第二章 机构运动分析基础
?教学要求
?教学重点与难点
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了解描述点的运动的方法、刚体基本
运动的方式及其特点
掌握点的合成运动，刚体平面运动的
特点
教学要求
重点：点的合成运动刚体的平面运动
难点：速度和加速度合成定理
教学重点与难点
§ 2-1 点的运动
§ 2-2 刚体的基本运动
§ 2-3 点的合成运动
§ 2-4 刚体平面运动
点的运动
点的轨迹：点在空间所走的路线
点的运动：直线运动、曲线运动
一,矢径法表示点的位置、速度和加速度
1、点的位置
运动方程 )(trr ?
2、点的速度
平均速度
t
MM
t
rv
??
? ????
瞬时速度
00l im * l imtt
r drv
t dt? ? ? ?
???
?v =
动点的速度等于矢径对时间的一阶导数，速度方向是沿动点的矢径端图
（轨迹曲线）在对应点的切线，指向动点的运动方向，单位米 /秒（ m/s），
速度是矢量。
△
*
O
M'
B
v
v
A
r'
r
点的运动
3、点的加速度
平均加速度 *a = v
t
?
?
瞬时加速度 α=
00l im * l imtt
v d va
t d t? ? ? ?
???
?2
2
dt
rd?
动点加速度等于其速度对时间的一阶
导数，也等于其矢径对时间的二阶导数。
也是矢量。
v
v 2
v 1
v 3
v 4
m
a
△
*a
a
v'
B
v'
v A
M'
M
点的运动
即 d r d x d y d zv i j k
d t d t d t d t? ? ? ?x y zv v i v j v k? ? ?
,, 是速度 在三个坐标轴上的投影,; ; 。
xv yv zv v
x
dxv
dt? y
dyv
dt? z
dzv
dt?
a
3、点的加速度
kajaiakdtdvjdtdvidtdvdt vda zyxzyx ??????
?
???????
在直角坐标轴上的投影为； ； 。
2
2
dt
xd
dt
dva x
x ?? 2
2
dt
yd
dt
dva y
y ?? 2
2
dt
zd
dt
dva z
z ??
点的运动
三、弧坐标、自然坐标法表示点的位置、速度和加速度
1、点的位置的弧坐标表示, OMs ??
点的弧坐标形式的运动方程
（点的自然形式的运动方程 ),)(tfs ?
2、自然轴系
由轨迹上一点的切线和法线所构成的轴系称自然轴系。曲线上任
一点自然轴系随动点 M在轨迹曲线上位置的变化而随之改变。矢量 τ,n
都随点的位置变化而变化的，是变矢量。
单位矢量 τ指向 s为正向，单位矢量 n指向曲线的内凹一侧为正。
τ
O
s
(-)
(+)
T
N
n
M
点的运动
3、点的速度
d r d r d sv
d t d s d t? ? ?
dsvv
dt ?????
dsv
dt? ?
是 ν 在切线上的投影
动点的速度在切线上的投影等于它弧坐标对
时间的一阶导数。
△
△
o '
o
(-)
(+)
M 'r'
r
M
s
点的运动
4、点的加速度
naanvdtdvaaa nxnx ?????? ???
2
为正,沿切线正方向；反之沿负方向。
与 ν 同号时，作加速运动。
dv
dt a?
dv
dt
全加速度的大小和方向为
2
2 2 2 2( ) ( )
n
d v va a a
dt? ?? ? ? ?
ta n
n
a
a
?? ?
n
τ△
△
△
τ′
τ
τ
τ
τ′
φ△
τ
C
B
A
v
M
M
τ
τa
a n
(-)
(+)
M
a
β
n
点的运动
讨论,
（ 1）直线运动
? ??
2
0n va ??? dvaa dt? ???
（ 2）曲线匀速运动
常量?xv 0dva dt? ??
2
n
va a n
???
切向加速度 反映速度大小的变化；法向加速度 反映速度方
向的变化。
a? a?
点的运动
（ 3）单向运动（沿轨迹一个方向运动）, 恒为正值。 s? v
?
dsvv
d? ???
2
2
d v d sa
d t d t? ??
（ 4）曲线匀变速运动,
常量?xa
2
n
va
??
0v a t? ? ???? 200
1
2s s v t a t??? ? ?
22 002 ( )v v a s s? ? ?? ? ?
（ 5）对曲线匀速运动,
0a? ? 常量?xv 0s s v t???
刚体的基本运动
二、刚体的定轴转动
刚体运动时，刚体内有一条直线始终保持不动称
刚体绕固定轴转动（简称转动）。固定不动的直线称
固定转轴。
1、刚体的定轴转动方程 ()t???
2、角速度 )( t
dt
d ??? ???
