固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
§3.3 一维双原子链 声学波和光学波
一维复式格子的情形_____一维无限长链
—— P和Q两种不同原子：m、M（M>m）构成的一维复式格子
—— 相邻同种原子间的距离为2a—— 复式格子的晶格常数。
如图XCH003_005所示。
质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。
质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。
牛顿运动方程：
)2(
)2(
2221212
121222
nnnn
nnnn
M
m
μμμβμ
μμμβμ
???=
???=
+++
?+
—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式：
])12([
12
])2([
2
aqnti
n
qnati
n
Be
Ae
+?
+
?
=
=
ω
ω
μ
μ
因为mM >，复式格子中不同原子振动的振幅一
般来说是不同的。
将带回到运动方程得到：
])12([
12
])2([
2
aqnti
n
qnati
n
Be
Ae
+?
+
?
=
=
ω
ω
μ
μ
?
?
?
=?+?
=??
?
?
?
?
?
?
?+=?
?+=?
?
?
0)2()cos2(
0)cos2()2(
2)(
2)(
2
2
2
2
BMAaq
BaqAm
BAeeBM
ABeeAm
iaqiaq
iaqiaq
ωββ
βωβ
ββω
ββω
若A、B有非零的解，系数行列式满足：0
2cos2
cos22
2
2
=
??
??
ωββ
βωβ
Maq
aqm
1
22
2
2
() 4
{1 [1 s i n ] }
()
mM mM
aq
mM m M
ωβ
+
=±?
+
一维复式晶格的结果与一维单原子晶格的情形比较，ω与q之间存在着两种不同的色散关系
—— 一维复式格子晶体中可以存在两种独立的格波
REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
两种不同的格波的色散关系：
1
22
2
2
1
2
2
() 4
{1 [1 s i n ] }
()
() 4
{1 [1 s i n ] }
()
mM mM
aq
mM m M
mM mM
aq
mM m M
ωβ
ωβ
+
?
+
=+?
+
+
=??
+
如图XCH003_006_01所示。
格波的振幅
将和分别代入
2
+
ω
2
?
ω
0)2()cos2(
0)cos2()2(
2
2
=?+?
=??
BMAaq
BaqAm
ωββ
βωβ
得到
aq
m
A
B
cos2
2
)(
2
β
βω ?
?=
+
+
和
aq
m
A
B
cos2
2
)(
2
β
βω ?
?=
?
?
相邻原胞之间的位相差： aq2
为了保证波函数的单值性，一维复式格子q的值限制在：2aqπ π? <≤
a
q
a 22
ππ
≤<? —— 第一布里渊区
—— 第一布里渊区大小：
a
π
采用周期性边界条件：haqN π2)2( =，π2
2aN
h
q = —— h为整数
—— 每个波矢在第一布里渊区占的线度：
Na
q
π
=
—— 第一布里渊区允许q的数目：/ N
aNa
π π
= —— 晶格中的原胞数目
对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波
—— 总的格波数目为2N，为原子的数目2N。
REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
色散关系的特点
当
a
q
2
π
±→ (布里渊边界) —— 短波极限情况
两种格波的频率：
2
1
2
1
2
1
min
2
1
2
1
2
1
max
)
2
()}(){()()(
)
2
()}(){()()(
m
mMMm
mM
M
mMMm
mM
ββ
ω
ββ
ω
=?++=
=??+=
+
?
因为M＞m，所以：
maxmin
)()(
?+
> ωω ，可见在
maxmin
)()(
?+
>> ωωω时没有格波。
maxmin
)(~)(
?+
ωω之间的频率范围叫频率隙
—— 一维双原子晶格叫做带通滤波器。如图XCH003_006_01所示。
——长波极限情况 0→q
声学波
}]sin
)(
4
1[1{
)(
2
1
2
2
2
aq
Mm
mM
mM
Mm
+
??
+
=
?
βω —— 1)(sin
)(
4
2
2
<<
+
aq
Mm
mM
利用，1<<x xx
2
1
11 ?=?
整理后得到：)sin(
2
qa
Mm+
=
?
β
ω
q
Mm
a
+
≈
?
β
ω
2
——
?
ω的色散关系与一维布喇菲格子的情形形式上是相同的
—— 由完全相同原子所组成的布喇菲格子只有声学波
REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
将0,0
1
== ωq代入
aq
m
A
B
cos2
2
)(
2
β
βω ?
?=
?
?
得到：1)( =
?
