固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
§3.2 一维单原子链
绝热近似条件：电子对离子运动的影响，可以通过引入一个均匀分布的负电荷所产生的常量势场
近似处理。这样就将电子的运动和离子的运动分开。
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波。
格波的研究：先计算原子之间的相互作用力，再根据牛顿第二定律列出原子的微分运动方程，最
后求解方程。
一维原子链，每个原子都具有相同的质量m，平衡时原子间距 —— 晶格常数a。
如图XCH003_001_01所示。
原子之间的作用力
由于热运动各原子离开了它的平衡位置，
n
μ代表第n
个原子离开平衡位置的位移，第n个原子和第n＋1个
原子间的相对位移：
nn
μμ ?
+1
。
设在平衡位置时，两个原子间的互作用势能是 )(av
—— 产生相对位移
nn
μμδ ?=
+1
后相互作用势能变成)( δ+av
将)( δ+av在平衡位置附近展开，得到：itemsHigh
dr
vd
dr
dv
avav
aa
+++=+
2
2
2
)(
2
1
)()()( δδδ
—— 第一项为常数 ()va
—— 第二项()
a
dv
dr
为零_____在平衡时势能取极小值
—— 当a很小，即振动很微弱时，势能展式中可只保留到二阶项。
相邻原子间的作用力：βδ
δ
?≈?=
d
dv
f —— 简谐近似
a
dr
vd
)(
2
2
=β —— 恢复力常数
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原子的运动方程
如果只考虑相邻原子的互作用，则第n个原子所受到的总作用力：
)2()()(
1111 nnnnnnn
μμμβμμβμμβ ?+=???
?+?+
第n个原子的运动方程：),3,2,1(),2(
11
2
2
Nn
dt
d
m
nnn
n
"=?+=
?+
μμμβ
μ
对于每一个原子，都有一个类似上式的运动方程，因此方程的数目和原子数相同。
原子运动方程的解和振动频率
设方程组的解是一振幅为A、角频率为ω的简谐振动函数：
)( naqti
n
Ae
?
=
ω
μ
—— 表示第n个原子振动的位相因子 qna
将、和代回到运动方程：
])1([
1
aqnti
n
Ae
+?
+
=
ω
μ
])1([
1
aqnti
n
Ae
??
?
=
ω
μ
)( naqti
n
Ae
?
=
ω
μ
)2(
11
2
2
nnn
n
dt
d
m μμμβ
μ
?+=
?+
消去共同因子，得到： )2(
2
?+=?
?iaqiaq
eem βω
利用欧拉公式后得到：]cos1[
2
2
aq
m
?=
β
ω，)
2
(sin
4
22
aq
m
β
ω =
格波的波速
q
v
p
ω
=一般是波长λ的函数。
q~ω关系代表一维简单晶格中格波的色散关系 —— 振动频谱。
格波的意义
)( naqti
n
Ae
?
=
ω
μ
连续介质波：
)(
)2(
qxti
x
ti
AeAe
?
?
=
ω
λ
πω
波数：
λ
π2
=q
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格波：
)( naqti
n
Ae
?
=
ω
μ
—— 晶体中格波和连续介质波具有完全类似的形式。一个格波表示的是所有原子同时做频率为ω的
振动。在简谐近似下，格波是简谐平面波，如图XCH003_001_02所示。
—— 图中的向上的箭头代表原子沿X轴向右振动，向下的箭头代表原子沿X轴向左振动。箭头的
长度代表原子离开平衡位置位移的大小。
格波的波长：
q
π
λ
2
=
格波的波矢：nq
K K
λ
π2
=
—— n
K
代表沿格波传播方向的单位矢量
格波的相速度：
q
v
p
ω
=
不同原子间位相差： aqnnnaqaqn )'(' ?=?
