b t?? ? ?
22(1 )tz c e t ???
1) 求以欧拉变数描述的速度场；
2) 问流动是否定常；
3) 求加速度 。
解, 1) 设速度场的三个分量是,,,u v w
22 txu a et ??? ? ??
22 ( 1 )2 ( 1 )
1
y b tv b t
tt
??? ? ? ?
222 2 3 2 ( 1 )2 [ ( 1 ) ( 1 ) ]
1
ttz c e t tw c e t t
tt
???? ? ? ? ? ?
??
222,,
11
y ztu x v w
tt? ? ? ???
消去以上表达式中的拉格朗日变数,
2) 欧拉表达式中包括变量 t,是不定常流动 。
3）在欧拉参考系中求加速度
2 ( 2 ) 4x ua u x xx?? ? ? ? ??
22
2 2 2 2
( 1 ) 1 1 ( 1 )y
v v y y yav
t y t t t t
? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
2
22
2 2 2 2 2 ( 1 2 )
1 ( 1 ) 1 1 ( 1 )z
w w z z t z t t z taw
t z t t t t t
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
222,,11y ztu x v wtt? ? ? ???
2 22
2 ( 2 ) 4 4
tt
x
xa a e a e x
tt
????? ? ? ? ?
??
2
22
2[ 2 ( 1 ) ] 2
( 1 )y
yya b t b
t t t
??? ? ? ? ?
? ? ?
2 2 2 2
2
2 3 3 3 4
4 2 62
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
t t t
t
z
z t c e t c e c e ta c e
t t t t t t
????? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ???
2 2 2 2
4 4 2
2 [ 2 ( 1 ) ( 1 ) 3 ] 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 )
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
ttc e t t t t c e t z t
t t t
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ?
在拉格朗日参考系中 求加速度,
1) 涡量
2) 应变率张量
3) 旋转张量
4) 变形速度 和旋转速度
2.设平面剪切运动的速度分布为,0u a y v w? ? ? 试求,
u???
ijs
ija
ij jsx?
解,
/ / /
00
i j k
u x y z a k
ay
??
??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
0 / 2 0
/ 2 0 0
0 0 0
ij
a
sa
??
???
????
ij jax?
1)
2)
0 / 2 0
/ 2 0 0
0 0 0
ij
a
aa
??
????
????
0 / 2 0 / 2
/ 2 0 0 / 2
0 0 0 0
ij j
a x a y
s x a y a x
z
??
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
0 / 2 0 / 2
/ 2 0 0 / 2
0 0 0 0
ij j
a x a y
a x a y a x
z
??
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
3)
4)
5)
以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一个旋转
运动,可以用下图直观的表示 。
u ay?
/2
/ 2
0
ij j
ay
s x a x
?
??
??
???
????
/2
/2
0
ij j
ay
a x a x
?
??
????
??
????
,,2u a x y a y z a z? ? ? ?
1 1,1 1,1 1x y z? ? ? ? ? ? ? ? ?
3,一流场中流体的密度为 1,速度分布为
求在体积 中质量随体导数。其中 a 为常数,
解,
()
AA
D d d u n d A u n d A u d
D t t? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
2 2 0
A A A A A
AA
u n d A a d A a d A a d A a d A
a d A a d A
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
左 右 后前
下上
( ) ( 2 ) 0u d ax i ay j az k d
??
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???
x
y
z
4.流体内某处的应力张量可表示为
0 1 2
1 2 0
201
????
????
?σ
试求作用于平面 外侧 （ 离开原点一侧 ） 的应力矢量
及应力矢量的法向和切向分量 。
31x y z? ? ?
解, 求该平面外侧的法向单位矢量，
31F x y z? ? ? ?
2
33
111 3 1
F i j k i j kn
F
? ? ? ? ?? ? ?
? ??
0 1 2
11( 1,3,1 ) 1 2 0 ( 5,7,3 )
11 11201n
pn
??
??? ? ? ?
????
σ
x
z
y
5
11
1 7 1 2 9
( 1,3,1 ) ( 5 2 1 3 )
1 1 1 11 1 1 1
3
11
n n n
np?
??
??
??
??
? ? ? ? ? ? ???
??
??
??
??
2 2 2
2 2 25 7 3 2 9 6 2| | ( )
1 1 1 1 1 1n n n np???
??? ? ? ? ?
5.圆球表面应力如下,
3 c o s2
R R o
Up a???? ? ? 3 sin
2R
U
a?
????? 0??? R
求圆球所受的力，以上表达中,为无穷远处压强和流体速度,
为动力粘性系数, a 为圆球半径。
Up,0 ?
球坐标和直角坐标关系,解,
sin c o s sin sin c o s
c o s c o s c o s sin sin
sin c o s
R x y z
x y z
xy
e e e e
e e e e
e e e
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
??
