1
期末总复习第八章 静定结构位移计算
1、计算结构位移主要目的
b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
a）荷载作用；
2、产生位移的原因主要有三种?
状态 1是满足平衡条件的力状态，状态 2是满足变形连续条件的位移状态，状态 1的外力在状态 2的位移上作的外虚功等于状态 1的各微段的内力在状态 2各微段的形上作的内虚功之和
dsMdsQdsNT 21212112
a）验算结构的刚度；
b）为超静定结构的内力分析打基础。
3、变形体系的虚功原理,
( ) -D iicRdsMQN 222 (8–10)
注,1) 既适用于静定结构，也适用于超静定结构 ;
2) 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料 ;
3) 产生位移的原因可以是各种因素 ;
4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对位移的影响；
5) (8–10)右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，
乘积取正。
4、结构位移计算的一般公式
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
D dsGAQQkds dsEIMM PP EANN Pkp （ 8–15）
1） EI,EA,GA分别是杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度；
k是一个与截面形状有关的系数，对于矩形截面、圆形截面,k分别等于 1.2和 10/9。
MQN,,
5）桁架D l
EA
NN P
iP
6）桁梁混合结构 lEANNdsEIMM PP
用于梁式杆用于桁架杆
7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中计算水平位移或压力线与拱轴线比较接近时才考虑轴向变形对位移的影响，即
3） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲变形对位移的影响。
4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
Δ=
2） NP,QP,MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；
虚设单位荷载引起的内力是
D dxEIMM PiP
D dsEANNdsEIMM PP
9）虚拟力状态,在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载。
P=1 m=1
m=1m=1
P=1
P=1
l
1/l
1/l
A
B 求 A点的水平位移 求 A截面的转角求 AB两截面的相对转角求 AB两点的相对位移 求 AB两点连线的转角
8）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系
6,图乘法
D P EIydxEIMM 0w
① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位臵：
a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图至少有一个是直线。
取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
④ 面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
③ 竖标 y0
⑦ 非标准图形乘直线形：
a）直线形乘直线形
( )bcadbdacl 22
6
dxMM ki a b
dc
l
l
a b
dc
h
( )226 bcadbdaclS
b)非标准抛物线成直线形
23
2 dchl?
+ba
h=
-?D KKic cR
7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿截面高度按线性变化。
2）正负规定：
D±?it? MN htt wawa 0
8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
1）该公式仅适用于静定结构。
2）正负规定：
9 互等定理
适用条件：弹性体系（小变形,ζ=Eε）
内容
W12= W21 2112
dd?
r12=r21
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
16kN/m
4m 4m
5m
3m
求图示刚架 C铰左右两截面的相对转动。 EI=5× 104kN.m
80 32
kNfMH C 1688 816
20
16 16 M
MP
mfMH C 81
0
1/8 1/8
5/8
1
r a d
C
0 05 8 67.0
2
1
8
5
2
1
3
3252
3
1
8
5
3
2
2
805
8
5
3
2
2
805
105
2
4
-
D?
m=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
l
A B
求图示简支梁中点的挠度。 EI=常数，弹簧的刚度系数为 k。
ql2/8
ql/2
A B
P=1
l/4
1/2M
MP
k
ql
EI
ql
k
qllqll
EI
k
NN
dx
EI
MM
PP
C
43 8 5
5
22
1
2
48
5
823
21
4
2
D?
试用单位荷载法求出梁的挠曲线。
P
l
Pl
MP
P=1
x
l－ x
M
Px
( ) ( )( )
( ) ( )lxxl
EI
P
xlPxxlPl
EI
xl
xy
2
6
2
6
)(
2
-?
-?-
-
求 ΔDV
P P P
4m× 3=12m
3m
A
B
D
C
－ 8P
P=1
－ 4/3
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
EA
PPPP
EADV
724
3
445
3
553131?
