1
2
§ 15-1 动力计算概述一、动力计算的特点、目的和内容
1、特点,静力荷载与动力荷载的特点及其效应。
,静力荷载” 是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载 对结构产生的惯性力可以忽略不计,由它所引起的内力和变形都是确定的。
,动力荷载” 是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载 对结构产生的惯性力不能忽略,因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，
由它所引起的内力和变形都是时间的函数。
2、目的和内容计算结构的动力反应,内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。
与静力计算的对比,两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，
建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的 平衡方程是微分方程 。
3
P(t )
t
P
t
简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载动力计算的内容,研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。
二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为：
1）周期荷载：随时间作周期性变化 。（转动电机的偏心力）
涉及到内外两方面的因素：
1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；
2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的 I,S等；
计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
4
三、动力计算中体系的自由度确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度 。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：
1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。
3）随机荷载,(非确定性荷载 ) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。
（如地震荷载、风荷载）
2）冲击荷载,短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
t
P(t )
ttr
P
tr
P
52个自由度
y2
y1
2个自由度自由度与质量数不一定相等
m
m>>m梁
m +αm梁 I I 2I
m+αm柱厂房排架水平振时的计算简图单自由度体系
6
水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块
θ(t)
v(t)
u(t)
4个自由度
m1 m2 m3
2个自由度
7
)(xm
y(x,t)x
无限自由度体系
2、广义座标法,如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示
n
k
k l
xktatxy
1
s i n)(),(?
用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中
l
xk?sin —— 是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。
ak(t) —— 称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。
x
y
x
)(.),........(),( 21 xxx n
a1,a2,…….,an
n
k
kk xatxy
1
)(),(?
y(x,t)
8
四、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）
)()( tymtPm
0)()( tymtP
………….,运动方程
m
设其中 )()( tItym
P(t) ＝ I(t)
………….,平衡方程
I(t)－ 惯性力，与加速度成正比，方向相反
)()( tymtP
改写成虚功原理（拉格朗日方程）
哈米顿原理（变分方程）?
都要用到抽象的虚位移概念
)(tym
9
§ 15-2 单自由度体系的自由振动自由振动,体系在振动过程中没有动荷载的作用。
静平衡位置
m获得初位移 y? m获得初速度y
自由振动产生原因,体系在初始时刻（ t=0）受到外界的干扰。
研究单自由度体系的自由振动重要性在于：
1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。
2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。
自由振动反映了体系的固有动力特性。
要解决的问题包括：
建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼 ………,
10
一、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程）
1,刚度法,研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。
m
.,yj.
yd
静平衡位置质量 m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd
k
力学模型
,ydm m
W
S(t)
I(t)
+
重力 W
弹性力 )()()(
dj yyktkytS
恒与位移反向惯性力 )()()(
dj yymtymtI
Wyykyym djdj )()( ……………( a)
其中 kyj=W 及 0?
jy
上式可以简化为
0 dd kyym
或
).,,,,,(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,0 bkyym
由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。
11
2,柔度法,研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。
..m静平衡位置
I(t)
).(.,,,,,,,,,)()()( ctymtIty
0)( ytym
k
1 可得与 (b) 相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
二、自由振动微分方程的解
).,,,,,(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,0 bkyym
改写为 0 y
m
ky 02 yy 其中
m
k?2?
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
).,,,,(.,,,,,,,,,c oss i n)( 21 dtCtCty
积分常数 C1,C2由初始条件确定
12
m静平衡位置
I(t)
).,,,,(c oss i n)( 21 dtCtCty
设 t=0 时
vy
yy
)0(
)0(
v
C
yC
1
2
..