转速 n(r/min)与 关系 ?
30
n?? ?
3、角加速度 )( t
dt
d ??? ???
?
与 符号相同时刚体作加速转动,与 符号相反时刚体作减速转动。 ? ? ??
z
o
φ
P
P 0
刚体的基本运动
o
r B
r A
a B
v B
a A
v A
B 2
B 1
A 2
A 1
B
A
z
y
x
一、刚体的平行移动（平动）
平动：刚体在运动过程中，其上任一直
线始终与初始位置平行。
各点的轨迹是直线的为直线平动；各点
的轨迹为曲线 (平面或空间 )的为曲线平动。
平动刚体上各点轨迹、速度和加速度彼
此相同。
BA vv ? BA aa ?
平动刚体可抽象为一个点来研究。
刚体的基本运动
三、定轴转动刚体上各点的速度和加速度
sR?? c R???
aR? ?? 2naR??
R 为点的转动半径
2 2 2 4na a a R? ??? ? ? ?
2t a n
n
a
a
? ??
???
0M
M
O
R
0P
P
φ
o
z
M 0
M
R
φ
ω
O
(a) (b)aτ
τa
na na
vvM M
a
a
β β
ω ωε ε
（a） （b）
刚体的基本运动
四、角速度和角加速度的矢量表示
由刚体的转动轴 z上任一点作一矢量 ω，其大小等
于角速度的绝对值，即
dt
d?? ?
角速度矢 ω是滑动矢量。 ω = k?
角速度矢对时间的导数称为刚体的角加速度矢
kkdtdkdtd ???? ??? 2
2
2
2
dt
d
dt
d ??? ??
(b)(a)
kk
ω
ω
点的合成运动
一、绝对、相对、牵连运动
物体的绝对运动（合成运动）是相
对运动和牵连运动的合成。刚体在该瞬
时与动点相重合的点称为瞬时重合点或
牵连点。
υ
Α
ｏ
x
y
绝对运动：动点对定系的运动。
相对运动：动点对于动系的运动。
牵连运动：动系对静系的运动。
二、速度合成定理
点的合成运动
ｒ
′ｋ
Ｍ
′
′ｊ
′ｒ
α ｅ
ααα
ｒ
ｏｒ ′
ｏα ′
′υ ｏ A
B
′
′
′
ｏ
y
ｏ
z
x
y
x?
z
z
x
y
B 1
B
M'
υ ｒ
υ α
υ ｅ
A
M
M 1 (E 1 )
A 1
ｏ
(E)
a e rv v v??
牵连速度是动系上与动点相重合
之点 (牵连点 )的速度。
三、加速度合成定理
1、牵连运动为平动时
a e ra a a??
z
′
O′
O′
O′
r
a
e
y
′
Ｍ
′
′
′ｒ
Ａ
Ｂ
′
′
′
ｏ
y
ｏ
点的合成运动
y
ω
x'
x
a e
a r
a a
a k
M(E)
`
y
v r v e
ro
2、牵连运动为转动时
a k
v r
v r
a k
a k
v' r
v r
O
ω
M
ω
M
ω
① 若
则
a e r ka a a a? ? ?
rk va ?? ?2
为哥氏加速度
大小,?? s i n2
rk va ?
方向,
rv??
2krav??
② 若
则
rv//?
0?ka
点的合成运动
x
x'
y'
y
v a
v e
v r
（E）
BA
oω
B
M
ω
A
例 题 刨床的摆动导杆机构
中,曲柄 OM以 n=30r/min作逆时
针转动。曲柄轴 O与导杆转轴 A之
间的距离 OA＝ 30cm，曲柄长 OM
＝ 20cm。当曲柄与 OA相垂直且
在右侧时，求导杆 AB的角速度 ωAB。
点的合成运动
例题,曲柄导杆
机构中，曲柄 OA转动
的角速度是,角加
速度是 (转向如图所
示 )。设曲柄的长度是 R，
试求当曲柄与导杆中线
的夹角 时导杆
的加速度。
0?
0?
2
???
ω 0
0ε
an
ar
r
e
y
y'
A
o '
x
刚体平面运动
Ⅱ
Ⅰ
SA
A 2
A 1
一、构件平面运动简化
1、构件平面运动的简化
构件平面运动可简化为一个平面图形
在其自身平面内的运动。
2、刚体平面运动方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
3
2
1
tf
tfy
tfx
O
O
?
点 O′ 为平面图形的基点。
s
x
φ
M
O′
x'
y'
y
刚体平面运动
平面图形的运动（绝对运动）可分
解为,
（ 1）动系连带基点 O′ 引起的平动
（牵连运动）；
（ 2）图形在动系中绕基点 O′ 的转动
（相对运动）。但绕基点转动的角速度、
角加速度与基点的选择无关。
o
x
y
o'
o'
x'
x'
y ′
′y
刚体平面运动
二、平面图形上各点速度
速度合成法（基点法）
MOOM vvv ??
