固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 §3.9 晶格振动模式密度 —— 在晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动，不同频率的振动模式其能量是不同的。 对于给定的晶体，总的振动模式数目是一定的，按振动频率有一个分布 —— 用晶格振动模式密度 来描述。 如果知道了晶格振动模式密度，就可以对所有振动模进行求和，进而研究晶格热容，以及某些晶体 的电学、光学性质。 晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔，振动模式的数目： 0 ( ) lim n g ω ω ω ?→ ? = ? 在q空间，晶格振动模是均匀分布的，密度 3 (2 ) V π 根据() tanω =q Cons t做出一个等频率面，两个等频率面ω和ω ω+?之间的振动模式数目： 3 (2 ) V nd π ?= ∫ sdq —— 如图XCH003_015所示 频率为q的连续函数：() q qdqωω?=? 将 () q dq q ω ω ? = ? 代入 3 (2 ) V nd π ?= ∫ sdq 3 (2 ) () q V nds q ω π ω ? ?= ? ∫ ， 3 [] (2 ) () q Vds n q ω π ω ?= ? ? ∫ 振动模式密度函数： 3 () (2 ) () q Vds g q ω π ω = ? ∫ 简单几种情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链（长度） LNa= 一维原子链的色散关系： 4 sin( ) 2 aq m β ω =，sin( ) 2 m aq ωω=—— 其中 4 m m β ω =是最大频率 REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 振动模式密度 3 () (2 ) () q Vds g q ω π ω = ? ∫ 简化为： 1 () 2 () q L g q ω π ω = ? 考虑到一个频率可以有q±值， 1 () 2 2 () q L g q ω π ω =× ? () cos( ) 22 m q aaq q ω ω?=， 2 () 1 sin( ) 22 m q aa q ω ω?= ? q ， 22 () 2 qm a qω ωω?= ? 22 21 () m N g ω π ω ω = ? 也可以由q空间的状态密度来计算 状态密度： 2 L π ，2 2 L dn dq π =×，2 2 Ldq dn d d ω πω =×，利用sin( ) 2 m aq ωω= () Ldq g d ω π ω =， 22 21 () m N g ω π ω ω = ? —— 结果是一致的 德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢q成正比：cqω=，() q qcω?= 振动模式密度 3 () (2 ) () q Vds g q ω π ω = ? ∫ ， 2 3 1 () 4( ) (2 ) V g cc ω ω π = π， 2 23 () 2 V g c ω ω π = 色散关系： 2 cqω = 三维晶体中（体积V）情况，q空间的等频率面是一个球面，球面面积： 2 4sqπ= —— () 2 q qcqω?= 振动模式密度 3 () (2 ) () q Vds g q ω π ω = ? ∫ ， 3 () (2 ) 2 Vd g cq ω π = s ∫ —— 2 4ds qπ= ∫ REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 2 3 4 () (2 ) 2 Vq g cq π ω π =， 2 () (2 ) Vq g c ω π =，将q c ω =代入得到 —— 23/2 () (2 ) V g c ω ω π = 二维晶体（晶体面积S）情况，q空间等频率的点构成一个圆： 2 ,4 2ds dl q qπ π→→ 振动模式密度 2 () (2 ) () q Sdl g q ω π ω = ? ∫ ， 2 2 () (2 ) 2 Sq g cq π ω π = —— () 4 S g c ω π = 一维晶体（晶体长度L）情况：q空间， 1 () 2 2 () q L g q ω π ω =× ? ， 1 () 2 L g cq ω π = —— () 2 L g c ω π ω = 可见色散关系为时 2 cqω = 三维情况振动模式密度： 1/2 ()~g ω ω 二维情况振动模式密度： 0 ()~g ω ω 一维情况振动模式密度： 1/2 ()~g ωω ? 在() 0 q qω?=的一些点—— 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点（布里渊区边界）。 例如：一维原子链的色散关系：sin( ) 2 m aq ωω= () cos( ) 22 m q aa q ω ω?= q ，在q a π =±，() 0 q qω? → —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联。 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH