粘性流体运动的基本方程组
研究粘性流体运动问题时, 我们关心的
物理量 — 般为,
流体的速度 V,
(对于空间流动, 有 u,v,w三速度分量 )
以及三个热力学状态参数,
压强 P,密度 r和温度 T,
共六个量,需要建 6方程
? 它们是空间三个坐标和时间的函数。把
这些量联系起来的方程是,
? 根据质量守恒定律的 质量方程 (连续方程 )，
根据动量定律 (牛顿第二定律 )的 动量方程
(沿空间三个坐标方向共有三个方程 ),
? 根据能量守恒定律的 能量方程
? 以及体现流体性质的 状态方程 。
状态方程及流体的一些热力学性质
? 完全气体的状态方程为,
? P=r R T
? 式中 R为气体常数, 它与气体的分子量有关 。
对混合气体 R也是常数 。 空气的
? R=287 N·m／ (kg,K)。
? 气体常数 R还可表成,
? R=R'/n
? 式中 R'为气体普适常数 。 对于各种气体, R'，
均为 8314N·m／ K,n在数值上等于气体的分
子量, 单位为 kg。
? 完全气体的定压比热 Cp与定容比热 Cv。 均只与
温度有关, 因而比热比 g 也只与温度有关,
? g≡Cp/Cv (2— 2)
? 此时, 内能 e与热焓 h可分别表为
? de = Cv dT (2— 3)
? dh = Cp dT (2— 4)
? 因为
? (2-5)
? 故得 Cv=Cp + R (2-6)
r
peh ??
? 可得
? (2-7)
? (2-8)
? 在一定的温度范围内,Cp和 Cv变化不大，可以作为常
数看待 (例如，当温度小于 600K时，空气的 Cp和 Cv,几
乎是常数,Cp=1004J/(kg·K),Cv=717J／ (kg·K),因此，
g=1,4),这时,由式 (2-3)和 (2-4)积分得,
? e = Cv T (2-9)
? h = Cp T (2-10)
1?
?
g
g RCp
1?
?
g
RCv
粘性和热传导
? 剪应力和剪应变关系 -> 粘性系数
? 空气粘性系数为 1.7894 10^-5,单位, 质量 /长度 x时间
? 导热率和温度梯度关系 ->导热系数
? 单位, 质量 x长度 /[度,(时间 )2]
? k=1.45? Cp Cp=1000 (J/Kg.K)
y
u
xy ?
?
? ??
y
Tkq
y ?
????
? 牛顿定律 F= m*a =rdx dy dz * DV/DT
? F 为：撤体力 (重力，离心力 ),表面力（压
力，摩擦力）
? DV/DT= ?u/?t i+ ?v/?t j+ ?w/?t k+单位
时间多流出的动量
? 取一 x方向分量分析单位时间从左表面进入
流量为 ru dxdy 动量为
? u ?u/? i+ ?v/?t j+ ?w/?t k
基本方程
基本方程
? 质量方程和无粘流没有区别
? 动量方程 纳维 — 斯托克斯方程
? 应力的记法
? 法向力,切向力,
? 假定要说的是作用在平面上某点 P的应力，我们
可以过 P作平面的法线矢 n,并过 P点作任一直角
坐标系 Pxyz,见上图，然后记作用在平面上 P点
的三个应力分量为 Pnx,Pny,Pnz,
压力 P
d y d zdxxxxxx )( ??? ??
d y d zdx
x
pp )(
?
??
B 流体微元应力,
和表面压力
?zx+d? zx
应力 ?xx
d x d x ydzz zxzx )( ??? ??
d x d x ydzz zxzx )( ??? ??
在和 x垂直表面流体微元 x向应力在和
P+dP
u ?yx
w ?yx
P
在 dydz面 x方向受正
粘性应力相差
(??xx/?x)dx dydz
应力 ?xx
dydz
应力
?xx+d? xx
由于两面距离 dx
在和 y垂直的表面上 x方向应力
?yx+d? yx
和 Y垂直表面由于 dy 的距离
x方向粘性应力
?yx +(?? yx /?y)dy
?yx dy
相差 (?? yx /?y)dy dxdz
流体微元 z垂直表面,x方向应力
P
?zx
应力 ?zx+d?zx
dz
相差 (?? zx /?z)dz dxdy
P
?zx
前后相差 (?? zx /?z)dz dxdy
左右相差 (?? xx /?x)dx dydz
上下相差 (?? yx /?y)dy dxdz
流体微元 3对表面 x方向应力合成
d x d y d z
zyx
xxyxxx ) (
?
