第十六章 杆件的组合变形
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教学要求
了解强度理论；
熟悉二向应力状态分析；
掌握拉弯、弯扭组合变形。
重点：应力状态分析，拉弯、弯扭组合变形
难点：弯扭组合变形
教学的重点与难点
§ 16-1 应力状态分析
§ 16-2 强度理论
§ 16-3 组合变形时的强度计算
应力状态分析
某点处的应力状态：指通过该点的各个不同方位截面上应力的集合。
单元体：围绕所研究的点截取一个微小正六面体。
原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体。
一、应力状态的概念
对于杆件，通常用一对横截面
和两对互相垂直的纵截面截取原始
单元体，围绕其上任一点 A，截取
的原始单元体，该单元体各面上的
应力是已知的。
对于至少有一对平行平面上无
应力的单元体，可用平面图形表示。
A
(a)
σ σ σσ
σσ
P P
AA
(b) (c)
例题,在同时受拉伸和扭转的杆件上，点 A为杆件外表面上的一点，
点 B为杆轴线上的一点，如右图所示，试确定 A,B两点的应力状态。
解：围绕 A点用一对横截
面及与之垂直的纵截面截取
该点的原始单元体。
单元体左右侧面上产生
正应力，其值为 σ=P／ A。在
力偶 T的作用下单元体左右侧
面上的剪应力为 τ=T／ Wρ，
上下面上的剪应力可由剪应
力互等定理确定，即 τx=－ τy，
前后面上均无应力，将相应
的应力分别画在单元体的各
面上。
围绕 B点截取原始单元体。在力 P作用下单元体左右侧面上产生正应力，
其值为 σ=P／ A，由于圆轴扭转时，横截面上圆心处的剪应力为零，故上下
和左右面上的剪应力均等于零，面前后面上均无应力。
A
d
T
xσ
xτ
yτ
σ x
P P
BA
(a)
(c) (b)
T
B
·
·
主平面：单元体上剪应力为零的面。
主应力：主平面上的正应力。
主单元体：各个面上均无剪应力的单元体。
通过受力构件内任一点都可以找到三个互相垂直的主平面，因而每
一点都对应着三个主应力。一点处的三个主应力分别用 σ1,σ2,σ3来表
示，并按应力代数值的大小顺序排列，即 σ1≥σ 2≥σ 3。
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零的应力状态。如轴向拉伸
（或压缩）时。
二向应力状态 (或平面应力状态 )：若三个主应力中有两个不等于零时的应
力状态。
三向应力状态 (或空间应力状态 )：当三个主应力都不为零时的应力状态。
σ 1
(c) (b)(a)
1σ σ 1 σ 1
2σ
σ 2
1σ
1σ
σ 2
2σ
3σ
σ 3
二、平面应力状态的应力分析
1、任意斜截面上的应力
2、主平面和主
应力主平面上
剪应力为零主
平面的方位角
为 α0
???????? ? 2s i n2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
yx
x
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22t a n
0
主平面上主应力为 22)
2(2 x
yxyx ????? ?????
j
i
?
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(b)(a)
n
x
t
α
n
α
α
σ y
yτ
xσ
xσ
yσ
yτ
τ x
xτ
σ x
xτ
τ y
σ y
ασ
τ α
α
通过受力构件内任意一点处的最大正应力 σmax和最大剪应力
τmax，可以由该点的最大主应力 σ1和最小主应力 σ3来确定。
三、三向应力状态下的最大应力
最大剪应力 τmax所在平面与 σ2平行，且与 σ1和 σ3所在的主平
面各成 45° 角。
1m a x ?? ?
2
31
m a x
??? ??