（ d） 式可以写成
).,,,,,(.,,,,,,,,,s i nc os)( etvtyty
由式可知，位移是由初位移 y?引起的余弦运动和由初速度 v?引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,
令
c o s,s i n AvAy
(e)式改写成 )...(..........),,,,,,,,,s i n ()( ftAty
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中 A和?可由下式确定
).,,,,,,,,(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
1
2
2
g
v
y
tg
v
yA
振幅相位角
13
).,,,,,(.,,,,,,,,,s i nc os)( etvtyty
).,,,,(.,,,,,,,,,),,,,,,,,,s i n ()( ftAty
y
0 t
y
-y?
T
T
T
v
v?
y
t0
y
t0
A
-A
ty?co s?
tv s in?
tA s in
14
三、结构的自振周期和频率由式
)s in ()( tAty
及图可见位移方程是一个周期函数。
T
y
t0
A
-A
周期 －
,2T
工程频率 －
),(21 HzTf
园频率 －
Tf
22
计算频率和周期的几种形式
st
g
W
g
mm
k
1
gk
mT st 22
频率和周期的讨论
1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；
2.Ｔ 与 m的平方根成正比，与 k成反比，据此可改变周期；
3.是结构动力特性的重要数量标志。
15
例 1,计算图示结构的频率和周期。
m EI
l /2 l /2
1
EI
l
48
3
348mlEI EImlT 482
3
例 2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
l A,E,I
H?
E,I
1
H
H m
1?
E,A
1
V?
V
V m
1?
I I
EI1=?
m
h
1
k
2
6
h
EI
2
6
h
EI
2
6
h
EI
2
6
h
EI
例 3.计算图示刚架的频率和周期。
3
12
h
EI
3
12
h
EI
由截面平衡
3
24
h
EIk?
3
24
mh
EI
m
k
EI
mhT
22
3
16
四、简谐自由振动的特性由式
)s in ()( tAty
可得,加速度为,)s in ()(
2 tAty
)s i n ()()( 2 tmAtymtI
在无阻尼自由振动中,位移、加速度和惯性力 都按正弦规律变化，且 作相位相同的同步运动,即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。
它们的幅值产生于 1)s in( t 时，其值分别为：
Ay 2?Ay 2?mAI
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，
于是可 在幅值处建立运动方程,此时方程中将不含时间 t，结果把 微分方程转化为代数方程 了，使计算得以简化。
惯性力为：
17
例 4,计算图示体系的自振频率。
A
B C
D
EI=?
l /2 l /2l
mm?1 mm
3
1
2?
k
B C
k
1m
2m
..A1,.A
2
lk?
1I
2I
解：单自由度体系，
以?表示位移参数的幅值,
各质点上所受的力为：
221211 lmAmI
lm
lmAmI
2
2
2
2
22
2
1
2
3
3
1?
建立力矩平衡方程 0
BM
0232 21 llklIlI
02321221 22 llkllmllm
化简后得 km?2?
m
k
18
五、阻尼对振动的影响实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力,非弹性力起阻尼作用 。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：
事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。
非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。
1、阻尼的存在忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。
19
2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素
1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称,内摩擦,,耗散能量；
2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，
振动波在土壤中传播而耗散能量；
3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：
*粘滞阻尼理论 —— 非弹性力与变形速度成正比：
*滞变阻尼理论
yctR)(
关于阻尼，有两种定义或理解：
1）使振动衰减的作用；
2）使能量耗散。
3、阻尼力的确定,总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：
1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。
2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。
3）与质点速度无关（如摩擦力）。
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
20
m
S(t)
I(t)
P(t)
y.
.
k
m
P(t)
P(t)
)(tR
C平衡方程
)()( tkytS )()( tymtI
)( tPkyycym
0 ymkymcy
yctR)(
4、阻尼对自由振动的影响
0 kyycym
令
m
c2
m
k?2?及
02 2 yyy
设解为,tBey
特征方程
02 22
),1( 22,1
特征值一般解
tt eBeBty 21 21)(
21
（ 1） 低阻尼情形 (? <1 )
),1( 22,1特征值 一般解 tt eBeBty 21 21)(
,1 22,1 i
令 21
r
titi rr eBeBty )(2)(1)(
)( 21 titit rr eBeBe xixe
xixe
ix
ix
s inc o s
s inc o s
)s i nc o s()( 21 tCtCety rrt
由初始条件确定 C1和 C2；
设
vy
yy
)0(
)0(
得
r
yvCyC
21
)s i nco s()( tyvtyety r
r
r
t?
