1
第十三章
2
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为 m 行和 n列，称为 m?n 阶矩阵。
A=
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
L
L
M O M
L
2、方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵，即 m=n 时，称为 n 阶方阵。
3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
A=[ ]a a a a n11 12 13 1
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
A=
a
a
am
11
21
1
┇
ê
ê
ê
ê
ê
ê
3
4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的 1?1阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法 两个规则：
（ 1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即
A B C p lm p l n m n′ ′ ′= =当 时才能相乘
A B= a aa a bb11 12
21 22
11
21
ê
ê
共形
2× 2 2× 1
B A= bb a aa a11
21
11 12
21 22
ê
ê
非 共形
2× 1 2 × 2
（ 2）不具有交换律，即 AB?BA
4
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
A=
a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32
其转置矩阵为 AT =?
a a a
a a a
11 21 31
12 22 32
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若
A=B C D
则 AT =DT CT BT
7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用 0表示。
若 AB=0,但不一定 A=0 或 B=0。
5
8,对角矩阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
D =
a
a
a
mm
11
22
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
9,单位矩阵 单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示,如
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1
O
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即
AI =A IA =A
6
10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成 。例如，若
AB =C 则 B=A-1 C
此处 A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义,A A-1 = A-1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件：
（ 1）矩阵是一个方阵。
（ 2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
11、正交矩阵 若一方阵 A 每一行（列）的各个元素平方之和等于 1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则
A = cos sinsin cosa aa a-
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A -1 = AT
7
§ 13-1 概 述矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。
一、矩阵位移法的基本思路矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；
矩阵位移法的两个基本步骤是
（ 1）结构的离散化；（ 2）单元分析；（ 3）整体分析，
任务 意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程
8
指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，
杆件两端各有三个位移分量，
这是平面结构杆件单元的一般情况。
符号规则,图 (a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x
座标与杆轴重合；
1 2
e
E A I
l
x
y
(a)
图 (b)表示的杆端位移均为正方向。
单元编号杆端编号局部座标
1 2
1u
1v
1? 2?
2u
2v
(b) 杆端位移编号
1 2
1X
1Y
1M 2M
2X
2Y
杆端力编号(c)
二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：
9
1 2
1u
1v
1? 2?
2u
2v
1 2
1X
1Y
1M 2M
2X
2Y
)(
2
2
2
1
1
1
)(
)6(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)(
ee
e
v
u
v
u
=
=?
)(
2
2
2
1
1
1
)(
)6(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)(
ee
e
M
Y
X
M
Y
X
F
F
F
F
F
F
F
=
=
（ 1）单元杆端位移向量 （ 2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
10
现在讨论单元刚度方程。 单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用,,表示，由位移求力称为正问题。F
在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。
e1 2
1u 2u
2v
1v
1?
2?
1X
e
1Y
e
1M
e
2X
e
2M
e
2Y
e
我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
§ 13-2 单元刚度矩阵 (局部座标系 )
进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。
一、一般单元
11
e
1u 2u
1X
e
1Y
e
1M
e
2X
e
2M
e
2Y
e
分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
首先，由两个杆端轴向位移 21 uu和 可推算出相应的杆端轴向力
21 XX 和
e e
e
1u 2u1X
e
2X
e
1 2
--=
-=
212
211
uu
l
EAX
uu
l
EAX
其次，由杆端横向位移,,,
2121和转角vv
可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力
2121,,MMYY 和杆端力矩
e e e e
--?-=
-=
-=
-=
2132122
2132121
212212
212211
126
126
642
624
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
12
--?-=
-=
-=
-=
2132122
2132121
212212
212211
126
126
642
624
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
--=
-=
212
211
uu
l
EA
X
uu
l
EA
X
-
---
-
-
-
-
=
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
v
u
v
u
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
M
Y
X
M
Y
X
e e e
将上面六个方程合并，写成矩阵形式：
13
EA
l
6EI
l2
6EI
l2
EA
l
12EI
l3
12EI
l3
4EI
l
2EI
l
上面的式子可以用矩阵符号记为
= kF
e e e
e
这就是局部座标系中的单元刚度方程。
e
可求单元杆端力F
e
k
e =
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
0 0 0 0
0 0 6EIl2
0 6EIl2 0
-EA
l
-6EI
l2
-6EI
l2
EA
l
-12EI
l3
12EI
l3
2EI
l
4EI
l
0 0 0 0
0 0 -6EIl2
0 6EIl2 0
11=u 11=v 11=? 12 =u 12 =v 12=?
