第十一章 轴向拉伸与压缩
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掌握轴向拉伸与压缩的概念，轴力图
的绘制，截面上的应力，材料在拉压时的
力学性能，拉压杆的强度计算
教学要求
重点：轴力图的绘制，材料在拉伸时
的力学性能，拉压杆的强度计算
难点：轴力图的绘制
教学重点与难点
§ 11-1 轴向拉伸与压缩的概念
§ 11-2 轴力和轴力图
§ 11-3 横截面上的应力
§ 11-4 斜截面上的应力
§ 11-5 轴向拉、压杆的变形与应变
§ 11-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
§ 11-7 拉压杆的强度计算
受力特点：作用于杆两端的外力或外力的合力，大小相等、方向相反,
作用线与杆的轴线重合。
变形特点：拉伸杆件产生沿轴线方向伸长、横截面缩小的变形。
压缩杆件产生沿轴线方向缩短、横截面增大的变形。
轴向拉伸与压缩的概念
轴向拉伸
轴向压缩
一、内力（附加内力）
由于外力作用而引起的杆件内各质点之间的相互作用力的改变量。
∵ 内力的作用线与杆件
的轴线重合 ∴ 此内力为轴
力。
截面法求内力可归纳
为,一截二代三平衡 。
轴力和轴力图
二、截面法
要确定横截面 1-1上
的内力，可假想沿横截
面 1-1将杆截成两段，取
左段为研究对象。
PN?
0?? xF
0?? PN
｝
｛
(c)
(b)
(a)
1
1
1
1
1
1
B
C
CA
BCA
N
P
P
PP
N′
043 ??? N KNN 42 ??
最大轴力出现在 AB段。
作截面 3-3，取右段为研究对象有
0632 ???N KNN 32 ?
同理，用 2-2截面将 AD杆截为两段得
三、轴力图
N 3
3
3
4kN
B
A
N 26kN
2
2
3kN
7kN3kN
N 1
A
1
1
6kN
DCB
A
4kN
321
321
6kN
5050 50
例题, 一等直杆受力如图所示，试求
其各段轴力并绘出轴力图。
用平行于杆轴线的坐标轴表示横截面
的位置，垂直于杆轴线的坐标轴表示轴力
大小的图线。
通常拉力为正，压力为负。
061 ??N KNN 61 ?
解：按截面法用 1-1截面将 AD杆截为
两段，取左段为研究对象，由 ∑ Ｆ x=0得
一、应力的概念
横截面上的正应力
dA
dP
A
Plimplim
0Am0A
???
?? Δ
Δ
ΔΔ
p
C点处的全应力
通常把全应力分解为正应力、剪应力。
应力：单位面积上的内力，表示某截面处内力的密集程度。
m
m
△A
△P
C
(a) (b)
C
η
ζ
P
m
m
A
P
m Δ
Δ?p 平均应力：单位面积上内力的平均集度
二、横截面上应力的计算
例题,轧钢机的压下螺杆，其尺寸
如图所示。设压下螺杆的最大压力
P=600kN，试求最大应力。
杆受拉伸时横截面上的内力是均匀
分布的，其作用线与横截面垂直。其上
的应力与截面垂直为正应力
A
P
A
N ???
PP
(a)
(b)
a′ b′
c′ d′
a b
c d
(b)
N
P
(a) P
P
θ 120
θ 90
θ 70
θ 90
222
m i n 5.3 8 4 64
70 mmmmA ??? ?
M P aM P aA N 1565.3846 10600
3
m i n
m a x ??
?????
解,(1)计算轴力 Ｎ＝－Ｐ＝６ kN
(2)计算横截面面积 (因最大应力将发
生在截面最小部位 )
一、斜截面上的应力
斜截面上的正应力
方位角 α：逆时针方向为正
剪应力 η：使研究对象有顺时针转动趋势为正。
将 pα 分解
?
? A
Np ?
而
?? c os
AA ?
因此 ?????? c o sc o sAPp
?????? ?? 2c o sc o sp
?????? ?? 22 s ins inp
n
(c)
(b)
N
P
A
k
k
n
x
(a)
k
k
P
P
B
A
ζ α
P α
α
η
η
α
任意斜截面 k-k上的应力
二、剪应力互等定理
两个相互垂直截面上的剪应力大小相等、符号相反，称剪应力互等
定理。
?? ?????? ????????? 2s i n2
1)90(2s i n
2
1
)90(
时，纵向截面上的正应力和剪应力都等于零，表明杆的纵
向截面上无任何应力。 ?? 90?
??? ??? m a x0
245 m a x
??? ???
一, 横向与纵向的变形和应变
轴向拉、压杆的变形与应变
应变是一个无量纲的量。
纵向变形量为
横向变形量为
相应的纵向应变为
横向应变为
lll ??? 1
bbb ??? 1
ll???
bb??'?