上述结论同样适用于单向和二向应力状态。
对于各向同性材料，在应力不超过其比例极限时，可用叠加法来求
其主应变。
三向应力状态下主单元体沿三个主应力 σ1,σ2,σ3方向的线应变分别
用 ε1,ε2,ε3表示，这种沿主应力方向的线应变称为主应变。
四、广义虎克定律
σ 3
(d)
3σ
2σ
σ 1
σ 2
σ 1
(a) (b) (c)
= + +
方向线应变3σσ 2 方向线应变σ 1 方向线应变
单独作用1σ
σ 2 单独作用
σ 3 单独作用
ε ′＝—1
σ 1
E E
1σ
2ε ′＝－ μ —
E
2σ
1ε ″＝－ μ —
ε ″＝－ μ —1
σ 3
E
ε ″＝—2
σ 2
E
ε ′＝－ μ —3
σ 1
E
E
2σ
3ε ″＝－ μ —
′ ′
E
3σ
2ε ″＝－ μ — ′
E
3σ
3ε ″＝—
? ?? ?3211 1 ????? ??? E
? ?? ?3122 1 ????? ??? E
? ?? ?2133 1 ????? ??? E
广义虎克定律
当单元体的各面上既有正应力，又有剪应力时，对于各向同性材料，
在弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关。
? ?? ?xzyy E ????? ??? 1
? ?? ?zyxx E ????? ??? 1
? ?? ?yxzz E ????? ??? 1
注意,按此式求出的应变 εx,εy,εz不是主应变。
强度理论
关于材料破坏规律的假说。
一、强度理论概述
二、常用强度理论简介
强度理论分为两类：一类是解释材料脆性断裂破坏的强度理论；另一
类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论。
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料发生脆性断裂破坏的主要因素。即无论材料处
于何种应力状态，只要危险点处的最大拉应力 σ1达到材料在单向应力状态
下的极限应力 σlim，材料就会发生脆性断裂破坏。
根据这一理论，材料发生脆性断裂破坏的条件是 σ1=σlim=σb
将 σb除以安全系数后，可得许用应力 [σ]，于是按第一强度理论建立的
强度条件是 σ1≤ [σ] 。
2、最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
最大伸长线应变（最大拉应变）是引起材料发生脆性断裂破坏的主要
因素。即无论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大伸长线应变 ε1
达到材料在单向应力状态下的极限拉应变 εlim，材料就会发生脆性断裂破坏。
根据这一理论，材料发生脆性断裂破坏的条件是 ε1= εlim
? ?? ?3211 1 ????? ??? E
E
l i m
l i m
?? ?
用主应力表示的材料发生脆性断裂破坏的条件为
引入安全系数后，可得按第二强度理论建立的强度条件为
? ?? ? b????? ??? 321
? ?? ? ? ?????? ??? 321
3、最大剪应力理论（第三强度理论）
最大剪应力是引起材料发生塑性屈服破坏的主要因素。
屈服条件
limm a x ?? ?
2
31
m a x
??? ??
单向应力状态下得的极限剪应力
222
0 limlim
lim
s???? ????
用主应力表示的材料发生塑性屈服失效的条件
s??? ?? 31
引入安全系数后，可得第三强度理论强度条件
? ??? ?3d
4、形状改变比能理论（第四强度理论）
? ? ? ? ? ?? ?21323222161 ??????? ??????? Eu f
屈服失效条件 lim)( ff uu ?
第四强度理论强度条件为
? ? ? ? ? ? ? ????????? ??????? 2132322214 21d
单向应力状态下的极限形状改变比能,? ?Eu sf 31)( 2lim ????
? ? ? ? ? ? s??????? ?????? 21323222121
? ? ? ? ? ?? ? 2213232221 3161 SEE ????????? ????????
三、强度理论的应用
2.强度理论的适用范围
1.相当应力 11 ?? ?xd ? ?3212 ????? ???xd
313 ??? ??xd ? ? ? ? ? ? 2132322214 21 ??????? ??????xd
脆性材料,如果 σ为正或 0，用第一强度理论；
如果 σ为正或负，用第二强度理论。
塑性材料, 223 4??? ??xd 224 3??? ??xd
(2)应力状态影响
三向等压：脆 → 塑； 三向等拉：塑 → 脆
一、二强度理论适用脆性材料 ?
?
???
?
?
ct
ct
m i nm a x
m i nm a x
??
??