只与杆件本身性质有关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵
14
二、单元刚度矩阵的性质
（ 1）单元刚度系数的意义
ijk
e— 代表单元杆端第 j个位移分量等于 1时所引起的第 i个杆端力分量。
例如
352
12
l
EIk -= 代表单元杆端第 2个位移分量 时所引起的第 5个杆端力分量 的数值。
11=v
2Y
（ 2）单元刚度矩阵 是对称矩阵，
k
e 即
jiij kk =
。
（ 3）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；
k
e
从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵
k
e的行列式
k
e =0 因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程
F
e e
F
e e
= kF
e e e
由 有一组力的解答 (唯一的 )，即正问题。
由 如果F
e 不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。
15
三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。
e以连续梁为例：
1 2
01 =u
01 =v
1? 2?
02 =u
02 =v
e
-
---
-
-
-
-
=
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
v
u
v
u
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
M
Y
X
M
Y
X
e e e
16
1 2
01 =u
01 =v
1? 2?
02 =u
02 =v
e
-
---
-
-
-
-
=
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
v
u
v
u
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
M
Y
X
M
Y
X
e e e
=
2
1
2
1
42
24
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
M
M
e e e
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k 42
24e
e 为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，
只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。
17
a
§ 13-3 单元刚度矩阵 (整体座标系 )
x
y
e
1X
1Y
1M
2X2Y
x
y
X1
Y1
1M
X2
Y2
2M
aa s i nc o s 111 YXX?=
e ee
aa c o ss i n 111 YXY?-=
e ee
11 MM =
e e
aa s i nco s 222 YXX?=
e ee
aa c o ss i n 222 YXY?-=
e ee
22 MM =
e e
-
-
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
100000
0c o ss i n000
0s i nc o s000
000100
0000c o ss i n
0000s i nc o s
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
aa
aa
aa
aa
eee
FTF =
e e
座标转换矩阵单元杆端力的转换式、单刚的转换式一、单元座标转换矩阵
18
-
-
=
100000
0c o ss i n000
0s i nc o s000
000100
0000c o ss i n
0000s i nc o s
aa
aa
aa
aa
T
正交矩阵
[T]-1 =[T]T
或 [T][T]T=[T]T [T] =[I]
于是可以有同理可以有=? Te e
FTF T=
e e
FTF =
e e
=? TT
19
（解决 与 [k] 的关系）k e e
在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：
= kF
e e e
在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：
(a)
e e e{F} =[k] {?} (b)
e{F} =[T]T [T]{?}ee (d)k
[T] {F} =e [T] {?} (c)ek e
[k] = [T]T k e [T]e (e)
[k]e的性质与 ek 一样。
二、整体座标系中的单元刚度矩阵
（ a）式可转换为：
两边前乘 [T]T
比较式 (b)和 (d)可得：
20
例 1,试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵 [k] 。
设 和 杆的杆长和截面尺寸相同。 1
l = 5m
l =
5m2
x
y
l=5m,b?h=0.5m?1m,
A=0.5m2,I= m4,1 24
44 1025,10300?=?= lEIlEA
解,(1) 局部座标系中的单元刚度矩阵
-
---
-
-
-
-
=
10030050300
3012030120
0030000300
50300100300
3012030120
0030000300
10
4
(2) 整体座标系中的单元刚度矩阵 e[k]
k e
单元 1,a= 0,[T] =[I] k 1 = 1[k]
单元 2,a= 90，单元座标转换矩阵为
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
1 2
k=?k?
