核衰变的统计规律 在一定时间内放射性原子核的衰变数、带电粒子在介质中损耗能量所产生的离子对数，都是随机的，即有统计涨落。在任何一次核衰变测量中，即使所有的测量条件都是稳定的，如源的放射性活度、源的位置、探测器的工作电压等都保持不变，多次记录探测器在相同时间内所测到的粒子数目就会发现，每次测到的计数并不完全相同，而是围绕某个平均数值上下涨落。这种现象称为放射性计数的统计涨落。它是微观粒子运动过程中的一种规律性现象，是放射性原子核衰变的随机性引起的。根据数理统计理论可推导出其统计分布规律。 一. 实验目的 验证核衰变的统计规律。 掌握放射性测量结果的误差表示方法。 了解测量时间和本底计数对测量准确度的影响。 了解空气中放射性微尘的成分及来源。 二 实验原理 1. 核衰变的统计规律 用一套计数系统对一个长寿命的放射源在相同时间内进行多次测量，会发现每次计数大多不相等，只是围绕某一数值上下涨落，这种情况并非仪器所造成，也不是测量者的测量方法不当所致，而是核衰变的统计性质造成的。 放射性原子核各自独立地按其本身的性质发生衰变，各个核之间互不影响。根据衰变规律，在单位时间内发生衰变的核数由下式确定：  这里M是t时刻存在的核数，而式中λ是衰变常数，实际上是单个原子核在单位时间内衰变的几率，对于某种同位素是一个确定的常数，例如对于Ra（镭）而言，λ=，而dM/dt可由测量ΔM/Δt而得到。对于半衰期很长的元素，在给定时刻，M是确定的，故单位时间内发生衰变的核数ΔM/Δt 也应是确定的，然而，在实际测量中，每次测量得到的ΔM/Δt 一般是不同的，即并不是一个确定的数，而是围绕λM上下涨落。对于长寿命的放射性同位素来说，相同时间内衰变的核数N，符合泊松公式： P(N)= 这里P(N)是衰变数N出现的几率，Y是N的平均值。 这一公式可以用数学方法推导出来，假定有M个核，这里M很大如以上，经多次测量得到一定时间内平均衰变核数为Y，这元素半衰期很长。在测量时间内M几乎不变，故Y(( M，则一定时间内平均每个核衰变的几率就是Y/M，而不衰变的几率是1-Y/M，现考虑某次测量时有N核衰变，则出现N的几率可由概率乘法原理得到： P(N) = 式中是M个核中任取N个的组合数。  由于N((M，故可用M来代替、（）），于是上式变为：   所以 P(N) = 因中，M((N 所以  令u =  ，则上式变为  = =  所以 P(N) =  这就是泊松公式。 若将衰变数N乘以探测系统的探测效率η（常数），就得到一定时间内测得的粒子计数。我们这里也用N来代表。显然，测得的粒子数N 同衰变核数N遵从相同的统计规律——泊松分布。 图1 泊松分布 如果对放射源进行一定时间的多次测量，比如500次统计出每个计数出现的次数A(N)，从而得到每个不同的N出现的几率P(N) = A(N)/500，并将它画在坐标纸上，可得出其曲线与理论曲线基本符合，即放射性计数和核衰变遵从同一规律。图1为泊松分布曲线。由图可见曲线是不对称的。曲线最高（几率最大）处所对应的计数，即最可几的计数，和平均计数值Y不重合。平均计数Y越大，两者相对距离越小，曲线越接近对称，当Y较大时，此分布曲线接近于高斯分布曲线。 高斯公式即：P（N）= 式中σ是多次测量的均方误差，即：   = 高斯分布公式也可由数学推导，当N很大时用斯特林近似公式 N！= 代入泊松公式即可导出。 高斯分布曲线是对称于N=Y的一条曲线，其形状由决定，当放射性测量中计数较大时，一般都符合高斯分布。 2．核辐射计数的统计误差 核辐射计数和核衰变遵从同一个统计规律，因而严格来说，要真正准确的测出结果，就必须测量许多次（几百次），最后得出平均值Y，以此作为真值，并算出误差。一般地，往往用均方误差来表示统计涨落的大小，那么最后结果就是Y±σ。这一测量结果表示什么意思呢？ 这里σ同一般的误差的含义有所不同，它仅仅表示计数N的涨落范围。对泊松分布函数或者高斯分布函数自Y-σ到Y+σ积分，可以得出积分值等于0.683，即图2中阴影部分的面积。所以，将测量结果写为Y ±σ的意义就是：在进行多次测量时，其测量结果落在Y±σ范围内的测量次数占总次数的68.3%；对某一次测量，则结果落在Y±σ范围内的几率是0.683。这也就是说：平均值Y（我们把它作为真值）在任意一次测量结果N ±σ之间的几率是0.683，因为N 有0.683的几率落在阴影中。 图2 标准误差含义 若把误差表示为Y ±3σ，那么这就表示，任一次测量结果落在Y ±3σ之间的几率是99.7%，接近100%，也可以说Y在任一次结果N±3σ之间的几率接近100%，这就将涨落范围以及真值Y所在范围完全确定了。 