2009-8-20 1
§ 11-3 位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 —— 多余未知力；
基本体系 —— 静定结构；
基本方程 —— 位移条件
（变形协调条件）
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
独立结点位移平衡条件
？一组单跨超静定梁
2009-8-20 2
二、基本未知量的选取
2、结构独立线位移：
（ 1）忽略轴向力产生的轴向变形 ---变形后的曲杆与原直杆等长；
（ 2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
C?D
A B
C D
1
2
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2009-8-20 3
线位移数也可以用几何方法确定。
1
4
0
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
2009-8-20 4
8m
4mi i
2i
A
B C
D
3k
N/
m
F1P
A
B
C
D
F2P
A
B
C
D
1
F11 F
21
A
B
C
D
2
F12 F
22
2?2
1?
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
三、选择基本体系四、建立基本方程
2009-8-20 5
ili 5.16?
1.5i
ili 75.03?
3(2i)
2i
4i
2
A
B
C
D
F12 F
22
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
A
B
C
D
1
F11 F
21
i i
2i
=1
k11 k
21
=1k
12 k22
=0………..(1)
=0………..(2)
k11?1 + k12?2 +F1P
k21?1 + k22?2 +F2P
k21
ii 5.146? 0
4i
6i
k11
1.5i
k12
k22
4
3i 163i
k11=10i k21= -1.5i k12= -1.5i
ik 161522?
2009-8-20 6
F1P
A
B
C
D
F2P4kN`·m
4kN·m
MP
F2P
0
4
0
F1P
-6
F1P=4kN·m F2P=-6kN
位移法方程：
06
16
15
5.1
045.110
21
21
ii
ii
ii
15 8 0.717 3 7.0
21
六、绘制弯矩图
4.42
13.62 5.69
1.4
M(kN·m)
PMMMM 2211
A
B C
D
五、计算结点位移
2009-8-20 7
k11?1+ k12? 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n? n+F1P=0
k21?1+ k22? 2 +· · · · · · · · · ·+ k2n? n+F2P=0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
kn1?1+ kn2? 2+ · · · · · · · · · ·+ knn? n+FnP=0
nnnn
n
n
kkk
kkk
kkk
.,,,,,
.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,
.,,,,,
.,,,,,
21
22221
11211
1 2
1=1k
11
k21
k12
k22
2=1
k11× 0+k21× 1
k21=k12
= k12 × 1+k22 × 0
ki j=kj i
具有 n个独立结点位移的超静定结构：
2009-8-20 8
例 1、试用位移法分析图示刚架。
（ 1） 基本未知量
（ 2）基本体系计算杆件线性刚度 i，
设 EI0=1,则
144 0 IElEIi
AB
AB
AB
2
1,
4
3
,1,1
CFBE
CDBC
ii
ii
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C D
F
E
4I0 5I0 4I0
3I0
3I0
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C D
F
E
4I0 5I0 4I0
3I0
3I0
Δ1
Δ2 Δ3
Δ1,Δ2,Δ3
2009-8-20 9
Δ1=1
4m 4m5m
4m
2m
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
（ 3）位移法方程
k11?1+ k12? 2+ k13? 3+F1P=0
k21?1+ k22? 2+ k23? 3+F2P=0
k31?1+ k32? 2+ k33? 3+F3P=0
（ 4）计算系数,k11,k12,k13,k21,k22,k23,k31,k32,k33
3 2
4
1.5
3
k11=3+4+3=10
k12=k21=2 k13=k31=?
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
Δ2=1
3
4
2 2
1
k22=4+3+2=9
k23=k32=?
2009-8-20 10
Δ3=1
4m 4m5m
4m
2m
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
1/2
1/2
9/8
9/8
k33=(1/6)+(9/16)=35/48
k31=k13= –9/8
k32=k23= –1/2
（ 5）计算自由项,F1P,F2P,F3P
4m 4m5m
4m
2m
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
q=20kN/m(1/8) ×20× 42=40 (1/12) ×20× 52=41.7 F1P=40–41.7= –1.7
F2P=41.7
F3P=0
2009-8-20 11
（ 6）建立位移法基本方程：
0
48
35
2
1
8
9
07.41
2
1
92
07.1
8
9
210
321
321
321
（ 7）解方程求结点位移：
（ 8）绘制弯矩图
PMMMM 2211
94.1
94.4
94.0
3
2
1
A
B C
D
F
E
M图 （ kN?m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8 14.9
5
3.6
8.9
3.97
（ 9）校核 结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
2009-8-20 12
§ 11-4 无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。
A B C
3m 3m 6m
EI EI
P=20kN q=2kN/m
B
q
B EI
P?
BEI
MBA
MAB MBC
1,基本未知量?B
2,固端弯矩
mkNPlm BA 158 6208
mkNm AB 15
mkNqlm BC 98
2
3,列杆端转角位移方程
152 BAB iM?
154 BBA iM?
93 BBC iM?
6
EIi?设
4,位移法基本方程（平衡条件）
BCBBC ml
iiM 33?
2009-8-20 13
16.72
15.85
11.57
3.21
MBA MBC
q
B EI
P?
BEI
MBA
MAB MBC 3、列杆端转角位移方程
152 BAB iM?
154 BBA iM?
93 BBC iM?
4、位移法基本方程（平衡条件）
i
ii
MMM
B
BB
BCBAB
7
6
093154
00
mkNiiM AB 72.1615762
mkNiiM BA 57.1115764
mkNiiM BC 57.119763
5、各杆端弯矩及弯矩图
M图mkN?
