第十八章 压杆稳定
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?教学重点与难点
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教学要求
了解压杆稳定的概念；
熟悉临界压力和临界应力；
掌握大柔度杆、中小柔度杆临界应力
的计算，提高压杆稳定的措施 ；
压杆稳定计算
正确确定临界压力和临界应力的计算公式
教学重点与难点
§ 18-1 压杆稳定的概念
§ 18-2 细长压杆的临界压力和临界应力
§ 18-3 中小柔度杆的临界应力
§ 18-4 压杆稳定计算
§ 18-5 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定的概念
压杆的稳定性是指受压直杆在轴
向压力作用下，保持其原有直线平衡
状态的能力。
两端铰支细长杆 (图 a)，受轴向压
力 P作用而处于平衡状态。若给杆施
加一侧向干扰力使其发生微小的弯曲
变形 (图 b)，随后迅速撤去干扰力，则
可有三种不同的结果,
(1)当轴向压力较小 (Ｐ ＜ Ｐ ＣＹ )时，
压杆将恢复其原有的直线平衡状态，
此时压杆的平衡称为稳定平衡；
(2)若轴向压力较大 (Ｐ ＞ Ｐ ＣＹ )时，一受到侧向干扰，杆立即发生急
剧的侧向弯曲而失去承载能力。此时压杆的平衡称为不稳定平衡；
(3)当轴向压力等于某一特定值 (Ｐ ＝ Ｐ ＣＹ )时，杆继续在微弯状态下保
持平衡。此时压杆的平衡称为临界平衡。
临界平衡状态所对应的轴向压力，称为压杆的临界载荷 (或临界压力 )。
P P
干扰力
(a) (b)
细长压杆的临界压力和临界应力
一、细长压杆的临界压力
二、细长压杆的临界应力
两端铰支的细长压杆长为，抗弯刚度为，在临界压力作用下处于微弯平
衡状态。当杆内应力不超过材料的比例极限时，其临界压力的计算公式为
2
2
l
EIP
cr
??
若压杆两端的支承改变，则边界条件也随之改变，临界压力的值也就不同
各种约束情况下细长压杆临界压力的统一计算公式（ Euler ）为
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压杆处于临界平衡状态时横截面上的平均应力称为临界应力
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压杆的柔度越大，其临界应力越低，也就越容易发生失稳破坏。
令, (压杆的柔度或长细比，无量纲量 )，则
A
Ii Z?
i
l?? ? 22??? Ecr ?
中小柔度杆的临界应力
一,Euler公式的适用范围
Euler公式是根据挠曲轴近似微分方程建立的，因此它只适用于杆内应
力不超过比例极限的情况，即
pcr
E ?
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2
2
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E
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因此
当 时，采用强度理论校核强度； s?? ?
而 介于 与 之间时，需采用临界应力与经验公式。 ? p? s?
大柔度杆,p??? 压杆
若压杆两端的支承改变，则边界条件也随之改变，临界压力的值也就不
同 。
各种约束情况下细长压杆临界压力的统一计算公式（ Euler ）为
p
p
E
??? ?
令 则 (Euler公式适用范围 ) p???
中小柔度杆的临界应力
3、临界应力总图
中柔度杆若用大柔度杆公式计算，或大柔度杆用中小柔度杆计算都
会偏于危险。
小柔度杆，按强度问题处理。
中柔度杆，经验公式。
大柔度杆,Euler公式。
p?? ?
p??? ??0
p?? ?
λ P
s
σ cr
λ
经验公式曲线
欧拉公式曲线
O
101 124
中小柔度杆的临界应力
二、临界应力的经验公式
1,小柔度杆 scr ?? ?
２,中柔度杆 scrp ??? ??
经验公式
（ 1）直线公式 (合金钢、铝合金、铸铁与松木等 )
(a,b查表 ) ?? bacr ??
下限 (小柔度杆上限 ),
b
a s?? ??
0
上限 (大柔度杆下限 ),
pp E ??? ?
（ 2）抛物线公式（结构钢、低合金钢等）
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压杆稳定计算
一、压杆的稳定条件
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w
cr
w
w
cr
nPn
PP ??? ????