比如若Y =100，那么N在90~110之间的几率差不多有68%，而在70~130之间的几率几乎是1，超出这个范围的可能几乎没有。 均方误差又称标准误差，对于放射性计数来说，又称为统计误差，具有特殊的性质，下面加以讨论。 = = = = =  这里P(N)即N的几率函数，在实际测量中P(N)=A(N)/M，这里A(N)是重复测量M次当中N出现的次数。因此得出：  若P(N)代之以泊松公式，则得出：  = =Y（1+2 =Y（（1+Y+（Y+2） =Y（ =Y（ =Y+ 代入上式  即 σ= 这是一个很重要的结论，由统计涨落所造成的统计误差，如果用均方误差σ表示，它正好等于平均值的平方根，于是测量结果就可表示为Y ±σ，它的含义是任一次测量的测量结果落在Y±σ之间的几率是0.683，也就是说，平均值Y在任一次测量值N±σ之间的几率是0.683。 以上的讨论只是理论的探讨，在实际上行不通，因为实际测量中不能测量那么多次，Y不能得到。在实际测量中，当N较大时往往只测一次，测量结果就表示为，这又是什么意思呢？ 在实际测量中N往往较大，若不够大可延长测量时间使N较大。所得结果N和多次测量的平均值相对差别往往不太大，那么σ和之间的相对差别就更小了。于是我们把当作σ，一次测量值表示为，含义就相当于N±σ，这就是说：多次测量平均值Y（我们把它当作真值）在之间的几率是0.683，在之间的几率差不多是100%，这就将Y所在范围画定了。 核辐射测量的统计误差和其它量的测量误差有本质的区别。我们进行其它量的测量时，即使仪器是正常的，方法是正确的，每次测量结果也总会产生偶然误差。对这种误差的处理方法和上述的统计误差的处理方法是类似的，然而在测量其它量比如长度时，被测对象客观存在一个真值L，误差是由测量中的偶然因素引起的，而统计误差的问题并不存在一个真值，我们仅仅是将Y当作真值而已，它每次测量值之间的差别不是由测量造成，而是核衰变的统计规律所决定的。两种误差的另一个区别是：长度测量误差σ大小由测量水平所决定，它可以随测量条件和技术的提高而改善，但统计误差本身却是完全确定的，它取决于测量结果N的大小，即它并不因测量水平的提高而改善。如果将统计误差用相对误差表示，可写成： N±= = N 可以看出，N越大，相对误差就越小，比如N=100，相对误差为10%，N=10000，相对误差为1/=1/100，所以N越大测量的准确性越好，因为准确性是由相对误差表示的。 3．本底对测量结果的影响 在测量中，即使不放放射源，计数器也会有一定计数，这是宇宙射线和周围环境的放射性元素引起的。这种计数叫做本底，本底计数也服从统计规律，其涨落也造成测量中的统计误差。 若在时间t内测得本底计数，加上放射源后，在相同时间内得计数，根据误差理论，完全由放射源造成的计数N的标准误差等于两次测量的标准误差之平方和的平方根（均方根）。 本底计数= （源+本底）计数=  源计数N= 其相对标准误差E= 由此可见，本底计数越大，测得的源的计数N的准确度越差。因此，在测量中总是尽量减少本底，这可以将探测器装置于屏蔽室当中。 4．空气中放射性微尘的检测 在正常情况下，空气中始终存在着放射性气体和微尘，它是人类自然环境的一部分。放射性气体主要是氡气（和），而放射性微尘则是它们的衰变产物附着在空气中的微尘而行成。氡气是由广泛存在于地表及建筑材料中的铀和钍产生的。同位素和，每一种都有一个长衰变链。 铀系：(气体) （稳定） 钍系:  (气体) （稳定） 上述衰变链的第二、四两行即氡和其衰变子体，其中铀系的半衰期为3.8天，钍系中的半衰期为54.5秒。又称为钍射气。Rn是惰性气体，可从土壤转移至空气中。虽然地壳中钍含量高于铀含量，但因半衰期（3.8天）大大长于（54.5秒），故能更多地向大气转移。在空气中钍射气及其子体的总放射性约为氡（）及其子体的五分之一。空气中存在的以上这些放射性物质的浓度随地区而不同。在同一地区则与气象情况，昼夜变化，季节变化，地表状态等条件有关。 使用空气抽气泵抽取空气，用特殊滤纸过滤，便将放射微尘截留在滤纸上。取样器上流量计指示出空气流量升/分，流量乘以抽气时间便得出过滤的空气体积。滤纸上存在的放射性物质有许多种，它们放出的辐射粒子有α、β，还有γ射线，可以用不同仪器测量和分析，以便得出空气中的浓度和同位素种类，并能发现核爆炸及核电站事故所造成的空气污染。我们的实验装置（闪烁探测器）只能测出α、β粒子的总计数。 