二、
一、(1)一般情形
三、四强度理论适用于塑性材料。
3.复杂应力状态下进行强度计算的一般步骤
(1)在内力分析的基础上，从构件的危险点处取出原始单元体，算出其各
面上的应力；
(2)确定主应力的大小；
(3)选择适当的强度理论进行强度计算。
4.一种常见的二向应力状态下的强度计算式
2
2
1 22 ?
??? ??
?
??
?
??? 0
2 ?? 2
2
3 22 ?
??? ??
?
??
?
???
按第三、第四强度理论计算时的相当应力为
22313 4 ????? ????xd ? ? ? ? ? ? 222132322214 321 ????????? ????????xd
按第三强度理论计算时的强度条件为 ? ???? ?? 22 4
按第四强度理论计算时的强度条件为 ? ???? ?? 22 3
τ
σ
组合变形
齿轮传动轴产生扭转与弯曲的组合变形；悬臂吊车在起吊重物时 AC段
将产生压缩与弯曲。
求解组合变形问题的基本方法是叠加法
强度计算：应力叠加 —— 确定危险点 —— 求相当应力
P
m
P
m m
A B
C
D
T
R
A
B
C
x
yR
xT
yR
1.弯拉 (压 )组合
2.弯扭组合（圆轴）
zW
M
A
N m a x
m a x ???
W
M
A
P
W
M
A
P
B
A
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zW
M?
max?
zp W
T
W
T
2m a x ???
2222
3
14 TM
W zxd ???? ???
2222
4 75.0
13 TM
W zxd ???? ???
例题,图示的压力机床身，工作时受
到力 P=1600kN的作用，偏心矩 e=535mm,
材料为铸铁，许用应力分别为 [σI]=28MPa，
[σy]=801MPa,n-n截面的面积为
A=181x103mm2,IZ=13.7x109mm4，尺
寸 a=550mm,b=250mm。试校核床身立
柱的强度。
b a
y
z
P
nn
P
e
例题, 转轴 AB由电动机带动。轴长 l=lm，在轴 AB的中点装有带轮
(轮的重量不计 )，轮的直径 D=lm，皮带紧边和松边的张力分别为 P1=4kN，
P2=2kN，轴材料的许用应力为 [σ]=140MPa。用第三强度理论设计轴的
直径。
A
D
P 2
P 1
B
例题,转轴由电动机通过带轮带动，轴传递的功率 P=7.5kW，转速
n=100r／ min，轴的直径 d=60mm。轴材料的许用应力 [σ]=85MPa，
两带轮的直径均为 D=60mm,皮带的拉力为 P1+P2=5.4kN，且 P1>P2。
按第四强度理论校核轴的强度。
2P
P 1
A
C D
B
250 800 500
P 21P
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教学要求
了解强度理论；
熟悉二向应力状态分析；
掌握拉弯、弯扭组合变形。
重点：应力状态分析，拉弯、弯扭组合变形
难点：弯扭组合变形
教学的重点与难点
§ 16-1 应力状态分析
§ 16-2 强度理论
§ 16-3 组合变形时的强度计算
应力状态分析
某点处的应力状态：指通过该点的各个不同方位截面上应力的集合。
单元体：围绕所研究的点截取一个微小正六面体。
原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体。
一、应力状态的概念
对于杆件，通常用一对横截面
和两对互相垂直的纵截面截取原始
单元体，围绕其上任一点 A，截取
的原始单元体，该单元体各面上的
应力是已知的。
对于至少有一对平行平面上无
应力的单元体，可用平面图形表示。
A
(a)
σ σ σσ
σσ
P P
AA
(b) (c)
例题,在同时受拉伸和扭转的杆件上，点 A为杆件外表面上的一点，
点 B为杆轴线上的一点，如右图所示，试确定 A,B两点的应力状态。
解：围绕 A点用一对横截
面及与之垂直的纵截面截取
该点的原始单元体。
单元体左右侧面上产生
正应力，其值为 σ=P／ A。在
力偶 T的作用下单元体左右侧
面上的剪应力为 τ=T／ Wρ，
上下面上的剪应力可由剪应
力互等定理确定，即 τx=－ τy，
前后面上均无应力，将相应
的应力分别画在单元体的各
面上。
围绕 B点截取原始单元体。在力 P作用下单元体左右侧面上产生正应力，
其值为 σ=P／ A，由于圆轴扭转时，横截面上圆心处的剪应力为零，故上下
和左右面上的剪应力均等于零，面前后面上均无应力。
A
d
T
xσ
xτ
yτ
σ x
P P
BA
(a)
(c) (b)
T
B
·
·
主平面：单元体上剪应力为零的面。
主应力：主平面上的正应力。
主单元体：各个面上均无剪应力的单元体。
通过受力构件内任一点都可以找到三个互相垂直的主平面，因而每
一点都对应着三个主应力。一点处的三个主应力分别用 σ1,σ2,σ3来表
示，并按应力代数值的大小顺序排列，即 σ1≥σ 2≥σ 3。