当应力不超过某一限度时，横向应变与纵向应变之间有正比关系，且
符号相反，即 ??? ??'
EA表示材料抵抗变形能力大小的量, 称为抗拉 (压 )刚度 。
二、虎克定律
当杆的正应力不超过某一限度时，正应力与相应的线应变成正比，
即 ?? E?
EA
Nll ??或
PP
b
b
1
1
例题,图示杆件
中，已知横截面面积
AAB=ABC=500mm2，
ACD=300mm2，弹性
模量 E=200GPa，试
求杆的总伸长 。
解,
(1)作轴力图
用截面法分别计算 AB,
BC,CD段的轴力
NAB=20kN
NBC=-10kN
NCD= -10kN
画出杆的轴力图
(2)计算杆的变形量（略）
(b)
10kN
20kN
(a)
30kN
10kN
D
CBA
100100 100
一、塑性材料拉伸时的力学性能
材料在拉伸和压缩时的力学性能
1、拉伸时的力学性能,
四个阶段,1）线弹性阶段 OA； 2）
屈服阶段 BC； 3）强化阶段 CD； 4）缩
颈断裂阶段 DE
2、材料的塑性
主要性能指标,
比例极限 ；屈服极限 ；强度极限 p? s? b?
工程上 δ>5％ 的材料, 称为塑性材料； δ<5％ 的材料称为脆性材料 。
断后伸长率,
断面收缩率,
%1 0 01 ??? l ll?
%1 0 0
0
10 ???
A
AA?
3、冷作硬化
试样的应力超过屈服点后卸载，再重新加载时，材料的比例极限提高、
塑性降低的现象。
G
F
A
ζ
HO
1
2
ε =—
ζ =—
D
E
GOO
A
A′
B C
F
P
A
ζ
s
p
O
e
ζ
p
ζ
ε
δ
ε ε e
b
ζ
?
二、脆性材料拉伸时的力学性能
曲线无明显的直线部分，但
是，应力在较小范围内的一段曲线很接
近直线，故虎克定律还可适用。
与塑性材料相比较，脆性材料拉伸
时无屈服和缩颈现象，抗拉强度较低，
试样在断裂时的塑性变形很小，其断后
伸长率约为 0.5％一 0.6％
???
三、塑性材料压缩时的力学性能
将 Q235A钢制成的压缩试样置于
万能试验机上，使其受压，得 Q235A
钢受压缩的 曲线，图中实线所
示。图中虚线则表示 Q235A钢拉伸时
的 曲线。
???
???
ε
压缩
拉伸
240 P
ζ (MPa)
s
ζ
ζ
b
140
0.60.40.2
ζ (MP a)
ζ
ε (%)
四、脆性材料压缩时的力学性能
灰铸铁的压缩试验所得的 曲线如图中实线所示。图中虚线则表
示灰铸铁拉伸时的 曲线。 ???
???
塑性材料和脆性材料力学性能的主要区别,
(1)塑性材料在断裂时有较大
的塑性变形，脆性材料在断裂时
变形很小。
(2)塑性材料在拉伸和压缩时
的比例极限、屈服点和弹性模量
都相同。
(3)塑性材料 的抗拉和抗压强
度相同；脆性材料的抗拉强度低
于抗压强度。
0
700
600
500
400
300
200
100
2 4 6 8 10
压缩
拉伸
ζ (MPa)
ε (%)
by
ζ
五、应力集中的概念
工程实际中构件上常常加工油孔、切槽、螺纹等工艺结构，使构件在这
些部位的截面尺寸发生突变。
构件在截面突变处应力显著增大的现象，称为应力集中。
ζ
s
s
max
ζ
PP
P
P
1
1 1
1
1 1
11
一、许用应力和安全系数
拉、压杆的强度计算
在静载荷作用下：塑性材料,S=1.2～ 2.2；脆性材料,S=2.0～ 3.5
二、强度计算
运用此条件可解决工程中下列三种形式的强度计算问题。
塑性材料 脆性材料 ? ?
S
s?? ? ? ? Sb?? ?