相邻两个原子的位相因子差：aqnaqaqn =?+ )1(
格波波矢的取值和布里渊区
相邻原子位相差：aqaq +? π2时，所有原子的振动没有任何改变。
如图XCH003_002所示，格波1（红色标示）的波矢：
aa
q
24
2
1
ππ
==
相邻原子的位相差：
2
1
π
=aq
格波2（绿色标示）的波矢：
a
a
q
2
5
5
4
2
2
ππ
==
相邻原子的位相差：
2
2
2
π
π +=aq
—— 两种波矢下，格波描述的原子振动是完全相同。
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波矢的取值：ππ ≤<? aq，q
aa
π π
?<≤ —— 第一布里渊区。
—— 只要研究清楚第一布里渊区的晶格问题就可以，其它区域不能提供新的物理信息。
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
以上的讨论是将一维单原子晶格看作无
限长来处理的，这样所有原子的位置是
等价的，每个原子的振动形式都一样。
实际的晶体都为有限的，形成的链不是
无穷长，这样链两头的原子就不能用中
间原子的运动方程来描述。玻恩－卡门
（Born-Karman）提出采用周期性条件可
以解决上述困难。如图XCH003_003_01所示。
由N个原子头尾相接形成一个环链，它保持了所有原子等价的特点，而且N很大，其中的原子运动
近似为直线运动。在处理问题时要考虑到环链的循环性。
如图XCH003_003_02所示，设第n个原子的位移
n
μ，那么再增加N个原子之后，第N+n个原子的
位移为
nN+
μ
则有：
nnN
μμ =
+
，即
][])1([ naqtiaqnti
AeAe
?+?
=
ωω
要求：，1=
?iNaq
e hNaq π2=
h
Na
q ×=
π2
，h为整数
波矢的取值范围：
a
q
a
ππ
≤<?
所以：
22
N
h
N
≤<?，
2
,1
2
,2
2
,0,3
2
,2
2
,1
2
NNNNNN
h ??+?+?+?= " "
h只能取N个整数值，波矢q也只能取N个不同的分立值。所以在第一布里渊区包含N个状态。
第一布里渊区状态数说明：每个波矢在第一布里渊区占的线度：
L
q
π2
=， NaL=
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第一布里渊区的线度：
a
q
π2
=
第一布里渊区状态数：N
L
a
N ==
/2
/2
'
π
π
色散关系)
2
(sin
4
22
aq
m
β
ω =
由于频率是波数的偶函数，)
2
sin(2
aq
m
β
ω =
色散关系曲线是周期性的，关于ωO轴对称的。
在空间的周期为：q
a
π2
频率的极小值：0
min
=ω，频率的极大值：
max
2
m
β
ω =
当
a
q
π
≤≤0，与其相应频率的变化范围：02
m
β
ω≤≤
—— 只有频率在02
m
β
ω≤≤之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减。因此可
以将一维单原子晶格看作成低通滤波器。
长波极限),0( aq >>→ λ情况
当，即波长很长时，0→q
2
)
2
sin(
qaqa
≈
—— q
m
a
β
ω =
色散关系如图XCH003_004_02所示。
在长波极限下一维单原子晶格格波的色散关系和连续介质中弹性波的色散关系qV
Elastic
=ω一致。
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相邻原子之间的作用力：βδ=f，)(
a
af
δ
β=
—— aK β=原子链的伸长模量
格波传播速度：
m
ac
β
=，
/
aK
c
ma
β
ρ
==
连续介质弹性波的相速度：
ρ
K
V
Elastic
=，ρ,K分别为连续介质的弹性模量和介质密度。
—— 可见两者相速度相同。因此在长波极限下，对于一维单原子晶格格波可以看作是弹性波，晶格
可以看成是连续介质。
短波极限()q
a
π
→情况
从)
2
sin(2
aq
m
β
ω =可以看出，此时ω有最大值，
2
1
max
)(2
m
β
ω =
—— 长波极限下，相邻两个原子之间振动的位相差：q(1) 0n a qna qa+ ?=→
——
2
q
π
λ =→∞：一个波长内包含许多原子，晶格可以看作是连续介质。如图XCH003_002_02
所示。
在短波极限下，当)(
a
q
π
=
格波的波长：a
q
2
2
==
π
λ —— 两个相邻原子的振动位相相反。如图XCH003_002_01所示。
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原子位移和简正坐标的关系
第q个格波引起第n个原子的位移：
)( naqti
qnq
q
eA
?
=
ω
μ
第n个原子总的位移：
∑∑
?
==
q
naqti
q
q
nqn
q
eA
)(ω
μμ
令：
ti
q
q
AeNmQ
ω
=，则：
∑
?
=
q
inaq
qn
eQ
Nm
1
μ，(1/ )
inaq
nq
q
mNQμ
?
= e
∑
比较(1/ )
inaq
nq
q
mNQμ
?
=
∑
e和
∑
=
=
N
j
jnjn
Qam
3
1
μ
得到：
inaq
nq
e
N
a
?
