第四章 机构的静力分析
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?教学重点与难点
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掌握刚体静力学、平面机构的静力分析；
熟悉空间力系的平面解法。
教学要求
重点：受力图的绘制，平面机构的静
力分析、力系的合成与平衡计算
难点：受力图的绘制，空间力系的平
面解法。
教学重点与难点
§ 4-1 刚体静力学
§ 4-2 平面机构的静力分析
§ 4-3 机械中空间力系分析
刚体静力学 一、刚体静力学基本概念
（一）力的概念
力是物体间相互的机械作用。力作用对物体产生两种效应：运动状态变
化和形状变化。前者称为运动效应或者外效应；后者称为变形效应或者内效
应。力对刚体只产生运动效应。
力的三要素：力的大小、方向和作用点。力是矢量。
力的类型,① 分布力、集中力； ② 合力、分力
（二）力的基本性质
1、二力平衡原理
作用于同一刚体上的两个力平衡的充要条件是：两个力的大小相等、方
向相反且作用在同一直线上。
2、加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推论 1：力的可传性原理
作用于刚体上某点的力，可以沿着它们的作用线移到刚体内任意一点，
并不改变该该力对刚体的作用。
作用于刚体上力的三要素：力的大小、方向和作用线。即作用于刚体上
的力可以沿其作用线移动，力是滑移矢量。
推论 2：三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个互相平衡
的力，若其中两个力的作用线汇
交于一点，则第三个力必在同一
平面内，且作用线通过汇交点。
3、平行四边形法则
FR=F1+F2
4、作用与反作用定律
两个物体间相互作用的一对力总是等值、反向、共线，分别作用在这
两个物体 上。
自由体：可以作任意运动的物体。
非自由体（受约束体）：运动受到其它物体限制的物体。
约束：对物体运动加以限制的其他物体。
约束反作用力（约束反力、约束力或反力）：约束对物体作用的力。约
束反力总是作用在被约束物体与约束物体接触处，其方向也总是与该约束所
限制物体运动的趋势方向相反。
主动力：使物体产生可能运动的力；
约束力：约束限制某种可能运动的力。
二、约束与约束反力
（一）柔性约束
只限制物体沿柔性体伸长方向的运动，对物体只有沿柔性体方向的拉
力，通常用 T表示。
（二）光滑面约束
约束反力作用在接触点处，方向沿接触点公法线、且指向受力物体。
通常用 FN表示。
1、向心轴承（径向轴承）
随着轴所受主动力的不同，轴与孔的接触点位置也随之不同。通常可
用通过轴心的两个大小未知的正交分力 RAx,RAy表示。 RAx,RAy的指向暂可
任意假定。
铰链 C的约束反力用两个大小未知正交分
力 RCx,RCy和 RCx′ RCy′ 表示，其中 RCx=-
RCx,RCy=-RCy′ 。
固定铰支 A,B对构件 I,II的约束反力分
别为 RAx,RAy与 RBx,RBy。
此类约束只限制两物体径向的相对移动，
而不限制两个物体绕铰链中心的相对转动及沿
轴向的移动。
（三）光滑铰链约束
（四）其它约束
1、滚动支座
约束性质与光滑面约束相同，其约束反力必垂直于支承面，且通过铰链中
心。通常用 RN表示其法向约束反力。
2、球铰链
通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链。它使构件的球
心不能有任何位移，但构件可绕球心任意转动。其约束力应是通过球心但方向
不能预先确定的一个空间力，可用三个正交分力 RAx,RAy,RAz表示。
3、止推轴承
它能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿轴向的位移。其约束反力有三个
正交分量 RAx,RAy,RAz。
三,物体的受力分析和受力图
（一）受力图画法及步骤
1、取分离体 根据题意选取研究对象，用尽可能简明的轮廓将它单独画出；
2、在分离体上画出全部主动力；
3、在分离体上原来存在的约束（即与其它物体相联系、相接触）的地方，
按照约束类型逐一画出约束反力（即解除约束而以约束反力代之）。
例,用力 F拉动碾子以压平
路面，重力为 G的碾子受到一石块
的阻碍，试画出碾子的受力图。
例,如图 a所示三铰拱桥，由
左、右两半拱铰接而成。若各拱
自重不计，在拱 AC上作用有载荷
（主动力常称为载荷） P，试分别
画出拱 AC和 BC受力图。
（二）正确画出受力图注意事项
1、正确选择研究对象。
2、正确确定研究对象受力的
数目。
3、正确画出约束反力。
4、分析两物体间相互的作用
力时，应遵循作用与反作用力关
系。
力系：作用于同一构件上的一组力。
平面力系：各力作用线均在同一平面内的力系。
平面机构的静力分析
一,平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系：平面力系中各分力的作用线（或其延长线）汇交于一点。
1、平面汇交力系的合成
（ 1）几何法
① 连续地使用力三角形法则
② 力多边形法则 各分力矢量的顺序不影响合力矢的结果。
F 4
A F 3
F 1
F R
F 2
F Rb
F 1
a
F 2
F 3 d
F R1
c
F R2
F 4
F R
a
e
F 2
F 3
c
F 4
b
e
F 1
d
合力等于原力系中各分力的
矢量和，即
?