21
1
l = 5m
l =
5m2
x
y
单元 2,a= 90，单元座标转换矩阵为
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
[k] = [T]T k [T]
-
-
-
-
-
---
=
10003050030
0300003000
3001230012
50030100030
0300003000
3001230012
10
4
22
§ 13-4 连续梁的整体刚度矩阵按传统的位移法
i1 i21 2
1
4i1?1 2i1?1 0
i1 i21 2
2
2i1?2 2i2?2(4i1+4i2)?2
i1 i21 2
3
0 2i2?3 4i2?3
每个结点位移对 {F}的单独贡献
F1
F2
F3
4i1 2i1 0
2i1 4i1+4i2
2i20
2i2
4i2
1
2
3
=
{F}=[K]{?}
根据每个结点位移对附加约束上的约束力 {F}的贡献大小进行叠加而计算所得。
传统位移法
23
一,单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对 {F}的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成
i1 i21 2
1?2?3
F3{F}1 = [ F11 F21 1 ]T
F11 F21 F31
令 i2 =0,则 F31 =0
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 F11
F21 =
4i1
2i1 4i1
2i1?1
2
（ a）
（ b）
F11
F21
F31
=
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
1
2
3
1 [K] {?}{F} = 1
[K] =1
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
单元 1 的贡献矩阵单元 1 对结点力 {F}的贡献略去其它单元的贡献。
24
i1 i21 2
1?2?3
F12 F22 F32
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22
F12
F22
F32
= 4i1
2i1 4i1
2i1
0
0
0
0 0?1
2
3
2 [K] {?}{F} = 2
设 i1 =0,则 F12 =0
[K] =2 4i1
2i1 4i1
2i1
0
0
0
0 0
单元?的贡献矩阵
F3{F}2 = [ F12 F22 2 ]T
单元?对结点力 {F}的贡献略去单元?的贡献。
25
1 [K] {?}{F} = 1
[K] =1
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
2 [K] {?}{F} = 2
[K] =2 4i1
2i1 4i1
2i1
0
0
0
0 0
i1 i21 2
1 2 1 2
[K]=（ [K] +[K] ） =1 2
][Ke
e
[k] [K] [K] e e
{F}={F} +{F} =（ [K] +[K] ） {?}
1 2
{F}=[K]{?}
整体刚度矩阵为：
单元集成法求整体刚度矩阵步骤：
根据单元?和单元?分别对结点力 {F}的贡献，可得整体刚度方程：
26
[k] [K] [K] e e1 2
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 [K] =1 4i12i
1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22 [K] =2 4i
2
2i2 4i2
2i2
0
0
0
0 0
1
2
1
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
2i2
2i2 4i2
[K]=
4i1
2i1 4(i1+i2)
2i1 0
2i2
0 2i2 4i2
4i1+4i2
27
二、按照单元定位向量由 [k] 求e [K]e
(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。
(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。
以连续梁为例 1 2
1 2 3
1(1) (2) 2(1) (2)
位移统一编码,总码单元
1
2
对应关系局部码?总码 单元定位向量
e
(1)?1
(2)?2
1
=
2
1
(1)?2
(2)?3
2
=
3
2
确定 中的元素在 中的位置。为此建立两种编码：[k]
e [K] e
位移单独编码局部码由单元的结点位移总码组成的向量
28
（ 3）单刚 [k]
e [K]e和单元贡献 中元素的对应关系单元?
单元?
