2009-8-20 1
第八章
2009-8-20 2
§ 8-1 移动荷载与影响线的概念移动荷载的例子目的,解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。
内容,1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围；
2）确定内力的最大值及相应的荷载位置 —— 最不利荷载位置。
方法,在各种荷载中抽象出单位荷载（ P =1）。
2009-8-20 3
P=1P=1 P=1P=1P=1
l
0.25 0.5 0.75 1.0
x
BR
利用平衡条件建立影响线方程,
lxlxPlxR B 0
BR 的影响线 (I,L)－ Influence Line
P1 P2影响线的应用例：
2211 yPyPR B
1y
2y
定义,当单位荷载（ P=1）在结构上移动时，表示结构某一指定截面中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线。
l
BR
2009-8-20 4
无论是研究结构在移动荷载作用下的内力变化规律或最不利荷载位置，内力影响线都是最基本的工具。
影响线有两种画法； 静力法和机动法。
§ 8-2 静力法作静定梁的影响线
P=1x
l
A B
BRA
R
0)1( BA MR
01 xllR A
lxl xlR A 0,
1
ARLI.
1
BRLI,
lxlxPlxR B 0
0)2( AB MR
一、简支梁的影响线
2009-8-20 5
P=1x
l
A B
BRA
R
1
ARLI.
1
BRLI.
C
a b
分段考虑
CQ3
P=1
P=1在 AC段，取 CB段
l
xRQ
BC
P=1
P=1在 CB段，取 AC 段
l
xlRQ
AC
CQ
1la
lb1
CQLI.
P=1
b
B
BR
CM
CM)4(
分段考虑
P=1在 AC段，取 CB段
blxbRM BC
P=1在 CB段，取 AC 段
P=1
al xlaRM AC
C
a
A
AR
ba
l
ab
CMLI.
2009-8-20 6
（ 5）内力影响线与内力图的比较
1la
lb1
CQLI.
P=1
l
A B
ba l
ab
CMLI.
l
Pa
l
Pb
Q
P
a b
l
l
Pab
M
荷载大小影响线 内力图
P=1 实际荷载性质 移动 固定横座标 表示荷载位置 表示截面位置纵座标 表示某一截面内力变化规律 表示全部截面内力分布规律
2009-8-20 7
二、伸臂梁的影响线
P=1x
l
A B
BRAR
C
a b
1l 2l
P=1
21,llxll xlR A
21,llxllxR B
ll11? 1
ARLI,l
l2
1
BRLI.
ll1
ll21?
AR)1(
BR)2(
2009-8-20 8
ba
l
ab
CMLI.
P=1x
l
A B
BRAR
C
a b
1l 2l
分段考虑 CQ3
P=1在 C以左，取 C以右
l
xRQ
BC
P=1在 C以右，取 C以左
l
xlRQ
AC
)( 1 axl
)( 2llxa
ll1
ll21
la
lb1
CQLI.
CM4
l
al2lbl1
2009-8-20 9
P=1x
l
A B
BRAR
1l 2l
伸臂部分影响线
dx
xM D
0
,)5(
d
d
DMLI,
dx
Q D
0
1)6(1
DQLI.
P=1
D
2009-8-20 10
§ 8-3 结点荷载作用下梁的影响线
P=1
l=4d
A B
主梁只承受结点荷载
（ 1） RA和 RB与以前一样；
C （ 2） I.L M
C 与以前一样
C 点的纵标,d
d
dd
l
ab
4
3
4
3
CMLI.
4
3d
2d 2d
D E
（ 3） I.L MD,先作后证明,先假设为非结点荷载,D点的纵标值
dd ddy D 16154 5.25.1
1615d
Ey
4
3d
由比例可得：
4
3,
8
5 dydy
EC
在 C,E两点间连一直线,即得
MD影响线。
I.L MD
当 P=1作用在 C和 E两点时,与直接作用一样,纵标值仍为
Cy Ey
和
1x
C E
d
C ED
d
xd? dx
利用叠加原理,
d
xy
d
xdyy
ECD?