速度投影定理
? ? ? ?MoO M O Mvv ?
O
M
MO
O
ω
O
〔υ
０
〕
OM
〔υ
〕
O
刚体平面运动
三、平面图形上各点的加速度
nM O M O M Oa a a???
MOa M O? ???
2??? MOa nMO
2t a n ?
?? ? ??
n
MO
MO
a
a
nM o M O M Oa a a a?? ? ?
42 ??? ?? MOMO
τ
α
MO
MO
n
MO
M
O
O
o
M
ε
ω
?教学要求
?教学重点与难点
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了解描述点的运动的方法、刚体基本
运动的方式及其特点
掌握点的合成运动，刚体平面运动的
特点
教学要求
重点：点的合成运动刚体的平面运动
难点：速度和加速度合成定理
教学重点与难点
§ 2-1 点的运动
§ 2-2 刚体的基本运动
§ 2-3 点的合成运动
§ 2-4 刚体平面运动
点的运动
点的轨迹：点在空间所走的路线
点的运动：直线运动、曲线运动
一,矢径法表示点的位置、速度和加速度
1、点的位置
运动方程 )(trr ?
2、点的速度
平均速度
t
MM
t
rv
??
? ????
瞬时速度
00l im * l imtt
r drv
t dt? ? ? ?
???
?v =
动点的速度等于矢径对时间的一阶导数，速度方向是沿动点的矢径端图
（轨迹曲线）在对应点的切线，指向动点的运动方向，单位米 /秒（ m/s），
速度是矢量。
△
*
O
M'
B
v
v
A
r'
r
点的运动
3、点的加速度
平均加速度 *a = v
t
?
?
瞬时加速度 α=
00l im * l imtt
v d va
t d t? ? ? ?
???
?2
2
dt
rd?
动点加速度等于其速度对时间的一阶
导数，也等于其矢径对时间的二阶导数。
也是矢量。
v
v 2
v 1
v 3
v 4
m
a
△
*a
a
v'
B
v'
v A
M'
M
点的运动
即 d r d x d y d zv i j k
d t d t d t d t? ? ? ?x y zv v i v j v k? ? ?
,, 是速度 在三个坐标轴上的投影,; ; 。
xv yv zv v
x
dxv
dt? y
dyv
dt? z
dzv
dt?
a
3、点的加速度
kajaiakdtdvjdtdvidtdvdt vda zyxzyx ??????
?
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在直角坐标轴上的投影为； ； 。
2
2
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dt
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点的运动
三、弧坐标、自然坐标法表示点的位置、速度和加速度
1、点的位置的弧坐标表示, OMs ??
点的弧坐标形式的运动方程
（点的自然形式的运动方程 ),)(tfs ?
2、自然轴系
由轨迹上一点的切线和法线所构成的轴系称自然轴系。曲线上任
一点自然轴系随动点 M在轨迹曲线上位置的变化而随之改变。矢量 τ,n
都随点的位置变化而变化的，是变矢量。
单位矢量 τ指向 s为正向，单位矢量 n指向曲线的内凹一侧为正。
τ
O
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N
n
M
点的运动
3、点的速度
d r d r d sv
d t d s d t? ? ?
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是 ν 在切线上的投影
动点的速度在切线上的投影等于它弧坐标对
时间的一阶导数。
△
△
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o
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M 'r'
r
M
s
点的运动
4、点的加速度
naanvdtdvaaa nxnx ?????? ???
2
为正,沿切线正方向；反之沿负方向。
与 ν 同号时，作加速运动。
dv
dt a?
dv
dt
全加速度的大小和方向为
2
2 2 2 2( ) ( )
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C
B
A
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M
M
τ
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M
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β
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点的运动
讨论,
（ 1）直线运动
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2
0n va ??? dvaa dt? ???
（ 2）曲线匀速运动
常量?xv 0dva dt? ??
2
n
va a n
???
切向加速度 反映速度大小的变化；法向加速度 反映速度方
向的变化。
a? a?
点的运动
（ 3）单向运动（沿轨迹一个方向运动）, 恒为正值。 s? v
?
dsvv
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2
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（ 4）曲线匀变速运动,
常量?xa
2
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1
2s s v t a t??? ? ?
22 002 ( )v v a s s? ? ?? ? ?
（ 5）对曲线匀速运动,
0a? ? 常量?xv 0s s v t???
刚体的基本运动
二、刚体的定轴转动
刚体运动时，刚体内有一条直线始终保持不动称
刚体绕固定轴转动（简称转动）。固定不动的直线称
固定转轴。
1、刚体的定轴转动方程 ()t???