单一放射性物质衰变按下列指数衰变：  λ = ln2/T 式中N为t时刻的计数，为时刻的计数，λ是衰变常数，T是半衰期。 然而我们的实验中测出的计数是滤纸上多种同位素粒子计数的总和，故不呈现简单的指数关系曲线。我们将总和计数减少一半所用的时间称为这个空气微尘样的混合半衰期。 三. 实验装置 本实验所用仪器有FJ-367型通用闪烁探头（J306βγ型盖革－米勒奇数器），FH-454（FH-408）自动定标器，放射源等，下面介绍前置放大器和定标器。 1．前置放大器 一般探测器都可看作是内阻很高的电流信号源，信号较弱不能经受传输过程中的衰减和干扰。因此探测器往往和前置放大器紧密结合在一起，以便在传输之前就被放大，前置放大器一般是由射极输出器和一个较简单的放大器相结合，或者仅仅是一个射极输出器，其作用是将探测元件输出的电压脉冲和电流放大，可理解为输出信号的“功率”提高了。FJ-367探头的前置放大器有两种放大倍数，当测量β放射源时，用10；测α放射源时，用1。 2．定标器 定标器又名计数器，是用来记录探测器测到的粒子数目的，定标器的形式是各种各样的，内部电路有简有繁，目前常用的自动定标器，由输入电路，计数系统，定时系统，控制系统组成，此外，还有仪器本身用的低压电源和探测器用的直流高压电源。 输入电路将来自探测器并经放大器放大的脉冲信号通过跟随触发器整形改造成适于计数系统计数的信号，并根据需要将信号中不必要的杂乱小脉冲甄别掉，然后进入计数系统记录脉冲数目，并数字显示，控制器控制仪器工作的起止，以及工作方式（手动计数，自动计数，半自动计数），定时系统是在系统自动或半自动计数时用来控制计数时间的，以便在计数中控制仪器实现定时计数。FH-454型定标器中主放大器电位器每转一圈放大倍数提高2倍，阈值电位器每转一圈阈值提高0.5伏。 四. 实验内容和操作步骤 1．打开FH-454（FH-408）自动定标器电源，数码管亮，高压细调左旋到底，然后打开高压开关，加高压至700（400）伏，预热三分钟。 2．检查数码管进位是否正常，仪器工作开关置于“自检”位置，选用“自动”状态，按一下“计数”之后，当用不同时间进行计数时，仪器应指示下列数值： 1秒：10000±1 3秒：30000±1 10秒：100000±1 仪器应能自动停止，复位，重新计数。 统计误差和测量时间及本底的关系 准备好仪器（FJ-367型通用闪烁探头以及FH-454自动定标器），将工作开关置于“工作”位置，测本底。 放大倍数调至2，阈值调至0.5伏，测量本底5分钟和1分钟各1次。 放入放射源，测出5分钟和1分钟的总计数Nc，计算下表所示各项，时间单位用分。 测量时间t 1分 5分   总计数      总计数的相对误差 1/     本底计数=     源计数N=     N的相对误差/     4．验证泊松分布及统计误差的含义 （1）使FH-408定标器工作于自动状态，放入较弱的放射源，调节阈值和放大倍数，定时1秒，使每秒钟计数N在20以内，重复测量五百次，用在N=1，2，3……下面画“正”字的方法记录各个N值出现的次数A（N）。 算出总测量次数M和算术平均Y，并按公式σ=得出σ。 由实验数据计算出N在Y±σ和Y±3σ范围当中的几率。 计算N的几率值 5． 测量空气中放射性微尘的混合半衰期T （1）测量装置（FJ-367通用闪烁探头）调至正常，放入滤纸，测本底5分钟。 （2）将滤纸放入空气取样器中，启动抽气泵抽气10~20分钟。流量计指示为120升/分。 （3）抽气停止后，迅速取出滤纸开始计数测量，每5分钟读数一次，记录每次测量的 时间和计数。 （4）将第一次计数减去本底，即为滤纸的净计数，其减半再加上本底之和，即为所测 半衰期计数。将所得数据列成表格，并计算出混合半衰期T。 （5）测量完毕，先调高压至最低再关高压开关，最后后关自动定标器总电源。 五 思考题 1．闪烁探测器的主要由哪及部分构成？各部分的功能是什么？ 2．简述一个带电粒子形成脉冲信号的过程。 3．相同时间间隔内核衰变数或粒子计数符合怎样的统计规律？泊松分布和高斯分布各有何特点？ 4．标准误差的定义式是什么？ Y±σ的物理意义是什么？统计误差σ具有什么特点？ 5．一次测量结果N的物理意义是什么？N的相对误差如何计算？ 6．假定在相同条件下重复测量的两次结果为9983和7689，这两个结果是否合理？ 7．本底计数对测量结果的误差有何影响？ 8．如何减小本底计数对测量结果的误差影响？ 9．放射性计数的统计误差和其他宏观物理量的测量误差有何本质不同？ 10．空气中放射性微尘中主要放射性核素是什么？来源是什么？