D
8P
3P
第九章 力 法超静定结构：内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
超静定次数确定超静定次数 =多余约束的个数 =
多余未知力的个数撤除约束的方式：
（ 1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
（ 2）撤除一个铰支座,撤除一个单铰或撤除一个滑动支座，等于撤除两个约束。
（ 3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数
=未知力的个数 —平衡方程的个数
§ 9.1 超静定结构的组成和超静定次数撤除约束时需要注意的几个问题：
（ 1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X3
X1 X2
X3
X1
X2
X3
X1
X1 X2
X3
（ 2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（ 3）内外多余约束都要撤除。
外部一次，内部六次共七次超静定
（ 4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
1
撤除支杆 1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆
1 2
34
5
1,2,5
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 ——多余未知力；
基本体系 ——静定结构；
基本方程 ——位移条件 ——变形协调条件。
§ 9.2 力法的基本概念
2、多次超静定结构的计算
↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
q ↓↓↓↓↓↓↓↓
X1
↓↓↓↓↓↓↓↓ B
基本体系 X2 X1
X2
ΔBH=Δ 1
ΔBV=Δ2=0
=0
＝ ＝ ＋
＋
Δ1=Δ11＋ Δ12＋ Δ1P=0
=1
=1
× X2
δ21
Δ1P
δ12
δ22
Δ2P
δ11X1＋ δ12X2＋ Δ1P＝ 0
δ21X1＋ δ22X2＋ Δ2P＝ 0
δ11
× X1
含义,基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知力方向上的位移应等于原结构相应的位移。
主系数 δii表示基本体系由 Xi=1产生的 Xi方向上的位移付系数 δik表示基本体系由 Xk =1产生的 Xi方向上的位移自由项 ΔiP表示基本体系由荷载产生的 Xi方向上的位移主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。
D
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MMds
EI
MMds
EI
M Pi
iP
ki
ik
i
ii dd
对于 n次超静定结有 n个多余未知力 X1,X2,…… X n，力法基本体系与原结构等价的条件是 n个位移条件,Δ1=0,Δ2=0,……Δ n=0，将它们展开
δ11X1+ δ12X2+……+ δ 1nXn+ Δ 1P=0
δ21X1+ δ22X2+……+ δ 2nXn+ Δ 2P=0
δn1X1+ δn2X2+……+ δ nnXn+ Δ nP=0
…………………………………………
或,Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i,j=1,2,……n
力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）按 M=∑Mi·Xi+MP 叠加最后弯矩图。
计算刚架的位移时，只考虑弯曲的影响。但高层建筑的柱要考虑轴力影响，
短而粗的杆要考虑剪力影响。
1）重视校核工作，培养校核习惯。
2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。
3）计算书要整洁易懂，层次分明。
4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。
力法校核
1）阶段校核：
①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否几何不变。
②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。
③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。
§ 9-7 超静定结构计算的校核
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23k
N/
m
6m
6mEI
EI
EI
A B
198
103.5
81
135
M
kNm
q=
23kN
/m
X1
基本体系
↑↑↑↑↑↑↑X1
X2
X2
§ 9.6 超静定结构的位移计算
Δ1=0
Δ2=0当 {
原结构与基本体系在受力方面和变形方面完全相同由此求得 =36=－ 13.5
求原结构的位移就归结求基本体系的位移。
X =1
6
M
C D
D
D
例,ΔCH= ΔDH
1 6= — —（ 2× 6× 135－ 6× 81）
EI 6
1134= ——
EI
虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，
计算结果相同。例,Δ
GV
G
G 1 3
M
1
1.56× 1.5 81 729=－ ——— ·— = － ——
2EI 2 4EI EIEI 7 2 9362 1 3 581)28138132(631 --
超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算
c1
c2
M N Q M N Q R
-D cRdsGA QQkdsEA NNdsEI MM
P=1
M N Q
t1 t2
M N Q
P=1
DD dstNdsh tMdsGA QQkdsEA NNdsEI MM 0aa
GA
kQ
EA
N
EI
M
GA
kQ
EA
N
EI
M
h
tD?a t?a
0
D
D
dstNds
h
t
M
ds
GA
QQk
ds
EA
NN
ds
EI
MM
0a
a?- cR
综合影响下的位移计算公式
a
EI l
- lalEI?3 M
例 9-7 求超静定梁跨中挠度。
P=1
l/4
1/2
( ) ala
l
a
l
EIll
EI 16
5
16
3
2
13
2
1
42
11--
-
D
P=1l/2
l/2
( ) all
l
a
l
EIll
EI 16
5
16
3
2
3
6
5
222
11--
-
-?D
5P/16
3Pl/16
由功的互等定理得到,W12=W21
W12=0 W21=Δc× 1+∑R*× c=W12=0
Δc=
alal 165163165163 ---?D
－ ∑R*× c 这里 R*是超静定结构由单位荷载产生的支座反力静定结构超静定结构荷载作用 支座移动温度改变内力变形位移内力变形位移由平衡条件求 不产生内力不产生变形综合考虑平衡条件和变形连续条件来求
κ M= —EI ε N= —EA γ kQ=——GA αt0
κ M=——EI
ε=
＋ αΔt——h
κ= αΔt——h
κ M= —EI ε N= —EA…… …κ M= —
EI ε
N= —
EA γ
kQ=——
GA
静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表
D
D
ds
h
t
M
ds
EI
MM
a?