Cy
8
5d
2009-8-20 11
P=1
l=4d
A BC
2d 2d
D E
16
15d
Cy
8
5d
Ey
4
3d
I.L MD
4
1
21
I.L QD
1
1
（ 4） I.L QD
小 结
1、先按直接荷载作用画出内力影响线；
2、投影各结点与影响线相交，各交点间连以直线。
2009-8-20 12
上承下承
P=1
AR GR
方法：结点法与截面法
1,I.L RA及 RG
0 CM2,,1NLI
1
取右隔离体Ⅰ以左在Ⅰ,1P
AR GR
041 dRhN G
CM
C
P=1
h
MNMhN C
C
11
取左隔离体Ⅰ以右在Ⅰ,1P
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
1N
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
1N
021 dRhN A
CM
h
MNMhN C
C
11
P=1
A B
h
d2
h
d4 3
4
6
421
1
d
d
dd
l
baM
CP
C?
点在
h
dN
3
4
1
h
d
3
4
1.LNI
小结：弦杆内力影响线的画法。
§ 8-4 桁架影响线
2009-8-20 13
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
cP=1 P=1
AR GR
A B
3,I.L N22
取截面 Ⅱ － ⅡⅡ
Ⅱ
h
MNM c
c
20
h
d
3
4
2.LNI
2009-8-20 14
P=1
3
4、斜杆 N3－ YNLI
3.
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
AR G
R
YN3
YN3
Ｐ＝１在Ｂ以左：
GY RN3
Ｐ＝１在Ｃ以右：
AY RN?3
P=1
AR GR
A B
BCY QN?3
1
1
6
1
3
2
YNLI 3.
2009-8-20 15
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
AR G
R
5、竖杆 N4
4N4
P=1P=1
AR GR
A B
Ｐ＝１在 C以左：
GRN?4
Ｐ＝１在 D以右：
ARN4
CDQN4
1
1
21
31
4,NLI
下承上承
6,N5
5
1
5,NLI
下承上承
2009-8-20 16
§ 8-5 机动法作影响线理论基础,虚位移原理。
特 点,把作影响线的静力问题化为作位移图的几何问题。
优 点,不经计算可以得到影响线的形状。
P=1x
P=1x
lA
B
BRP?
（ 1）
BR
0 PB PR
xR P
B
1 令 )(1 xR
PB 则
I.L
BR
C
x P=1
A
B
a b
（ 3）
CQ
CQ
CQ
1
l
a
l
b
CQLI.
x P=1
A
B
a bC
CM
P?
（ 2）
CM
0 PC PM
)( xM P
C
1 bl
ab 令 )(1 xM PC 则
2009-8-20 18
P=1
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m 4m 2m
A B C D E F G H
CR
A B C D E F G H
1
CR1 1.25
CRLI.
A B C
D
E F G H
1
1
0.5
1,MLI
1
例：绘制 I.L
AC QQMR 和21,.
2009-8-20 19
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m 4m 2m
A B C D E F G H
2
A B
C
D
E F G H
A B C
D
E F G H
1.0
0.25
2,QLI
1.0
0.25
AQLI.
2009-8-20 20
l
a
l
b
CQLI.
§ 8-6 影响线的应用一、求实际荷载作用的影响
a bC
1P 2P 3P
1y 2y
3y
11 yPQ C
dx
A B
q
l
a
l
b
CQLI.
22 yP 33 yP
BAC ydxqQ
BA yd xq
ABq
AB?
－影响线面积代数和
y
2009-8-20 21
二、求荷载的最不利位置如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－），
则此荷载所在位置称为 最不利位置 。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观地判断最不利位置。
q q
qmax
min
（１）一个集中荷载 （２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
2009-8-20 22
三、临界位置的判定
(1)求出使 Z值达极值时荷载的位置,称临界位置。
(2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。
0
+Z
-Z
x
1R 2R 3R
01
02
03
如何求临界位置呢？
3
1i
ii
332211
yR
yRyRyRZ
1y 2y
3y
:x 相应有当荷载移动?
x?
y?
1R 2R 3R
ii tgxy
x?