?
????????
n
i
inR FFFFF
1
21
2）、解析法
① 力在坐标轴上的投影和分力
?c o sFF x ?
?s inFF y ??
将力 F沿坐标轴方向分解，所得分
力 Fx, Fy大小与 F在同轴上的投影 Fx,
Fy大小相等。力的分力是矢量。
已知力在 x,y轴上的投影 Fx,Fy，
则可以求出力 F的大小和方向，即
22
yx FFF ??
x
y
F
F??ta n
② 平面汇交力系合成的解析法
在刚体上有平面汇交力系 F1,F2……F n作用于 A点，则合力 FR为
其投影式
?
?
????????
n
i
nR FFFFF
1
21
xxnxxxR FFFFF ????????? 21
yynyyyR FFFFF ????????? 21
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投
影的代数和
已知合力的投影 Fx,Fy，则合力 FR的大小和方向为,
2222 )()(
yxyRxRR FFFFF ?????? xR
yR
x
y
F
F
F
F ?
?
???ta n
2、平面汇交力系的平衡
平面汇交力系平衡的充要条件是力
系的合力为零。即 00
1
?? ?
?
n
i
iR FF
1）平面汇交力系平衡的几何条件是该力系的力多边形自行封闭。
2）平面汇交力系平衡的解析条件
0?? xF 0?? yF
二、力对点之矩、力偶理论
（一）力对点之矩
FdFM O ??)(
是力 F使物体绕定点转动效应的度量。逆时针转动为正，反之为负。
O点称为力矩中心（简称矩心）,d称为力臂。在二维空间（平面）内，力
对点之矩是一个代数量。
·
（二）平面力偶理论
1、力偶与力偶矩
力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，记
作（ F,F′ ）。
力偶中两力之间的垂直距离 d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶
作用面。
力偶矩：力偶中任何 一 个力的大小
F与力偶臂 d的乘积并冠以正负号，记
作 M（ F,F′ ）或 M。
M（ F,F′ ）＝ M＝ ± Fd
正负号表示力偶的转向：以逆时针
转向为正，反之为负。
·
·
2、力偶的三要素及等效条件
力偶（ F,F′ ） 对同平面 O点之矩为
Mo（ F）＋ Mo（ F′ ）＝ F（ d+a） － F′ a=Fd
力偶对平面内任一点之矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。力偶不能与
任意一个力等效，也不能被一个力平衡。
力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面。三个要素相
同的力偶彼此等效。
·
3、平面力偶系的合成与平衡条件
（ 1）平面力偶系的合成
合力偶定理：在同一平面内的任意多个力偶可合成为一个合力偶，合力
偶矩等于各个分力偶矩的代数和。即
????? 21 MMM ?
?
????
n
i
in MM
1
或 ?? MM
。
（ 2）平面力偶系的平衡条件 0
1
??
?
n
i
iM
F 1
′F
1F 2
F 2
d 1
d 2 d
F 4
F 3
F 3
F 4
BA
d
A B
F
F
′
′
′
′
例题, 图示的平行轴减速器，其速比为 2﹕1 。匀速转动时，主动轴 I上作
用一力偶，其力偶矩大小 M1＝ 90N〃m ； II轴上受一阻力偶矩 M2＝
180N〃m,。求在 A,B处螺栓和支承台所受的力。已知 A,B间距离 L＝
45cm，不计减速箱自重。
Ⅰ Ⅱ
A B
L
R A R B
解：取减速箱为研究对象。
分析受力情况。
由平面力偶系平衡条件
列方程，得 ? ? 0M
NRR BA 6 0 0??
