1动能方程
用 u,v,w分别与 x,y,z方向的动量方程
相乘，然后把所得三式相加
)(
)()(
)(}(
zyx
w
zyx
v
zyx
u
wfvfuf
Dt
Dw
w
Dt
Dv
v
Dt
Du
u
z
yz
xz
zy
xx
xy
zx
yx
xx
zyx
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上式中等号左边的项可以写成动能变化的形式
Dt
DV
V
Dt
DV
Dt
Dw
Dt
Dv
Dt
Du
Dt
Dw
w
Dt
Dv
v
Dt
Du
u
??
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?
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2
222
2
1
}(
2
1
}(
利用彻体力等于负的位能的梯度,fxi+fyj+fzk=-?? 上
式中等号右边的第一项可以写位能势的全导数形式
是彻体力的势能其中 ?
?
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Dt
D
z
w
y
v
x
uwfvfuf
zyx
??
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把这动能和位能两个式子带入由动量合成的方程
(2-4-1)得
? 此方程叫动能方程
Dt
D
Dt
DV
zyx
w
zyx
v
zyx
u
Dt
D
Dt
DV
V
z
yz
xz
zy
xx
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yx
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2
2
1
:
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)(
上式左端也可以写成
根据能量守恒定律,
微元内的能量增加 =压力和粘应力做功 +流入热量
A = B + C
而物体内部能量 A 为,
? dx dy dz (e + 1/2 V2 + ? )
增加为, ? D (e + 1/2 V2 + ? ) /Dt dx dy dz
流体微元的能量不仅有内能 e,还有动能 1/2 V2和
位能 ?,后面的讨论经常忽略不计
2 内能方程
)(
dt
dV
V
dt
de
dx dy dz ??
在单位时间内,
该流体微元的能量增量可写成
14
B 流体微元应力,和表面压力所做的功
应力 ?xx+d? xx做功,
?xx u+ ??xx u/?x
?zx+d? zx
P+dP
P+dP
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?xx
做功,?xx u
14
B 流体微元和 y垂直表面 x方向应力所做的功
?yx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?yx+d? yx做功,
[?yx u+ ?(?yx u)/?y]dxdydz
U和 应力 ?yx在 x方向做功
u?yx dxdydz 上下两面相差 ?(?
yx u)/?y dxdydz
B 流体微元 x方向应力在和 z垂直表面所做的功
?zx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
u在 x方向做功 -u?zx
dxdydz
应力 ?zx+d? zx做功,
(?zx u+ ??zx u/?z)dxdydz
前后相差
?(?zx u)/?zdxdydz
B 流体微元 x向应力在和在和 x垂直表面所做的功
应力 ?xx+d? xx做功,
(?xx u+ ?(?xx
u)/?x)dxdydz
?zx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?xx做功 ?xx u
u在 x方向做功
u?xx dxdydz
左右相差
?(?xx u ) /?xdxdydz
以上计算的才仅仅是速度 u在
三个表面上和纯粘性应力结
合所作的功
还应当有速度 v所作的功
速度 w所作的功
以及速度 u,v,w对压力 p所作的功
下面求 v所作的功办法相同
-[(u p),x+(v p),y+(w p),z]dxdydz=-??(pV)
应力 ?xx+d? xx做功,
(?xx u+ ??xx u/?x)dxdydz
?zx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
u在 x方向做功
-u?xx dxdydz
应力 ?xy+d? xy y向做功,
(?xy v+ ??xy v/?x)dxdydz
应力 ?xyy向做功,
-(?xy v)dxdydz
?(?xx u)/?x dxdyd
?(?xy v)/?x dxdydz
?(?xz w)/?x dxdydz
对流体微元作的功的计算,在右侧的
微元面 dydz上作用的总应力为
pxx,pxy,pxz
单位时间内,在流体微元左侧的微元
面 dydz上作用于流体微元的功 Px 为,
式中负号表示应力与速度方向相反。
Px=-(u pxx+v pxy+w pxz)dydz
14
? 两面相减流体微元对外作
的功等于
dx
x
x
x ?
P?
?P
dx
x
dx
x
xx
xx
?
P?
??
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P?
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d x d y d zwpvpup
x xzxyxx
)( ??
?
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)(
)(
)(
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yzyyyx
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x
wpvpup
y
wpvpup
x
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三个表面做功的总和为
b
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)(
)(
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
wvu
x
wvu
y
wvu
x
Vp
???