-
D
cR
ds
EI
MM
D
ds
EA
NN
ds
EI
MM
D dsEIMMD?D dsh tM a?-?D cR
§ 9-8 结构对称性的利用 对称结构是几何形状,支座,刚度 都对称的结构
EI
EI EI
1、对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
a）位于对称轴上的截面的位移,内力
P P
C
uc=0,θc=0
P P
QC=0
QC
P C
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设臵成定向支座。
对称,uc=0,θc=0
中柱,vc=0
P P
C
C
P
等代结构
P P
C
对称,uc=0,θc=0
中柱,vc=0
P P
C
对称,uc=0
中柱,vc=0
P 等代结构
c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法,将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
NC NCMC
P P
C
2EI
EI
EI EI
2、对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
a）位于对称轴上的截面的位移,内力
P P
vc=0
P P
NC=0,MC=0
QC
P
C
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是 将对称轴上的截面设臵成支杆 。
c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
P
等代结构
P
等代结构
C
P P
C
2EI
P P
C
2EI
EI
EI
NC NCMC
EI EI
EI EI
QC QC
由于荷载是反对称的，故 C截面只有剪力 QC
当不考虑轴向变形时,QC对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。
等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
2EIP P
C
2EI
EI
P
P P
C
P P
例：绘制图示结构的内力图。
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
EI
6m
6m23kN
/m
等代结构的计算
103.5
81
135
M
K kN·m
198198
103.5
81
135
kNm
198
103.5
81
135
kNm
396
207
等代结构利用对称性计算要点：
①选取等代结构；
②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；
③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；
④非对称荷载分成对称和分对称荷载。
EI
EI
2EI
EI
EI
6m 6m
6m
↑↑↑↑↑↑↑
46kN
/m
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种：
1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
－ P
M=0
2）一集中力沿 一柱轴作用，只有该柱有轴力。
－ P
M=0 M=0
3）无结点线位移的结构，
受结点集中力作用，只有轴力。
MP=0MP=0 Δ1P=0 δ11>0
X1= Δ1P/δ11=0 M=M1X1+MP=0
P P
P P
P
无弯矩状态的判定：
期末总复习第八章 静定结构位移计算
1、计算结构位移主要目的
b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
a）荷载作用；
2、产生位移的原因主要有三种?
状态 1是满足平衡条件的力状态，状态 2是满足变形连续条件的位移状态，状态 1的外力在状态 2的位移上作的外虚功等于状态 1的各微段的内力在状态 2各微段的形上作的内虚功之和
dsMdsQdsNT 21212112
a）验算结构的刚度；
b）为超静定结构的内力分析打基础。
3、变形体系的虚功原理,
( ) -D iicRdsMQN 222 (8–10)
注,1) 既适用于静定结构，也适用于超静定结构 ;
2) 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料 ;
3) 产生位移的原因可以是各种因素 ;
4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对位移的影响；
5) (8–10)右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，
乘积取正。
4、结构位移计算的一般公式
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
D dsGAQQkds dsEIMM PP EANN Pkp （ 8–15）
1） EI,EA,GA分别是杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度；
k是一个与截面形状有关的系数，对于矩形截面、圆形截面,k分别等于 1.2和 10/9。
MQN,,
5）桁架D l
EA
NN P
iP
6）桁梁混合结构 lEANNdsEIMM PP
用于梁式杆用于桁架杆
7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中计算水平位移或压力线与拱轴线比较接近时才考虑轴向变形对位移的影响，即
3） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲变形对位移的影响。
4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的
Δ=
2） NP,QP,MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因；
虚设单位荷载引起的内力是
D dxEIMM PiP
D dsEANNdsEIMM PP
9）虚拟力状态,在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单位荷载。
P=1 m=1
m=1m=1
P=1
P=1
l
1/l
1/l
A
B 求 A点的水平位移 求 A截面的转角求 AB两截面的相对转角求 AB两点的相对位移 求 AB两点连线的转角
8）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系
6,图乘法
D P EIydxEIMM 0w
① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位臵：
a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图至少有一个是直线。
取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
④ 面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
③ 竖标 y0
⑦ 非标准图形乘直线形：
a）直线形乘直线形
( )bcadbdacl 22
6
dxMM ki a b
dc
l
l
a b
dc
h
( )226 bcadbdaclS
b)非标准抛物线成直线形
23
2 dchl?