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总和;
:
) (- F
,
x
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ad x d y d zm
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d x d y d z
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p
x
x
xx
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xx
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牛顿第二定律
微元体总受力为考虑压力以后
Dt
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p
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:同理可得
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zyxx
p
xxyxxx
r
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-
:受力为结合起来得到单位体积
注意变化
? 然而我们课本里面应力的表述有所不同
? 1这个应力里面的正应力不包括压力,所以
它表示的是纯粘性应力
? 真正和 x垂直表面应力是,
? P + ?xx
? 下标标记前后和昨天有所不同
?表示总应力
这种记法用两个下标,
? 第一个下标表示的是受力那个平面的法线方向
(或说受力平面垂直于此指定方向的 ),
? 第二个下标表示应力分量所指的方向。
? 这三个应力分量可以看作是一个总合应力的三
个投影。 如果我们在 P点画三个分别与坐标轴
x,y,z,相垂直的微小平面，则作用在这三个面上
的应力共有九个,
? ?xx,?xy,?xz,
? ?yx,?yy,?yz,
? ?zx,?zy,?zz,
应力和应变率的关系
? 2.12节 Eq.(2.126a)已经讲过,xy平面 应变率
为,
? 由于 xy平面剪应变一定是 ?xy,? yx生成,而
流体微元受力矩为零,所以
? ?xy = ? yx ~ exy
y
u
x
v
xy ?
??
?
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)(
y
u
x
v
xyyxxy ?
??
?
???? ??e??
?u/?y
dy
dx
?v/?x
单位时间总角度角应变,exy=?u/?y+ ?v/?x
物体所受剪应力应当和它成正比 ?xy=?exy
?xy
)(
)(
z
u
x
w
z
v
y
w
zxxz
zyyz
?
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的表达式为同理另两个方向剪应力
)(
x
v
y
u
yxxy
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?? ???也就是
还有正应力,?xx,?yy,?zz
在无粘流时它仅是压力, 如
果速度梯度 ?u/?x,?v/?y,
?w/?z很大时这些速度梯度
引起微元拉伸和压缩的变
形,也会引起一个附加的应
力
速度梯度 ?u/?x,?v/?y,?w/?z引起体积变形
?.V
? 纯粘性引起的正应力就可以写成
称为体弹性系数???
???
???
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3
2
2
2
2
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z
w
V
y
v
V
x
u
V
zz
yy
xx
?u/?x
dy
dx
?v/?y
?xy
单位时间 x长度拉伸率 exx=2 ?u/?x,
产生虎伯应力一样的力
单位时间 y和 z长度应变率, eyy=2?v/?y,
ezz=2?w/?z x向产生如同泊桑应力一样力
下面仅是一个说明
应力应当是 虎伯应力一样的力
和泊桑应力一样的力的总和
?xx=a exx+ b eyy + b ezz
= (a? b) exx+ b (exx+eyy+ezz)
由于 ab是个常数可写成
a’exx+b’ (exx+eyy+ezz)
也就是,
a 2 ?u/?x+
b’’ (?u/?x + ?v/?y + ?w/?z )
进一步整理成
= 2 ? ?u/?x +??,V
物体所受纯粘性正应力为
?xx=? exx+??.V
= 2 ? ?u/?x +??,V
加上压力的总正应力为
?xx=? exx+??.V- ?p/?x
= 2 ? ?u/?x +??,V - ?p/?x
对于湍流
Cp
y
T
kq
tyc o n d u c t i v it h e r m a le d d
y
u
l
ityv i se d d y
y
u
x
v
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__:
c o s_
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2
湍流热传导系数
加一个相应的热传导系数 也附
称为涡粘性系数
对于基本方程
无粘流已经得到这样的结论
F
Dt
DV
d x d y d zρ
a mF
??
???