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 (1)
(2)
(1) (2)
1
=
2
1 [K] =
1
1
2
3
0
0
0 0 0
0 0
0 0
4i1 2i1
2i1 4i1
1 2 3
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22 (1)
(2)
(1) (2)
2
=
3
2 [K] =
2
0
0
0 0 0
0 0
0 04i2
2i2 4i2
2i2
1
2
3
1 2 3
单元定位向量 描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。
单元定位向量 定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为,单元换码向量,。
单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用,单元定位向量” 进行,换码重排位,。
29
三,单元集成法的实施 （定位 累加）
[K]
1
2
3
1 2 3
0
0
0 0 0
0 0
0 0
[k] 1
1
0
0
0 0 0
0 0
0 0
4i1 2i1
2i1 4i1
1 2 3
1
2
3
[k] 2
2
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
2i2
2i2 4i2
4i1+4i2
1 2 3
1
2
3
（ 1）将 [K]置零，得 [K]=[0]；
（ 2）将 [k]?的元素在 [K]中按 {?}?定位并进行累加，得 [K]=[K]?；
（ 3）将 [k]?的元素在 [K]中按 {?}?定位并进行累加，得 [K]=[K]?+[K]?；
按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵 [K]。
30
1 2
i1 i2 i3
3
1 2 3 0?1?2?3
0= 0
（ 1）结点位移分量总码
（ 2）单元定位向量
1
=
2
1
2
=
3
2
3
=
0
3（ 3）单元集成过程
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 1
2
21
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22 2
3
32
[k] = 4i32i
3 4i3
2i33 033
0
[K] =
1 2 3
1
2
3
0
0
0 0 0
0 0
0 0
4i1
2i1
2i1
2i2
2i2 4i2
4i1
4i2+4i3
+4i2
例,求连续梁的整体刚度矩阵。
31
四、整体刚度矩阵 [K] 的性质
（ 1）整体刚度系数的意义,Kij－?j=1 (其余?=0)时产生的结点力 Fi
（ 2） [K]是对称矩阵
（ 3）对几何不变体系,[K]是可逆矩阵，如连续梁
i1 i2
1?2?3
F1 F2 F3
{F}=[K]{?}
{?}=[K]-1{F}
（ 4） [K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁
1?2?3F1 F2 F3
1 2 3 n
nFn?n+1Fn+1
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0 0
=
1
3
2
1
n
F
F
F
F
M
M
1
3
2
1
n
M
M
4i1
2i1
2i1
2i2
2i2 4i2+4i3
4i1+4i2
4in
2i3
2in
第十三章
2
矩阵代数复习
1、矩阵定义 一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为 m 行和 n列，称为 m?n 阶矩阵。
A=
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
11 12 1
21 22 2
1 2
L
L
M O M
L
2、方阵 一个具有相同的行数和列数的矩阵，即 m=n 时，称为 n 阶方阵。
3、行矩阵和列矩阵 一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：
A=[ ]a a a a n11 12 13 1
由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：
A=
a
a
am
11
21
1
┇
ê
ê
ê
ê
ê
ê
3
4、纯量 仅由一个单独的元素所组成的 1?1阶矩阵称为纯量。
5、矩阵乘法 两个规则：
（ 1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即
A B C p lm p l n m n′ ′ ′= =当 时才能相乘
A B= a aa a bb11 12
21 22
11
21
ê
ê
共形
2× 2 2× 1
B A= bb a aa a11
21
11 12
21 22
ê
ê
非 共形
2× 1 2 × 2
（ 2）不具有交换律，即 AB?BA
4
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
A=
a a
a a
a a
11 12
21 22
31 32
其转置矩阵为 AT =?
a a a
a a a
11 21 31
12 22 32
当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若
A=B C D
则 AT =DT CT BT
7、零矩阵 元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用 0表示。
若 AB=0,但不一定 A=0 或 B=0。
5
8,对角矩阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如：
D =
a
a
a
mm
11
22
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
9,单位矩阵 单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示,如
I =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0 0 1
O
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即
AI =A IA =A
6
10、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成 。例如，若
AB =C 则 B=A-1 C
此处 A-1 称为矩阵 A 的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义,A A-1 = A-1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件：
（ 1）矩阵是一个方阵。
（ 2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
11、正交矩阵 若一方阵 A 每一行（列）的各个元素平方之和等于 1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则
A = cos sinsin cosa aa a-
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 A -1 = AT
7
§ 13-1 概 述矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。
一、矩阵位移法的基本思路矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；
矩阵位移法的两个基本步骤是
（ 1）结构的离散化；（ 2）单元分析；（ 3）整体分析，
任务 意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程
8
指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，
杆件两端各有三个位移分量，
这是平面结构杆件单元的一般情况。
符号规则,图 (a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x
座标与杆轴重合；
1 2
e
E A I
l
x
y
(a)
图 (b)表示的杆端位移均为正方向。
单元编号杆端编号局部座标
1 2
1u
1v
1? 2?
