第十四章 梁的弯曲强度
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?教学重点与难点
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了解平面弯曲的概念，惯性矩的计算，
平行移轴公式，熟悉弯矩、剪力和载荷集
度间的关系,正确绘制剪力图和弯矩图，
掌握弯曲时梁横截面上的正应力，弯曲正
应力的强度计算，提高梁强度的措施。
教学要求
重点：剪力图、弯矩图的绘制
难点：根据 Q,M,q之间的关系,
正确绘制剪力图和弯矩图
教学的重点与难点
§ 14-1 平面弯曲的概念
§ 14-2 梁的计算简图及其分类
§ 14-3 剪力和弯矩
§ 14-4 剪力图和弯矩图
§ 14-5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
§ 14-6 弯曲时梁横截面上的正应力
§ 14-7 惯性矩计算 平行移轴公式
§ 14-8 弯曲正应力的强度计算
§ 14-9 提高梁强度的措施
受力特点：直杆受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内的力偶作用；
变形特点：杆的轴线由原来的直线变为曲线。
凡以弯曲变形为主要变形的构件，习惯上称之为梁。
机车轮轴，在外力作用下它将变成一条上凸的曲线。 桥式吊车的横梁，
在外力的作用下将变成一条下凹曲线。
平面弯曲的概念
p
(a)
｛
q
纵向对称轴：梁横截面上的对称轴。
纵向对称面：梁的轴线和截面的纵向对称轴所决定的平面。
对称面
平面弯曲：若梁上的外力或力偶都作用在纵向对称面内，且各
力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲
线的弯曲。
一、梁的简化
不论梁的截面形状如何复杂可将梁简化为一根直杆，称
为直梁。并用其轴线表示。
梁的计算简图及其分类
四、静定梁及其典型形式
按其支座情况分为
简支梁
外伸梁
悬臂梁
A
(b)
BA
(a)
BA
(c)
B
二、约束的基本形式
1、活动铰链支座； 2、固定铰链支座； 3、固定端支座
三、载荷的简化
1、集中载荷； 2、分布载荷； 3、集中力偶
一、剪力和弯矩
简支梁受集中力 P1和 P2作用。
求距 A端支座为 x处横截面 n— n
上的内力。
剪力和弯矩
截面法沿 n— n截面假想
地把梁截开，截面 n— n上的 Q为
剪力,M为弯矩。其值可用平衡
方程解得,
得
0?? YF 01 ??? QPR A
1PRQ A ??
得
0)(0 ?? FM 0)(1 ????? MaxPxR A
)(1 axPxRM A ???
a
P
n
n
A
x
m
x
Q
x
R
Q
R
A
B
1
2P 3P
1P
P 3P 2
y
m
B
二、剪力和弯矩正负号的规定
例题,外伸梁的载荷均已
知，试“根据外力直接写出
力”求图中各指定截面上的
剪力和弯矩。
Σ P
Σ P
Σ P
Σ P
(a) (b)
(-)(+)
n
n
右
n
Ｑ′左
Ｑ
n
Ｑ′
Ｑ 右
左
12
P P
PP
C
C
Σ (P)
M M ′ Σ (P)
Σ (P)
Σ (P)
M M ′
(-)(+)
(a)
0
0
0
0
2
1 2
1 2
(b)
右左
左 右
右左
右左
1
aaaa
m=2qaR A 2
q 6
BR
543
B
6543
21
2
A
1
一、剪力方程和弯矩方程
Q=Q（ x） 剪力方程
M=M（ x） 弯矩方程
剪力图和弯矩图
二、剪力图和弯矩图
取一平行于梁轴线的横坐标 x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对
应横截面上的剪力和弯矩，画出的剪力和弯矩与 x的函数曲线的图形为剪力
图和弯矩图。
例题 1,一简支梁 AB在 C
点受集中力 P作用，画出此梁的
剪力图和弯矩图。
（ 1）求支座反力。
（ 2）列剪力方程和弯矩方程。
（ 3）按方程分段绘图。
（ 4）讨论。
解题步骤,
A
P
B
a b
x
x
R A
BR
1
2
结论,① 集中力作用时，两力之间的剪力图为一平行于轴的直线。集
中力作用点处，剪力图发生突变，突变方向与外力方向相同；突变幅度
等于外力大小。
② 剪力图为直线时，其对应区间的弯矩图为一倾斜直线，斜线的斜
率等于对应的剪力图的值。剪力图为 x轴的上平行线时，弯矩图向上倾
斜；剪力图为 x轴的下平行线时，弯矩图向下倾斜。
③ 梁上在集中力偶作用点处，剪力图不变，弯矩图突变。突变方向
为：若力偶为顺时针转向，则弯矩图向上突变；反之，若力偶为逆时针
转向，则弯矩图向下突变。
例题 2,一简支梁受集中力偶 m作用，试绘此梁的剪力图和弯矩图。
（ 1）求支座反力。
（ 2）分段列出剪力方程和弯矩方程。
（ 3）按方程画剪力图和弯矩图。
解题步骤,
2
1
R B
AR
ba
B
A
弯矩、剪力和载荷集度间的关系
? ?xqdxdQ ? QdxdM ? )(
2
2
xqdxdQdx Md ??