nW为稳定安全系数，选用时注意,
(1)因为必须考虑压杆初始弯曲和偏心加载,nW一般应大于强度安全
系数 n；
(2)稳定性是整体量，可以不考虑如铆钉孔等的局部削弱。如有孔的杆，
孔对杆的稳定性影响不大，但对强度却有影响。
二、压杆合理设计
I
Al
i
lE
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2
2
1、合理截面形状：,提高
2、加约束，加支承,
3、材料选择,
(高强度钢与低强度钢对稳定性影响不大 )
?? ?? Ii 或
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提高压杆稳定性的措施
1、合理选择材料
2、合理选择截面形状
在截面面积一定的情况下，应尽可能增大截面的惯性矩，以减小压杆
的柔度。
压杆总是在柔度较大的纵向平面内失稳，为了充分利用压杆的材料，
应使其各个纵向平面内的柔度相同或相近。
当压杆两端的支座是各向同性的固定端或球形铰时，合理的截面形状
应是圆形或方形；当压杆两端是柱形铰时，则宜采用矩形或工字型截面 。
3、尽量减小压杆的长度
应尽可能减小压杆的长度，或者在压杆中间增加支座以减小压杆计算
长度。
4、改善约束条件
压杆两端支承越牢固，其长度系数就越小，临界应力也就越大。因此
压杆与其它构件联接时，应尽可能做成刚性联接或采用较紧密的配合。
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教学要求
了解压杆稳定的概念；
熟悉临界压力和临界应力；
掌握大柔度杆、中小柔度杆临界应力
的计算，提高压杆稳定的措施 ；
压杆稳定计算
正确确定临界压力和临界应力的计算公式
教学重点与难点
§ 18-1 压杆稳定的概念
§ 18-2 细长压杆的临界压力和临界应力
§ 18-3 中小柔度杆的临界应力
§ 18-4 压杆稳定计算
§ 18-5 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定的概念
压杆的稳定性是指受压直杆在轴
向压力作用下，保持其原有直线平衡
状态的能力。
两端铰支细长杆 (图 a)，受轴向压
力 P作用而处于平衡状态。若给杆施
加一侧向干扰力使其发生微小的弯曲
变形 (图 b)，随后迅速撤去干扰力，则
可有三种不同的结果,
(1)当轴向压力较小 (Ｐ ＜ Ｐ ＣＹ )时，
压杆将恢复其原有的直线平衡状态，
此时压杆的平衡称为稳定平衡；
(2)若轴向压力较大 (Ｐ ＞ Ｐ ＣＹ )时，一受到侧向干扰，杆立即发生急
剧的侧向弯曲而失去承载能力。此时压杆的平衡称为不稳定平衡；
(3)当轴向压力等于某一特定值 (Ｐ ＝ Ｐ ＣＹ )时，杆继续在微弯状态下保
持平衡。此时压杆的平衡称为临界平衡。
临界平衡状态所对应的轴向压力，称为压杆的临界载荷 (或临界压力 )。
P P
干扰力
(a) (b)
细长压杆的临界压力和临界应力
一、细长压杆的临界压力
二、细长压杆的临界应力
两端铰支的细长压杆长为，抗弯刚度为，在临界压力作用下处于微弯平
衡状态。当杆内应力不超过材料的比例极限时，其临界压力的计算公式为
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3、临界应力总图
中柔度杆若用大柔度杆公式计算，或大柔度杆用中小柔度杆计算都
会偏于危险。
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中柔度杆，经验公式。
大柔度杆,Euler公式。
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经验公式曲线
欧拉公式曲线
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101 124
中小柔度杆的临界应力
二、临界应力的经验公式
1,小柔度杆 scr ?? ?
２,中柔度杆 scrp ??? ??
经验公式
（ 1）直线公式 (合金钢、铝合金、铸铁与松木等 )
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下限 (小柔度杆上限 ),
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（ 2）抛物线公式（结构钢、低合金钢等）
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压杆稳定计算
一、压杆的稳定条件
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(1)因为必须考虑压杆初始弯曲和偏心加载,nW一般应大于强度安全
系数 n；
(2)稳定性是整体量，可以不考虑如铆钉孔等的局部削弱。如有孔的杆，
孔对杆的稳定性影响不大，但对强度却有影响。
二、压杆合理设计
I
Al
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1、合理截面形状：,提高
2、加约束，加支承,
3、材料选择,
(高强度钢与低强度钢对稳定性影响不大 )
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提高压杆稳定性的措施
1、合理选择材料
2、合理选择截面形状
在截面面积一定的情况下，应尽可能增大截面的惯性矩，以减小压杆
的柔度。
压杆总是在柔度较大的纵向平面内失稳，为了充分利用压杆的材料，
应使其各个纵向平面内的柔度相同或相近。
当压杆两端的支座是各向同性的固定端或球形铰时，合理的截面形状
应是圆形或方形；当压杆两端是柱形铰时，则宜采用矩形或工字型截面 。
3、尽量减小压杆的长度
应尽可能减小压杆的长度，或者在压杆中间增加支座以减小压杆计算
长度。
4、改善约束条件
压杆两端支承越牢固，其长度系数就越小，临界应力也就越大。因此
压杆与其它构件联接时，应尽可能做成刚性联接或采用较紧密的配合。
