第十三章 圆轴扭转
?教学要求
?教学重点与难点
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了解扭转的概念，薄壁圆筒的扭转
熟悉扭矩、扭矩图，圆轴扭转时的应力，
圆轴扭转时的强度计算掌握圆轴扭转时的
变形和刚度计算，提高圆轴扭转强度和刚
度的措施。
教学要求
重点：扭矩图的绘制，圆轴扭转时的
应力，圆轴扭转时的强度计算
难点：圆轴扭转时的变形和刚度计算
教学重点与难点
§ 13-1 扭转的概念
§ 13-2 圆轴扭转时的应力
§ 13-3 薄壁圆筒的扭转
§ 13-4 圆轴扭转时的应力分析
§ 13-5 圆轴扭转时的强度计算
§ 13-6 圆轴扭转时的变形与刚度计算
受力特点：作用于杆两端的一
对力偶，大小相等，方向相反，而
且力偶所在平面与杆的轴线垂直。
变形特点：在力偶作用下，杆
件的任意两个横截面都绕轴线发生
相对转动，产生扭转变形。
扭转的概念
扭转变形时，两端截面间的相对角位移称扭转角（ φ）。
以扭转变形为主的构件为轴。工程上轴的截面多采用圆形，通常称为圆轴。
B
T
A
T
γ
P
P
T
T
一、外力偶矩的计算
扭转和扭矩图
P的单位为千瓦 (kW),n的单位为转／分 (r／ min),
T的单位为牛顿 〃 米 (N〃m) 。
在工程中，常给出轴所传递的功率 P和轴的转速 n。若外力偶矩用 T表
示，则有
n
PT 95 50?
在确定外力偶矩的方向时，应注意输人的力偶矩为主动力矩，其方向
与轴的转向相同；
输出的力偶矩为阻力矩，其方向与轴的转向相反。
二、扭矩和扭矩图
将圆轴沿截面 m-m假想截成两
段。取左段来研究 (图 (b)。由左段轴
的平衡可知，截面 m-m上的内力也
必定是一个力偶。该内力偶矩称为
扭矩，以 Tn表示。由平衡方程可得,
0?? xm 即 Tn-T=0
得 Tn＝ T
扭矩的正负的规定,
按右手螺旋法则将扭矩用矢量表
示，当矢量方向与截面外法线方向一
致时扭矩为正；反之为负。
(a)
m
m
m
(b)
m
m
(c)
A
T
B
x
n
x
A
T
T
T
T
T
n
n
n
n
T
T
n
x
(b)
n
n
T
T
x
(a)
扭矩图：以纵坐标 (与轴线
垂直 )表示扭矩，横坐标 (与轴线
平行 )表示各截面位置的扭矩沿
轴变化的图形。
解题步骤,
（ 1）计算外力偶矩
（ 2）计算扭矩
（ 3）画扭矩图
例题,一传动系统的主轴
AC(图 a)，其转速 n=960r／ min，
输入功率 PA=27.5kW，输出功率
PB=20kW,PC=7.5kW，不计轴
承摩擦等功率消耗，试作 AC轴的
扭矩图。
75Nm
(d)
274Nm
－
(c)
(b)
A
B
2
2
A
1
1
(a)
B
C
2
2
B
T
1
1
A
T C
T A
AT
T A
T B
n1T
T n2
nT
薄壁圆筒是指壁厚 t远小于其平均半径 R0的圆筒。
圆筒扭转变形,
① 各周向线的形状、大小、间距都无改
变，只是绕轴线发生了相对转动；
② 各纵向线都倾斜了同一微小角度 γ，
方格歪斜成了平行四边形。
薄壁圆筒的扭转
推论,
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
① 横截面上必然存在剪应
力，其方向垂直于半径。
② 横截面上无正应力，只
有沿周向均匀分布的剪应力。
剪应力沿壁厚方向均匀分布。
横截面上的扭矩等于所有微力偶矩的和。得 ???????? ?? 2
0
2020 2 RdRT n
则剪应力 ??? 2
02 R
Tn?