2u
2v
(b) 杆端位移编号
1 2
1X
1Y
1M 2M
2X
2Y
杆端力编号(c)
二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：
9
1 2
1u
1v
1? 2?
2u
2v
1 2
1X
1Y
1M 2M
2X
2Y
)(
2
2
2
1
1
1
)(
)6(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)(
ee
e
v
u
v
u
=
=?
)(
2
2
2
1
1
1
)(
)6(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)(
ee
e
M
Y
X
M
Y
X
F
F
F
F
F
F
F
=
=
（ 1）单元杆端位移向量 （ 2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。
10
现在讨论单元刚度方程。 单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用,,表示，由位移求力称为正问题。F
在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。
e1 2
1u 2u
2v
1v
1?
2?
1X
e
1Y
e
1M
e
2X
e
2M
e
2Y
e
我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
§ 13-2 单元刚度矩阵 (局部座标系 )
进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。
一、一般单元
11
e
1u 2u
1X
e
1Y
e
1M
e
2X
e
2M
e
2Y
e
分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。
首先，由两个杆端轴向位移 21 uu和 可推算出相应的杆端轴向力
21 XX 和
e e
e
1u 2u1X
e
2X
e
1 2
--=
-=
212
211
uu
l
EAX
uu
l
EAX
其次，由杆端横向位移,,,
2121和转角vv
可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力
2121,,MMYY 和杆端力矩
e e e e
--?-=
-=
-=
-=
2132122
2132121
212212
212211
126
126
642
624
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
12
--?-=
-=
-=
-=
2132122
2132121
212212
212211
126
126
642
624
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
Y
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
vv
l
EI
l
EI
l
EI
M
--=
-=
212
211
uu
l
EA
X
uu
l
EA
X
-
---
-
-
-
-
=
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
v
u
v
u
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
M
Y
X
M
Y
X
e e e
将上面六个方程合并，写成矩阵形式：
13
EA
l
6EI
l2
6EI
l2
EA
l
12EI
l3
12EI
l3
4EI
l
2EI
l
上面的式子可以用矩阵符号记为
= kF
e e e
e
这就是局部座标系中的单元刚度方程。
e
可求单元杆端力F
e
k
e =
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
0 0 0 0
0 0 6EIl2
0 6EIl2 0
-EA
l
-6EI
l2
-6EI
l2
EA
l
-12EI
l3
12EI
l3
2EI
l
4EI
l
0 0 0 0
0 0 -6EIl2
0 6EIl2 0
11=u 11=v 11=? 12 =u 12 =v 12=?
只与杆件本身性质有关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵
14
二、单元刚度矩阵的性质
（ 1）单元刚度系数的意义
ijk
e— 代表单元杆端第 j个位移分量等于 1时所引起的第 i个杆端力分量。
例如
352
12
l
EIk -= 代表单元杆端第 2个位移分量 时所引起的第 5个杆端力分量 的数值。
11=v
2Y
（ 2）单元刚度矩阵 是对称矩阵，
k
e 即
jiij kk =
。
（ 3）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；
k
e
从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵
k
e的行列式
k
e =0 因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程
F
e e
F
e e
= kF
e e e
由 有一组力的解答 (唯一的 )，即正问题。
由 如果F
e 不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。
15
三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。
e以连续梁为例：
1 2
01 =u
01 =v
1? 2?
02 =u
02 =v
e
-
---
-
-
-
-
=
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
v
u
v
u
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
M
Y
X
M
Y
X
e e e
16
1 2
01 =u
01 =v
1? 2?