22
)s i nco s()( tyvtyety r
r
r
t?
)s i n)( tAety rt (
其中
yv
y
tg
yv
yA
r
r
1
2
2
y
t0
An A
n+1
tAe
r
T2?
讨论,（ a） 衰减周期运动
r
T2?
振幅 tAe
（ b） 阻尼对振幅的影响
T
Tt
t
n
n e
Ae
Ae
A
A
n
n
)(
1
23
mn
n
n
n
A
A
mA
A ln
2
1ln
2
1
1
例 6,对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力 20kN时顶部侧移 2cm，振动一周 T=1.4s后，回摆 1.6cm，求大梁的重量 W及 6周后的振幅。
k
2
k
2
W=mg
解,(1)大梁的重量,
kNgkW 6.4869812200496.02 4.1
2
由
skgWT 4.122
(2)自振频率
)(7 1 4.04.1 11 HzTf sf 148.42
(3)阻尼特性
,0355.06.1 2ln2 1 2
12 )999.0(1
r
(4)6周后的振幅
T
Tt
t
e
e
e
y
y
)(
1
0
0
0
6
1
06
)6(
6
0
0
0
y
ye
e
e
y
y T
Tt
t
cmyyyy 524.022 6.1
6
0
6
0
1
6
24
(2)? =1 原特征根 ),1(
22,1
于是?1,2= -?（ 重根 ）
微分方程的解
)()( 21 CtCety t
由初始条件确定 C1和 C2
设
vy
yy
)0(
)0( 得
yC
yvC
2
1?
tetvtyty )1()(
y(t)
t0
y
vtg
临界阻尼 Cr
,2mC,2 mC?
因
mC r 2,1
阻尼比系数
rC
C
2
§ 15-1 动力计算概述一、动力计算的特点、目的和内容
1、特点,静力荷载与动力荷载的特点及其效应。
,静力荷载” 是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载 对结构产生的惯性力可以忽略不计,由它所引起的内力和变形都是确定的。
,动力荷载” 是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载 对结构产生的惯性力不能忽略,因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，
由它所引起的内力和变形都是时间的函数。
2、目的和内容计算结构的动力反应,内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。
与静力计算的对比,两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，
建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的 平衡方程是微分方程 。
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P(t )
t
P
t
简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载动力计算的内容,研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。
二、动力荷载分类 按起变化规律及其作用特点可分为：
1）周期荷载：随时间作周期性变化 。（转动电机的偏心力）
涉及到内外两方面的因素：
1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；
2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的 I,S等；
计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
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三、动力计算中体系的自由度确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为 体系的振动自由度 。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：
1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。
3）随机荷载,(非确定性荷载 ) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。
（如地震荷载、风荷载）
2）冲击荷载,短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
t
P(t )
ttr
P
tr
P
52个自由度
y2
y1
2个自由度自由度与质量数不一定相等
m
m>>m梁
m +αm梁 I I 2I
m+αm柱厂房排架水平振时的计算简图单自由度体系
6
水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块
θ(t)
v(t)
u(t)
4个自由度
m1 m2 m3
2个自由度
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)(xm
y(x,t)x
无限自由度体系
2、广义座标法,如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示
n
k
k l
xktatxy
1
s i n)(),(?