弯矩、剪力和载荷集度间规律如下,
→
⌒
＝——＝——
｛
=常 数
＝——
（水平直线）
下凸
图为直线 上倾直线
下倾直线
图为斜直线
上倾
下倾
图为抛物线
上凸
集中力作用处
集中力偶作用处
图有突变
图无影响
图发生转折
图有突变
=常 数
水平直线
｛
→｛
｛｛
=0
→
→
⌒
一、应变与应力分布规律
两截面 Ⅰ -Ⅰ 和 Ⅱ -Ⅱ 原来是平行的，现互相倾斜了一个微小角度。图
中 OO′为中性层，设其曲率半径为 ρ, c′d′ 到中性轴的距离为 y。
?
????
yd
ddy
cddccd
?
???
????
)(
?
???
?? y
d
yd
cd
cd ????
??
yE?
y
ρ
d θ
M
M
z
x
σ dA
σ
y
y
K
Ⅰ
Ⅱ
a′ b′
c′
d′
Ⅰ
Ⅱ
O O′
ym ax
lm axσ
应力沿梁高度按直线规律分布。
是未知量 中性轴位置尚未确定,?1
弯曲时梁横截面上的正应力
二、弯曲正应力计算公式
1、中性轴位置的确定
在梁的横截面上 K点附近取微面积 dA，设 z为横截面的中性
轴,K点到中性轴的距离为 y，若该点的正应力为,则微面积
dA上的法向内力为 (如上图 )。截面上各处的法向内力构成一
个空间平行力系。
?
dA?
平衡条件 0??
AF
? ?
A
dA 0?
0?? ydAE
A ?
0?? ydAE
A?
0?? ydA
A
ZC
A
SAyy d A ??? 0?AyC
横截面面积,只有,横截面的形心在 z轴上，
中性轴必须过横截面的形心。
0?A 0?Cy
2．确定中性轴的曲率 1/ρ
EIZ表示梁的材料和截面抵抗弯曲变形的能力，为梁的抗弯刚度。
微面积 dA上的内力，对中性轴产生一微小力矩,
则整个截面上的内力矩的总和为
dAYdM ??
dAy
A
??
ZEI
M?
?
1
??
??
A
A dAy
EdAyEM
2
2
??
由静力平衡条件
积分 是横截面对中性轴 z的惯性矩 IZ。
0?? AM ??
A
dAyM ?
?
A
dAy2
3．弯曲正应力计算公式
4．弯曲时横截面上最大正应力的计算公式
正应力与该截面上的弯
矩 M成正比，与点到中性轴
的距离 y成反比。
yIM
Z
??
的正负可根据变形来确定，弯矩 M为正时，梁向下弯，中性轴以下的
点受拉，正应力为正值；中性轴以上的点受压，正应力为负值。
?
在横截面上下边缘处正应力的值最大
m a xm a x yI
M
Z
??
P
M
X
z
·
b ·
a
Ymax和 IZ均与截面的大小和形状有关
最大正应力计算公式为 m a x
y
IW Z
Z ?
W
M?
m a x?
二、平行移轴公式
?
?
?
?
?
??
??
??
abAII
AbII
AaII
CC
C
C
zyyz
zz
yy
2
2
? ? ????? ?????? AA CA CA CAy dAadAzadAzdAazdAzI 2222 2
?A CdAz 为图形对形心轴的静矩，其值等于零。 AaII Cyy 2??
结论,同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。
在使用惯性积移轴公式时应注意 a, b 的正负号。
y
c
a
cz
cy
y
z
cz
Ad
z
b
y
Ｃ
O
惯性矩计算 平行移轴公式
一、常用截面形状的惯性矩
通过积分计算即可求出不同截面形状的惯性矩。
??