+ba
h=
-?D KKic cR
7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿截面高度按线性变化。
2）正负规定：
D±?it? MN htt wawa 0
8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
1）该公式仅适用于静定结构。
2）正负规定：
9 互等定理
适用条件：弹性体系（小变形,ζ=Eε）
内容
W12= W21 2112
dd?
r12=r21
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
16kN/m
4m 4m
5m
3m
求图示刚架 C铰左右两截面的相对转动。 EI=5× 104kN.m
80 32
kNfMH C 1688 816
20
16 16 M
MP
mfMH C 81
0
1/8 1/8
5/8
1
r a d
C
0 05 8 67.0
2
1
8
5
2
1
3
3252
3
1
8
5
3
2
2
805
8
5
3
2
2
805
105
2
4
-
D?
m=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
l
A B
求图示简支梁中点的挠度。 EI=常数，弹簧的刚度系数为 k。
ql2/8
ql/2
A B
P=1
l/4
1/2M
MP
k
ql
EI
ql
k
qllqll
EI
k
NN
dx
EI
MM
PP
C
43 8 5
5
22
1
2
48
5
823
21
4
2
D?
试用单位荷载法求出梁的挠曲线。
P
l
Pl
MP
P=1
x
l－ x
M
Px
( ) ( )( )
( ) ( )lxxl
EI
P
xlPxxlPl
EI
xl
xy
2
6
2
6
)(
2
-?
-?-
-
求 ΔDV
P P P
4m× 3=12m
3m
A
B
D
C
－ 8P
P=1
－ 4/3
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
EA
PPPP
EADV
724
3
445
3
553131?
D
8P
3P
第九章 力 法超静定结构：内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。
超静定次数确定超静定次数 =多余约束的个数 =
多余未知力的个数撤除约束的方式：
（ 1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
（ 2）撤除一个铰支座,撤除一个单铰或撤除一个滑动支座，等于撤除两个约束。
（ 3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
把原结构变成静定结构时所需撤除的约束个数
=未知力的个数 —平衡方程的个数
§ 9.1 超静定结构的组成和超静定次数撤除约束时需要注意的几个问题：
（ 1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X3
X1 X2
X3
X1
X2
X3
X1
X1 X2
X3
（ 2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（ 3）内外多余约束都要撤除。
外部一次，内部六次共七次超静定
（ 4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
1
撤除支杆 1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆
1 2
34
5
1,2,5
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 ——多余未知力；
基本体系 ——静定结构；
基本方程 ——位移条件 ——变形协调条件。
§ 9.2 力法的基本概念
2、多次超静定结构的计算
↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
q ↓↓↓↓↓↓↓↓
X1
↓↓↓↓↓↓↓↓ B
基本体系 X2 X1
X2
ΔBH=Δ 1
ΔBV=Δ2=0
=0
＝ ＝ ＋
＋
Δ1=Δ11＋ Δ12＋ Δ1P=0
=1
=1
× X2
δ21
Δ1P
δ12
δ22
Δ2P
δ11X1＋ δ12X2＋ Δ1P＝ 0
δ21X1＋ δ22X2＋ Δ2P＝ 0
δ11
× X1
含义,基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知力方向上的位移应等于原结构相应的位移。
主系数 δii表示基本体系由 Xi=1产生的 Xi方向上的位移付系数 δik表示基本体系由 Xk =1产生的 Xi方向上的位移自由项 ΔiP表示基本体系由荷载产生的 Xi方向上的位移主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。
D
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MMds
EI
MMds
EI
M Pi
iP
ki
ik
i
ii dd
对于 n次超静定结有 n个多余未知力 X1,X2,…… X n，力法基本体系与原结构等价的条件是 n个位移条件,Δ1=0,Δ2=0,……Δ n=0，将它们展开
δ11X1+ δ12X2+……+ δ 1nXn+ Δ 1P=0
δ21X1+ δ22X2+……+ δ 2nXn+ Δ 2P=0
δn1X1+ δn2X2+……+ δ nnXn+ Δ nP=0
…………………………………………
或,Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i,j=1,2,……n
力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）按 M=∑Mi·Xi+MP 叠加最后弯矩图。
计算刚架的位移时，只考虑弯曲的影响。但高层建筑的柱要考虑轴力影响，
短而粗的杆要考虑剪力影响。
1）重视校核工作，培养校核习惯。
2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。
3）计算书要整洁易懂，层次分明。
4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。
力法校核
1）阶段校核：
①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否几何不变。
②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。