用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中
l
xk?sin —— 是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。
ak(t) —— 称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。
x
y
x
)(.),........(),( 21 xxx n
a1,a2,…….,an
n
k
kk xatxy
1
)(),(?
y(x,t)
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四、动力计算的方法动力平衡法（达朗伯尔原理）
)()( tymtPm
0)()( tymtP
………….,运动方程
m
设其中 )()( tItym
P(t) ＝ I(t)
………….,平衡方程
I(t)－ 惯性力，与加速度成正比，方向相反
)()( tymtP
改写成虚功原理（拉格朗日方程）
哈米顿原理（变分方程）?
都要用到抽象的虚位移概念
)(tym
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§ 15-2 单自由度体系的自由振动自由振动,体系在振动过程中没有动荷载的作用。
静平衡位置
m获得初位移 y? m获得初速度y
自由振动产生原因,体系在初始时刻（ t=0）受到外界的干扰。
研究单自由度体系的自由振动重要性在于：
1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。
2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。
自由振动反映了体系的固有动力特性。
要解决的问题包括：
建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼 ………,
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一、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程）
1,刚度法,研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。
m
.,yj.
yd
静平衡位置质量 m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd
k
力学模型
,ydm m
W
S(t)
I(t)
+
重力 W
弹性力 )()()(
dj yyktkytS
恒与位移反向惯性力 )()()(
dj yymtymtI
Wyykyym djdj )()( ……………( a)
其中 kyj=W 及 0?
jy
上式可以简化为
0 dd kyym
或
).,,,,,(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,0 bkyym
由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。
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2,柔度法,研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。
..m静平衡位置
I(t)
).(.,,,,,,,,,)()()( ctymtIty
0)( ytym
k
1 可得与 (b) 相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
二、自由振动微分方程的解
).,,,,,(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,0 bkyym
改写为 0 y
m
ky 02 yy 其中
m
k?2?
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
).,,,,(.,,,,,,,,,c oss i n)( 21 dtCtCty
积分常数 C1,C2由初始条件确定
12
m静平衡位置
I(t)
).,,,,(c oss i n)( 21 dtCtCty
设 t=0 时
vy
yy
)0(
)0(
v
C
yC
1
2
..
（ d） 式可以写成
).,,,,,(.,,,,,,,,,s i nc os)( etvtyty
由式可知，位移是由初位移 y?引起的余弦运动和由初速度 v?引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,
令
c o s,s i n AvAy
(e)式改写成 )...(..........),,,,,,,,,s i n ()( ftAty
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中 A和?可由下式确定
).,,,,,,,,(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
1
2
2
g
v
y
tg
v
yA
振幅相位角
13
).,,,,,(.,,,,,,,,,s i nc os)( etvtyty
).,,,,(.,,,,,,,,,),,,,,,,,,s i n ()( ftAty
y
0 t
y
-y?
T
T
T
v
v?
y
t0
y
t0
A
-A
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tv s in?
tA s in
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三、结构的自振周期和频率由式
)s in ()( tAty
及图可见位移方程是一个周期函数。
T
y
t0
A
-A
周期 －
,2T
工程频率 －
),(21 HzTf
园频率 －
Tf
22
计算频率和周期的几种形式
st
g
W
g
mm
k
1
gk
mT st 22
频率和周期的讨论
1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；
2.Ｔ 与 m的平方根成正比，与 k成反比，据此可改变周期；
3.是结构动力特性的重要数量标志。
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例 1,计算图示结构的频率和周期。
m EI
l /2 l /2
1
EI
l
48
3
348mlEI EImlT 482
3
例 2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。
m
l A,E,I
H?