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零的应力状态。如轴向拉伸
（或压缩）时。
二向应力状态 (或平面应力状态 )：若三个主应力中有两个不等于零时的应
力状态。
三向应力状态 (或空间应力状态 )：当三个主应力都不为零时的应力状态。
σ 1
(c) (b)(a)
1σ σ 1 σ 1
2σ
σ 2
1σ
1σ
σ 2
2σ
3σ
σ 3
二、平面应力状态的应力分析
1、任意斜截面上的应力
2、主平面和主
应力主平面上
剪应力为零主
平面的方位角
为 α0
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通过受力构件内任意一点处的最大正应力 σmax和最大剪应力
τmax，可以由该点的最大主应力 σ1和最小主应力 σ3来确定。
三、三向应力状态下的最大应力
最大剪应力 τmax所在平面与 σ2平行，且与 σ1和 σ3所在的主平
面各成 45° 角。
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2
31
m a x
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上述结论同样适用于单向和二向应力状态。
对于各向同性材料，在应力不超过其比例极限时，可用叠加法来求
其主应变。
三向应力状态下主单元体沿三个主应力 σ1,σ2,σ3方向的线应变分别
用 ε1,ε2,ε3表示，这种沿主应力方向的线应变称为主应变。
四、广义虎克定律
σ 3
(d)
3σ
2σ
σ 1
σ 2
σ 1
(a) (b) (c)
= + +
方向线应变3σσ 2 方向线应变σ 1 方向线应变
单独作用1σ
σ 2 单独作用
σ 3 单独作用
ε ′＝—1
σ 1
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1σ
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E
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1ε ″＝－ μ —
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σ 1
E
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广义虎克定律
当单元体的各面上既有正应力，又有剪应力时，对于各向同性材料，
在弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关。
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? ?? ?zyxx E ????? ??? 1
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注意,按此式求出的应变 εx,εy,εz不是主应变。
强度理论
关于材料破坏规律的假说。
一、强度理论概述
二、常用强度理论简介
强度理论分为两类：一类是解释材料脆性断裂破坏的强度理论；另一
类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论。
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起材料发生脆性断裂破坏的主要因素。即无论材料处
于何种应力状态，只要危险点处的最大拉应力 σ1达到材料在单向应力状态
下的极限应力 σlim，材料就会发生脆性断裂破坏。
根据这一理论，材料发生脆性断裂破坏的条件是 σ1=σlim=σb
将 σb除以安全系数后，可得许用应力 [σ]，于是按第一强度理论建立的
强度条件是 σ1≤ [σ] 。
2、最大伸长线应变理论 (第二强度理论 )
最大伸长线应变（最大拉应变）是引起材料发生脆性断裂破坏的主要
因素。即无论材料处于何种应力状态，只要危险点处的最大伸长线应变 ε1
达到材料在单向应力状态下的极限拉应变 εlim，材料就会发生脆性断裂破坏。
根据这一理论，材料发生脆性断裂破坏的条件是 ε1= εlim
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用主应力表示的材料发生脆性断裂破坏的条件为
引入安全系数后，可得按第二强度理论建立的强度条件为
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3、最大剪应力理论（第三强度理论）
最大剪应力是引起材料发生塑性屈服破坏的主要因素。
屈服条件
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2
31
m a x
??? ??