A
B
—— 原胞中两个原子振动振幅相同，如图XCH003_006_02所示。
—— 在长声学波中相邻原子振动方向相同，并且振幅相同，它代表的是原胞质心的振动。如图
XCH003_006_02所示。
光学波
}]sin
)(
4
1[1{
)(
2
1
2
2
2
aq
Mm
mM
mM
Mm
+
?+
+
=
+
βω
—— 1)(sin
)(
4
2
2
<<
+
aq
Mm
mM
______ 0→q
当(即波长λ很大)时：0→q MassEffective
Mm
mM
+
=≈
+
μ
μ
β
ω ,
2
将
μ
β
ω
2
≈
+
和代入1cos →aq
aq
m
A
B
cos2
2
)(
2
β
βω ?
?=
+
+
得到：
M
m
A
B
?=
+
)( —— 长光学波中同种原子振动位相一致，相邻原子振动方向相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间的相对运动。如图XCH003_006_03所示。
REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
例题 在一维复式格子中，如果，g1067.15
27
km
－
××= 4=
m
M
，mN /15=β，计算
1) 光学波频率的最大值和最小值，声学波频率的最大值；
O
max
ω
O
min
ω
A
max
ω
2) 相应声子的能量、和；
O
E
max
O
E
min
A
E
max
3) 在下，三种声子数目各为多少？ KT 300=
4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？
O
max
ω
解：1）声学波的最大频率：
M
A
β
ω
2
max
=， srad
A
/103
14
max
×=ω
光学波的最大频率：
μ
β
ω
2
max
=
O
，M
Mm
mM
2.0=
+
=μ，srad
M
O
/107.6
2
5
14
max
×==
β
ω
光学波的最小频率：
m
O
β
ω
2
min
=，srad
M
O
/106
2
2
14
min
×==
β
ω
2）相应声子的能量, ;
OO
E
maxmax
ω == eVE
O
442.0
max
=
OO
E
minmin
2
1
ω ==， eVE
O
396.0
min
=
AA
E
maxmax
2
1
ω ==， eVE
A
198.0
max
=
3）一个频率为ω的谐振子具有激发能ωε =)
2
1
( += n
n
的几率：
Tk
n
Bn
CeP
/ε?
=
根据归一化条件 —— 1
/
==
∑∑
?
n
Tk
n
n
Bn
CeP
ε
∑
?
=
n
Tk
Bn
e
C
/
1
ε
∑
?
?
=
n
Tk
Tk
n
Bn
Bn
e
e
P
/
/
ε
ε
，
∑
?
?
=
n
Tkn
Tkn
n
B
B
e
e
P
/
/
ω
ω
=
=
利用，得到
1
)1(
?
?=
∑
xx
n
n
)1(
// TkTkn
n
BB
eeP
ωω = = ??
?=
REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406
能量为ωε =)
2
1
( += n
n
谐振子的平均能量：
∑
=
n
nn
Pεε
1
()
2
n
nε ω=+
∑
=，
∑
??
?+=
n
TknTk
BB
nee
//
)1(
2
1
ωω
ωωε
= =
= =
利用
2
)1( x
x
nx
n
n
?
=
∑
，得到
12
1
/
?
+=
Tk
B
e
ω
ω
ωε
=
=
=，
/
11
()
12
B
kT
e
ω
ε ω=+
?
=
=
又因为处于简正频率为)(q
i
ω振子平均能量：
1
(() ) ()
2
ii
nq qεω=+ =
—— 可见处于第态的声子平均数：qi,
/
1
()
1
B
i kT
nq
e
ω
=
?
=
在下，光学波频率的声子数目：KT 300=
O
max
ω
1
1
)(
/
maxmax
max
?
=
Tk
OO
B
O
e
n
ω
ω
=
将和代入：eVTk
B
026.0= eVE
O
442.0
max
=
1
1
)(
026.0
442.0maxmax
?
=
e
n
OO
ω
-8
maxmax
1014.4)( ×=
OO
n ω
光学波频率的声子数目：
O
min
ω
1
1
)(
/
minmin
min
?
=
Tk
OO
B
O
e
n
ω
ω
=
，
-7
minmin
1042.2)( ×=
OO
n ω
声学波频率的声子数目：
A
max
ω
1
1
)(
/
maxmax
max
?
=
Tk
AA
B
A
e
n
ω
ω
=
，
-4
maxmax
1093.4)( ×=
AA
n ω
4）如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？
O
max
ω
因为，对应电磁波的波长为eVE
O
442.0
max
= mμλ 8.2=
—— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段（Near Infrared）(NIR)
O
max
ω
REVISED TIME: 05-4-9 - 6 - CREATED BY XCH