A处螺栓受拉,B处支承台受压。
F
A
B
B
F
A M
4、力的平移定理
作用在刚体的力平移到该刚体（或刚体延伸部分）上任意一点时，必
须附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点的矩。
力的平移定理表明了力对作用线外的中心转动的物体有两种作用：一
是平移力的作用；二是附加力偶对物体产生转动的作用
三,平面一般力系
（一）平面一般力系向一点的简化 〃 主矢和主矩
刚体上作用着一组平面任意力系 F1,F2,F3。将各力平移到作用平面内
任取一点 O，得到作用于点 O的平面汇交力系 F1′, F2′, F3′ 和相应的附
加力偶系 M1,M2,M3。
平面汇交力系 F1′,F2′,F3′可合成为通过 O点的合力矢 FR′
主矢
平面附加力偶系 M1,M2,M3可以合成一个力偶，力偶的矩为 Mo
主矩
)()()( 321321 FMFMFMMMMM OOOO ??????
321321 FFFFFFF R ??????????
M 2
y
o
F 1
F 2
F 3
x
F 1
F 2
F 3
M 1
M O
M 3
o x
y
o
F R
对于力的数目为 n的平面一般力系，其主矢和主矩为
A A A
M A M A
R A
R Ay
R Ax
?
?
?
n
i
iR FF
1
/ ?
?
?
n
i
iFMM
1
00 )(
主矢与简化中心的选择无关；主矩与简化中心的选择有关。
固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束反力。其约
束反力除了 RAx,RAy外，还有矩为 MA的约束反力偶。
（二）平面一般力系简化结果分析 〃 合力矩定理
M O
F' R F' R
O
O
d
F R
F'' R
O' O'
F R
d
O
1,。原力系简化结果为一个力偶，其力偶矩为主矩 Mo。 00 ???
OR MF,
2,。主矢 FR′就是原力系的合力，合力的作用线恰好通过
选定的简化中心 O。 00 ??
? OR MF,
4,。即原力系的主矢、主矩均为零，则原力系平衡。 00 ???
OR MF,
3,。可以进一步简化得到一作用于点 O外的合力矢 FR。
合力作用线到 O点的距离
00 ??? OR MF,
RF
Md 0?
平面一般力系简化结果只有三种,① 一个力偶； ② 一个合力； ③ 平衡。
平面一般力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零。
0??RF 0?OM
?
?
?
?
?
??
??
??
0
0
0
)( FM
F
F
O
y
x
（ 3）平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程
??
?
?
?
??
??
??
0
0
0
x
B
A
F
FM
FM
)(
)(
二力矩式 其中 A,B 两点连线不垂直于 X 轴
??
?
?
?
??
??
??
0
0
0
)(
)(
)(
FM
FM
FM
C
B
A
三力矩式 其中 A,B,C 三点不得共线
平面平行力系（若其作用线与 y轴平行）的独立平衡方程为
?
?
?
??
??
0
0
)( FM
F
O
y
?
?
?
??
??
0
0
)(
)(
FM
FM
B
A或
例题,有一水平横梁 AB,A 端
为固定铰链支座,B 端为一滚动支
座。梁的长为 4a，梁重为 G，作用
在梁的中点 C。在梁的 AC 段上受均
布载荷 q作用，在梁的 BC 段上受力
偶作用，力偶矩 M=Pa。试求 A和 B
处的支座反力。
4a
2a
y
x
R Ax
R Ay R B
q
C
M
BA
G
四、物体系的平衡
物体系统（物系）：由若干构件或物体以一定形式约束互相联接而
成的机构或结构系统。
当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态。
静定问题：所有未知数都能由平衡方程求出（未知数等于独立平衡
方程的数目）的问题。
静不定问题（超静定问题）：未知量的数目多于平衡方程的数目，
未知量就不能全部由平衡方程求出的问题。
对于静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变形，增加某
些补充方程后，才可使方程的数目等于未知量的数目。
机械中空间力系分析
空间力系：作用于物体上各力的作用线不都在同一
平面内的力系。空间力系分为空间汇交力系、空间力偶
系、空间平行力系和空间一般力系。
一、力在空间直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
若已知力 F与空间正交坐标系 xyz三轴间的夹角分别
为 α,β,γ,则力在三个轴上的投影等于力 F的大小乘以
与各轴夹角的余弦，即
c os
c os
c os
x
y
z
FF
FF
FF
?
?
?
?
?
?
z
y
F
F y
F x o
x
90 ?
γ α
β
o
γ F x
F y y
x
F
F x φ
z
si n c os
si n si n
c os
x
y
z
FF
FF
FF
??
??
?
?
?
?
若已知角 和,则力 F在三个坐标轴上的投影
分别为
? ?
以 Fx,Fy,Fz表示力 F沿直角坐标轴 x,y,z的正交分量，以 i,j,k
分别表示沿 x,y,z坐标轴方向的单位矢量，则
kFjFiFFFFF zyxzyx ??????
