固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
实际晶体中的原子在平衡位置为原点作振动，晶格振动的研究，最早是从晶体的热学性质开始的。
热容量是热运动在宏观性质上最直接的表现。
杜隆－珀替经验规律：一摩尔固体有N个原子，有3N个振动自由度，按能量均分定律，每个自由
度平均热能为kT
摩尔热容量： —— 将固体的热容量和原子的振动联系起来。 33Nk R=
—— 实验表明在较低的温度下，热容量随着温度的降低而不断下降。
—— 晶格振动是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
晶格振动对晶体的热学性质、电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变有密切关系。
晶格振动在晶体中形成了各种模式的波，简谐近似下，系统的哈密顿量为相互独立的简谐振动哈密
顿量之和，这些模式是相互独立的，模式所取的能量值是分立的，可以用一系列独立的简谐振子来
描述这些独立而又分立的振动模式。
这些谐振子的能量量子 —— 声子。晶格振动的总体就可看作是声子的系综。
§3.1 简谐近似和简正坐标
简谐近似：只考虑最近邻原子之间的相互作用。
晶体由N个质量为m的原子组成。考虑第n个原子。
—— 第n原子的平衡位矢：
n
R
K
—— 第n原子偏离平衡位置的位移矢量：)(t
n
μ
K
—— 可以将其作为原子位移矢量宗量
—— 第n原子的位置矢量：)(' tRR
nnn
μ
K
K K
+=
()
n
tμ
K
在三个方向上的分量：(1,2,3
i
i )μ =
—— 对于N个原子位移矢量共有3N个分量：)3,,43,2,1( Ni
i
"=μ
N个原子体系的势能在平衡位置展开：
∑∑
==
+
??
?
+
?
?
+=
N
ji
ji
ji
N
i
i
i
itemsHigh
VV
VV
3
1,
0
23
1
00
)(
2
1
)( μμ
μμ
μ
μ
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—— 取，在平衡位置：0
0
=V 0)(
0
=
?
?
i
V
μ
，不计高阶项
得到：
∑
=
??
?
=
N
ji
ji
ji
V
V
3
1,
0
2
)(
2
1
μμ
μμ
—— 简谐近似条件下的势能函数
N个原子体系的动能函数：
∑
=
=
N
i
ii
mT
3
1
2
2
1
μ
系统的哈密顿量：
∑∑
==
??
?
+=+=
N
ji
ji
ji
N
i
ii
V
mVTH
3
1,
0
23
1
2
)(
2
1
2
1
μμ
μμ
μ
—— 直接应用上式去求解系统的问题，由于存在坐标的交叉项而变得非常困难。
引入正则（简正）坐标：
N
QQQQ
2321
,,, " —— 原子的坐标和正则坐标通过正交变换联系起来。
动能为正定，据线性代数理论，假设存在线性变换：
∑
=
=
N
i
jijii
Qam
3
1
μ
系统的哈密顿量：
∑∑
==
+=
N
i
ii
N
i
i
QQH
3
1
22
3
1
2
2
1
2
1
ω
拉格朗日函数：
∑∑
==
?=?=
N
i
ii
N
i
i
QQVTL
3
1
22
3
1
2
2
1
2
1
ω
正则动量：
i
i
i
Q
Q
L
p
=
?
?
=
系统的哈密顿量：
33
2
11
11
22
NN
i
ii
Hpω
==
=+
∑∑
2
i
Q —— 消除了交叉项
由正则方程：
i
i
i
i
Q
H
p
p
H
Q
?
?
?=
?
?
=
得到： —— 3N个独立无关的方程。
2
0, 1, 2, 3, 3
iii
QQ iω+==
" N
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任意简正坐标方程的解：sin( )
ii
QA tω δ=+—— 振动圆频率
i
ω
简正振动：表示整个晶体所有原子都参与的振动，且振动频率相同。
振动模：由简正坐标所代表的所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。
—— 如果只考察某一个振动模，原子的位移宗量坐标：)sin( δωμ +== tA
m
a
Q
m
a
j
i
ij
j
i
ij
i
—— 如果晶体中存在多个振动模，原子的位移宗量坐标：
3
1
sin( )
N
ij
ij
i
i
a
At
m
μ ωδ
=
= +
∑
系统的能量本征值计算
正则动量算符：
i
i
Q
ip
?
?
?= =?
系统薛定谔方程：),,,(),,,()
2
1
2
1
(
33213321
3
1
22
3
1
2
NN
N
i
ii
N
i
i
QQQQEQQQQQp " " ψψω =+
∑∑
==
),,,(),,,()](
2
1
[
33213321
3
1
22
3
1
2
2
2
NN
N
i
ii
N
i i
QQQQEQQQQQ
Q
" " = ψψω =+
?
?
?
∑∑
==
任意一个简正坐标：)()(][
2
1
22
2
2
2
iiiii
i
QQQ
Q
?ε?ω =+
?
?
? = —— 谐振子方程
能量本征值：
iii
n ωε =)
2
1
( +=
本征态函数：)()
2
exp()(
2
ξ
ξω
?
ni
i
ini
HQ ?=
=
，
i
i
Q
=
ω
ξ =，)(ξ
ni
H —— 厄密多项式
系统能量本征值：
33
11
1
()
2
NN
ii
ii
En
i
ε ω
==
== +
∑∑
=
系统本征态函数：
3
123 3
1
(, , , ) ()
N
Nni
i
QQQ Q Q
i
ψ ?
=
=
∏
"
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