固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
§3.4 三维晶格的振动
三维复式格子：晶体由个原胞构成，一个原胞中有n个原子。
321
NNNN =
n个原子的质量分别是：
n
mmmm ",,,
321
第个原胞的位置：l
332211
)( alalallR
K K K
K
++=
原胞中各原子的位置：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
l
R
l
R
l
R
l
R
K
"
K K K
,
3
,
2
,
1
原胞中各原子偏离格点的位移：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
llll
μμμμ
K
"
K K K
,
3
,
2
,
1
第k个原子的运动方程： " +
?
?
?
?
?
?
?
?
?=
?
?
?
?
?
?
?
?
k
l
k
l
m
k αα
βμμ
3,2,1=α—— 原子在三个方向上的位移分量，一个原胞中共有3n个类似的方程。
—— 方程右边是原子位移的线性齐次函数
—— 方程解的形式：
][ q
k
l
Rti
k
eA
k
l
K
K
K ?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
ω
α
μ
将方程解代回3n个运动方程，得到关于的3n个线性
齐次方程：
;,,;,,;,,
222111 nznynxzyxzyx
AAAAAAAAA "
β
β
αβα
ω
'
'
2
',
k
k
kk
A
kk
q
CAm
?
?
?
?
?
?
?
?
=
∑
K
根据系数行列式为零条件，得到3n个)3,3,2,1( nj
j
"=ω
可以证明：0→q
K
，3个q
j
∝ω；将三个频率值代入
β
β
αβα
ω
'
'
2
',
k
k
kk
A
kk
q
CAm
?
?
?
?
?
?
?
?
=
∑
K
得到
n
AAAA
K
"
K K K
,,,
321
趋于一致。说明在长波极限下，三个频率对应的格波描述的是不同原胞之间
的相对运动 —— 称为3支声学波。
另有3n－3支长波极限的格波描述的是一个原胞中各原子间的相对运动，称为3n－3支光学波。
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结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3n－3支光学波。
三维格子中，波矢为矢量，可以表示为：
11 2 2 33
qxbxbxb=++
K K K
K
—— 是波矢空间的3个基矢
12
,,bbb
K K K
3
——
123
,,x xx为3个系数
采用波恩－卡曼边界条件：
( ) ( )
() ()
() ()
11 11 11
22 22 22
33 33 33
[][(
[][()
[][()
xx
yy
zz
ll
itR xb itNaR xb
kk
xkx kx
ll
itR xb itNaR xb
kk
yky ky
ll
itR xb itNaR xb
kk
zkz kz
l
Ae Ae
k
l
Ae Ae
k
l
Ae Ae
k
ωω
ωω
ωω
μ
μ
μ
?? ?+ ?
?? ?+ ?
?? ?+ ?
??
==
??
??
??
==
??
??
??
==
??
??
]
]
]
1111
2222
3333
2
2
2
Naxb
Naxb
Naxb
π
π
π
=
=
=
，
1
11
111 1
2
22
222 2
3
33
333 3
2
2
2
h
xx
Nab N
h
xx
Nab N
h
xx
Nab N
π
π
π
=?=
=?=
=?=
得到：
12 3
123
12 3
hhh
qbb
NNN
=++
K K
K
b
K
—— 为3个整数
123
,,hhh
波矢q空间一个点（一个状态）占据的空间体积：
K
123 123
123
()
*( )
bbb bbb
V
NNN N
?×
=? × =
K K K K K K
0
*
*
v
V
N
=， —— 倒格子原胞体积
012
*(vbbb=? ×
K K K
3
)
状态密度：
0
33
0 123
*()(2)(2
NNNvV
vbbb )π π
===
?×
K K K
波矢的取值 q
K
在原子振动波函数
( )
[]
l
itR q
k
k
l
Ae
k
ω
α
μ
??
??
=
??
??
K
K
K
中，波矢的作用体现在不同原胞之间的位相联系：
()iR l q
e
? ?
K
K
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K
波矢改变一个倒格矢：
11 2 2 33n
Gnbnbnb=++
K K K
()( ) ()
n
iR l G q iR l q
ee
??+ ??
=
K K K
K K
)(2)()()(
332211332211332211
nlnlnlbnbnbnalalalGlR
n
++=++?++=? π
K K K
K K K
K K
—— 和q
K
n
Gq
K
K
+产生的位相一样
—— 的取值限制在一个倒格子原胞中，即第一布里渊区：q
K
11
22
33
22
22
x
y
z
bb
q
bb
q
bb
q
?
?<≤
?
?
?
? <≤
?
?
?
?<≤
?
?
q
K
的总数：Nbbb
V
=×?? )(
)2(
321
3
K K K
π
—— 晶体原胞总数
12 3
123
12 3
hhh
qbb
NNN
=++
K K
K
b
K
——
1111
1
222
2
333
3
22
22
bhbb
N
bhbb
N
bhbb
N
?
?< ≤
?
?
?
?< ≤
?
?
?
?< ≤
?
?
2
3
ì
11
1
22
2
33
3
22
22
NN
h
NN
h
NN
h
?
?<≤
?
?
?
?<≤
?
?
?
?<≤
?
?
—— 有个取值 q
K
123
NNNN=
对应一个有3支声学波和3n－3支光学波，不同的格波总数：q
K
nNnN 3)333( =?+?
∑∑
=
+=
N
q
n
i
ii
qqnE
3
1
)()
2
1
)(( ω = ,
∑
=
+=
nN
i
ii
qqnE
3
1
)(]
2
1
)([ ω =
—— 共有种不同的模式，即有个不同的3lN 3lN )(q
i
ω值。此外晶格振动能量的增减必须是)(q
i
ω =
整数倍
—— 这种晶格振动的能量子称为声子（Phonon）
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布里渊区
二维布里渊区，如图XCH003_009_01所示。
正方格子的布里渊区
j
正方格子的基矢： —— 倒格子原胞基矢：
1
2
aai
aa
=
=
K
K
K
K
1
2
2
2
bi
a
bj
a
π
π
=
=
K K
K K
第一布里渊区
倒格子空间离原点最近的四个倒格点：
221
,,, bbbb
K K K K
??
垂直平分线方程：
a
k
a
k
yx
ππ
±=±= —— 由此围成的区域为第一布里渊区，或简约布里渊区。
第一布里渊区大小：
2
)
2
(
a
π
—— 如图XCH003_009_02所示。
第二布里渊区：由4个倒格点
)(,),(,
21212121
bbbbbbbb
K K K K K K K K
???+?+的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成。
第二布里渊区大小：
2
)
2
(
a
π
第三布里渊区：由4个倒格点
2121
2,2,2,2 bbbb
K K K K
??的垂直平分线和第二布里渊区边界围成。
第三布里渊区大小：
2
)
2
(
a
π
，如图XCH003_009_02所示。
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其它布里渊区的形成可以用类似的方法得到，每个布里渊区的大小：
2
2
()
a
π
此外每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
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