3
1i
ii
333
222
111
yRZ
)yy(R
)yy(R
)yy(RZZ
iiiiii tgRxtgxRyRZ
第八章
2009-8-20 2
§ 8-1 移动荷载与影响线的概念移动荷载的例子目的,解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。
内容,1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围；
2）确定内力的最大值及相应的荷载位置 —— 最不利荷载位置。
方法,在各种荷载中抽象出单位荷载（ P =1）。
2009-8-20 3
P=1P=1 P=1P=1P=1
l
0.25 0.5 0.75 1.0
x
BR
利用平衡条件建立影响线方程,
lxlxPlxR B 0
BR 的影响线 (I,L)－ Influence Line
P1 P2影响线的应用例：
2211 yPyPR B
1y
2y
定义,当单位荷载（ P=1）在结构上移动时，表示结构某一指定截面中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线。
l
BR
2009-8-20 4
无论是研究结构在移动荷载作用下的内力变化规律或最不利荷载位置，内力影响线都是最基本的工具。
影响线有两种画法； 静力法和机动法。
§ 8-2 静力法作静定梁的影响线
P=1x
l
A B
BRA
R
0)1( BA MR
01 xllR A
lxl xlR A 0,
1
ARLI.
1
BRLI,
lxlxPlxR B 0
0)2( AB MR
一、简支梁的影响线
2009-8-20 5
P=1x
l
A B
BRA
R
1
ARLI.
1
BRLI.
C
a b
分段考虑
CQ3
P=1
P=1在 AC段，取 CB段
l
xRQ
BC
P=1
P=1在 CB段，取 AC 段
l
xlRQ
AC
CQ
1la
lb1
CQLI.
P=1
b
B
BR
CM
CM)4(
分段考虑
P=1在 AC段，取 CB段
blxbRM BC
P=1在 CB段，取 AC 段
P=1
al xlaRM AC
C
a
A
AR
ba
l
ab
CMLI.
2009-8-20 6
（ 5）内力影响线与内力图的比较
1la
lb1
CQLI.
P=1
l
A B
ba l
ab
CMLI.
l
Pa
l
Pb
Q
P
a b
l
l
Pab
M
荷载大小影响线 内力图
P=1 实际荷载性质 移动 固定横座标 表示荷载位置 表示截面位置纵座标 表示某一截面内力变化规律 表示全部截面内力分布规律
2009-8-20 7
二、伸臂梁的影响线
P=1x
l
A B
BRAR
C
a b
1l 2l
P=1
21,llxll xlR A
21,llxllxR B
ll11? 1
ARLI,l
l2
1
BRLI.
ll1
ll21?
AR)1(
BR)2(
2009-8-20 8
ba
l
ab
CMLI.
P=1x
l
A B
BRAR
C
a b
1l 2l
分段考虑 CQ3
P=1在 C以左，取 C以右
l
xRQ
BC
P=1在 C以右，取 C以左
l
xlRQ
AC
)( 1 axl
)( 2llxa
ll1
ll21
la
lb1
CQLI.
CM4
l
al2lbl1
2009-8-20 9
P=1x
l
A B
BRAR
1l 2l
伸臂部分影响线
dx
xM D
0
,)5(
d
d
DMLI,
dx
Q D
0
1)6(1
DQLI.
P=1
D
2009-8-20 10
§ 8-3 结点荷载作用下梁的影响线
P=1
l=4d
A B
主梁只承受结点荷载
（ 1） RA和 RB与以前一样；
C （ 2） I.L M
C 与以前一样
C 点的纵标,d
d
dd
l
ab
4
3
4
3
CMLI.
4
3d
2d 2d
D E
（ 3） I.L MD,先作后证明,先假设为非结点荷载,D点的纵标值
dd ddy D 16154 5.25.1
1615d
Ey
4
3d
由比例可得：
4
3,
8
5 dydy
EC
在 C,E两点间连一直线,即得
MD影响线。
I.L MD
当 P=1作用在 C和 E两点时,与直接作用一样,纵标值仍为
Cy Ey
和
1x
C E
d
C ED
d
xd? dx
利用叠加原理,
d
xy
d
xdyy
ECD?