单向应力状态下得的极限剪应力
222
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用主应力表示的材料发生塑性屈服失效的条件
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引入安全系数后，可得第三强度理论强度条件
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4、形状改变比能理论（第四强度理论）
? ? ? ? ? ?? ?21323222161 ??????? ??????? Eu f
屈服失效条件 lim)( ff uu ?
第四强度理论强度条件为
? ? ? ? ? ? ? ????????? ??????? 2132322214 21d
单向应力状态下的极限形状改变比能,? ?Eu sf 31)( 2lim ????
? ? ? ? ? ? s??????? ?????? 21323222121
? ? ? ? ? ?? ? 2213232221 3161 SEE ????????? ????????
三、强度理论的应用
2.强度理论的适用范围
1.相当应力 11 ?? ?xd ? ?3212 ????? ???xd
313 ??? ??xd ? ? ? ? ? ? 2132322214 21 ??????? ??????xd
脆性材料,如果 σ为正或 0，用第一强度理论；
如果 σ为正或负，用第二强度理论。
塑性材料, 223 4??? ??xd 224 3??? ??xd
(2)应力状态影响
三向等压：脆 → 塑； 三向等拉：塑 → 脆
一、二强度理论适用脆性材料 ?
?
???
?
?
ct
ct
m i nm a x
m i nm a x
??
??
二、
一、(1)一般情形
三、四强度理论适用于塑性材料。
3.复杂应力状态下进行强度计算的一般步骤
(1)在内力分析的基础上，从构件的危险点处取出原始单元体，算出其各
面上的应力；
(2)确定主应力的大小；
(3)选择适当的强度理论进行强度计算。
4.一种常见的二向应力状态下的强度计算式
2
2
1 22 ?
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2 ?? 2
2
3 22 ?
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按第三、第四强度理论计算时的相当应力为
22313 4 ????? ????xd ? ? ? ? ? ? 222132322214 321 ????????? ????????xd
按第三强度理论计算时的强度条件为 ? ???? ?? 22 4
按第四强度理论计算时的强度条件为 ? ???? ?? 22 3
τ
σ
组合变形
齿轮传动轴产生扭转与弯曲的组合变形；悬臂吊车在起吊重物时 AC段
将产生压缩与弯曲。
求解组合变形问题的基本方法是叠加法
强度计算：应力叠加 —— 确定危险点 —— 求相当应力
P
m
P
m m
A B
C
D
T
R
A
B
C
x
yR
xT
yR
1.弯拉 (压 )组合
2.弯扭组合（圆轴）
zW
M
A
N m a x
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W
M
A
P
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M
A
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2222
3
14 TM
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2222
4 75.0
13 TM
W zxd ???? ???
例题,图示的压力机床身，工作时受
到力 P=1600kN的作用，偏心矩 e=535mm,
材料为铸铁，许用应力分别为 [σI]=28MPa，
[σy]=801MPa,n-n截面的面积为
A=181x103mm2,IZ=13.7x109mm4，尺
寸 a=550mm,b=250mm。试校核床身立
柱的强度。
b a
y
z
P
nn
P
e
例题, 转轴 AB由电动机带动。轴长 l=lm，在轴 AB的中点装有带轮
(轮的重量不计 )，轮的直径 D=lm，皮带紧边和松边的张力分别为 P1=4kN，
P2=2kN，轴材料的许用应力为 [σ]=140MPa。用第三强度理论设计轴的
直径。
A
D
P 2
P 1
B
例题,转轴由电动机通过带轮带动，轴传递的功率 P=7.5kW，转速
n=100r／ min，轴的直径 d=60mm。轴材料的许用应力 [σ]=85MPa，
两带轮的直径均为 D=60mm,皮带的拉力为 P1+P2=5.4kN，且 P1>P2。
按第四强度理论校核轴的强度。
2P
P 1
A
C D
B
250 800 500
P 21P