02 =u
02 =v
e
-
---
-
-
-
-
=
2
2
2
1
1
1
22
2323
22
2323
2
2
2
1
1
1
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
v
u
v
u
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
M
Y
X
M
Y
X
e e e
=
2
1
2
1
42
24
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
M
M
e e e
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k 42
24e
e 为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，
只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。
17
a
§ 13-3 单元刚度矩阵 (整体座标系 )
x
y
e
1X
1Y
1M
2X2Y
x
y
X1
Y1
1M
X2
Y2
2M
aa s i nc o s 111 YXX?=
e ee
aa c o ss i n 111 YXY?-=
e ee
11 MM =
e e
aa s i nco s 222 YXX?=
e ee
aa c o ss i n 222 YXY?-=
e ee
22 MM =
e e
-
-
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
100000
0c o ss i n000
0s i nc o s000
000100
0000c o ss i n
0000s i nc o s
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
aa
aa
aa
aa
eee
FTF =
e e
座标转换矩阵单元杆端力的转换式、单刚的转换式一、单元座标转换矩阵
18
-
-
=
100000
0c o ss i n000
0s i nc o s000
000100
0000c o ss i n
0000s i nc o s
aa
aa
aa
aa
T
正交矩阵
[T]-1 =[T]T
或 [T][T]T=[T]T [T] =[I]
于是可以有同理可以有=? Te e
FTF T=
e e
FTF =
e e
=? TT
19
（解决 与 [k] 的关系）k e e
在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：
= kF
e e e
在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：
(a)
e e e{F} =[k] {?} (b)
e{F} =[T]T [T]{?}ee (d)k
[T] {F} =e [T] {?} (c)ek e
[k] = [T]T k e [T]e (e)
[k]e的性质与 ek 一样。
二、整体座标系中的单元刚度矩阵
（ a）式可转换为：
两边前乘 [T]T
比较式 (b)和 (d)可得：
20
例 1,试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵 [k] 。
设 和 杆的杆长和截面尺寸相同。 1
l = 5m
l =
5m2
x
y
l=5m,b?h=0.5m?1m,
A=0.5m2,I= m4,1 24
44 1025,10300?=?= lEIlEA
解,(1) 局部座标系中的单元刚度矩阵
-
---
-
-
-
-
=
10030050300
3012030120
0030000300
50300100300
3012030120
0030000300
10
4
(2) 整体座标系中的单元刚度矩阵 e[k]
k e
单元 1,a= 0,[T] =[I] k 1 = 1[k]
单元 2,a= 90，单元座标转换矩阵为
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
1 2
k=?k?
21
1
l = 5m
l =
5m2
x
y
单元 2,a= 90，单元座标转换矩阵为
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
[k] = [T]T k [T]
-
-
-
-
-
---
=
10003050030
0300003000
3001230012
50030100030
0300003000
3001230012
10
4
22
§ 13-4 连续梁的整体刚度矩阵按传统的位移法
i1 i21 2
1
4i1?1 2i1?1 0
i1 i21 2
2
2i1?2 2i2?2(4i1+4i2)?2
i1 i21 2
3
0 2i2?3 4i2?3
每个结点位移对 {F}的单独贡献
F1
F2
F3
4i1 2i1 0
2i1 4i1+4i2
2i20
2i2
4i2
1
2
3
=
{F}=[K]{?}
根据每个结点位移对附加约束上的约束力 {F}的贡献大小进行叠加而计算所得。
传统位移法
23
一,单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对 {F}的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成
i1 i21 2
1?2?3
F3{F}1 = [ F11 F21 1 ]T
F11 F21 F31
令 i2 =0,则 F31 =0
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 F11
F21 =
4i1
2i1 4i1
2i1?1
2
（ a）
（ b）
F11
F21
F31
=
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
1
2
3
1 [K] {?}{F} = 1
[K] =1
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