?粘性流动速度的全导数仍和无粘流一
样,仅仅是受力 F 发生了变化
带入纯应力和应变率关系
)]2()([
)]([
)]([)2(
)]([
)]([)]([
)2(
y
w
V
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v
y
w
y
x
w
z
u
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P
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结束能量方程
能量方程
? 压力做功
? [u p-(u p + ? u p/?x,dx) ]dydz
= -?(up )/?x dxdydz
? 同样剪力 ? xy 新 做功
? [ (u ? xy + ?(u ? xy )/?y.dy) -u?xy ] dxdz
= ?(u ? xy)/?y dxdydz
? 同样剪力 ?zx做功
? [(u ?zx + ?(u ?zx)/?z.dz)- u ?zx]dydx
? = ?(u ?zx)/?zdxdydz
? 同样纯正应力 ?xx做功
? [ (u ?xx + ?(u ?xx)/?xdx)- u ?xx]dydx
? = ?(u ?xx)/?xdxdydz
? X方向力作的功总和为,
? [- ?(uP)/?x +?(u ?xx)/?x +?(u ?yx)/?y+
?(u ?xx)/?z] dxdydz
? 还有 y和 z方向应力作的功
? [- ?(vP)/?x +?(v ?xy)/?x +?(v ?yy)/?y+
?(v ?zy)/?z] dxdydz
? [- ?(wP)/?x +?(w ?zx)/?x
+?(w?yz)/?y+?(w ?zz)/?z] dxdydz
? 和起来就是应力作的功
热流量
? [qx - ( qx + ?qx/?x dx)]dydz= - ?qx/?x dxdydz
? 总和为,
? - (?qx/?x+ ?qy/?y+ ?qz/?z) dxdydz
? 带入热传导关系得到传导热量为
? (rq+?(k? T/?x)/?x+ ? (k? T/?y)/?y+ ? (k? T/?z)/?z)
dxdydz
? 内能变化
? A=rD(e+v2/2)/Dt dxdydz
? 综合
rD(e+v2/2)/Dt=
(rq+?(k? T/?x)/?x+ ? (k? T/?y)/?y+ ? (k? T/?z)/?z)
+ [- ?(up)/?x +?(u ?xx)/?x +?(u ?yx)/?y+
?(u ?zx)/?z]+
[- ?(vp)/?x +?(v ?xy)/?x +?(v ?yy)/?y+ ?(v ?zy)/?z]+
[- ?(wp)/?x +?(w ?xz)/?x +?(w?yz)/?y+?(w
?zz)/?z]
速度分布 速度分布和边界条件
1.无滑移条件 no - slip condition
at y =0,u=0,v=0,w=0,T=Tw
2,
? 速度分布和边界条件 ?
U
应力 ?xx+d? xx做功,
?xx u+ ??xx u/?x
?zx+d? zx
P+dP
P+dP
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?xx
做功,?xx u
? 取消对 x,z的导数
? 得到一个简单方程
? 压力的贡献,[-(p+dp)+P]dy =dp
dy=dp/dx *dxdy
? 摩擦的贡献
? ? -(?+d?)dx= d?dx
? = ??/?y *dxdy
p P+dp ?+d?
?
