固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050228
§3.10 晶格的状态方程和热膨胀
晶体的自由能函数：，根据),( VTF
T
V
F
p )(
?
?
?=可以得到晶格的状态方程。
， —— 配分函数，对所有晶格的能级相加。 ZTkF
B
ln?=
∑
?
=
TkE
Bi
eZ
/
能级包含原子处于格点平衡位置时的平衡晶格能量和各格波的振动能)(VU
∑
+
j
jj
n ω =)
2
1
(
∏∑∑
∞
=
++?
?
==
jn
TknU
TkE
j
Bjj
Bi
eeZ
0
/])
2
1
([
/
ω =
∏∑
∞
=
?
?
?
=
jn
Tkn
Tk
TkU
j
Bjj
Bj
B
eeeZ ][
0
/
)/(
2
1
/
ω
ω
=
=
∏
?
?
?
?
=
j
Tk
Tk
TkU
Bj
Bj
B
e
eeZ ]
1
1
[
/
)/(
2
1
/
ω
ω
=
=
代入得到 ZTkF
B
ln?=
∑
?
?++=
j
Tk
B
j
B
Bj
e
Tk
TkUF )]1ln(
2
1
[
/ω
ω
=
=
当晶体体积V改变时，格波的频率也要变化。
因此
T
V
F
p )(
?
?
?=，
∑
?
+??=
?
j
j
Tk
dV
d
e
dV
dU
p
Bj
ω
ω
)
1
2
1
(
/ =
=
=
格临爱森近似计算
∑
?
+??=
?
j
j
Tk
j
j
Vd
d
V
e
dV
dU
p
Bj
ln
ln
1
)
1
2
1
(
/
ωω
ω
ω =
=
=
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固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050228
假定
Vd
d
j
ln
lnω
γ ?=对所有的振动相同 —— 格临爱森常数
晶格的平均振动能：
∑
?
+=
?
j
Tk
j
j
Bj
e
E )
1
2
1
(
/ω
ω
ω
=
=
=
V
E
dV
dU
p γ+?= —— 晶体的状态方程
晶体的热膨胀
晶体在下，体积随温度的变化：0=p
V
E
dV
dU
γ=
原子在平衡位置作微小振动，热膨胀
0
V
V?
较小，可以按泰勒级数展开
"+?+= V
dV
Ud
dV
dU
dV
dU
VV
00
)()(
2
2
保留至第二项，第一项为零，0)(
0
=
V
dV
dU
。
V
E
V
dV
Ud
V
γ=?
0
)(
2
2
，)(
)(
02
2
0
0
V
E
dV
Ud
V
V
V
V
γ
=
?
0
)(
2
2
00 V
dV
Ud
VK = —— 静止晶格的体变模量
热膨胀系数
V
C
KVdT
dV
V
00
1 γ
α == —— 格临爱森定律
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