T
T
1 2
1 2
dx
dy
dx
0R
δ
γ
γ
n
τ ′
τ
c
d
b
aa
b
d
c
d θ
τ
21
T
21
(a)
(b)
δ
γ
T n
dx
二、剪应力互等定理、纯剪切的概念
微体互相垂直的截面上的剪应力必然成对存在，大小相等，垂直于截
面的交线，方向同时指向或背离这一交线。这一关系称为剪应力互等定理。
纯剪切应力状态：微体的四个侧面上，只有剪应力，而无正应力的受
力状态。
三、剪切虎克定律
对各向同性材料，三个弹性常数之间存在下列关系
)1(2 ??
? EG
O
γ
P
?? G?
剪应力不超过材料的剪切比
例极限 τP时，剪应力 τ与剪应变 G
成正比关系。
一、圆轴扭转时的应力
平面假设：原横截面变形后仍为平面，其形状、大小不变；半径
仍为直线。
扭角：任意两个横截面相对转过的角度 φ。
圆轴扭转时的应力
1．变形几何关系
推断：横截面
上必须有与剪切变
形对应的剪应力存
在；剪应力的方向
必然与半径垂直；
横截面上没有正应
力。
dx
dr ???
?? ?? t a n
dx
γ
n
R
ρ
T
21
1
2
A
A′
B
B′
O O
d
φ
γ
C′
C
ρ
由剪切虎克定律及变形协调方程得
dx
dG ???
? ?
扭转剪应力随 ρ线性变化
2、物理方面
T n
O O
maxτ
T n
max
3、静力学方面
圆轴扭转变形的基本公式
?
?
??
I
Tn?
,称为截面的极惯性矩。
圆轴的极惯性矩
?? dAI 2??
32
4dI ?
? ?
二、极惯性矩的计算
实心圆轴 1632 34 dWdI ?? ?? ??
空心圆轴 ? ? )( 4244 13232 ???? ???? DdDI ? ? )( 4344 11616 ???? ???? DdDDW
Dd??
最大扭转剪应力 RI TI RT nn
??
? ??m a x
为抗扭截面模量,
?
? WTn?maxRIW ?? ?
O R
dA
ρ
nT
T ma x
τ ρ
例题,已知阶梯轴如图所示,T1=5kN〃m, T2=3.2kN〃m,
T3=1.8kN〃m,材料的许用剪应力 [τ]=60MPa，试校核轴的强度。
圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转强度条件 ? ???
?
???
?
?
???
??
m a x
m a x W
T n 等截面杆 ? ??
?
?WTn max
结论,最大剪应力发生在扭矩小的 BC段,由于，所以 AC轴不能满足强
度要求。
解：作阶梯轴的扭矩图。 AB段扭矩大，但轴的直径也大,BC段的扭
矩虽小，但其直径也小，因此对两段都应进行校核。
AB段 Tn1=-5*103 N〃m
331 1680 mmW ?? ??
M PaM Pa 7.4980 10108.116 3 33m a x ?? ???? ??
BC段 Tn2=-1.8*103 N〃m
332 1650 mmW ?? ?? M P aM P a 4.7350 10108.116 3 33m a x ?? ???? ??
Φ
50
1 2T
T 3
nT
-
5kNm
1.8kNm
x
T
A B
C
(a)
(b)
圆轴扭转时的变形与刚度计算
一、圆轴的扭转变形公式
二、圆轴扭转刚度条件
轴的扭转变形，用扭转角 表示 ? ?? ?? l n
L
dxGITd 0
?
??
常见扭转变形等截面圆轴
?
? GIlTn?
薄壁圆管 tRG lTn 3
02 ?
? ?
单位长度内的扭转角
?
??
GI
T
dx
d n??
许用扭转角查设计标准或规范。
刚度条件 ? ??? ???
?
?
???
??
m a xpGI
T 或 ? ??
?? ? ???
180m a x
m a x GI
T n
单位换算,mmmr a d ??? 310180
?