对于二维平行流动来说
? 仅考虑简单情况,动量平衡方程就是
? DU/Dt dxdy = -?p/?x dxdy
+ ??/?y *dxdy
? DU/Dt = -?p/?x + ??/?y
?xx+d? xx
?zx+d? zx
??yx+d? yx
P+dP
P+dP
P+dP
? 和 X轴向垂直的两面应力变化
? 压力贡献 [P - (P +?P/?x.dx)]dydz
? x面上纯粘性应力贡献,
[(?xx +? ?xx /?x.dx) -?xx ]dydz
? = ? ?xx /?x.dxdydz
? y面剪力,[(?yx +? ?yx /?y.dy) -?yx ]dxdz
? = ? ?yx /?y.dxdydz
? z面剪力, ? ?zx /?z.dxdydz
合起来得到 X向应力平衡方程
Ｆ x＝ -?P/?x +? ?xx /?x+ ? ?yx /?y+ ? ?zx /?z
? 考虑 F=ma
? 而 m=r dx dy dz
? 以及 ax=Du/Dt 消去 dxdydz 得到
? r DU/Dt = -?p/?x + ??xx/?x+ ??yx/?y+ ??zx/?z
? 同理 Y向动量方程
? r DV/Dt = -?p/?y + ??xy/?x+ ??yy/?y+ ??zy/?z
? z向,
? r DW/Dt = -?p/?z + ??xz/?z+ ??yz/?z+ ??zz/?z
研究粘性流体运动问题时, 我们关心的
物理量 — 般为,
流体的速度 V,
(对于空间流动, 有 u,v,w三速度分量 )
以及三个热力学状态参数,
压强 P,密度 r和温度 T,
共六个量,需要建 6方程
? 它们是空间三个坐标和时间的函数。把
这些量联系起来的方程是,
? 根据质量守恒定律的 质量方程 (连续方程 )，
根据动量定律 (牛顿第二定律 )的 动量方程
(沿空间三个坐标方向共有三个方程 ),
? 根据能量守恒定律的 能量方程
? 以及体现流体性质的 状态方程 。
状态方程及流体的一些热力学性质
? 完全气体的状态方程为,
? P=r R T
? 式中 R为气体常数, 它与气体的分子量有关 。
对混合气体 R也是常数 。 空气的
? R=287 N·m／ (kg,K)。
? 气体常数 R还可表成,
? R=R'/n
? 式中 R'为气体普适常数 。 对于各种气体, R'，
均为 8314N·m／ K,n在数值上等于气体的分
子量, 单位为 kg。
? 完全气体的定压比热 Cp与定容比热 Cv。 均只与
温度有关, 因而比热比 g 也只与温度有关,
? g≡Cp/Cv (2— 2)
? 此时, 内能 e与热焓 h可分别表为
? de = Cv dT (2— 3)
? dh = Cp dT (2— 4)
? 因为
? (2-5)
? 故得 Cv=Cp + R (2-6)
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? 可得
? (2-7)
? (2-8)
? 在一定的温度范围内,Cp和 Cv变化不大，可以作为常
数看待 (例如，当温度小于 600K时，空气的 Cp和 Cv,几
乎是常数,Cp=1004J/(kg·K),Cv=717J／ (kg·K),因此，
g=1,4),这时,由式 (2-3)和 (2-4)积分得,
? e = Cv T (2-9)
? h = Cp T (2-10)
1?
?
g
g RCp
1?
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g
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粘性和热传导
? 剪应力和剪应变关系 -> 粘性系数
? 空气粘性系数为 1.7894 10^-5,单位, 质量 /长度 x时间
? 导热率和温度梯度关系 ->导热系数
? 单位, 质量 x长度 /[度,(时间 )2]
? k=1.45? Cp Cp=1000 (J/Kg.K)
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? 牛顿定律 F= m*a =rdx dy dz * DV/DT
? F 为：撤体力 (重力，离心力 ),表面力（压
力，摩擦力）
? DV/DT= ?u/?t i+ ?v/?t j+ ?w/?t k+单位
时间多流出的动量
? 取一 x方向分量分析单位时间从左表面进入
流量为 ru dxdy 动量为
? u ?u/? i+ ?v/?t j+ ?w/?t k
基本方程
基本方程
? 质量方程和无粘流没有区别
? 动量方程 纳维 — 斯托克斯方程
? 应力的记法
? 法向力,切向力,
? 假定要说的是作用在平面上某点 P的应力，我们
可以过 P作平面的法线矢 n,并过 P点作任一直角
坐标系 Pxyz,见上图，然后记作用在平面上 P点
的三个应力分量为 Pnx,Pny,Pnz,
压力 P
d y d zdxxxxxx )( ??? ??
d y d zdx
x
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B 流体微元应力,
和表面压力
?zx+d? zx
应力 ?xx
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在和 x垂直表面流体微元 x向应力在和
P+dP
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P
在 dydz面 x方向受正
粘性应力相差
(??xx/?x)dx dydz
应力 ?xx
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应力
?xx+d? xx
由于两面距离 dx
在和 y垂直的表面上 x方向应力
?yx+d? yx
和 Y垂直表面由于 dy 的距离
x方向粘性应力
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相差 (?? yx /?y)dy dxdz
流体微元 z垂直表面,x方向应力
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相差 (?? zx /?z)dz dxdy
P
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前后相差 (?? zx /?z)dz dxdy
左右相差 (?? xx /?x)dx dydz
上下相差 (?? yx /?y)dy dxdz
流体微元 3对表面 x方向应力合成
d x d y d z
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总和;
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微元体总受力为考虑压力以后
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:同理可得
Dt
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?