力 F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分量间的关系可表示为
kFFjFFiFF zzyyxx ??? ；；
j
k
o
F X
F y
F
x
y
z
i
若已知力 F在正交轴系 Oxyz的三个投影，则力 F
的大小和方向余弦为
222 zyx FFFF ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
z
y
x
)c os (
)c os (
)c os (
，
，
，
二、力对轴之矩
力对轴之矩等于此力在与轴垂直
平面上的投影对该投影面与该轴交点之
矩。
正负号按下述确定：从 Z轴正向往
回看，若力使物体绕该轴逆时针方向转
动，则取正号；否则取负号。或按右手
螺旋规则确定：大姆指指向与 z轴一致
为正；反之为负。
当力的作用线与转轴平行或相交时，
即当力与轴在同一平面时，不能使刚体
转动，力对轴之矩为零。
dFFMFM xyxyOx ??? )()(
F y
F X
F Z
F x
y F y
F xy
x
x
o
A
F
z
y
z
设力在三个坐标轴上的分力分别为 Fx,Fy,Fz，力作用点 A坐标为 x、
y,z，力 F对轴之矩的解析表达式为
?
?
?
?
?
??
??
??
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
yz
zxy
yzx
)(
)(
)(
例题,手柄 ABCD在平面 Axy
内，在 D处作用一个力 F，它在垂
直于 y轴的平面内，偏离沿直线的
角度为 α。 CD=a，杆 BC平行于 x
轴，杆 CE平行于 y轴,AB和 BC
的长度都等于 L。试求 F 对 x,y、
z三轴的矩。
α
F x
F z
z
x
y
F
C
D E
BA
三、空间一般力系的平衡方程
0?? XF 0?? YF 0?? ZF
0?? )( FM X 0?? )( FM Y 0?? )( FM Z
空间汇交力系因合成的结果为一合力,
其平衡方程为 0?? XF 0?? YF 0?? ZF
空间力偶系因合成的结果为一力偶,
其平衡方程为
0?? )( FM X 0?? )( FM Y 0?? )( FM Z
z
x
y
A B
C
D
F r1
F t1
F t2
F r2
100 100 100
F r2
F t2
F t1
D
C
B
A
y
z
F r1
x
R Bz
R Bx
R Az
R Ax
例 题,已知传动轴两齿轮的半径分
别为 rc= 100mm,rd= 50mm。其上受力
有圆周力 Ft1=3.58KN，径向力 Fr1=1.3
KN,Fr2=2.6KN 。 AC=CD=DB=100
mm,求 D轮上的圆周力 Ft2及 A,B两轴
承上的反力。图中尺寸单位为 mm。
将空间受力图投影到三个坐标平面上转化为三个平面力系，再对每一个
平面力系列出平衡方程求出未知量，这种方法称为空间问题的平面解法。
三,空间平行力系中心和重心
空间平行力系合力的作用点为平行力系的中心。
重力的作用点是一个确定的点，这个点就是物体的重心。
G xGx kkc ???
G yGy kkc ???
G zGz kkc ???
1、重心坐标公式
V xvx kkc ???
V yvy kkc ???
V zvZ kkc ???
均质体重心（形心）坐标
A xAx kkc ???
A
yAy kk
c
???
均质、等厚的薄板形心坐标
z K y
z
o
x
x K y K
r k
r C C
G △ G
y C
K
x C
z C
△ G k
2、确定物体重心的方法
（ 1）简单几何形状物体的重心
均质对称物体的重心在其对称面、对称轴或对称中心上。简单形状物
体重心可以从工程手册上查得。
（ 2）组合形状物体的重心
① 分割法
假定组合形状物体可以分割成 N个简单形状，其中每个部分的重心位
置都已知。则物体重心的坐标为
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
ii
c
G
Gz
z
1
1
② 负面积法（负体积法）
（ 3）实验法测定重心的位置
① 悬挂法
② 称重法
z
y
10
mm
10
mm
30
mm
10 mm
30 mm 30 mm
C 1
C 2
C 3
例题,试求 Z形截面重心的位置，其尺寸如图所示。
解：由图得
3 0 04515 111 ???? Syx,,
4 0 0305 222 ??? Syx,,
300515 333 ??? Syx,,
截面重心的坐标 xc,yc为
mmSSS SxSxSxx C 2
321
332211 ?
??
???
mmSSS SySySyy C 27
321
332211 ?
??
???