=
1
简正坐标
ti
q
q
AeNmQ
ω
=
线性变换
inaq
nq
e
N
a
?
=
1
—— 么正变换（为复数形式）。
动能和势能具有平方和的形式
原子位移为实数，要求 )()(* qQqQ ?=
inaq
e
N
?
1
为N项独立的模式，具有正交性，即：
1
(')
,'
0
1
N
ina q q
qq
n
e
N
δ
?
?
=
=
∑
'： qq= 1
1
1
0
)'(
=
∑
?
=
?
N
n
qqina
e
N
'，令 qq≠ sqq =? '
∑∑∑
?
=
?
=
?
=
?
?
?
===
1
0
1
0
1
0
)'(
1
1
)(
111
N
n
ias
iNas
nias
N
n
inas
N
n
qqina
e
e
e
N
e
N
e
N
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利用h
Na
q ×=
π2
和，得到：sqq =? '
0
1
1
1
1
2
2
=
?
?
=
?
?
?
Na
ih
Na
h
iNa
ias
iNas
e
e
e
e
π
π
动能的正则坐标表示：
∑
=
n
n
mT
2
2
1
μ
将
∑
?
=
q
inaq
qn
eQ
N
m
1
μ代入得到：
∑
=
q
q
QT
2
2
1
势能的正则坐标表示：
∑ ?
?=
n
nn
U
2
1
)(
2
1
μμβ
将
∑
?
=
q
inaq
qn
eQ
N
m
1
μ和
∑
??
?
=
'
')1(
'1
1
q
aqni
qn
eQ
N
mμ
1
(') ' (')
'
,' 0
1
{[ 1 ]}
2
N
ia q q iaq iaq ina q q
qq
qq n
UQQe eee
mN
β
?
++
=
=+?
∑∑
'qq=?：
1
(')
0
1
1
N
ina q q
n
e
N
?
+
=
=
∑
；：'qq≠?
1
(')
0
1
0
N
ina q q
n
e
N
?
+
=
=
∑
{2 }
2
iaq iaq
qq
q
UQQee
m
β
?
?
=?
∑
，})cos(1{
∑
?=
?
q
qq
aqQQ
m
U
β
将)}cos(1{
2
2
aq
m
q
?=
β
ω代入得到：
∑ ?
=
q
qqq
QQU
2
2
1
ω，
2
2
2
1
∑
=
q
qq
QU ω
哈密顿量：)(
2
1
2
1
2
1
2
2
22
2
2
qq
q
q
q
qq
q
q
QQQQUTH ωω +=+=+=
∑∑∑
—— 即
ti
q
q
AeNmQ
ω
=是系统复数形式的简正坐标。
实数形式的简正坐标：令)]()([
2
1
)( qibqaqQ +=，则：)]()([
2
1
)(* qibqaqQ ?=
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带入
∑
=
q
q
QT
2
2
1
和
2
2
2
1
∑
=
q
qq
QU ω，得到：
∑
∑
>
>
+=
+=
0
222
0
22
)]()([
2
1
)]()([
2
1
q
q
q
qbqaU
qbqaT
ω
哈密顿量：
22 222
00
11
[()()] [()(
q
qq
HTU aqbq aqbqω
>>
=+= + + +
∑∑
)]
能量本征值：
qnq
n ωε =)
2
1
( +=
本征态函数：
2
( ) exp( ) ( )
2
q
nq q nq
QH
ω
ξ
? ξ=?
=
，
q
q
Q
ω
ξ =
=
，()
nq
H ξ —— 厄密多项式
一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数
声子：晶格振动的能量量子；或格波的能量量子。
一个格波就是一种振动模，称为一种声子，能量为
q
ω =；当这种振动模处于
qq
n ω =)
2
1
( +时，说明
有个声子。声子是一种元激发，可以电子或光子发生作用，交换能量。
q
n
关于晶格振动的问题可以转化为声子系统问题的研究，由于每个振动模式在简谐近似条件下都是独
立的，因此声子系统是无相互作用的声子气组成的系统
—— 声子具有能量、动量，可以看作是准粒子
—— 格波在晶体中的可以理解为声子和原子之间的碰撞
—— 电子波在晶体中的散射可以看作是电子和声子之间的相互作用
—— 光在晶体中的散射可以看作是光子和声子之间的相互作用
REVISED TIME: 05-4-9 - 9 - CREATED BY XCH