? ??? ?? AN
1、强度校核
2、设计截面尺寸
3、确定许用载荷
三, 例题
例题 1：连杆的受力如图所示 。
已知 P=38kN,[σ]=70MPa,试校
核连杆强度 。
例题 2：冷镦机的曲柄滑块机构如
图所示 。 镦压工件时, 连杆接近水平位
置, 承受的镦压力 P=1100kN,连杆截
面为矩形, 高度 h与宽度 b之比为 1.4，
构件的许用应力为 [σ]=60MPa,试确定
截面尺寸 h及 b。
50
15
15
50
20
P
θ 22
θ 10
θ 22
P
b
h
?教学要求
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掌握轴向拉伸与压缩的概念，轴力图
的绘制，截面上的应力，材料在拉压时的
力学性能，拉压杆的强度计算
教学要求
重点：轴力图的绘制，材料在拉伸时
的力学性能，拉压杆的强度计算
难点：轴力图的绘制
教学重点与难点
§ 11-1 轴向拉伸与压缩的概念
§ 11-2 轴力和轴力图
§ 11-3 横截面上的应力
§ 11-4 斜截面上的应力
§ 11-5 轴向拉、压杆的变形与应变
§ 11-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
§ 11-7 拉压杆的强度计算
受力特点：作用于杆两端的外力或外力的合力，大小相等、方向相反,
作用线与杆的轴线重合。
变形特点：拉伸杆件产生沿轴线方向伸长、横截面缩小的变形。
压缩杆件产生沿轴线方向缩短、横截面增大的变形。
轴向拉伸与压缩的概念
轴向拉伸
轴向压缩
一、内力（附加内力）
由于外力作用而引起的杆件内各质点之间的相互作用力的改变量。
∵ 内力的作用线与杆件
的轴线重合 ∴ 此内力为轴
力。
截面法求内力可归纳
为,一截二代三平衡 。
轴力和轴力图
二、截面法
要确定横截面 1-1上
的内力，可假想沿横截
面 1-1将杆截成两段，取
左段为研究对象。
PN?
0?? xF
0?? PN
｝
｛
(c)
(b)
(a)
1
1
1
1
1
1
B
C
CA
BCA
N
P
P
PP
N′
043 ??? N KNN 42 ??
最大轴力出现在 AB段。
作截面 3-3，取右段为研究对象有
0632 ???N KNN 32 ?
同理，用 2-2截面将 AD杆截为两段得
三、轴力图
N 3
3
3
4kN
B
A
N 26kN
2
2
3kN
7kN3kN
N 1
A
1
1
6kN
DCB
A
4kN
321
321
6kN
5050 50
例题, 一等直杆受力如图所示，试求
其各段轴力并绘出轴力图。
用平行于杆轴线的坐标轴表示横截面
的位置，垂直于杆轴线的坐标轴表示轴力
大小的图线。
通常拉力为正，压力为负。
061 ??N KNN 61 ?
解：按截面法用 1-1截面将 AD杆截为
两段，取左段为研究对象，由 ∑ Ｆ x=0得
一、应力的概念
横截面上的正应力
dA
dP
A
Plimplim
0Am0A
???
?? Δ
Δ
ΔΔ
p
C点处的全应力
通常把全应力分解为正应力、剪应力。
应力：单位面积上的内力，表示某截面处内力的密集程度。
m
m
△A
△P
C
(a) (b)
C
η
ζ
P
m
m
A
P
m Δ
Δ?p 平均应力：单位面积上内力的平均集度
二、横截面上应力的计算
例题,轧钢机的压下螺杆，其尺寸
如图所示。设压下螺杆的最大压力
P=600kN，试求最大应力。
杆受拉伸时横截面上的内力是均匀
分布的，其作用线与横截面垂直。其上
的应力与截面垂直为正应力
A
P
A
N ???
PP
(a)
(b)
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c′ d′
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(b)
N
P
(a) P
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θ 90
θ 70
θ 90
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70 mmmmA ??? ?
M P aM P aA N 1565.3846 10600
3
m i n
m a x ??
?????
解,(1)计算轴力 Ｎ＝－Ｐ＝６ kN
(2)计算横截面面积 (因最大应力将发
生在截面最小部位 )
一、斜截面上的应力
斜截面上的正应力
方位角 α：逆时针方向为正
剪应力 η：使研究对象有顺时针转动趋势为正。
将 pα 分解
?
? A
Np ?
而
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AA ?
因此 ?????? c o sc o sAPp
?????? ?? 2c o sc o sp
?????? ?? 22 s ins inp
n
(c)
(b)
N
P
A
k
k
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(a)
k
k
P
P
B
A
ζ α
P α
α
η
η
α
任意斜截面 k-k上的应力
二、剪应力互等定理
两个相互垂直截面上的剪应力大小相等、符号相反，称剪应力互等
定理。
?? ?????? ????????? 2s i n2
1)90(2s i n
2
1
)90(
时，纵向截面上的正应力和剪应力都等于零，表明杆的纵
向截面上无任何应力。 ?? 90?
??? ??? m a x0
245 m a x
??? ???
一, 横向与纵向的变形和应变
轴向拉、压杆的变形与应变
应变是一个无量纲的量。
纵向变形量为
横向变形量为
相应的纵向应变为
横向应变为
lll ??? 1
bbb ??? 1
ll???
bb??'?