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掌握刚体静力学、平面机构的静力分析；
熟悉空间力系的平面解法。
教学要求
重点：受力图的绘制，平面机构的静
力分析、力系的合成与平衡计算
难点：受力图的绘制，空间力系的平
面解法。
教学重点与难点
§ 4-1 刚体静力学
§ 4-2 平面机构的静力分析
§ 4-3 机械中空间力系分析
刚体静力学 一、刚体静力学基本概念
（一）力的概念
力是物体间相互的机械作用。力作用对物体产生两种效应：运动状态变
化和形状变化。前者称为运动效应或者外效应；后者称为变形效应或者内效
应。力对刚体只产生运动效应。
力的三要素：力的大小、方向和作用点。力是矢量。
力的类型,① 分布力、集中力； ② 合力、分力
（二）力的基本性质
1、二力平衡原理
作用于同一刚体上的两个力平衡的充要条件是：两个力的大小相等、方
向相反且作用在同一直线上。
2、加减平衡力系原理
在已知力系上加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推论 1：力的可传性原理
作用于刚体上某点的力，可以沿着它们的作用线移到刚体内任意一点，
并不改变该该力对刚体的作用。
作用于刚体上力的三要素：力的大小、方向和作用线。即作用于刚体上
的力可以沿其作用线移动，力是滑移矢量。
推论 2：三力平衡汇交定理
作用于刚体上三个互相平衡
的力，若其中两个力的作用线汇
交于一点，则第三个力必在同一
平面内，且作用线通过汇交点。
3、平行四边形法则
FR=F1+F2
4、作用与反作用定律
两个物体间相互作用的一对力总是等值、反向、共线，分别作用在这
两个物体 上。
自由体：可以作任意运动的物体。
非自由体（受约束体）：运动受到其它物体限制的物体。
约束：对物体运动加以限制的其他物体。
约束反作用力（约束反力、约束力或反力）：约束对物体作用的力。约
束反力总是作用在被约束物体与约束物体接触处，其方向也总是与该约束所
限制物体运动的趋势方向相反。
主动力：使物体产生可能运动的力；
约束力：约束限制某种可能运动的力。
二、约束与约束反力
（一）柔性约束
只限制物体沿柔性体伸长方向的运动，对物体只有沿柔性体方向的拉
力，通常用 T表示。
（二）光滑面约束
约束反力作用在接触点处，方向沿接触点公法线、且指向受力物体。
通常用 FN表示。
1、向心轴承（径向轴承）
随着轴所受主动力的不同，轴与孔的接触点位置也随之不同。通常可
用通过轴心的两个大小未知的正交分力 RAx,RAy表示。 RAx,RAy的指向暂可
任意假定。
铰链 C的约束反力用两个大小未知正交分
力 RCx,RCy和 RCx′ RCy′ 表示，其中 RCx=-
RCx,RCy=-RCy′ 。
固定铰支 A,B对构件 I,II的约束反力分
别为 RAx,RAy与 RBx,RBy。
此类约束只限制两物体径向的相对移动，
而不限制两个物体绕铰链中心的相对转动及沿
轴向的移动。
（三）光滑铰链约束
（四）其它约束
1、滚动支座
约束性质与光滑面约束相同，其约束反力必垂直于支承面，且通过铰链中
心。通常用 RN表示其法向约束反力。
2、球铰链
通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链。它使构件的球
心不能有任何位移，但构件可绕球心任意转动。其约束力应是通过球心但方向
不能预先确定的一个空间力，可用三个正交分力 RAx,RAy,RAz表示。
3、止推轴承
它能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿轴向的位移。其约束反力有三个
正交分量 RAx,RAy,RAz。
三,物体的受力分析和受力图
（一）受力图画法及步骤
1、取分离体 根据题意选取研究对象，用尽可能简明的轮廓将它单独画出；
2、在分离体上画出全部主动力；
3、在分离体上原来存在的约束（即与其它物体相联系、相接触）的地方，
按照约束类型逐一画出约束反力（即解除约束而以约束反力代之）。
例,用力 F拉动碾子以压平
路面，重力为 G的碾子受到一石块
的阻碍，试画出碾子的受力图。
例,如图 a所示三铰拱桥，由
左、右两半拱铰接而成。若各拱
自重不计，在拱 AC上作用有载荷
（主动力常称为载荷） P，试分别
画出拱 AC和 BC受力图。
（二）正确画出受力图注意事项
1、正确选择研究对象。
2、正确确定研究对象受力的
数目。
3、正确画出约束反力。
4、分析两物体间相互的作用
力时，应遵循作用与反作用力关
系。
力系：作用于同一构件上的一组力。
平面力系：各力作用线均在同一平面内的力系。
平面机构的静力分析
一,平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系：平面力系中各分力的作用线（或其延长线）汇交于一点。
1、平面汇交力系的合成
（ 1）几何法
① 连续地使用力三角形法则
② 力多边形法则 各分力矢量的顺序不影响合力矢的结果。
F 4
A F 3
F 1
F R
F 2
F Rb
F 1
a
F 2
F 3 d
F R1
c
F R2
F 4
F R
a
e
F 2
F 3
c
F 4
b
e
F 1
d
合力等于原力系中各分力的
矢量和，即
?