Cy
8
5d
2009-8-20 11
P=1
l=4d
A BC
2d 2d
D E
16
15d
Cy
8
5d
Ey
4
3d
I.L MD
4
1
21
I.L QD
1
1
（ 4） I.L QD
小 结
1、先按直接荷载作用画出内力影响线；
2、投影各结点与影响线相交，各交点间连以直线。
2009-8-20 12
上承下承
P=1
AR GR
方法：结点法与截面法
1,I.L RA及 RG
0 CM2,,1NLI
1
取右隔离体Ⅰ以左在Ⅰ,1P
AR GR
041 dRhN G
CM
C
P=1
h
MNMhN C
C
11
取左隔离体Ⅰ以右在Ⅰ,1P
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
1N
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
1N
021 dRhN A
CM
h
MNMhN C
C
11
P=1
A B
h
d2
h
d4 3
4
6
421
1
d
d
dd
l
baM
CP
C?
点在
h
dN
3
4
1
h
d
3
4
1.LNI
小结：弦杆内力影响线的画法。
§ 8-4 桁架影响线
2009-8-20 13
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
cP=1 P=1
AR GR
A B
3,I.L N22
取截面 Ⅱ － ⅡⅡ
Ⅱ
h
MNM c
c
20
h
d
3
4
2.LNI
2009-8-20 14
P=1
3
4、斜杆 N3－ YNLI
3.
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
AR G
R
YN3
YN3
Ｐ＝１在Ｂ以左：
GY RN3
Ｐ＝１在Ｃ以右：
AY RN?3
P=1
AR GR
A B
BCY QN?3
1
1
6
1
3
2
YNLI 3.
2009-8-20 15
A B C D E F G
a b c d e f g
h
l = 6d
AR G
R
5、竖杆 N4
4N4
P=1P=1
AR GR
A B
Ｐ＝１在 C以左：
GRN?4
Ｐ＝１在 D以右：
ARN4
CDQN4
1
1
21
31
4,NLI
下承上承
6,N5
5
1
5,NLI
下承上承
2009-8-20 16
§ 8-5 机动法作影响线理论基础,虚位移原理。
特 点,把作影响线的静力问题化为作位移图的几何问题。
优 点,不经计算可以得到影响线的形状。
P=1x
P=1x
lA
B
BRP?
（ 1）
BR
0 PB PR
xR P
B
1 令 )(1 xR
PB 则
I.L
BR
C
x P=1
A
B
a b
（ 3）
CQ
CQ
CQ
1
l
a
l
b
CQLI.
x P=1
A
B
a bC
CM
P?
（ 2）
CM
0 PC PM
)( xM P
C
1 bl
ab 令 )(1 xM PC 则
2009-8-20 18
P=1
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m 4m 2m
A B C D E F G H
CR
A B C D E F G H
1
CR1 1.25
CRLI.
A B C
D
E F G H
1
1
0.5
1,MLI
1
例：绘制 I.L
AC QQMR 和21,.
2009-8-20 19
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m 4m 2m
A B C D E F G H
2
A B
C
D
E F G H
A B C
D
E F G H
1.0
0.25
2,QLI
1.0
0.25
AQLI.
2009-8-20 20
l
a
l
b
CQLI.
§ 8-6 影响线的应用一、求实际荷载作用的影响
a bC
1P 2P 3P
1y 2y
3y
11 yPQ C
dx
A B
q
l
a
l
b
CQLI.
22 yP 33 yP
BAC ydxqQ
BA yd xq
ABq
AB?
－影响线面积代数和
y
2009-8-20 21
二、求荷载的最不利位置如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－），
则此荷载所在位置称为 最不利位置 。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观地判断最不利位置。
q q
qmax
min
（１）一个集中荷载 （２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
2009-8-20 22
三、临界位置的判定
(1)求出使 Z值达极值时荷载的位置,称临界位置。
(2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。
0
+Z
-Z
x
1R 2R 3R
01
02
03
如何求临界位置呢？
3
1i
ii
332211
yR
yRyRyRZ
1y 2y
3y
:x 相应有当荷载移动?
x?
y?
1R 2R 3R
ii tgxy
x?
3
1i
ii
333
222
111
yRZ
)yy(R
)yy(R
)yy(RZZ
iiiiii tgRxtgxRyRZ
