粘性定量分析
? T
tyx
? 实际流体都是有粘性的 。 不过有的大, 有
的小 。 空气和水的粘性都不大, 在日常生活中,
人们不理会它的作用 。 但如果注意观察一下的
话, 还是可以看到它的作用的 。 譬如我们搅一
下杯子里的蜂蜜,就会感到筷子上受到一种粘稠
液体作用的力,这就是粘性力,看看的河里的流
水, 观察水面上漂浮的草叶等物的速度差别可
以发现靠岸处的水流就比河中心的水流慢些 。
这是典型的粘性影响,
是均一的 u∞),在气流里顺着气流放置一块无限
薄的平板，如图 1-1。用尺寸十分小的测量风速
的仪器，去测量平板附近沿平板的法线气流速
度的分布情况。结果速度的分布就象图 1-1所画
的样子。气流在没有流到平板以前原是均一的，
一流到平板上，直接贴着板面的那层气流，其
速度就降为零了，沿法线往外走，气流速度逐
渐由零一点点变大起来，要到离平板相当远的
地方，流速才和原来 v∞没有显著的差别。
? 速度有这样的下降变化正是气体的粘性的表现。粘
性使直接挨着板面的一层气体完全贴着在板面上，
和板面没有一点相对速度。这也就是所谓的无滑动
情况。稍外的一层气体受到气体层与气体层之间的
摩擦作用，被紧挨板面的那层气体所牵制，速度也
是下降,到了接近于零,不过由于它并不紧挨板面，这
层气体多少有些速度。粘性的拖曳作用是这样的一
层层向外传开去的，离板面越远的，受到的牵扯作
用越小。在 n方向要离板面多么远这种牵扯作用才完
全没有了呢?严格说来，要到无限远处才能真正没有
影响。不过如果 V∞相当大的话 (譬如有普通飞机的飞
行速度那么大 )，同时流体粘性又不太大 (空气的粘性
就不大 )的话，这个没有显著影响的距离也并不是很
大的。板长以米计的话，这个没有 ·显著影响的距离
是以毫米计的 。
? 上面的事实说明, 凡有粘性作用的地方,
各层气流的速度就不是均一的了, 速度
是离扳面的距离 n的函数,
? u=f(n) (1-1)
? 相邻两层的气流速度有差别 (即 du/dn≠0)，
二者之间必有摩擦力在作用 。 单位, 面
积上的摩擦力称摩擦应力, 记为 t。
? 上面的事实说明, 凡有粘性作用的地方,
各层气流的速度就不是均一的了, 速度
是离扳面的距离 n的函数,
? u=f(n) (1-1)
? 相邻两层的气流速度有差别 (即 du/dn≠0)，
二者之间必有摩擦力在作用 。 单位, 面
积上的摩擦力称摩擦应力, 记为 t。
Tuggin force ?
Influence of viscosity
Tangential force per unit area ---Shear stress t
t = ?V(n)/?n
<--- Frictional force
<--- Frictional force
<--- Frictional
force
<--- Frictional
force
? 这个力对于较快的那一层气体说来是一个
反对流动的拖扯的力，这是较慢的邻层对
它的拖扯力，反过来对于下层速度较慢的
气流来说，这个力是一个顺流向向前拉的
力，这是上层速度较快的邻层气流对它的
拉力。
? 如果空气不动,平板以 V∞向左运动 (图 1-4中
的左向 ),那末作用在板面上的这个摩擦力
的指向便是向右的,是阻碍板面向左运动的,
称为摩擦阻力 。
牛顿提出摩擦应力和速度梯度
的关系为,
? 上式称为牛顿粘性定律 。 m称为粘性系数,
它的量纲是 (牛 ·秒／米 2)或 (公斤 /米 ·秒 )
? 标准大气的粘性系数为, m=1.79*10-5
比例常数记 μ,
? 气流各层之间的摩擦力的本质是由于气体的分子
不停顿地进行着不规则的热运动的而导致的。这
种不规则的热运动会使不同流层中的气体质量进
行交换，而流动气流中各层气流的速度如果彼此
不相同的话，邻层中的两个气体分子的动量必然
不相同。邻层之间的质量交换就会带来动量交换。
式中 μ1为参考温度 T=T1=288.15?k时的粘性系数 μ的值,
C为萨特兰 (温度 )常数，等于 110.4?k。
? 而气体的温度 T正是分子热运动的动能的
一个直接的标志, 所以气体的粘性系数
只决定于气体的温度, 而与压强无关,气
体的粘性随温度的变化趋势恰恰和液体
的相反 。
? 变化关系可以用萨特兰 (Sutherland)公式
表示成,
CT
CT
?