A
Z dAyI
2
截面的惯性矩 抗弯截面模量
圆形,
圆环,
矩形,
64
4d
I Z ?? 32
3d
W Z ??
64
)( 44 dDI
Z
?? ? )1(
32
4
3
?? ?? DW Z
12
3bh
I Z ? 6
2d
W Z ??
弯曲正应力的强度计算
一、强度条件
例题,如图所示托架为一 T形
截面的铸铁梁。已知截面对中性轴
之的惯性矩 IZ=1.35*107mm4，
P=4.5kN，铸铁的弯曲许用应力
? σl? =40MPa,? σy? = =80Mpa，
若略去梁的自重影响，使校核梁的
强度。
? ??? ???
?
?
???
?
?
m a x
m a x
zW
M
等截面直梁
非等截面直梁
? ??? ??
zW
M m a x
m a x
? ?ll ?? ?m a x ? ?yy ?? ?m a x
150
z
P
60
1000
提高梁强度的措施
一、梁的合理受力（降低最大弯矩 Ｍ max）
1、合理布置载荷和支座的位置。图示传动轴，当齿轮位于轴中点或将
齿轮尽量安装在靠近轴承处时，轴因齿轮啮合力 P而引起的弯矩差异较大。
后则仅为前者的 55.5％，这样所需的轴径就可相应减小。 x
6
M
x
P
(a)
M
PP
2
(b)
5
2 6
4 365P
2、合理布置载荷作用方式。比较图 a,b中梁 AB的两种加载方式可知，
后者的最大弯矩只有前者的一半。
BA
M
x
4
M
P
x
l 4 4 4 4
P
P 4
P
(a) (b)
二、选择合理截面形状（增大抗弯截面模量 WZ）
1、截面的面积和形状相同，
放置方式不同。 截面形状 截面面积 抗弯截面模量
圆 形
矩 形
工字钢
61.05 67 1.097
61.05 124 2.031
61.05 534.3 8.752
h
b
b
h
y y
z
z
P
P
2、面积相等而形状不同的
截面 WZ不同。工字形截面最合理，
圆形截面最差。所以钢结构中
的抗弯杆件，常用工字形、矩
形截面。
三、采用变截面梁和等强度梁
3,截面形状与材料性能相适应
经济的截面形状应该使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到
材料的许用应力。抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用对称于中性
轴的截面形状，如空心圆形、工字形等；对抗压强度大于抗拉强度的脆
性材料，应采用中性轴靠近受拉一边的截面形状。
2
y
1
y
zO
σ
σ
?教学要求
?教学重点与难点
?教学内容 返回目录
了解平面弯曲的概念，惯性矩的计算，
平行移轴公式，熟悉弯矩、剪力和载荷集
度间的关系,正确绘制剪力图和弯矩图，
掌握弯曲时梁横截面上的正应力，弯曲正
应力的强度计算，提高梁强度的措施。
教学要求
重点：剪力图、弯矩图的绘制
难点：根据 Q,M,q之间的关系,
正确绘制剪力图和弯矩图
教学的重点与难点
§ 14-1 平面弯曲的概念
§ 14-2 梁的计算简图及其分类
§ 14-3 剪力和弯矩
§ 14-4 剪力图和弯矩图
§ 14-5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
§ 14-6 弯曲时梁横截面上的正应力
§ 14-7 惯性矩计算 平行移轴公式
§ 14-8 弯曲正应力的强度计算
§ 14-9 提高梁强度的措施
受力特点：直杆受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内的力偶作用；
变形特点：杆的轴线由原来的直线变为曲线。
凡以弯曲变形为主要变形的构件，习惯上称之为梁。
机车轮轴，在外力作用下它将变成一条上凸的曲线。 桥式吊车的横梁，
在外力的作用下将变成一条下凹曲线。
平面弯曲的概念
p
(a)
｛
q
纵向对称轴：梁横截面上的对称轴。
纵向对称面：梁的轴线和截面的纵向对称轴所决定的平面。
对称面
平面弯曲：若梁上的外力或力偶都作用在纵向对称面内，且各
力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲
线的弯曲。
一、梁的简化
不论梁的截面形状如何复杂可将梁简化为一根直杆，称
为直梁。并用其轴线表示。
梁的计算简图及其分类
四、静定梁及其典型形式
按其支座情况分为
简支梁
外伸梁
悬臂梁
A
(b)
BA
(a)
BA
(c)
B
二、约束的基本形式
1、活动铰链支座； 2、固定铰链支座； 3、固定端支座
三、载荷的简化
1、集中载荷； 2、分布载荷； 3、集中力偶
一、剪力和弯矩
简支梁受集中力 P1和 P2作用。
求距 A端支座为 x处横截面 n— n
上的内力。
剪力和弯矩
截面法沿 n— n截面假想
地把梁截开，截面 n— n上的 Q为
剪力,M为弯矩。其值可用平衡
方程解得,
得
0?? YF 01 ??? QPR A
1PRQ A ??