例题,
一传动轴直径 d=40mm，材料的剪切弹性模量 G=80GPa，试计算
轴的总扭角。
1200Nm
800
800Nm
A
1200Nm 2000Nm 800Nm
B C
1000
1、在轴传递功率不变的情况下，提高转速可减小外力偶矩，从
而提高圆轴的强度；
2、在轴传递的外力偶矩一定时应合理布置主动轮与从动轮的位
置；
3、增大极惯性矩和抗扭截面模量。
117 0Nm
(b)
702Nm
351Nm
468Nm
702Nm
(a)
351Nm
351Nm 351Nm 468Nm 117 0Nm
B C D AADCB
468Nm117 0Nm351Nm351Nm
提高圆轴扭转 强度 和刚度的措施
?教学要求
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了解扭转的概念，薄壁圆筒的扭转
熟悉扭矩、扭矩图，圆轴扭转时的应力，
圆轴扭转时的强度计算掌握圆轴扭转时的
变形和刚度计算，提高圆轴扭转强度和刚
度的措施。
教学要求
重点：扭矩图的绘制，圆轴扭转时的
应力，圆轴扭转时的强度计算
难点：圆轴扭转时的变形和刚度计算
教学重点与难点
§ 13-1 扭转的概念
§ 13-2 圆轴扭转时的应力
§ 13-3 薄壁圆筒的扭转
§ 13-4 圆轴扭转时的应力分析
§ 13-5 圆轴扭转时的强度计算
§ 13-6 圆轴扭转时的变形与刚度计算
受力特点：作用于杆两端的一
对力偶，大小相等，方向相反，而
且力偶所在平面与杆的轴线垂直。
变形特点：在力偶作用下，杆
件的任意两个横截面都绕轴线发生
相对转动，产生扭转变形。
扭转的概念
扭转变形时，两端截面间的相对角位移称扭转角（ φ）。
以扭转变形为主的构件为轴。工程上轴的截面多采用圆形，通常称为圆轴。
B
T
A
T
γ
P
P
T
T
一、外力偶矩的计算
扭转和扭矩图
P的单位为千瓦 (kW),n的单位为转／分 (r／ min),
T的单位为牛顿 〃 米 (N〃m) 。
在工程中，常给出轴所传递的功率 P和轴的转速 n。若外力偶矩用 T表
示，则有
n
PT 95 50?
在确定外力偶矩的方向时，应注意输人的力偶矩为主动力矩，其方向
与轴的转向相同；
输出的力偶矩为阻力矩，其方向与轴的转向相反。
二、扭矩和扭矩图
将圆轴沿截面 m-m假想截成两
段。取左段来研究 (图 (b)。由左段轴
的平衡可知，截面 m-m上的内力也
必定是一个力偶。该内力偶矩称为
扭矩，以 Tn表示。由平衡方程可得,
0?? xm 即 Tn-T=0
得 Tn＝ T
扭矩的正负的规定,
按右手螺旋法则将扭矩用矢量表
示，当矢量方向与截面外法线方向一
致时扭矩为正；反之为负。
(a)
m
m
m
(b)
m
m
(c)
A
T
B
x
n
x
A
T
T
T
T
T
n
n
n
n
T
T
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(b)
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n
T
T
x
(a)
扭矩图：以纵坐标 (与轴线
垂直 )表示扭矩，横坐标 (与轴线
平行 )表示各截面位置的扭矩沿
轴变化的图形。
解题步骤,
（ 1）计算外力偶矩
（ 2）计算扭矩
（ 3）画扭矩图
例题,一传动系统的主轴
AC(图 a)，其转速 n=960r／ min，
输入功率 PA=27.5kW，输出功率
PB=20kW,PC=7.5kW，不计轴
承摩擦等功率消耗，试作 AC轴的
扭矩图。
75Nm
(d)
274Nm
－
(c)
(b)
A
B
2
2
A
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(a)
B
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A
T C
T A
AT
T A
T B
n1T
T n2
nT
薄壁圆筒是指壁厚 t远小于其平均半径 R0的圆筒。
圆筒扭转变形,
① 各周向线的形状、大小、间距都无改
变，只是绕轴线发生了相对转动；
② 各纵向线都倾斜了同一微小角度 γ，
方格歪斜成了平行四边形。
薄壁圆筒的扭转
推论,
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
① 横截面上必然存在剪应
力，其方向垂直于半径。
② 横截面上无正应力，只
有沿周向均匀分布的剪应力。
剪应力沿壁厚方向均匀分布。
横截面上的扭矩等于所有微力偶矩的和。得 ???????? ?? 2
0
2020 2 RdRT n
则剪应力 ??? 2
02 R
Tn?
