固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20050406 §4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似 1. 模型和微扰计算 考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用，假定周期性势场的起伏较小。作为零级近似，可以用 势场的平均值代替离子产生的势场：)(rVV K =。周期性势场的起伏量VVrV ?=?)( K 作为微扰来处 理。 波动方程：)()()]( 2 [ 2 2 rErrV m KKK= ψψ =+?? 晶格周期性势场函数：)()( rVRrV m K K K =+，其中 332211 amamamR m KKK K ++=—布拉伐格子的格矢  零级近似下电子的能量和波函数 ——空格子中电子的能量和波函数 由个原子构成的金属，体积： 321 NNNN = 0 NvV = —— 原胞体积 0 v 零级近似下：V m H +??= 2 2 0 2 = 薛定谔方程：)()()( 2 00002 2 rErVr m KKK= ψψψ =+?? 方程的解就是在恒定场V自由粒子的解： 0 1 () ik r k x e V ψ ? = K K K ， 22 0 2 k k EV m = + K = 引入周期性边界条件后，k K 的取值： 3 3 3 2 2 2 1 1 1 N b l N b l N b lk KKK K ++= 0 1 () ik r k re V ψ ? = K K K K 满足正交归一化条件： 00 '' 0 * V kk k drψ ψδ= ∫ K KK K K  微扰时电子的能量和波函数（自由电子近似模型）。 有微扰的情形：，其中' 0 HHH += V m H +??= 2 2 0 2 = ，VVrVH ?=?= )(' K 根据微扰理论的结果，计入微扰后电子的能量： 0(1)(2) . kkk k EEE E=+ + + KKKK " REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20050406 电子的波函数：.)()()()( )2()1(0 "+++= xxxx kkkk ψψψψ 一级能量修正：, (1) |'| k EkHk=< > K >?>=<< kVrVkkHk |)(||'| K (1) 0 11 [() ] V ik r ik r k EeVrVed VV ?? ? =? ∫ KK K KK (1) 0 k E, = K 二级能量修正： 2 (2) 00 ' ' '| '| ' k k kk kHk E EE <> = ? ∑ K KK ，式中'kk≠ K K 。 波函数的一级修正： (1) 0 00 ' ' ' '| '| ' kk k kk kHk EE ψ ψ <> = ? ∑ K K KK 矩阵元：>>=<?>=<< krVkkVrVkkHk |)(|'|)(|'|'|' KK ∫ ??? >=< V rkki rdrVe V krVk 0 )'( )( 1 |)(|' KKK K KK 和一维处理方法一样，引入积分变量，ξ K m Rr KK K +=ξ ∑ ∫ ?????? ?>=< m Rkki v kki m e N dVe v krVk KKKKKK KK K )'( 0 )'( 0 1 ])( 1 [|)(|' 0 ξξ ξ 应用 3 3 3 2 2 2 1 1 1 N b l N b l N b lk KKK K ++=和 3 3 3 2 2 2 1 1 1 '''' N b l N b l N b lk KKK K ++=， 332211 amamamR m KKK K ++= ))()(( 1 0 ' 2 1 0 ' 2 1 0 ' 2 )'( 3 3 3 3 33 2 2 2 2 22 1 1 1 1 11 ∑∑∑∑ ? = ? ? ? = ? ? ? = ? ? ??? = N m m N ll i N m m N ll i N m m N ll i m Rkki eeee m πππKKK 当上式中： 3 3 33 2 2 22 1 1 11 ' , ' , ' n N ll n N ll n N ll = ? = ? = ? ，为整数 321 ,, nnn NNNNe m Rkki m == ∑ ??? 321 )'( KKK 3 3 33 2 2 22 1 1 11 ' , ' , ' n N ll n N ll n N ll = ? = ? = ? 中任意一项不满足时：0 )'( = ∑ ??? m Rkki m e KKK REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20050406 3 3 33 2 2 22 1 1 11 ''' ' b N ll b N ll b N ll kk KKKKK ? + ? + ? =?， n Gbnbnbnkk KKKKKK =++=? 332211 ' —— 倒格矢 n v Gi VdVe v krVk n =>=< ∫ ?? 0 00 )( 1 |)(|' ξξ ξ KK K KK 波函数的一级修正： (1) 0 00 ' ' ' '| '| ' kk k kk kHk EE ψ ψ <> = ? ∑ K K KK ， 0' ' 11 () n iG rik r ik r k x eee VV ψ ??? == K K K KKK K (1) 00 1 (' n n iG rik r n k n kkG V ee EEV )ψ ?? + = ? ∑ K K KK K KKK —— 因为)(2 332211 mnmnmnGR nm ++=? π KK —— 所以式 (1) 00 1 (' ) n n iG rik r n k n kkG V ee改变一个格矢量 m R K ，括弧内的函数值不变。 