?
?
15.2 8 8
)
15.2 8 8
( 2/3
1m
m
还可采用比较简单的指数规律来表达
? m/m1=C (T/T1)n (1-6)
? 式中 C为接近于 1的系数, 指数 n的值在不同的温
度范围取不同的值 。 譬如在 90?k<T<500?k的范围
内, n可取 8／ 9。 温度越高, 指数 n应该越小,
如 400?k<T<500?k,n=0,75
? 在许多空气动力学的问题里, 粘性力和惯性力
同时存在,在式子里 m和 r往往以 (m/r)这样的组合
形式出现, 这个比值另用一个符号 n表示,
? n=m/r (米 2／秒 ) 1-7
? n名为运动粘性系数
T=288?k,P=760毫米汞柱时，空气的
n=1,46707X10-5米 2／秒
? 因其量纲只包括长度和时间，只是运动学中的量。
?
实际流体和
理想流体
实际流体中应有阻力，这就是所
谓的达朗贝尔疑题。现在我们都
知道，这种阻力必须用流体粘性
影响来解释，由粘性流体力学来
分析汁算图 1 - 2 表示低速气流中
圆柱上的压强系数分布，可见理
论 ( 按理想流体计算 ) 与实验有显
著的差别，在圆柱背风面处特别
显著。图中 Cp 为压强系数，
Cp =( p - p
∞
) ／ 1 / 2 r
∞
U
∞
2
,P 为压
强,r 为密度,U 为速度，下标
∞
表示远前方来流条件。看录像
下图表示翼型 NPU2在马赫数 M=0.75时的压强分布。 NPU
翼型是西北工业大学 (Northwestern Polytechnicai University
___NWPU)空气动力学专业研究发展的一个翼型系列。
NPU2是一个超临界翼型。由图可见，按理想流体计算的
压强分布与实验值有较大差别，只有考虑粘性这样计算结
果才与买验值比较接近
圆球在低速流动中的阻力系数 CD随雷诺
(Reynolds)数 Re的变化曲线
? 阻力系数定义为； CD=D/(1/2 r∞ U∞ 2 A)
? 式中 D为圆球阻力, A=pd2／ 4为圆球的
迎风截面积, d为圆球直径,
? Re≡r∞ U∞ d／ μ∞＝ U∞d／ n
雷诺数
? 为简单起见, 我们讨论低速不可压缩流动中的
圆球阻力 。 根据经验, 圆球阻力 D应该与圆球
直径 d,流体密度 r∞,流体粘性系数 m∞和流动
速度 U∞田有关 。 即 D是 d,r∞,m∞,U∞的函数,
可写成,
? D=f (d,r∞,m∞,U∞) 1-8
? 我们现在用量纲理论对此作进一步分析 。 我们
采用质量 [M],长度 [L]和时间 [T]作为基本量纲,
则以上各物理量的量纲可表达如下,
? ┌─────┬─────┐
? │ 物 理 量 │ 量 纲 │
? ├─────┼─────┤
? │ D │ [ML／ T2]│
? │ d │ [L] │
? │ r∞ │ [M／ L3] │
? │ m∞ │ [M／ LT] │
? │ U∞ │ [L／ T] │
? └─────┴─────┘
? 现在假设式 (1-8)的等号右
边的代表性项为 r a∞U b∞dc
m∞d,其指数 。 a,b,c,d为待
定常数
? 根据物理等式两边各项的
量纲必须相同的条件,即得,
? [ML/T2]=[M/L3] a [L/T] b
[L] c[M/LT] d
? 使等号两边的相同基本量
纲的指数相等得到,
? 1= a + d
? 1= -3a + b + c- d
? -2= - b - d
? 解以上代数联立方程得, a=1 - d
? b=2 – d
? C=2 - d
? 故代表性项可写成,
? p∞U2∞d2 (m∞/r∞u∞d)d
? 把圆球迎风面积 A=p d2／ 4作为参考面积,
? 定义圆球阻力系数 CD为,
定义雷诺数 Re为,Re≡r∞
U∞ d/m
圆球阻力 CD=F(Re)
流动状态