?
????????
n
i
inR FFFFF
1
21
2）、解析法
① 力在坐标轴上的投影和分力
?c o sFF x ?
?s inFF y ??
将力 F沿坐标轴方向分解，所得分
力 Fx, Fy大小与 F在同轴上的投影 Fx,
Fy大小相等。力的分力是矢量。
已知力在 x,y轴上的投影 Fx,Fy，
则可以求出力 F的大小和方向，即
22
yx FFF ??
x
y
F
F??ta n
② 平面汇交力系合成的解析法
在刚体上有平面汇交力系 F1,F2……F n作用于 A点，则合力 FR为
其投影式
?
?
????????
n
i
nR FFFFF
1
21
xxnxxxR FFFFF ????????? 21
yynyyyR FFFFF ????????? 21
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投
影的代数和
已知合力的投影 Fx,Fy，则合力 FR的大小和方向为,
2222 )()(
yxyRxRR FFFFF ?????? xR
yR
x
y
F
F
F
F ?
?
???ta n
2、平面汇交力系的平衡
平面汇交力系平衡的充要条件是力
系的合力为零。即 00
1
?? ?
?
n
i
iR FF
1）平面汇交力系平衡的几何条件是该力系的力多边形自行封闭。
2）平面汇交力系平衡的解析条件
0?? xF 0?? yF
二、力对点之矩、力偶理论
（一）力对点之矩
FdFM O ??)(
是力 F使物体绕定点转动效应的度量。逆时针转动为正，反之为负。
O点称为力矩中心（简称矩心）,d称为力臂。在二维空间（平面）内，力
对点之矩是一个代数量。
·
（二）平面力偶理论
1、力偶与力偶矩
力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，记
作（ F,F′ ）。
力偶中两力之间的垂直距离 d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶
作用面。
力偶矩：力偶中任何 一 个力的大小
F与力偶臂 d的乘积并冠以正负号，记
作 M（ F,F′ ）或 M。
M（ F,F′ ）＝ M＝ ± Fd
正负号表示力偶的转向：以逆时针
转向为正，反之为负。
·
·
2、力偶的三要素及等效条件
力偶（ F,F′ ） 对同平面 O点之矩为
Mo（ F）＋ Mo（ F′ ）＝ F（ d+a） － F′ a=Fd
力偶对平面内任一点之矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。力偶不能与
任意一个力等效，也不能被一个力平衡。
力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面。三个要素相
同的力偶彼此等效。
·
3、平面力偶系的合成与平衡条件
（ 1）平面力偶系的合成
合力偶定理：在同一平面内的任意多个力偶可合成为一个合力偶，合力
偶矩等于各个分力偶矩的代数和。即
????? 21 MMM ?
?
????
n
i
in MM
1
或 ?? MM
。
（ 2）平面力偶系的平衡条件 0
1
??
?
n
i
iM
F 1
′F
1F 2
F 2
d 1
d 2 d
F 4
F 3
F 3
F 4
BA
d
A B
F
F
′
′
′
′
例题, 图示的平行轴减速器，其速比为 2﹕1 。匀速转动时，主动轴 I上作
用一力偶，其力偶矩大小 M1＝ 90N〃m ； II轴上受一阻力偶矩 M2＝
180N〃m,。求在 A,B处螺栓和支承台所受的力。已知 A,B间距离 L＝
45cm，不计减速箱自重。
Ⅰ Ⅱ
A B
L
R A R B
解：取减速箱为研究对象。
分析受力情况。
由平面力偶系平衡条件
列方程，得 ? ? 0M
NRR BA 6 0 0??
