1
§ 15-4 两个自由度体系的自由振动一、刚度法 （ 1）两个自由度体系
m1
m2
y1(t)
y2(t)
m1
m2
11ym
22ym
K2
K1
K2
K1
y1(t)
y2(t)
1
21k
11k
1
12k
22k
0111 Kym
0222 Kym
2121111 ykykK
2221212 ykykK
0)()()(
0)()()(
22212122
21211111

tyktyktym
tyktyktym

两自由度体系自由振动微分方程
2
0)()()(
0)()()(
22212122
21211111

tyktyktym
tyktyktym

设解为

)s in ()(
)s in ()(
22
11

tYty
tYty
2
1
2
1
)(
)(
Y
Y
ty
ty? =常数

0)(
0)(
22
2
22121
21211
2
11
YmkYk
YkYmk
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
0)()(
2
2
2221
121
2
11?

mkk
kmkD
特征方程频率方程
0))(( 211222221211 kkmkmk
1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；
2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，
但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。
3
0))(( 211222221211 kkmkmk
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k

（ 1）主振型
1
1
2
111
12
21
11 C
mk
k
Y
Y?

2
1
2
211
12
22
12 C
mk
k
Y
Y?

（ 2）按主振型振动的条件,初位移或初速度与此振型相对应；
m1
m2 Y21
Y11 Y12
Y22

0)(
0)(
22
2
22121
21211
2
11
YmkYk
YkYmk
最小圆频率称为第一 (基本 )圆频率,1? 2? —— 第二圆频率由此可见：
多自由度体系如果按某个主振型自由振动,其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际上是像 一个单自由度体系在振动 。
实际上，多自由度体系在零时刻的 y0或 vo通常不能完全与某一振型相对应。
4
例 7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为 k1和
k2,试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。
m1
m2
k1
k2
解：（ 1）求频率方程中的刚度系数
1
221 kk
2111 kkk
1
212 kk
222 kk?
k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2
（ 3）一般振动

)s i n()s i n()(
)s i n()s i n()(
22222112122
22122111111

tYAtYAty
tYAtYAty
两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动多自由度体系自由振动的振型分解
5
m
k
m
k 6 1 8 03.23 8 1 97.0 2
2
2
1
m
k
m
k 61803.161803.0
21
（ 3）求主振型
6 1 8.1
1
3 8 1 9 7.02
:
1
2
111
12
21
11
1
kk
k
mk
k
Y
Y
618.0
1
6 1 8 0 3.22,22
12
2 kk
k
Y
Y?
1.618
1.01.0
0.618
第 1振型 第 2振型
（ 2）求频率
0))(( 222221221 kmkmkk
0))(( 211222221211 kkmkmk
k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2
代公式若有
kkk
mmm

21
21
6
2
2
2
2
2
1
14)12(
2
1
m
k
nnn

（ 3）求主振型
2
2
122
12
11
21
1,mk
k
Y
Y

（ 2）求频率 0))(( 2
22221221 kmkmkk
若有
21
21
knk
nmm
0)]()1[( 22222222 kmknmkn
4
1
2
1 n
2
2
222
12
12
22
2,mk
k
Y
Y
4
1
2
1 n
若 n=90 则第一振型和第二振型分别为：
1
10?
1
9
可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。
建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为 鞭梢效应 。
如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。
7
二,柔度法
m1
m2
y1(t)
y2(t)
22 ym
11ym
122211111 )()()( tymtymty
222221112 )()()( tymtymty
设解为

)s in ()(
)s in ()(
22
11

tYty
tYty
此时惯性力

)s in ()(
)s in ()(
2
2
222
1
2
111

tYmtym
tYmtym

幅值

22
2
11
2
Ym
Ym
12222111121 )()( YmYmY
22222211122 )()( YmYmY
在自由振动过程中任意时刻 t，质量 m1、
m2的位移 y1(t),y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。
主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。
8
m1
m2
Y1
Y2
222 Ym?
112 Ym?

0)
1
(
0)
1
(
222221121
221212111
YmYm
YmYm

当然解
Y1=Y2=0，
为了求得不全为零的解，令
0
1
1
2222121
2122111

mm
mm
D 令
2
1

0)()( 2121122122112221112 mmmmmm
21211222112222111222111
21
)(4)()(21 mmmmmm
2
2
1
1
11

主振型
2
2
111
212
22
12
2
1
111
212
21
11
11

m
m
Y
Y
m
m
Y
Y
12222111121 )()( YmYmY
22222211122 )()( YmYmY
9
0.5a
例 9,试求图示梁的自振频率和主振型，梁的 EI已知。
1 2
a a a
m m 解：（ 1）计算频率
1 a
1M
1
2M
EI
a
EI
a
EI
a
6,4,
3
22
3
2112
3
11
3231 203.3967.0 ma
EI
ma
EI
（ 2）振型
61.3
1
2 7 7.0
1
22
12
21
11
Y
Y
Y
Y
1
0.277
1
3.61
第一振型 第二振型
10
三、主振型及主振型的正交性
m1 m2
11121 Ym? 11221 Ym?
Y11 Y21
12122 Ym?
22222 Ym?由功的互等定理：
整理得：
m1
m2
Y12
Y22
2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm
0))(( 22212121112221 YYmYYm
21
因,则存在：
)51.15(02221212111 YYmYYm
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。
11
由功的互等定理：
2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm
)51.15(02221212111 YYmYYm
上式分别乘以 ω12,ω22，则得：
0)()(
0)()(
2122
2
221112
2
21
2221
2
121211
2
11

YYmYYm
YYmYYm

第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；
第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；
某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；
各个主振型能单独存在，而不相互干扰。