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?
?
?
?
?
-
:受力为结合起来得到单位体积
注意变化
? 然而我们课本里面应力的表述有所不同
? 1这个应力里面的正应力不包括压力,所以
它表示的是纯粘性应力
? 真正和 x垂直表面应力是,
? P + ?xx
? 下标标记前后和昨天有所不同
?表示总应力
这种记法用两个下标,
? 第一个下标表示的是受力那个平面的法线方向
(或说受力平面垂直于此指定方向的 ),
? 第二个下标表示应力分量所指的方向。
? 这三个应力分量可以看作是一个总合应力的三
个投影。 如果我们在 P点画三个分别与坐标轴
x,y,z,相垂直的微小平面，则作用在这三个面上
的应力共有九个,
? ?xx,?xy,?xz,
? ?yx,?yy,?yz,
? ?zx,?zy,?zz,
应力和应变率的关系
? 2.12节 Eq.(2.126a)已经讲过,xy平面 应变率
为,
? 由于 xy平面剪应变一定是 ?xy,? yx生成,而
流体微元受力矩为零,所以
? ?xy = ? yx ~ exy
y
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单位时间总角度角应变,exy=?u/?y+ ?v/?x
物体所受剪应力应当和它成正比 ?xy=?exy
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的表达式为同理另两个方向剪应力
)(
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?? ???也就是
还有正应力,?xx,?yy,?zz
在无粘流时它仅是压力, 如
果速度梯度 ?u/?x,?v/?y,
?w/?z很大时这些速度梯度
引起微元拉伸和压缩的变
形,也会引起一个附加的应
力
速度梯度 ?u/?x,?v/?y,?w/?z引起体积变形
?.V
? 纯粘性引起的正应力就可以写成
称为体弹性系数???
???
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单位时间 x长度拉伸率 exx=2 ?u/?x,
产生虎伯应力一样的力
单位时间 y和 z长度应变率, eyy=2?v/?y,
ezz=2?w/?z x向产生如同泊桑应力一样力
下面仅是一个说明
应力应当是 虎伯应力一样的力
和泊桑应力一样的力的总和
?xx=a exx+ b eyy + b ezz
= (a? b) exx+ b (exx+eyy+ezz)
由于 ab是个常数可写成
a’exx+b’ (exx+eyy+ezz)
也就是,
a 2 ?u/?x+
b’’ (?u/?x + ?v/?y + ?w/?z )
进一步整理成
= 2 ? ?u/?x +??,V
物体所受纯粘性正应力为
?xx=? exx+??.V
= 2 ? ?u/?x +??,V
加上压力的总正应力为
?xx=? exx+??.V- ?p/?x
= 2 ? ?u/?x +??,V - ?p/?x
对于湍流
Cp
y
T
kq
tyc o n d u c t i v it h e r m a le d d
y
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__:
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2
湍流热传导系数
加一个相应的热传导系数 也附
称为涡粘性系数
对于基本方程
无粘流已经得到这样的结论
F
Dt
DV
d x d y d zρ
a mF
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???