T
T
1 2
1 2
dx
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δ
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γ
n
τ ′
τ
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21
T
21
(a)
(b)
δ
γ
T n
dx
二、剪应力互等定理、纯剪切的概念
微体互相垂直的截面上的剪应力必然成对存在，大小相等，垂直于截
面的交线，方向同时指向或背离这一交线。这一关系称为剪应力互等定理。
纯剪切应力状态：微体的四个侧面上，只有剪应力，而无正应力的受
力状态。
三、剪切虎克定律
对各向同性材料，三个弹性常数之间存在下列关系
)1(2 ??
? EG
O
γ
P
?? G?
剪应力不超过材料的剪切比
例极限 τP时，剪应力 τ与剪应变 G
成正比关系。
一、圆轴扭转时的应力
平面假设：原横截面变形后仍为平面，其形状、大小不变；半径
仍为直线。
扭角：任意两个横截面相对转过的角度 φ。
圆轴扭转时的应力
1．变形几何关系
推断：横截面
上必须有与剪切变
形对应的剪应力存
在；剪应力的方向
必然与半径垂直；
横截面上没有正应
力。
dx
dr ???
?? ?? t a n
dx
γ
n
R
ρ
T
21
1
2
A
A′
B
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O O
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φ
γ
C′
C
ρ
由剪切虎克定律及变形协调方程得
dx
dG ???
? ?
扭转剪应力随 ρ线性变化
2、物理方面
T n
O O
maxτ
T n
max
3、静力学方面
圆轴扭转变形的基本公式
?
?
??
I
Tn?
,称为截面的极惯性矩。
圆轴的极惯性矩
?? dAI 2??
32
4dI ?
? ?
二、极惯性矩的计算
实心圆轴 1632 34 dWdI ?? ?? ??
空心圆轴 ? ? )( 4244 13232 ???? ???? DdDI ? ? )( 4344 11616 ???? ???? DdDDW
Dd??
最大扭转剪应力 RI TI RT nn
??
? ??m a x
为抗扭截面模量,
?
? WTn?maxRIW ?? ?
O R
dA
ρ
nT
T ma x
τ ρ
例题,已知阶梯轴如图所示,T1=5kN〃m, T2=3.2kN〃m,
T3=1.8kN〃m,材料的许用剪应力 [τ]=60MPa，试校核轴的强度。
圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转强度条件 ? ???
?
???
?
?
???
??
m a x
m a x W
T n 等截面杆 ? ??
?
?WTn max
结论,最大剪应力发生在扭矩小的 BC段,由于，所以 AC轴不能满足强
度要求。
解：作阶梯轴的扭矩图。 AB段扭矩大，但轴的直径也大,BC段的扭
矩虽小，但其直径也小，因此对两段都应进行校核。
AB段 Tn1=-5*103 N〃m
331 1680 mmW ?? ??
M PaM Pa 7.4980 10108.116 3 33m a x ?? ???? ??
BC段 Tn2=-1.8*103 N〃m
332 1650 mmW ?? ?? M P aM P a 4.7350 10108.116 3 33m a x ?? ???? ??
Φ
50
1 2T
T 3
nT
-
5kNm
1.8kNm
x
T
A B
C
(a)
(b)
圆轴扭转时的变形与刚度计算
一、圆轴的扭转变形公式
二、圆轴扭转刚度条件
轴的扭转变形，用扭转角 表示 ? ?? ?? l n
L
dxGITd 0
?
??
常见扭转变形等截面圆轴
?
? GIlTn?
薄壁圆管 tRG lTn 3
02 ?
? ?
单位长度内的扭转角
?
??
GI
T
dx
d n??
许用扭转角查设计标准或规范。
刚度条件 ? ??? ???
?
?
???
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m a xpGI
T 或 ? ??
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180m a x
m a x GI
T n
单位换算,mmmr a d ??? 310180
?
例题,
一传动轴直径 d=40mm，材料的剪切弹性模量 G=80GPa，试计算
轴的总扭角。
1200Nm
800
800Nm
A
1200Nm 2000Nm 800Nm
B C
1000
1、在轴传递功率不变的情况下，提高转速可减小外力偶矩，从
而提高圆轴的强度；
2、在轴传递的外力偶矩一定时应合理布置主动轮与从动轮的位
置；
3、增大极惯性矩和抗扭截面模量。
117 0Nm
(b)
702Nm
351Nm
468Nm
702Nm
(a)
351Nm
351Nm 351Nm 468Nm 117 0Nm
B C D AADCB
468Nm117 0Nm351Nm351Nm
提高圆轴扭转 强度 和刚度的措施