2、角速度 )( t
dt
d ??? ???
转速 n(r/min)与 关系 ?
30
n?? ?
3、角加速度 )( t
dt
d ??? ???
?
与 符号相同时刚体作加速转动,与 符号相反时刚体作减速转动。 ? ? ??
z
o
φ
P
P 0
刚体的基本运动
o
r B
r A
a B
v B
a A
v A
B 2
B 1
A 2
A 1
B
A
z
y
x
一、刚体的平行移动（平动）
平动：刚体在运动过程中，其上任一直
线始终与初始位置平行。
各点的轨迹是直线的为直线平动；各点
的轨迹为曲线 (平面或空间 )的为曲线平动。
平动刚体上各点轨迹、速度和加速度彼
此相同。
BA vv ? BA aa ?
平动刚体可抽象为一个点来研究。
刚体的基本运动
三、定轴转动刚体上各点的速度和加速度
sR?? c R???
aR? ?? 2naR??
R 为点的转动半径
2 2 2 4na a a R? ??? ? ? ?
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(a) (b)aτ
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（a） （b）
刚体的基本运动
四、角速度和角加速度的矢量表示
由刚体的转动轴 z上任一点作一矢量 ω，其大小等
于角速度的绝对值，即
dt
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角速度矢 ω是滑动矢量。 ω = k?
角速度矢对时间的导数称为刚体的角加速度矢
kkdtdkdtd ???? ??? 2
2
2
2
dt
d
dt
d ??? ??
(b)(a)
kk
ω
ω
点的合成运动
一、绝对、相对、牵连运动
物体的绝对运动（合成运动）是相
对运动和牵连运动的合成。刚体在该瞬
时与动点相重合的点称为瞬时重合点或
牵连点。
υ
Α
ｏ
x
y
绝对运动：动点对定系的运动。
相对运动：动点对于动系的运动。
牵连运动：动系对静系的运动。
二、速度合成定理
点的合成运动
ｒ
′ｋ
Ｍ
′
′ｊ
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ααα
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ｏｒ ′
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′υ ｏ A
B
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B 1
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υ ｒ
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υ ｅ
A
M
M 1 (E 1 )
A 1
ｏ
(E)
a e rv v v??
牵连速度是动系上与动点相重合
之点 (牵连点 )的速度。
三、加速度合成定理
1、牵连运动为平动时
a e ra a a??
z
′
O′
O′
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y
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′
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y
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点的合成运动
y
ω
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2、牵连运动为转动时
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v' r
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O
ω
M
ω
M
ω
① 若
则
a e r ka a a a? ? ?
rk va ?? ?2
为哥氏加速度
大小,?? s i n2
rk va ?
方向,
rv??
2krav??
② 若
则
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0?ka
点的合成运动
x
x'
y'
y
v a
v e
v r
（E）
BA
oω
B
M
ω
A
例 题 刨床的摆动导杆机构
中,曲柄 OM以 n=30r/min作逆时
针转动。曲柄轴 O与导杆转轴 A之
间的距离 OA＝ 30cm，曲柄长 OM
＝ 20cm。当曲柄与 OA相垂直且
在右侧时，求导杆 AB的角速度 ωAB。
点的合成运动
例题,曲柄导杆
机构中，曲柄 OA转动
的角速度是,角加
速度是 (转向如图所
示 )。设曲柄的长度是 R，
试求当曲柄与导杆中线
的夹角 时导杆
的加速度。
0?
0?
2
???
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an
ar
r
e
y
y'
A
o '
x
刚体平面运动
Ⅱ
Ⅰ
SA
A 2
A 1
一、构件平面运动简化
1、构件平面运动的简化
构件平面运动可简化为一个平面图形
在其自身平面内的运动。
2、刚体平面运动方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
3
2
1
tf
tfy
tfx
O
O
?
点 O′ 为平面图形的基点。
s
x
φ
M
O′
x'
y'
y
刚体平面运动
平面图形的运动（绝对运动）可分
解为,
（ 1）动系连带基点 O′ 引起的平动
（牵连运动）；
（ 2）图形在动系中绕基点 O′ 的转动
（相对运动）。但绕基点转动的角速度、
角加速度与基点的选择无关。
o
x
y
o'
o'
x'
x'
y ′
′y
刚体平面运动
二、平面图形上各点速度
速度合成法（基点法）
MOOM vvv ??
速度投影定理
? ? ? ?MoO M O Mvv ?
O
M
MO
O
ω
O
〔υ
０
〕
OM
〔υ
〕
O
刚体平面运动
三、平面图形上各点的加速度
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MOa M O? ???
2??? MOa nMO
2t a n ?
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n
MO
MO
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