A处螺栓受拉,B处支承台受压。
F
A
B
B
F
A M
4、力的平移定理
作用在刚体的力平移到该刚体（或刚体延伸部分）上任意一点时，必
须附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力 F 对新作用点的矩。
力的平移定理表明了力对作用线外的中心转动的物体有两种作用：一
是平移力的作用；二是附加力偶对物体产生转动的作用
三,平面一般力系
（一）平面一般力系向一点的简化 〃 主矢和主矩
刚体上作用着一组平面任意力系 F1,F2,F3。将各力平移到作用平面内
任取一点 O，得到作用于点 O的平面汇交力系 F1′, F2′, F3′ 和相应的附
加力偶系 M1,M2,M3。
平面汇交力系 F1′,F2′,F3′可合成为通过 O点的合力矢 FR′
主矢
平面附加力偶系 M1,M2,M3可以合成一个力偶，力偶的矩为 Mo
主矩
)()()( 321321 FMFMFMMMMM OOOO ??????
321321 FFFFFFF R ??????????
M 2
y
o
F 1
F 2
F 3
x
F 1
F 2
F 3
M 1
M O
M 3
o x
y
o
F R
对于力的数目为 n的平面一般力系，其主矢和主矩为
A A A
M A M A
R A
R Ay
R Ax
?
?
?
n
i
iR FF
1
/ ?
?
?
n
i
iFMM
1
00 )(
主矢与简化中心的选择无关；主矩与简化中心的选择有关。
固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束反力。其约
束反力除了 RAx,RAy外，还有矩为 MA的约束反力偶。
（二）平面一般力系简化结果分析 〃 合力矩定理
M O
F' R F' R
O
O
d
F R
F'' R
O' O'
F R
d
O
1,。原力系简化结果为一个力偶，其力偶矩为主矩 Mo。 00 ???
OR MF,
2,。主矢 FR′就是原力系的合力，合力的作用线恰好通过
选定的简化中心 O。 00 ??
? OR MF,
4,。即原力系的主矢、主矩均为零，则原力系平衡。 00 ???
OR MF,
3,。可以进一步简化得到一作用于点 O外的合力矢 FR。
合力作用线到 O点的距离
00 ??? OR MF,
RF
Md 0?
平面一般力系简化结果只有三种,① 一个力偶； ② 一个合力； ③ 平衡。
平面一般力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零。
0??RF 0?OM
?
?
?
?
?
??
??
??
0
0
0
)( FM
F
F
O
y
x
（ 3）平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程
??
?
?
?
??
??
??
0
0
0
x
B
A
F
FM
FM
)(
)(
二力矩式 其中 A,B 两点连线不垂直于 X 轴
??
?
?
?
??
??
??
0
0
0
)(
)(
)(
FM
FM
FM
C
B
A
三力矩式 其中 A,B,C 三点不得共线
平面平行力系（若其作用线与 y轴平行）的独立平衡方程为
?
?
?
??
??
0
0
)( FM
F
O
y
?
?
?
??
??
0
0
)(
)(
FM
FM
B
A或
例题,有一水平横梁 AB,A 端
为固定铰链支座,B 端为一滚动支
座。梁的长为 4a，梁重为 G，作用
在梁的中点 C。在梁的 AC 段上受均
布载荷 q作用，在梁的 BC 段上受力
偶作用，力偶矩 M=Pa。试求 A和 B
处的支座反力。
4a
2a
y
x
R Ax
R Ay R B
q
C
M
BA
G
四、物体系的平衡
物体系统（物系）：由若干构件或物体以一定形式约束互相联接而
成的机构或结构系统。
当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态。
静定问题：所有未知数都能由平衡方程求出（未知数等于独立平衡
方程的数目）的问题。
静不定问题（超静定问题）：未知量的数目多于平衡方程的数目，
未知量就不能全部由平衡方程求出的问题。
对于静不定问题，必须考虑物体因受力作用而产生的变形，增加某
些补充方程后，才可使方程的数目等于未知量的数目。
机械中空间力系分析
空间力系：作用于物体上各力的作用线不都在同一
平面内的力系。空间力系分为空间汇交力系、空间力偶
系、空间平行力系和空间一般力系。
一、力在空间直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的
分解
若已知力 F与空间正交坐标系 xyz三轴间的夹角分别
为 α,β,γ,则力在三个轴上的投影等于力 F的大小乘以
与各轴夹角的余弦，即
c os
c os
c os
x
y
z
FF
FF
FF
?
?
?
?
?
?
z
y
F
F y
F x o
x
90 ?
γ α
β
o
γ F x
F y y
x
F
F x φ
z
si n c os
si n si n
c os
x
y
z
FF
FF
FF
??
??
?
?
?
?
若已知角 和,则力 F在三个坐标轴上的投影
分别为
? ?
以 Fx,Fy,Fz表示力 F沿直角坐标轴 x,y,z的正交分量，以 i,j,k
分别表示沿 x,y,z坐标轴方向的单位矢量，则
kFjFiFFFFF zyxzyx ??????