(a)图状态下，流体成层状流动，称为层流状态。
(c)图状态下，流动呈高度非定常状态，非常紊乱，称为
湍流状态。
图 (b)的状态是一种过渡状态，是从层流到湍流的过渡。
雷诺发现，出现湍流状态的条件取决于组合量
Re= r U d/ m,
式中 r 为流体密度,U为管内平均流速,d为圆管直径,m
为流体的粘性系数。
? 对于管内流动,Re数在 2300左右时，流动一般
将转变成湍流状态。从层流转变为湍流的雷诺
数称为转变雷诺数。如果流体进入圆管前比较
稳定，管道入口段又比较光顺，则转变雷诺数
可能高于 2300，甚至可达到 40,000以上。但
即使流体原为湍流状态，若降低雷诺数，使 Re
数降低到 2000以下时，流动将恢复为层流。工
程上估算时，一般把,Re=2300作为转变雷诺
数，又称临界雷诺数。
附面层厚度
? 总的说来, 粘性是对全流场产生影响的 。 如何
划分外部理想流体流动和内部附面层流动的边界,
是要规定一定的条件的 。
? 例如, 我们可规定速度达到外流速度的 99%时为
外边界, 也可规定达到 99,5时为外边界 。
? U/Ue=99% or 99.5%
? 可是, 这样规定的附面层外边界, 这样规定的附
面层厚度 (附面层内边界到外边界的横向距离 )，
有较大的人为因素 。 在以后介绍附面层分析时,
我们还有比较明确的其它附面层厚度的定义 。
u/ue=0.99
δ
? T
tyx
? 实际流体都是有粘性的 。 不过有的大, 有
的小 。 空气和水的粘性都不大, 在日常生活中,
人们不理会它的作用 。 但如果注意观察一下的
话, 还是可以看到它的作用的 。 譬如我们搅一
下杯子里的蜂蜜,就会感到筷子上受到一种粘稠
液体作用的力,这就是粘性力,看看的河里的流
水, 观察水面上漂浮的草叶等物的速度差别可
以发现靠岸处的水流就比河中心的水流慢些 。
这是典型的粘性影响,
是均一的 u∞),在气流里顺着气流放置一块无限
薄的平板，如图 1-1。用尺寸十分小的测量风速
的仪器，去测量平板附近沿平板的法线气流速
度的分布情况。结果速度的分布就象图 1-1所画
的样子。气流在没有流到平板以前原是均一的，
一流到平板上，直接贴着板面的那层气流，其
速度就降为零了，沿法线往外走，气流速度逐
渐由零一点点变大起来，要到离平板相当远的
地方，流速才和原来 v∞没有显著的差别。
? 速度有这样的下降变化正是气体的粘性的表现。粘
性使直接挨着板面的一层气体完全贴着在板面上，
和板面没有一点相对速度。这也就是所谓的无滑动
情况。稍外的一层气体受到气体层与气体层之间的
摩擦作用，被紧挨板面的那层气体所牵制，速度也
是下降,到了接近于零,不过由于它并不紧挨板面，这
层气体多少有些速度。粘性的拖曳作用是这样的一
层层向外传开去的，离板面越远的，受到的牵扯作
用越小。在 n方向要离板面多么远这种牵扯作用才完
全没有了呢?严格说来，要到无限远处才能真正没有
影响。不过如果 V∞相当大的话 (譬如有普通飞机的飞
行速度那么大 )，同时流体粘性又不太大 (空气的粘性
就不大 )的话，这个没有显著影响的距离也并不是很
大的。板长以米计的话，这个没有 ·显著影响的距离
是以毫米计的 。
? 上面的事实说明, 凡有粘性作用的地方,
各层气流的速度就不是均一的了, 速度
是离扳面的距离 n的函数,
? u=f(n) (1-1)
? 相邻两层的气流速度有差别 (即 du/dn≠0)，
二者之间必有摩擦力在作用 。 单位, 面
积上的摩擦力称摩擦应力, 记为 t。
? 上面的事实说明, 凡有粘性作用的地方,
各层气流的速度就不是均一的了, 速度
是离扳面的距离 n的函数,
? u=f(n) (1-1)
? 相邻两层的气流速度有差别 (即 du/dn≠0)，
二者之间必有摩擦力在作用 。 单位, 面
积上的摩擦力称摩擦应力, 记为 t。
Tuggin force ?