E,I
1
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例 3.计算图示刚架的频率和周期。
3
12
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由截面平衡
3
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h
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3
24
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22
3
16
四、简谐自由振动的特性由式
)s in ()( tAty
可得,加速度为,)s in ()(
2 tAty
)s i n ()()( 2 tmAtymtI
在无阻尼自由振动中,位移、加速度和惯性力 都按正弦规律变化，且 作相位相同的同步运动,即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。
它们的幅值产生于 1)s in( t 时，其值分别为：
Ay 2?Ay 2?mAI
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，
于是可 在幅值处建立运动方程,此时方程中将不含时间 t，结果把 微分方程转化为代数方程 了，使计算得以简化。
惯性力为：
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例 4,计算图示体系的自振频率。
A
B C
D
EI=?
l /2 l /2l
mm?1 mm
3
1
2?
k
B C
k
1m
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..A1,.A
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1I
2I
解：单自由度体系，
以?表示位移参数的幅值,
各质点上所受的力为：
221211 lmAmI
lm
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2
2
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建立力矩平衡方程 0
BM
0232 21 llklIlI
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化简后得 km?2?
m
k
18
五、阻尼对振动的影响实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力,非弹性力起阻尼作用 。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：
事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。
非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。
1、阻尼的存在忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。
19
2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素
1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称,内摩擦,,耗散能量；
2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，
振动波在土壤中传播而耗散能量；
3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：
*粘滞阻尼理论 —— 非弹性力与变形速度成正比：
*滞变阻尼理论
yctR)(
关于阻尼，有两种定义或理解：
1）使振动衰减的作用；
2）使能量耗散。
3、阻尼力的确定,总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：
1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。
2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。
3）与质点速度无关（如摩擦力）。
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
20
m
S(t)
I(t)
P(t)
y.
.
k
m
P(t)
P(t)
)(tR
C平衡方程
)()( tkytS )()( tymtI
)( tPkyycym
0 ymkymcy
yctR)(
4、阻尼对自由振动的影响
0 kyycym
令
m
c2
m
k?2?及
02 2 yyy
设解为,tBey
特征方程
02 22
),1( 22,1
特征值一般解
tt eBeBty 21 21)(
21
（ 1） 低阻尼情形 (? <1 )
),1( 22,1特征值 一般解 tt eBeBty 21 21)(
,1 22,1 i
令 21
r
titi rr eBeBty )(2)(1)(
)( 21 titit rr eBeBe xixe
xixe
ix
ix
s inc o s
s inc o s
)s i nc o s()( 21 tCtCety rrt
由初始条件确定 C1和 C2；
设
vy
yy
)0(
)0(
得
r
yvCyC
21
)s i nco s()( tyvtyety r
r
r
t?
22
)s i nco s()( tyvtyety r
r
r
t?
)s i n)( tAety rt (
其中
yv
y
tg
yv
yA
r
r
1
2
2
y
t0
An A
n+1
tAe
r
T2?
讨论,（ a） 衰减周期运动
r
T2?
振幅 tAe
（ b） 阻尼对振幅的影响
T
Tt
t
n
n e
Ae
Ae
A
A
n
n
)(
1
23
mn
n
n
n
A
A
mA
A ln
2
1ln
2
1
1
例 6,对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力 20kN时顶部侧移 2cm，振动一周 T=1.4s后，回摆 1.6cm，求大梁的重量 W及 6周后的振幅。
k
2
k
2
W=mg
解,(1)大梁的重量,
kNgkW 6.4869812200496.02 4.1
2
由
skgWT 4.122
(2)自振频率
)(7 1 4.04.1 11 HzTf sf 148.42
(3)阻尼特性
,0355.06.1 2ln2 1 2
12 )999.0(1
r
(4)6周后的振幅
T
Tt
t
e
e
e
y
y
)(
1
0
0
0
6
1
06
)6(
6
0
0
0
y
ye
e
e
y
y T
Tt
t
cmyyyy 524.022 6.1
6
0
6
0
1
6
24
(2)? =1 原特征根 ),1(
22,1
于是?1,2= -?（ 重根 ）
微分方程的解
)()( 21 CtCety t
由初始条件确定 C1和 C2
设
vy
yy
)0(
)0( 得
yC
yvC
2
1?
tetvtyty )1()(
y(t)
t0
y
vtg
临界阻尼 Cr
,2mC,2 mC?
因
mC r 2,1
阻尼比系数
rC
C