力 F在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分量间的关系可表示为
kFFjFFiFF zzyyxx ??? ；；
j
k
o
F X
F y
F
x
y
z
i
若已知力 F在正交轴系 Oxyz的三个投影，则力 F
的大小和方向余弦为
222 zyx FFFF ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
z
y
x
)c os (
)c os (
)c os (
，
，
，
二、力对轴之矩
力对轴之矩等于此力在与轴垂直
平面上的投影对该投影面与该轴交点之
矩。
正负号按下述确定：从 Z轴正向往
回看，若力使物体绕该轴逆时针方向转
动，则取正号；否则取负号。或按右手
螺旋规则确定：大姆指指向与 z轴一致
为正；反之为负。
当力的作用线与转轴平行或相交时，
即当力与轴在同一平面时，不能使刚体
转动，力对轴之矩为零。
dFFMFM xyxyOx ??? )()(
F y
F X
F Z
F x
y F y
F xy
x
x
o
A
F
z
y
z
设力在三个坐标轴上的分力分别为 Fx,Fy,Fz，力作用点 A坐标为 x、
y,z，力 F对轴之矩的解析表达式为
?
?
?
?
?
??
??
??
yFxFFM
xFzFFM
zFyFFM
yz
zxy
yzx
)(
)(
)(
例题,手柄 ABCD在平面 Axy
内，在 D处作用一个力 F，它在垂
直于 y轴的平面内，偏离沿直线的
角度为 α。 CD=a，杆 BC平行于 x
轴，杆 CE平行于 y轴,AB和 BC
的长度都等于 L。试求 F 对 x,y、
z三轴的矩。
α
F x
F z
z
x
y
F
C
D E
BA
三、空间一般力系的平衡方程
0?? XF 0?? YF 0?? ZF
0?? )( FM X 0?? )( FM Y 0?? )( FM Z
空间汇交力系因合成的结果为一合力,
其平衡方程为 0?? XF 0?? YF 0?? ZF
空间力偶系因合成的结果为一力偶,
其平衡方程为
0?? )( FM X 0?? )( FM Y 0?? )( FM Z
z
x
y
A B
C
D
F r1
F t1
F t2
F r2
100 100 100
F r2
F t2
F t1
D
C
B
A
y
z
F r1
x
R Bz
R Bx
R Az
R Ax
例 题,已知传动轴两齿轮的半径分
别为 rc= 100mm,rd= 50mm。其上受力
有圆周力 Ft1=3.58KN，径向力 Fr1=1.3
KN,Fr2=2.6KN 。 AC=CD=DB=100
mm,求 D轮上的圆周力 Ft2及 A,B两轴
承上的反力。图中尺寸单位为 mm。
将空间受力图投影到三个坐标平面上转化为三个平面力系，再对每一个
平面力系列出平衡方程求出未知量，这种方法称为空间问题的平面解法。
三,空间平行力系中心和重心
空间平行力系合力的作用点为平行力系的中心。
重力的作用点是一个确定的点，这个点就是物体的重心。
G xGx kkc ???
G yGy kkc ???
G zGz kkc ???
1、重心坐标公式
V xvx kkc ???
V yvy kkc ???
V zvZ kkc ???
均质体重心（形心）坐标
A xAx kkc ???
A
yAy kk
c
???
均质、等厚的薄板形心坐标
z K y
z
o
x
x K y K
r k
r C C
G △ G
y C
K
x C
z C
△ G k
2、确定物体重心的方法
（ 1）简单几何形状物体的重心
均质对称物体的重心在其对称面、对称轴或对称中心上。简单形状物
体重心可以从工程手册上查得。
（ 2）组合形状物体的重心
① 分割法
假定组合形状物体可以分割成 N个简单形状，其中每个部分的重心位
置都已知。则物体重心的坐标为
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
ii
c
G
Gz
z
1
1
② 负面积法（负体积法）
（ 3）实验法测定重心的位置
① 悬挂法
② 称重法
z
y
10
mm
10
mm
30
mm
10 mm
30 mm 30 mm
C 1
C 2
C 3
例题,试求 Z形截面重心的位置，其尺寸如图所示。
解：由图得
3 0 04515 111 ???? Syx,,
4 0 0305 222 ??? Syx,,
300515 333 ??? Syx,,
截面重心的坐标 xc,yc为
mmSSS SxSxSxx C 2
321
332211 ?
??
???
mmSSS SySySyy C 27
321
332211 ?
??
???