?粘性流动速度的全导数仍和无粘流一
样,仅仅是受力 F 发生了变化
带入纯应力和应变率关系
)]2()([
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y
w
V
zz
v
y
w
y
x
w
z
u
xz
P
Dt
Dw
z
v
y
w
zy
v
V
y
y
u
x
v
xy
P
Dt
Dv
y
w
z
v
zy
u
x
v
y
x
u
V
xx
P
Dt
Du
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结束能量方程
能量方程
? 压力做功
? [u p-(u p + ? u p/?x,dx) ]dydz
= -?(up )/?x dxdydz
? 同样剪力 ? xy 新 做功
? [ (u ? xy + ?(u ? xy )/?y.dy) -u?xy ] dxdz
= ?(u ? xy)/?y dxdydz
? 同样剪力 ?zx做功
? [(u ?zx + ?(u ?zx)/?z.dz)- u ?zx]dydx
? = ?(u ?zx)/?zdxdydz
? 同样纯正应力 ?xx做功
? [ (u ?xx + ?(u ?xx)/?xdx)- u ?xx]dydx
? = ?(u ?xx)/?xdxdydz
? X方向力作的功总和为,
? [- ?(uP)/?x +?(u ?xx)/?x +?(u ?yx)/?y+
?(u ?xx)/?z] dxdydz
? 还有 y和 z方向应力作的功
? [- ?(vP)/?x +?(v ?xy)/?x +?(v ?yy)/?y+
?(v ?zy)/?z] dxdydz
? [- ?(wP)/?x +?(w ?zx)/?x
+?(w?yz)/?y+?(w ?zz)/?z] dxdydz
? 和起来就是应力作的功
热流量
? [qx - ( qx + ?qx/?x dx)]dydz= - ?qx/?x dxdydz
? 总和为,
? - (?qx/?x+ ?qy/?y+ ?qz/?z) dxdydz
? 带入热传导关系得到传导热量为
? (rq+?(k? T/?x)/?x+ ? (k? T/?y)/?y+ ? (k? T/?z)/?z)
dxdydz
? 内能变化
? A=rD(e+v2/2)/Dt dxdydz
? 综合
rD(e+v2/2)/Dt=
(rq+?(k? T/?x)/?x+ ? (k? T/?y)/?y+ ? (k? T/?z)/?z)
+ [- ?(up)/?x +?(u ?xx)/?x +?(u ?yx)/?y+
?(u ?zx)/?z]+
[- ?(vp)/?x +?(v ?xy)/?x +?(v ?yy)/?y+ ?(v ?zy)/?z]+
[- ?(wp)/?x +?(w ?xz)/?x +?(w?yz)/?y+?(w
?zz)/?z]
速度分布 速度分布和边界条件
1.无滑移条件 no - slip condition
at y =0,u=0,v=0,w=0,T=Tw
2,
? 速度分布和边界条件 ?
U
应力 ?xx+d? xx做功,
?xx u+ ??xx u/?x
?zx+d? zx
P+dP
P+dP
P+dP
u ?yx
v?yx
w ?yx
P
应力 ?xx
做功,?xx u
? 取消对 x,z的导数
? 得到一个简单方程
? 压力的贡献,[-(p+dp)+P]dy =dp
dy=dp/dx *dxdy
? 摩擦的贡献
? ? -(?+d?)dx= d?dx
? = ??/?y *dxdy
p P+dp ?+d?
?
对于二维平行流动来说
? 仅考虑简单情况,动量平衡方程就是
? DU/Dt dxdy = -?p/?x dxdy
+ ??/?y *dxdy
? DU/Dt = -?p/?x + ??/?y
?xx+d? xx
?zx+d? zx
??yx+d? yx
P+dP
P+dP
P+dP
? 和 X轴向垂直的两面应力变化
? 压力贡献 [P - (P +?P/?x.dx)]dydz
? x面上纯粘性应力贡献,
[(?xx +? ?xx /?x.dx) -?xx ]dydz
? = ? ?xx /?x.dxdydz
? y面剪力,[(?yx +? ?yx /?y.dy) -?yx ]dxdz
? = ? ?yx /?y.dxdydz
? z面剪力, ? ?zx /?z.dxdydz
合起来得到 X向应力平衡方程
Ｆ x＝ -?P/?x +? ?xx /?x+ ? ?yx /?y+ ? ?zx /?z
? 考虑 F=ma
? 而 m=r dx dy dz
? 以及 ax=Du/Dt 消去 dxdydz 得到
? r DU/Dt = -?p/?x + ??xx/?x+ ??yx/?y+ ??zx/?z
? 同理 Y向动量方程
? r DV/Dt = -?p/?y + ??xy/?x+ ??yy/?y+ ??zy/?z
? z向,
? r DW/Dt = -?p/?z + ??xz/?z+ ??yz/?z+ ??zz/?z