单元 1 的贡献矩阵单元 1 对结点力 {F}的贡献略去其它单元的贡献。
24
i1 i21 2
1?2?3
F12 F22 F32
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22
F12
F22
F32
= 4i1
2i1 4i1
2i1
0
0
0
0 0?1
2
3
2 [K] {?}{F} = 2
设 i1 =0,则 F12 =0
[K] =2 4i1
2i1 4i1
2i1
0
0
0
0 0
单元?的贡献矩阵
F3{F}2 = [ F12 F22 2 ]T
单元?对结点力 {F}的贡献略去单元?的贡献。
25
1 [K] {?}{F} = 1
[K] =1
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
2 [K] {?}{F} = 2
[K] =2 4i1
2i1 4i1
2i1
0
0
0
0 0
i1 i21 2
1 2 1 2
[K]=（ [K] +[K] ） =1 2
][Ke
e
[k] [K] [K] e e
{F}={F} +{F} =（ [K] +[K] ） {?}
1 2
{F}=[K]{?}
整体刚度矩阵为：
单元集成法求整体刚度矩阵步骤：
根据单元?和单元?分别对结点力 {F}的贡献，可得整体刚度方程：
26
[k] [K] [K] e e1 2
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 [K] =1 4i12i
1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22 [K] =2 4i
2
2i2 4i2
2i2
0
0
0
0 0
1
2
1
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
2i2
2i2 4i2
[K]=
4i1
2i1 4(i1+i2)
2i1 0
2i2
0 2i2 4i2
4i1+4i2
27
二、按照单元定位向量由 [k] 求e [K]e
(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。
(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。
以连续梁为例 1 2
1 2 3
1(1) (2) 2(1) (2)
位移统一编码,总码单元
1
2
对应关系局部码?总码 单元定位向量
e
(1)?1
(2)?2
1
=
2
1
(1)?2
(2)?3
2
=
3
2
确定 中的元素在 中的位置。为此建立两种编码：[k]
e [K] e
位移单独编码局部码由单元的结点位移总码组成的向量
28
（ 3）单刚 [k]
e [K]e和单元贡献 中元素的对应关系单元?
单元?
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 (1)
(2)
(1) (2)
1
=
2
1 [K] =
1
1
2
3
0
0
0 0 0
0 0
0 0
4i1 2i1
2i1 4i1
1 2 3
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22 (1)
(2)
(1) (2)
2
=
3
2 [K] =
2
0
0
0 0 0
0 0
0 04i2
2i2 4i2
2i2
1
2
3
1 2 3
单元定位向量 描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。
单元定位向量 定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为,单元换码向量,。
单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用,单元定位向量” 进行,换码重排位,。
29
三,单元集成法的实施 （定位 累加）
[K]
1
2
3
1 2 3
0
0
0 0 0
0 0
0 0
[k] 1
1
0
0
0 0 0
0 0
0 0
4i1 2i1
2i1 4i1
1 2 3
1
2
3
[k] 2
2
4i1
2i1 4i1
2i1 0
0
0 0 0
2i2
2i2 4i2
4i1+4i2
1 2 3
1
2
3
（ 1）将 [K]置零，得 [K]=[0]；
（ 2）将 [k]?的元素在 [K]中按 {?}?定位并进行累加，得 [K]=[K]?；
（ 3）将 [k]?的元素在 [K]中按 {?}?定位并进行累加，得 [K]=[K]?+[K]?；
按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵 [K]。
30
1 2
i1 i2 i3
3
1 2 3 0?1?2?3
0= 0
（ 1）结点位移分量总码
（ 2）单元定位向量
1
=
2
1
2
=
3
2
3
=
0
3（ 3）单元集成过程
[k] = 4i12i
1 4i1
2i11 1
2
21
[k] = 4i22i
2 4i2
2i22 2
3
32
[k] = 4i32i
3 4i3
2i33 033
0
[K] =
1 2 3
1
2
3
0
0
0 0 0
0 0
0 0
4i1
2i1
2i1
2i2
2i2 4i2
4i1
4i2+4i3
+4i2
例,求连续梁的整体刚度矩阵。
31
四、整体刚度矩阵 [K] 的性质
（ 1）整体刚度系数的意义,Kij－?j=1 (其余?=0)时产生的结点力 Fi
（ 2） [K]是对称矩阵
（ 3）对几何不变体系,[K]是可逆矩阵，如连续梁
i1 i2
1?2?3
F1 F2 F3
{F}=[K]{?}
{?}=[K]-1{F}
（ 4） [K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁
1?2?3F1 F2 F3
1 2 3 n
nFn?n+1Fn+1
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0
0 0
=
1
3
2
1
n
F
F
F
F
M
M
1
3
2
1
n
M
M
4i1
2i1
2i1
2i2
2i2 4i2+4i3
4i1+4i2
4in
2i3
2in