???
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三个表面做功的总和为
流出 热量,
qx+ ?(qx)/?x d xdydz
qx = k ?T/?x
?zx+d? zx
v?yx 流入热量
qx
消去微元体积后对方程的贡献,
?(qx)/?x = ?( k ?T/?x)/?x
C 传入热量
流出 热量,
qx+ ?(qx)/?x d xdydz
qx = k ?T/?x
流出 热量
流入热量
qx
? 这是 根据傅里叶 (Fourier)传热定律, 单位
时间内通过单位面积的传热量和温度梯度
成正比,Q用矢量写成更一般的形式为,
? Q= qx i+qy j+ qzk 它和温度梯度的关系可
写成,
? q = -k ?T
? 式中 k为传热系数 。
在和 x垂直的表面上传热率是
qx =- k ?T/?x
于是，单位时间内通过六
个微元表面传给微元体 dxdydz的热量为
)( Tk ???
)(
)(
Tkdx dy dzqdx dy dz
z
q
y
q
x
q
dx dy dz
dz dx dy
z
q
dy dz dx
y
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x
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zyx
zyx
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去掉体积后得到传热对能量方程贡献项Ｃ
按能量守恒定律把以上各量联系起来,约
去 dxdydz，得到
)(
)(
)(
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zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
wvu
x
wvu
y
wvu
x
Vp
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dt
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V
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这是内能方程
3总能量方程 = 能量方程 - 动能方程
? 能量方程里面有 ?(DV/Dt+D?/Dt)
? 刚好是动能方程右边所描述,
? 两相减得到更简单的表达式
z
w
p
z
v
p
z
u
p
y
w
p
y
v
p
y
u
p
x
w
p
x
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x
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注意对角线上三项
等式右边对角线上的三项可以
写成
])()()[(2)(
])()()[(2))((
)2()2(
)2(
2222
222
z
w
y
v
x
u
VVP
z
w
y
v
x
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z
w
y
v
x
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VP
z
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y
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而非对角线的六项可以利用 Pij的对称性把
具有 Pij的项和具有 Pji的项写在一起,
? 注意到 (2-4-7)右边的第一项 -P??V中的 ??V还
可以进一步利用连续方程改写成下式,
222
)()()(
)()()(
z
v
x
w
z
u
y
w
y
u
x
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v
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y
w
p
y
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1???
两边同乘以 P以后
dt
dPp
dt
d
dt
dPVP ?????? )(
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??
?
连续方程
用此式代换上能量方程右边第一项
? 式中 h为热焓,定义是 h = e+P/?
? 最后一项 ?称为耗散函数,其表达式为,
?
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?? ????????? )()( Tk
dt
dPPe
dt
d
dt
dh
222
2222
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z
v
x
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? 可以证明, 当 ?≥0和 3?+2?≥0时, 耗散函
数 ?始终是正的 。
? 能量方程式也可写成一般正交坐标系中
的形式 (参看 曲面坐标系下的方程论述 )。
用 u,v,w分别与 x,y,z方向的动量方程
相乘，然后把所得三式相加
)(
)()(
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w
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v
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2
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式中等号右边的第一项可以写位能势的全导数形式
是彻体力的势能其中 ?
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把这动能和位能两个式子带入由动量合成的方程
(2-4-1)得
? 此方程叫动能方程
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zyx
w
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v
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u
Dt
D
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上式左端也可以写成
根据能量守恒定律,
微元内的能量增加 =压力和粘应力做功 +流入热量
A = B + C
而物体内部能量 A 为,
? dx dy dz (e + 1/2 V2 + ? )
增加为, ? D (e + 1/2 V2 + ? ) /Dt dx dy dz
流体微元的能量不仅有内能 e,还有动能 1/2 V2和
位能 ?,后面的讨论经常忽略不计
2 内能方程
)(
dt
dV
V
dt
de
dx dy dz ??