0
3
2
n R R R R
Rz
p e e
Up e e
a
????
?
??
? ? ?
RR?
R??
R??
?
?
P
x
y
z
a
2 22
00
3s i n 4 6
2n z z
UF p a d d a e U a e
a
?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???
又解,
( c o s s i n ) 2 s i n z R R R
A
F e a a d?? ? ? ? ? ? ????
22
0
0
2
0
0
2
2 0
3 c o s 3
2 [ ( ) c o s ( s in ) ] s in
22
3
2 ( c o s ) s in
2
s in 3
2 c o s 6
022
z
z
zz
UU
e a p d
aa
U
e a p d
a
p U
e a U a e
a
?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ?
???
? ? ???
??
?
?
RR?
R??
R??
?
?
P
x
y
z
a
6,试求图示圆柱坐标系微元体所受表面力的合力。计算中可取每个表
面中心的应力作为该表面的平均应力。已知单位矢量 和 均是 θ 的
函数，且,,微元体中心的应力张量已知。 r
e??e?
?? e
er ?? ?
?
? ree ?? ??????
解,
r
dr
dz
x
z
d?
?
,,
22
,,
22
,,
22
,,
22
{ [ ( ) ]
[ ( ) ] }
[ ( )
[ ( ) ]
{ [ ( ) ]
rr r r rz z d dz
r dr z
rr r r rz z d dz
rz
r r z z dr dz
r d z
r r z z dr dz
rz
zr r z zz z
r
F e e e r
e e e r d d z
e e e
e e e d z d r
e e e r
? ? ?
?
? ? ?
?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
?
??
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
??
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
,,
22
,,
22
[ ( ) ] }
dr d
z dz
zr r z zz z dr d
rz
e e e r d r d
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?
??
??
? ? ?
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
r r r r r
z z z z z
F r p r p d dz
p p dz dr
r p r p dr d
?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
r
dr
dz
x
z
d?
?
2
2
( ) ( )
( ) ( )
2
[ ( ) ( ) ]
2
()
r r r r r
r r r
r
r r r
r
r
r p r p
r
r p r p
r
r
r p r p
r
r p r
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
同理
dzpr
z
prpr
dppp
zzzz )()()(
)()(
???
???
?
???
?
???
?
?
???
?
?????? ??
[ ( ) ( ) ]
{ [ ) ] [ ) ]
[ ) ] }
{ ( ) ( ) ( )
rz
rr r r rz z r r z z
zr r z zz z
r
rr r r rz z r r
p
F rp rp d dzdr
rz
e e e r e e e r
r
e e e r drd dz
z
r e r e r e e e e
r r r
?
? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
??
???
? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
?
? ? ?
?
??? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
( ) ( ) ( ) }
z
rz
zr r z zz z
ee
r e r e r e drd dz
z z z
?
??
??
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
整理得 [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
r
r r r z r
r r z
z
z r z z z
F r r d rd d z
rz
F r r d rd d z
rz
F r r d rd d z
zz
?
??
??
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
???
? ? ? ?
? ? ?
???
? ? ? ?
? ? ?
???
? ? ?
? ? ?
7,给定一流场的速度分布和密度分布为,
3 3 3,,,
x y zu v w
r r r? ? ? 3( 3 )k r t? ??
2 2 2 2r x y z? ? ?其中,k为非零常数。
1),在流场中某点的流体密度随时间的变化率；
2),流体质点密度在运动过程中随时间的变化率；
3),在体积 中流体质量的随体倒数。0 ra??
3kt?? ???解,
2 2 2
3 3 3
2 2 2
2 2 2
3 3 3 3
3 3 ( ) 3 3 0
D
u v w
Dt t x y z
x k x y k y z k y
k r r r
r r r r r r
x y z
k k k k
r r r
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
1)
2)
A
A?
?
O
a
3)
3 ( 3 ) M d k r t d
??
? ? ?? ? ???
3
0( 3 ) l i m AA
DM k r t d u n d A
D t t ??? ??? ?
?? ? ? ?
? ??
3 3 3( 3 ) [ ( 3 ) ] 3 4k r t d k r t d k d k a
tt ??? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
22
3 2 3 2
22
0 0 0 0
11
( 3 ) s in ( 3 ) s in
AA AA
u n d A u n d A u n d A
k a t a d d k t d d
a
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
在体积 中流体质量为，0 ra??
3 3 3 34 3 4 4 3 4 4 4k a k t k k t k a k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
A
A?
?
O
a
所以
3
0l im 4
AA
u n d A k a
?
? ??
?
? ???
334 4 0DM k a k aDt ??? ? ? ?
3333 r
r
r
kz
r
jy
r
ixu ????? ????
32
1rrun
r r r? ? ? ?
以上计算中用到如下式子，