Influence of viscosity
Tangential force per unit area ---Shear stress t
t = ?V(n)/?n
<--- Frictional force
<--- Frictional force
<--- Frictional
force
<--- Frictional
force
? 这个力对于较快的那一层气体说来是一个
反对流动的拖扯的力，这是较慢的邻层对
它的拖扯力，反过来对于下层速度较慢的
气流来说，这个力是一个顺流向向前拉的
力，这是上层速度较快的邻层气流对它的
拉力。
? 如果空气不动,平板以 V∞向左运动 (图 1-4中
的左向 ),那末作用在板面上的这个摩擦力
的指向便是向右的,是阻碍板面向左运动的,
称为摩擦阻力 。
牛顿提出摩擦应力和速度梯度
的关系为,
? 上式称为牛顿粘性定律 。 m称为粘性系数,
它的量纲是 (牛 ·秒／米 2)或 (公斤 /米 ·秒 )
? 标准大气的粘性系数为, m=1.79*10-5
比例常数记 μ,
? 气流各层之间的摩擦力的本质是由于气体的分子
不停顿地进行着不规则的热运动的而导致的。这
种不规则的热运动会使不同流层中的气体质量进
行交换，而流动气流中各层气流的速度如果彼此
不相同的话，邻层中的两个气体分子的动量必然
不相同。邻层之间的质量交换就会带来动量交换。
式中 μ1为参考温度 T=T1=288.15?k时的粘性系数 μ的值,
C为萨特兰 (温度 )常数，等于 110.4?k。
? 而气体的温度 T正是分子热运动的动能的
一个直接的标志, 所以气体的粘性系数
只决定于气体的温度, 而与压强无关,气
体的粘性随温度的变化趋势恰恰和液体
的相反 。
? 变化关系可以用萨特兰 (Sutherland)公式
表示成,
CT
CT
?
?
?
15.2 8 8
)
15.2 8 8
( 2/3
1m
m
还可采用比较简单的指数规律来表达
? m/m1=C (T/T1)n (1-6)
? 式中 C为接近于 1的系数, 指数 n的值在不同的温
度范围取不同的值 。 譬如在 90?k<T<500?k的范围
内, n可取 8／ 9。 温度越高, 指数 n应该越小,
如 400?k<T<500?k,n=0,75
? 在许多空气动力学的问题里, 粘性力和惯性力
同时存在,在式子里 m和 r往往以 (m/r)这样的组合
形式出现, 这个比值另用一个符号 n表示,
? n=m/r (米 2／秒 ) 1-7
? n名为运动粘性系数
T=288?k,P=760毫米汞柱时，空气的
n=1,46707X10-5米 2／秒
? 因其量纲只包括长度和时间，只是运动学中的量。
?