得
0)(0 ?? FM 0)(1 ????? MaxPxR A
)(1 axPxRM A ???
a
P
n
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x
R
Q
R
A
B
1
2P 3P
1P
P 3P 2
y
m
B
二、剪力和弯矩正负号的规定
例题,外伸梁的载荷均已
知，试“根据外力直接写出
力”求图中各指定截面上的
剪力和弯矩。
Σ P
Σ P
Σ P
Σ P
(a) (b)
(-)(+)
n
n
右
n
Ｑ′左
Ｑ
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Ｑ′
Ｑ 右
左
12
P P
PP
C
C
Σ (P)
M M ′ Σ (P)
Σ (P)
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M M ′
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(a)
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左 右
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m=2qaR A 2
q 6
BR
543
B
6543
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2
A
1
一、剪力方程和弯矩方程
Q=Q（ x） 剪力方程
M=M（ x） 弯矩方程
剪力图和弯矩图
二、剪力图和弯矩图
取一平行于梁轴线的横坐标 x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对
应横截面上的剪力和弯矩，画出的剪力和弯矩与 x的函数曲线的图形为剪力
图和弯矩图。
例题 1,一简支梁 AB在 C
点受集中力 P作用，画出此梁的
剪力图和弯矩图。
（ 1）求支座反力。
（ 2）列剪力方程和弯矩方程。
（ 3）按方程分段绘图。
（ 4）讨论。
解题步骤,
A
P
B
a b
x
x
R A
BR
1
2
结论,① 集中力作用时，两力之间的剪力图为一平行于轴的直线。集
中力作用点处，剪力图发生突变，突变方向与外力方向相同；突变幅度
等于外力大小。
② 剪力图为直线时，其对应区间的弯矩图为一倾斜直线，斜线的斜
率等于对应的剪力图的值。剪力图为 x轴的上平行线时，弯矩图向上倾
斜；剪力图为 x轴的下平行线时，弯矩图向下倾斜。
③ 梁上在集中力偶作用点处，剪力图不变，弯矩图突变。突变方向
为：若力偶为顺时针转向，则弯矩图向上突变；反之，若力偶为逆时针
转向，则弯矩图向下突变。
例题 2,一简支梁受集中力偶 m作用，试绘此梁的剪力图和弯矩图。
（ 1）求支座反力。
（ 2）分段列出剪力方程和弯矩方程。
（ 3）按方程画剪力图和弯矩图。
解题步骤,
2
1
R B
AR
ba
B
A
弯矩、剪力和载荷集度间的关系
? ?xqdxdQ ? QdxdM ? )(
2
2
xqdxdQdx Md ??
弯矩、剪力和载荷集度间规律如下,
→
⌒
＝——＝——
｛
=常 数
＝——
（水平直线）
下凸
图为直线 上倾直线
下倾直线
图为斜直线
上倾
下倾
图为抛物线
上凸
集中力作用处
集中力偶作用处
图有突变
图无影响
图发生转折
图有突变
=常 数
水平直线
｛
→｛
｛｛
=0
→
→
⌒
一、应变与应力分布规律
两截面 Ⅰ -Ⅰ 和 Ⅱ -Ⅱ 原来是平行的，现互相倾斜了一个微小角度。图
中 OO′为中性层，设其曲率半径为 ρ, c′d′ 到中性轴的距离为 y。
?
????
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y
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y
y
K
Ⅰ
Ⅱ
a′ b′
c′
d′
Ⅰ
Ⅱ
O O′
ym ax
lm axσ
应力沿梁高度按直线规律分布。
是未知量 中性轴位置尚未确定,?1
弯曲时梁横截面上的正应力
二、弯曲正应力计算公式
1、中性轴位置的确定
在梁的横截面上 K点附近取微面积 dA，设 z为横截面的中性
轴,K点到中性轴的距离为 y，若该点的正应力为,则微面积
dA上的法向内力为 (如上图 )。截面上各处的法向内力构成一
个空间平行力系。
?
dA?
平衡条件 0??
AF
? ?
A
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0?? ydAE
A ?
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A?