在单位时间内,
该流体微元的能量增量可写成
14
B 流体微元应力,和表面压力所做的功
应力 ?xx+d? xx做功,
?xx u+ ??xx u/?x
?zx+d? zx
P+dP
P+dP
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?xx
做功,?xx u
14
B 流体微元和 y垂直表面 x方向应力所做的功
?yx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?yx+d? yx做功,
[?yx u+ ?(?yx u)/?y]dxdydz
U和 应力 ?yx在 x方向做功
u?yx dxdydz 上下两面相差 ?(?
yx u)/?y dxdydz
B 流体微元 x方向应力在和 z垂直表面所做的功
?zx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
u在 x方向做功 -u?zx
dxdydz
应力 ?zx+d? zx做功,
(?zx u+ ??zx u/?z)dxdydz
前后相差
?(?zx u)/?zdxdydz
B 流体微元 x向应力在和在和 x垂直表面所做的功
应力 ?xx+d? xx做功,
(?xx u+ ?(?xx
u)/?x)dxdydz
?zx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?xx做功 ?xx u
u在 x方向做功
u?xx dxdydz
左右相差
?(?xx u ) /?xdxdydz
以上计算的才仅仅是速度 u在
三个表面上和纯粘性应力结
合所作的功
还应当有速度 v所作的功
速度 w所作的功
以及速度 u,v,w对压力 p所作的功
下面求 v所作的功办法相同
-[(u p),x+(v p),y+(w p),z]dxdydz=-??(pV)
应力 ?xx+d? xx做功,
(?xx u+ ??xx u/?x)dxdydz
?zx+d? zx
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
u在 x方向做功
-u?xx dxdydz
应力 ?xy+d? xy y向做功,
(?xy v+ ??xy v/?x)dxdydz
应力 ?xyy向做功,
-(?xy v)dxdydz
?(?xx u)/?x dxdyd
?(?xy v)/?x dxdydz
?(?xz w)/?x dxdydz
对流体微元作的功的计算,在右侧的
微元面 dydz上作用的总应力为
pxx,pxy,pxz
单位时间内,在流体微元左侧的微元
面 dydz上作用于流体微元的功 Px 为,
式中负号表示应力与速度方向相反。
Px=-(u pxx+v pxy+w pxz)dydz
14
? 两面相减流体微元对外作
的功等于
dx
x
x
x ?
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?P
dx
x
dx
x
xx
xx
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??
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三个表面做功的总和为
b
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三个表面做功的总和为
流出 热量,
qx+ ?(qx)/?x d xdydz
qx = k ?T/?x
?zx+d? zx
v?yx 流入热量
qx
消去微元体积后对方程的贡献,
?(qx)/?x = ?( k ?T/?x)/?x
C 传入热量
流出 热量,
qx+ ?(qx)/?x d xdydz
qx = k ?T/?x
流出 热量
流入热量
qx
? 这是 根据傅里叶 (Fourier)传热定律, 单位
时间内通过单位面积的传热量和温度梯度
成正比,Q用矢量写成更一般的形式为,
? Q= qx i+qy j+ qzk 它和温度梯度的关系可
写成,
? q = -k ?T
? 式中 k为传热系数 。
在和 x垂直的表面上传热率是
qx =- k ?T/?x
于是，单位时间内通过六
个微元表面传给微元体 dxdydz的热量为
)( Tk ???
)(
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Tkdx dy dzqdx dy dz
z
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dz dx dy
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去掉体积后得到传热对能量方程贡献项Ｃ
按能量守恒定律把以上各量联系起来,约
去 dxdydz，得到
)(
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zzzyzx
yzyyyx
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x
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这是内能方程
3总能量方程 = 能量方程 - 动能方程
? 能量方程里面有 ?(DV/Dt+D?/Dt)
? 刚好是动能方程右边所描述,
? 两相减得到更简单的表达式
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w
p
z
v
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u
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y
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y
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y
u
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注意对角线上三项
等式右边对角线上的三项可以
写成
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z
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而非对角线的六项可以利用 Pij的对称性把
具有 Pij的项和具有 Pji的项写在一起,
? 注意到 (2-4-7)右边的第一项 -P??V中的 ??V还
可以进一步利用连续方程改写成下式,
222
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z
v
x
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两边同乘以 P以后
dt
dPp
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连续方程
用此式代换上能量方程右边第一项
? 式中 h为热焓,定义是 h = e+P/?
? 最后一项 ?称为耗散函数,其表达式为,
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dt
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dt
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222
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???
???
? 可以证明, 当 ?≥0和 3?+2?≥0时, 耗散函
数 ?始终是正的 。
? 能量方程式也可写成一般正交坐标系中
的形式 (参看 曲面坐标系下的方程论述 )。