③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。
§ 9-7 超静定结构计算的校核
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23k
N/
m
6m
6mEI
EI
EI
A B
198
103.5
81
135
M
kNm
q=
23kN
/m
X1
基本体系
↑↑↑↑↑↑↑X1
X2
X2
§ 9.6 超静定结构的位移计算
Δ1=0
Δ2=0当 {
原结构与基本体系在受力方面和变形方面完全相同由此求得 =36=－ 13.5
求原结构的位移就归结求基本体系的位移。
X =1
6
M
C D
D
D
例,ΔCH= ΔDH
1 6= — —（ 2× 6× 135－ 6× 81）
EI 6
1134= ——
EI
虚拟的单位荷载可以加在任一基本体系上，
计算结果相同。例,Δ
GV
G
G 1 3
M
1
1.56× 1.5 81 729=－ ——— ·— = － ——
2EI 2 4EI EIEI 7 2 9362 1 3 581)28138132(631 --
超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算
c1
c2
M N Q M N Q R
-D cRdsGA QQkdsEA NNdsEI MM
P=1
M N Q
t1 t2
M N Q
P=1
DD dstNdsh tMdsGA QQkdsEA NNdsEI MM 0aa
GA
kQ
EA
N
EI
M
GA
kQ
EA
N
EI
M
h
tD?a t?a
0
D
D
dstNds
h
t
M
ds
GA
QQk
ds
EA
NN
ds
EI
MM
0a
a?- cR
综合影响下的位移计算公式
a
EI l
- lalEI?3 M
例 9-7 求超静定梁跨中挠度。
P=1
l/4
1/2
( ) ala
l
a
l
EIll
EI 16
5
16
3
2
13
2
1
42
11--
-
D
P=1l/2
l/2
( ) all
l
a
l
EIll
EI 16
5
16
3
2
3
6
5
222
11--
-
-?D
5P/16
3Pl/16
由功的互等定理得到,W12=W21
W12=0 W21=Δc× 1+∑R*× c=W12=0
Δc=
alal 165163165163 ---?D
－ ∑R*× c 这里 R*是超静定结构由单位荷载产生的支座反力静定结构超静定结构荷载作用 支座移动温度改变内力变形位移内力变形位移由平衡条件求 不产生内力不产生变形综合考虑平衡条件和变形连续条件来求
κ M= —EI ε N= —EA γ kQ=——GA αt0
κ M=——EI
ε=
＋ αΔt——h
κ= αΔt——h
κ M= —EI ε N= —EA…… …κ M= —
EI ε
N= —
EA γ
kQ=——
GA
静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表
D
D
ds
h
t
M
ds
EI
MM
a?
-
D
cR
ds
EI
MM
D
ds
EA
NN
ds
EI
MM
D dsEIMMD?D dsh tM a?-?D cR
§ 9-8 结构对称性的利用 对称结构是几何形状,支座,刚度 都对称的结构
EI
EI EI
1、对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
a）位于对称轴上的截面的位移,内力
P P
C
uc=0,θc=0
P P
QC=0
QC
P C
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设臵成定向支座。
对称,uc=0,θc=0
中柱,vc=0
P P
C
C
P
等代结构
P P
C
对称,uc=0,θc=0
中柱,vc=0
P P
C
对称,uc=0
中柱,vc=0
P 等代结构
c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法,将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
NC NCMC
P P
C
2EI
EI
EI EI
2、对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
a）位于对称轴上的截面的位移,内力
P P
vc=0
P P
NC=0,MC=0
QC
P
C
等代结构
b）奇数跨对称结构的等代结构是 将对称轴上的截面设臵成支杆 。
c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
P
等代结构
P
等代结构
C
P P
C
2EI
P P
C
2EI
EI
EI
NC NCMC
EI EI
EI EI
QC QC
由于荷载是反对称的，故 C截面只有剪力 QC
当不考虑轴向变形时,QC对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。
等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法
2EIP P
C
2EI
EI
P
P P
C
P P
例：绘制图示结构的内力图。
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
EI
6m
6m23kN
/m
等代结构的计算
103.5
81
135
M
K kN·m
198198
103.5
81
135
kNm
198
103.5
81
135
kNm
396
207
等代结构利用对称性计算要点：
①选取等代结构；
②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；
③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；
④非对称荷载分成对称和分对称荷载。
EI
EI
2EI
EI
EI
6m 6m
6m
↑↑↑↑↑↑↑
46kN
/m
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种：
1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
－ P
M=0
2）一集中力沿 一柱轴作用，只有该柱有轴力。
－ P
M=0 M=0
3）无结点线位移的结构，
受结点集中力作用，只有轴力。
MP=0MP=0 Δ1P=0 δ11>0
X1= Δ1P/δ11=0 M=M1X1+MP=0
P P
P P
P
无弯矩状态的判定：