r K EEV ψ ?? + = ? ∑ K K KK K KKK 中 —— 说明波函数可以写成自由粒子波函数和晶格周期性函数的乘积。 当两个由相互自由的矩阵元状态k K 和 n Gkk KKK +='的零级能量相等时，一级修正波函数和二级能量修 正趋于无穷大。 —— 22 n Gkk KKK +=，或者0) 2 1 ( =+? nn GkG KKK 如图XCH004_008所示为发散条件的表示 对于三维晶格，波矢在倒格矢垂直平分面上以及附近的值，非简并微扰不在适用。 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20050406 如简单立方晶格中的倒格子空间，如图XCH004_009所示，A和A’两点相差倒格矢 1 bG n KK =，零级 能量相同。四点相差一个倒格矢，零级能量相同。因此三维情形中，简并态的数目可 能多于两个。 4321 ,,, CCCC 2. 布里渊区和能带 在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出，可 见k空间分割为许多区域，在每个区域内是连续变 化的，而在这些区域的边界上能量发生突变，这些 区域称为布里渊区。如图XCH004_010为简单立方晶格k 空间的二维示意图。 kE ~ )(kE 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里渊区对于不同的能带。每一个布里渊区的体 积相同，等于倒格子原胞的体积，每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）。 在三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，这使得不同的能带发生重叠。 如图XCH004_011_01所示，第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k’方向上能量最高点C。C点 的能量比第二布里渊区B点高。能带的重叠情况如图XCH004_011_02-04所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20050406 用简约波矢k表示能量和波函数： n Gkk KK += 能量)(kE n 和波函数)(r kn K ψ，必须同时指明它们属于哪一个能带。 3. 几种晶格的布里渊区 1) 简单立方格子 kaajaaiaa K K K K K K === 321 ,, 倒格子基矢k a bj a bi a b KKKKKK πππ 2 , 2 , 2 321 === —— 简单立方格子 第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。如图XCH004_012_01所示。 2) 体心立方格子 体心立方晶格原胞基矢：)( 2 ),( 2 ),( 2 321 kji a akji a akji a a KKK K KKK K KKK K +?=+?=++?= 倒格子基矢：)( 2 1 kj a b KKK += π ，)( 2 2 ki a b KKK += π ，)( 2 3 ji a b KKK += π —— 边长 a π4 的面心立方格子。 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如图XCH004_012_02 所示。 体心立方格子第一布里渊区各点的标记，如图XCH004_012_04所示。 3) 面心立方格子 REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第四章 能带理论 _20050406 面心立方格子原胞基矢： 123 (), (), ( 222 aaa )kakiaij=+ =+ =+ KKK KKK aj 倒格子基矢：)( 2 1 kji a b KKKK ++?= π ，)( 2 2 kji a b KKKK +?= π ，)( 2 3 kji a b KKKK +?= π — 边长 a π4 的体心 立方格子。 第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体。八个面是正六边形，六个面是正四边 形。如图XCH004_012_03所示。 —— 面心立方格子的倒格子为体心立方，其第一布里渊区为十四面体。 面心立方格子第一布里渊区各点的标记，如图XCH004_012_05所示。通常布里渊区中某些对称点和 若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号如下： 布里渊区原点： Γ ]000[Γ 六方面的中心：L ),,(: aaa L πππ 四方面的中心X：)0,0, 2 (: a X π XΓ计为?轴，即方向 )100( LΓ计为Λ轴，即方向 )111( —— 将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像，如图XCH004_012_014所示, 定 性画出了沿?轴的结果。 REVISED TIME: 05-4-9 - 6 - CREATED BY XCH