当应力不超过某一限度时，横向应变与纵向应变之间有正比关系，且
符号相反，即 ??? ??'
EA表示材料抵抗变形能力大小的量, 称为抗拉 (压 )刚度 。
二、虎克定律
当杆的正应力不超过某一限度时，正应力与相应的线应变成正比，
即 ?? E?
EA
Nll ??或
PP
b
b
1
1
例题,图示杆件
中，已知横截面面积
AAB=ABC=500mm2，
ACD=300mm2，弹性
模量 E=200GPa，试
求杆的总伸长 。
解,
(1)作轴力图
用截面法分别计算 AB,
BC,CD段的轴力
NAB=20kN
NBC=-10kN
NCD= -10kN
画出杆的轴力图
(2)计算杆的变形量（略）
(b)
10kN
20kN
(a)
30kN
10kN
D
CBA
100100 100
一、塑性材料拉伸时的力学性能
材料在拉伸和压缩时的力学性能
1、拉伸时的力学性能,
四个阶段,1）线弹性阶段 OA； 2）
屈服阶段 BC； 3）强化阶段 CD； 4）缩
颈断裂阶段 DE
2、材料的塑性
主要性能指标,
比例极限 ；屈服极限 ；强度极限 p? s? b?
工程上 δ>5％ 的材料, 称为塑性材料； δ<5％ 的材料称为脆性材料 。
断后伸长率,
断面收缩率,
%1 0 01 ??? l ll?
%1 0 0
0
10 ???
A
AA?
3、冷作硬化
试样的应力超过屈服点后卸载，再重新加载时，材料的比例极限提高、
塑性降低的现象。
G
F
A
ζ
HO
1
2
ε =—
ζ =—
D
E
GOO
A
A′
B C
F
P
A
ζ
s
p
O
e
ζ
p
ζ
ε
δ
ε ε e
b
ζ
?
二、脆性材料拉伸时的力学性能
曲线无明显的直线部分，但
是，应力在较小范围内的一段曲线很接
近直线，故虎克定律还可适用。
与塑性材料相比较，脆性材料拉伸
时无屈服和缩颈现象，抗拉强度较低，
试样在断裂时的塑性变形很小，其断后
伸长率约为 0.5％一 0.6％
???
三、塑性材料压缩时的力学性能
将 Q235A钢制成的压缩试样置于
万能试验机上，使其受压，得 Q235A
钢受压缩的 曲线，图中实线所
示。图中虚线则表示 Q235A钢拉伸时
的 曲线。
???
???
ε
压缩
拉伸
240 P
ζ (MPa)
s
ζ
ζ
b
140
0.60.40.2
ζ (MP a)
ζ
ε (%)
四、脆性材料压缩时的力学性能
灰铸铁的压缩试验所得的 曲线如图中实线所示。图中虚线则表
示灰铸铁拉伸时的 曲线。 ???
???
塑性材料和脆性材料力学性能的主要区别,
(1)塑性材料在断裂时有较大
的塑性变形，脆性材料在断裂时
变形很小。
(2)塑性材料在拉伸和压缩时
的比例极限、屈服点和弹性模量
都相同。
(3)塑性材料 的抗拉和抗压强
度相同；脆性材料的抗拉强度低
于抗压强度。
0
700
600
500
400
300
200
100
2 4 6 8 10
压缩
拉伸
ζ (MPa)
ε (%)
by
ζ
五、应力集中的概念
工程实际中构件上常常加工油孔、切槽、螺纹等工艺结构，使构件在这
些部位的截面尺寸发生突变。
构件在截面突变处应力显著增大的现象，称为应力集中。
ζ
s
s
max
ζ
PP
P
P
1
1 1
1
1 1
11
一、许用应力和安全系数
拉、压杆的强度计算
在静载荷作用下：塑性材料,S=1.2～ 2.2；脆性材料,S=2.0～ 3.5
二、强度计算
运用此条件可解决工程中下列三种形式的强度计算问题。
塑性材料 脆性材料 ? ?
S
s?? ? ? ? Sb?? ?
? ??? ?? AN
1、强度校核
2、设计截面尺寸
3、确定许用载荷
三, 例题
例题 1：连杆的受力如图所示 。
已知 P=38kN,[σ]=70MPa,试校
核连杆强度 。
例题 2：冷镦机的曲柄滑块机构如
图所示 。 镦压工件时, 连杆接近水平位
置, 承受的镦压力 P=1100kN,连杆截
面为矩形, 高度 h与宽度 b之比为 1.4，
构件的许用应力为 [σ]=60MPa,试确定
截面尺寸 h及 b。
50
15
15
50
20
P
θ 22
θ 10
θ 22
P
b
h