0?? ydA
A
ZC
A
SAyy d A ??? 0?AyC
横截面面积,只有,横截面的形心在 z轴上，
中性轴必须过横截面的形心。
0?A 0?Cy
2．确定中性轴的曲率 1/ρ
EIZ表示梁的材料和截面抵抗弯曲变形的能力，为梁的抗弯刚度。
微面积 dA上的内力，对中性轴产生一微小力矩,
则整个截面上的内力矩的总和为
dAYdM ??
dAy
A
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ZEI
M?
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1
??
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A
A dAy
EdAyEM
2
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由静力平衡条件
积分 是横截面对中性轴 z的惯性矩 IZ。
0?? AM ??
A
dAyM ?
?
A
dAy2
3．弯曲正应力计算公式
4．弯曲时横截面上最大正应力的计算公式
正应力与该截面上的弯
矩 M成正比，与点到中性轴
的距离 y成反比。
yIM
Z
??
的正负可根据变形来确定，弯矩 M为正时，梁向下弯，中性轴以下的
点受拉，正应力为正值；中性轴以上的点受压，正应力为负值。
?
在横截面上下边缘处正应力的值最大
m a xm a x yI
M
Z
??
P
M
X
z
·
b ·
a
Ymax和 IZ均与截面的大小和形状有关
最大正应力计算公式为 m a x
y
IW Z
Z ?
W
M?
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二、平行移轴公式
?
?
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?
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CC
C
C
zyyz
zz
yy
2
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? ? ????? ?????? AA CA CA CAy dAadAzadAzdAazdAzI 2222 2
?A CdAz 为图形对形心轴的静矩，其值等于零。 AaII Cyy 2??
结论,同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。
在使用惯性积移轴公式时应注意 a, b 的正负号。
y
c
a
cz
cy
y
z
cz
Ad
z
b
y
Ｃ
O
惯性矩计算 平行移轴公式
一、常用截面形状的惯性矩
通过积分计算即可求出不同截面形状的惯性矩。
??
A
Z dAyI
2
截面的惯性矩 抗弯截面模量
圆形,
圆环,
矩形,
64
4d
I Z ?? 32
3d
W Z ??
64
)( 44 dDI
Z
?? ? )1(
32
4
3
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12
3bh
I Z ? 6
2d
W Z ??
弯曲正应力的强度计算
一、强度条件
例题,如图所示托架为一 T形
截面的铸铁梁。已知截面对中性轴
之的惯性矩 IZ=1.35*107mm4，
P=4.5kN，铸铁的弯曲许用应力
? σl? =40MPa,? σy? = =80Mpa，
若略去梁的自重影响，使校核梁的
强度。
? ??? ???
?
?
???
?
?
m a x
m a x
zW
M
等截面直梁
非等截面直梁
? ??? ??
zW
M m a x
m a x
? ?ll ?? ?m a x ? ?yy ?? ?m a x
150
z
P
60
1000
提高梁强度的措施
一、梁的合理受力（降低最大弯矩 Ｍ max）
1、合理布置载荷和支座的位置。图示传动轴，当齿轮位于轴中点或将
齿轮尽量安装在靠近轴承处时，轴因齿轮啮合力 P而引起的弯矩差异较大。
后则仅为前者的 55.5％，这样所需的轴径就可相应减小。 x
6
M
x
P
(a)
M
PP
2
(b)
5
2 6
4 365P
2、合理布置载荷作用方式。比较图 a,b中梁 AB的两种加载方式可知，
后者的最大弯矩只有前者的一半。
BA
M
x
4
M
P
x
l 4 4 4 4
P
P 4
P
(a) (b)
二、选择合理截面形状（增大抗弯截面模量 WZ）
1、截面的面积和形状相同，
放置方式不同。 截面形状 截面面积 抗弯截面模量
圆 形
矩 形
工字钢
61.05 67 1.097
61.05 124 2.031
61.05 534.3 8.752
h
b
b
h
y y
z
z
P
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2、面积相等而形状不同的
截面 WZ不同。工字形截面最合理，
圆形截面最差。所以钢结构中
的抗弯杆件，常用工字形、矩
形截面。
三、采用变截面梁和等强度梁
3,截面形状与材料性能相适应
经济的截面形状应该使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到
材料的许用应力。抗拉和抗压强度相等的塑性材料，宜采用对称于中性
轴的截面形状，如空心圆形、工字形等；对抗压强度大于抗拉强度的脆
性材料，应采用中性轴靠近受拉一边的截面形状。
2
y
1
y
zO
σ
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