固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 §3.3 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形_____一维无限长链 —— P和Q两种不同原子:m、M(M>m)构成的一维复式格子 —— 相邻同种原子间的距离为2a—— 复式格子的晶格常数。 如图XCH003_005所示。 质量为M的原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 ……。 质量为m的原子位于2n, 2n+2, 2n+4 ……。 牛顿运动方程: )2( )2( 2221212 121222 nnnn nnnn M m μμμβμ μμμβμ ???= ???= +++ ?+   —— 体系N个原胞,有2N个独立的方程 方程解的形式: ])12([ 12 ])2([ 2 aqnti n qnati n Be Ae +? + ? = = ω ω μ μ 因为mM >,复式格子中不同原子振动的振幅一 般来说是不同的。 将带回到运动方程得到: ])12([ 12 ])2([ 2 aqnti n qnati n Be Ae +? + ? = = ω ω μ μ ? ? ? =?+? =?? ? ? ? ? ? ? ?+=? ?+=? ? ? 0)2()cos2( 0)cos2()2( 2)( 2)( 2 2 2 2 BMAaq BaqAm BAeeBM ABeeAm iaqiaq iaqiaq ωββ βωβ ββω ββω 若A、B有非零的解,系数行列式满足:0 2cos2 cos22 2 2 = ?? ?? ωββ βωβ Maq aqm 1 22 2 2 () 4 {1 [1 s i n ] } () mM mM aq mM m M ωβ + =±? + 一维复式晶格的结果与一维单原子晶格的情形比较,ω与q之间存在着两种不同的色散关系 —— 一维复式格子晶体中可以存在两种独立的格波 REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 两种不同的格波的色散关系: 1 22 2 2 1 2 2 () 4 {1 [1 s i n ] } () () 4 {1 [1 s i n ] } () mM mM aq mM m M mM mM aq mM m M ωβ ωβ + ? + =+? + + =?? + 如图XCH003_006_01所示。 格波的振幅 将和分别代入 2 + ω 2 ? ω 0)2()cos2( 0)cos2()2( 2 2 =?+? =?? BMAaq BaqAm ωββ βωβ 得到 aq m A B cos2 2 )( 2 β βω ? ?= + + 和 aq m A B cos2 2 )( 2 β βω ? ?= ? ? 相邻原胞之间的位相差: aq2 为了保证波函数的单值性,一维复式格子q的值限制在:2aqπ π? <≤ a q a 22 ππ ≤<? —— 第一布里渊区 —— 第一布里渊区大小: a π 采用周期性边界条件:haqN π2)2( =,π2 2aN h q = —— h为整数 —— 每个波矢在第一布里渊区占的线度: Na q π = —— 第一布里渊区允许q的数目:/ N aNa π π = —— 晶格中的原胞数目 对应一个q有两支格波:一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N,为原子的数目2N。 REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 色散关系的特点 当 a q 2 π ±→ (布里渊边界) —— 短波极限情况 两种格波的频率: 2 1 2 1 2 1 min 2 1 2 1 2 1 max ) 2 ()}(){()()( ) 2 ()}(){()()( m mMMm mM M mMMm mM ββ ω ββ ω =?++= =??+= + ? 因为M>m,所以: maxmin )()( ?+ > ωω ,可见在 maxmin )()( ?+ >> ωωω时没有格波。 maxmin )(~)( ?+ ωω之间的频率范围叫频率隙 —— 一维双原子晶格叫做带通滤波器。如图XCH003_006_01所示。 ——长波极限情况 0→q 声学波 }]sin )( 4 1[1{ )( 2 1 2 2 2 aq Mm mM mM Mm + ?? + = ? βω —— 1)(sin )( 4 2 2 << + aq Mm mM 利用,1<<x xx 2 1 11 ?=? 整理后得到:)sin( 2 qa Mm+ = ? β ω q Mm a + ≈ ? β ω 2 —— ? ω的色散关系与一维布喇菲格子的情形形式上是相同的 —— 由完全相同原子所组成的布喇菲格子只有声学波 REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 将0,0 1 == ωq代入 aq m A B cos2 2 )( 2 β βω ? ?= ? ? 得到:1)( = ? A B —— 原胞中两个原子振动振幅相同,如图XCH003_006_02所示。 —— 在长声学波中相邻原子振动方向相同,并且振幅相同,它代表的是原胞质心的振动。如图 XCH003_006_02所示。 光学波 }]sin )( 4 1[1{ )( 2 1 2 2 2 aq Mm mM mM Mm + ?+ + = + βω —— 1)(sin )( 4 2 2 << + aq Mm mM ______ 0→q 当(即波长λ很大)时:0→q MassEffective Mm mM + =≈ + μ μ β ω , 2 将 μ β ω 2 ≈ + 和代入1cos →aq aq m A B cos2 2 )( 2 β βω ? ?= + + 得到: M m A B ?= + )( —— 长光学波中同种原子振动位相一致,相邻原子振动方向相反 —— 原胞质心保持不变的振动,原胞中原子之间的相对运动。如图XCH003_006_03所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 例题 在一维复式格子中,如果,g1067.15 27 km - ××= 4= m M ,mN /15=β,计算 1) 光学波频率的最大值和最小值,声学波频率的最大值; O max ω O min ω A max ω 2) 相应声子的能量、和; O E max O E min A E max 3) 在下,三种声子数目各为多少? KT 300= 4) 如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段? O max ω 解:1)声学波的最大频率: M A β ω 2 max =, srad A /103 14 max ×=ω 光学波的最大频率: μ β ω 2 max = O ,M Mm mM 2.0= + =μ,srad M O /107.6 2 5 14 max ×== β ω 光学波的最小频率: m O β ω 2 min =,srad M O /106 2 2 14 min ×== β ω 2)相应声子的能量, ; OO E maxmax ω== eVE O 442.0 max = OO E minmin 2 1 ω==, eVE O 396.0 min = AA E maxmax 2 1 ω==, eVE A 198.0 max = 3)一个频率为ω的谐振子具有激发能ωε =) 2 1 ( += n n 的几率: Tk n Bn CeP /ε? = 根据归一化条件 —— 1 / == ∑∑ ? n Tk n n Bn CeP ε ∑ ? = n Tk Bn e C / 1 ε ∑ ? ? = n Tk Tk n Bn Bn e e P / / ε ε , ∑ ? ? = n Tkn Tkn n B B e e P / / ω ω = = 利用,得到 1 )1( ? ?= ∑ xx n n )1( // TkTkn n BB eeP ωω == ?? ?= REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第三章 晶格振动与晶体的热学性质_ 20050406 能量为ωε =) 2 1 ( += n n 谐振子的平均能量: ∑ = n nn Pεε 1 () 2 n nε ω=+ ∑ =, ∑ ?? ?+= n TknTk BB nee // )1( 2 1 ωω ωωε == == 利用 2 )1( x x nx n n ? = ∑ ,得到 12 1 / ? += Tk B e ω ω ωε = = =, / 11 () 12 B kT e ω ε ω=+ ? = = 又因为处于简正频率为)(q i ω振子平均能量: 1 (() ) () 2 ii nq qεω=+= —— 可见处于第态的声子平均数:qi, / 1 () 1 B i kT nq e ω = ? = 在下,光学波频率的声子数目:KT 300= O max ω 1 1 )( / maxmax max ? = Tk OO B O e n ω ω = 将和代入:eVTk B 026.0= eVE O 442.0 max = 1 1 )( 026.0 442.0maxmax ? = e n OO ω -8 maxmax 1014.4)( ×= OO n ω 光学波频率的声子数目: O min ω 1 1 )( / minmin min ? = Tk OO B O e n ω ω = , -7 minmin 1042.2)( ×= OO n ω 声学波频率的声子数目: A max ω 1 1 )( / maxmax max ? = Tk AA B A e n ω ω = , -4 maxmax 1093.4)( ×= AA n ω 4)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段? O max ω 因为,对应电磁波的波长为eVE O 442.0 max = mμλ 8.2= —— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段(Near Infrared)(NIR) O max ω REVISED TIME: 05-4-9 - 6 - CREATED BY XCH