第十五章 梁的弯曲刚度
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了解梁的弯曲变形、用变形比较法解简单超静定梁；
熟悉挠曲线近似微分方程；
掌握用积分法、查表法、叠加法求梁的变形。
教学要求
重点,
挠曲线近似微分方程，用积分法求梁的变形
难点,
用变形比较法解简单超静定梁
教学重点与难点
§ 15-1 梁弯曲变形概述
§ 15-2 挠曲线近似微分方程
§ 15-3 用积分法求梁的变形
§ 15-4 叠加法求梁的变形
§ 15-5 用变形比较法解简单静不定梁
一、有关概念
梁弯曲变形概述
挠曲线：变弯后的梁轴。
当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线
挠度 y（ x）, 横截面形心的位移
转角 θ （ x）,横截面绕中性轴的转角
二、刚度条件
? ?yy ?max
? ??? ?max
ｘ
θ
θ
ｎ 1ｎ
Ｃ 1
ｎ 1
Ｐ
Ｂ
ｎ
Ｃ
1B
A
χ
? ?xydxdytg ????
? ?xytg ??? ??
挠曲线方程, ? ?xyy ?
挠曲线近似微分方程
判断挠曲线的大致形状,
弯矩 M与 y″ 符号相同，可按
M（ x）符号确定挠曲线弯曲的方
向，再考虑梁的支承情况可画出
挠曲线的大致形状。
ｙ″＞0
ｙ″＜0
Μ ＜0
Μ ＞0
ｙ
0 ｘ
2 42
ρ
零点
拐点
零点
点
P
A E D
B C
(a)
(b)
( c )
? ?
ZEI
xMy ????
)( xMyEI Z ???
y″ 的正负与坐标系有关。
例题 1, 悬臂梁受力如图所示，求任意截面处的挠度和转角。
例题 2,求图示挠曲线微分方程。
M 0
x
BA C
0M
2 2
M 0 0M
用积分法求梁的变形
边界条件：固定端 yA=0,θ A=0
固定铰：活动铰 yB=0,yF=0
自由端：无位移边界条件
C,D为积分常数，由位移边界与连续条件确定。
对等截面梁,EI为常数，对挠曲线近似微分方程积分得
? ? Cdx
EI
xMy ???? ??
? ? DCxdx
EI
xMy ??? ??
连续条件,
右左右左 CCCC yy ?? ??? 00
右左右左右左 CCCCBB yyyy ?? ???
PE F
CB
D
A
P
叠加法求梁的变形
叠加法,对同时作用几种载荷的梁，先分别计算每一种载荷单独作用时
所引起的梁的挠度和转角，然后再把同一截面的转角和挠度代数相加，得
到几种载荷共同作用下的该截面的挠度和转角的方法。
?
?
? ????
小变形
p
z
z
EI
My ??
例题,一简支梁 AB，已知 EI，
所受载荷情况如图 (a)所示，试求 C点
的挠度。
B
A
P
C
2 2
y
c
解题思路：用叠加法求 C点的挠
度，分别画出均布力 q和集中力 P单独
作用时的计算简图。
用变形比较法解简单静不定梁
一、基本概念
静定梁：有效平衡方程数 =未知力数。
静不定梁：有效平衡方程数 <未知力数。
静不定度：有效平衡方程数与未知力数之差。
基本系统, 一个静不定系统解除多余约束后所得的静定系统。
相当系统：作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统。
例题,在四爪卡盘和顶尖支承
下，被车削工件的长度为 l，抗弯刚
度 EI为常量，切削力 p作用于 l／ 2
处，求其约束反力。
二、求解静不定步骤
1.判断静不定度
2.选多余约束，相当系统
3.求解静不定问题
2 2
A C
B