实际流体和
理想流体
实际流体中应有阻力，这就是所
谓的达朗贝尔疑题。现在我们都
知道，这种阻力必须用流体粘性
影响来解释，由粘性流体力学来
分析汁算图 1 - 2 表示低速气流中
圆柱上的压强系数分布，可见理
论 ( 按理想流体计算 ) 与实验有显
著的差别，在圆柱背风面处特别
显著。图中 Cp 为压强系数，
Cp =( p - p
∞
) ／ 1 / 2 r
∞
U
∞
2
,P 为压
强,r 为密度,U 为速度，下标
∞
表示远前方来流条件。看录像
下图表示翼型 NPU2在马赫数 M=0.75时的压强分布。 NPU
翼型是西北工业大学 (Northwestern Polytechnicai University
___NWPU)空气动力学专业研究发展的一个翼型系列。
NPU2是一个超临界翼型。由图可见，按理想流体计算的
压强分布与实验值有较大差别，只有考虑粘性这样计算结
果才与买验值比较接近
圆球在低速流动中的阻力系数 CD随雷诺
(Reynolds)数 Re的变化曲线
? 阻力系数定义为； CD=D/(1/2 r∞ U∞ 2 A)
? 式中 D为圆球阻力, A=pd2／ 4为圆球的
迎风截面积, d为圆球直径,
? Re≡r∞ U∞ d／ μ∞＝ U∞d／ n
雷诺数
? 为简单起见, 我们讨论低速不可压缩流动中的
圆球阻力 。 根据经验, 圆球阻力 D应该与圆球
直径 d,流体密度 r∞,流体粘性系数 m∞和流动
速度 U∞田有关 。 即 D是 d,r∞,m∞,U∞的函数,
可写成,
? D=f (d,r∞,m∞,U∞) 1-8
? 我们现在用量纲理论对此作进一步分析 。 我们
采用质量 [M],长度 [L]和时间 [T]作为基本量纲,
则以上各物理量的量纲可表达如下,
? ┌─────┬─────┐
? │ 物 理 量 │ 量 纲 │
? ├─────┼─────┤
? │ D │ [ML／ T2]│
? │ d │ [L] │
? │ r∞ │ [M／ L3] │
? │ m∞ │ [M／ LT] │
? │ U∞ │ [L／ T] │
? └─────┴─────┘
? 现在假设式 (1-8)的等号右
边的代表性项为 r a∞U b∞dc
m∞d,其指数 。 a,b,c,d为待
定常数
? 根据物理等式两边各项的
量纲必须相同的条件,即得,
? [ML/T2]=[M/L3] a [L/T] b
[L] c[M/LT] d
? 使等号两边的相同基本量
纲的指数相等得到,
? 1= a + d
? 1= -3a + b + c- d
? -2= - b - d
? 解以上代数联立方程得, a=1 - d
? b=2 – d
? C=2 - d
? 故代表性项可写成,
? p∞U2∞d2 (m∞/r∞u∞d)d
? 把圆球迎风面积 A=p d2／ 4作为参考面积,
? 定义圆球阻力系数 CD为,
定义雷诺数 Re为,Re≡r∞
U∞ d/m
圆球阻力 CD=F(Re)
流动状态
(a)图状态下，流体成层状流动，称为层流状态。
(c)图状态下，流动呈高度非定常状态，非常紊乱，称为
湍流状态。
图 (b)的状态是一种过渡状态，是从层流到湍流的过渡。
雷诺发现，出现湍流状态的条件取决于组合量
Re= r U d/ m,
式中 r 为流体密度,U为管内平均流速,d为圆管直径,m
为流体的粘性系数。
? 对于管内流动,Re数在 2300左右时，流动一般
将转变成湍流状态。从层流转变为湍流的雷诺
数称为转变雷诺数。如果流体进入圆管前比较
稳定，管道入口段又比较光顺，则转变雷诺数
可能高于 2300，甚至可达到 40,000以上。但
即使流体原为湍流状态，若降低雷诺数，使 Re
数降低到 2000以下时，流动将恢复为层流。工
程上估算时，一般把,Re=2300作为转变雷诺
数，又称临界雷诺数。
附面层厚度
? 总的说来, 粘性是对全流场产生影响的 。 如何
划分外部理想流体流动和内部附面层流动的边界,
是要规定一定的条件的 。
? 例如, 我们可规定速度达到外流速度的 99%时为
外边界, 也可规定达到 99,5时为外边界 。
? U/Ue=99% or 99.5%
? 可是, 这样规定的附面层外边界, 这样规定的附
面层厚度 (附面层内边界到外边界的横向距离 )，
有较大的人为因素 。 在以后介绍附面层分析时,
我们还有比较明确的其它附面层厚度的定义 。
u/ue=0.99
δ