(1)变形连续条件,在确定基本未知量时得到满足；
(2)物理条件,即刚度方程；
(3)平衡条件,即位移法基本方程。
超静定结构必须满足的三个条件,
2009-8-20 14
例 1、试用位移法分析图示刚架。
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C D
FE
4I0 5I0 4I0
3I0 3I
0
（ 1） 基本未知量?B,?C
（ 2） 杆端弯矩 Mi j
408 4208 22 qlm BA
7.4112 2 qlm BC
7.41?CBm
计算线性刚度 i,设 EI0=1,则
144 0 IElEIi
AB
AB
AB 2
1,
4
3,1,1
CFBECDBC iiii
梁 4033 BBABABBA miM
7.4124 CBBCM
7.4124 BCCBM
CCDM?3?
2009-8-20 15
柱
BBBEM 34
34
BBEBM 5.14
32
CCCFM 22
14
CCFCM 2
12
(3)位移法方程
00
00
CFCDCBC
BEBCBAB
MMMM
MMMM
梁
4033 BBABABBA miM
7.4124 CBBCM 7.4124 BCCBM
CCDM?3?
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C
D
FE
4I。 5I。 4I。
3I。
3I。
07.4192
07.1210
CB
CB
2009-8-20 16
...,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
9.467.4189.4215.147.4124
5.434015.134033
mkNM
mkNmiM
CBBC
BBABABBA
(4) 解方程
89.415.1 CB (相对值 )
(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱
mkNM
mkNM
CCCF
BBBE
8.9)89.4(22
2
1
4
45.315.133
4
3
4
A B C D
FE
43.5 46.9 24.5
14.7
3.45
1.7
9.8
4.89
M图 )( mkN?
2009-8-20 17
小 结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。
A B C D
q q
P
M
M
MCB MCD
C
2009-8-20 18
A
EI
l
QAB QBA
复习角变位移方程中的杆端剪力：
BAABA
ABAAB
Q
l
i
l
i
Q
Q
l
i
l
i
Q
2
2
33
33
A
B
C
D
1i
i i
q
q
QBA QDC
00 DCBA QQx
23l iQ DC
0836 2 qll i iql163
qll iQ BA 833 2其中绘制弯矩图的方法：
（ 1）直接由外荷载及剪力计算；
（ 2）由角变位移方程计算。
16
5
816
33 223 qlql
i
ql
l
im
l
iM
ABAB
16
33 2ql
l
iM
CDA
B
C
D
16
5 2ql
16
3 2ql
§ 11-5 有侧移刚架的计算
2009-8-20 19
P
h 1 h
2 h 3
I1 I2 I3
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
解,1）基本未知量,Δ Δ
Δ
2）各柱的杆端剪力侧移刚度 J=3i/h2,则：
Q1=J1Δ,Q2=J2Δ,Q3=J3Δ
Q1+Q2+Q3=P
J1Δ+J2Δ+J3Δ=P
iJ
P
P
Q1
Q2
Q3
i
i h
J
PJM=Q
ihi
i
i J
PJQ
P
柱顶剪力：
柱底弯矩：
J
hPJ 11
J
hPJ 33
J
hPJ 22
3）位移法方程
∑X=0
M
结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。
2009-8-20 20
A?
B?
E I
l
QAB QBA
A B
BABABA
ABBAAB
Q
l
i
l
i
l
i
Q
Q
l
i
l
i
l
i
Q
2
2
1266
1266
00 DCBA QQx
其中
2
12
2
ql
l
iQ
BA 2
12
l
iQ
DC
i
qlql
l
i
4802
24 3
2
A
B
C
D
i i
i1=?
q
q
复习角变位移方程中的杆端剪力：绘制弯矩图
2
24
56 qlm
l
iM
ABAB
2
24
16 qlm
l
iM
BABA
……………………………..
M（?ql2）
241
245
8
1
8
1
QDCQBA
2009-8-20 21
B?
MAB
QAB
MBA Q
BA
B?
MBC
QCD
QDC
MDC
例 1,用位移法分析图示刚架。
[解 ]（ 1）基本未知量?B,?
（ 2）单元分析
12
43
4
62 2 iiM
BAB?
12
43
4
64 2 iiM
BBA?
BBC iM?)2(3?
43 iM DC
B?
B C
8m
4mi i
2i
A
B C
D
3k
N/
m
675.05.1241246 2 iiqliiQ BBBA
243 iQ CD
2009-8-20 22
MAB
QAB
MBA Q
BA
B?
MBC
QCD
QDC
MDC
B?
B CMBC
MBA
（ 3）位移法方程
0 BM
)1.,,,,,(.,,,,,,,,,0 aMM BCBA
)1...(.,,,,,,,,,041510 ii B?
0 x
QBA + QCD =0…………...(2 a)
)2........(02475.36 ii B?
QBA QCD
（ 4）解位移法方程
45.12 iiM BAB?
45.14 iiM BBA?
BBC iM?6?
iM DC 75.0
243 iQ CD 675.05.1 iiQ BBA?
2009-8-20 23
)2........(02475.36 ii B?
（ 4）解位移法方程
)1.(.,,,,,,,,,045.110 ii B?
iiB
58.77 3 7.0
（ 5）弯矩图
MAB= -13.896 kN·m
MBA= -4.422kN·m
MBC= 4.422kN·m
MDC= -5.685kN·m
QBA= -1.42kN
QCD= -1.42kN
A
B C
D13.896
4.422
4.422
5.685
M图（ kN·m）
2009-8-20 24
A
B C
D
E
F
m
q
例 2,用位移法分析图示刚架。 思路
MBA
MBC
MCB
B? MBE
MEB
MCDm
B? C? C?M
CF
MFC
B?
C?
0 Bm 0 Cm
0 x
QBE QCF
基本未知量为：
B? C
2009-8-20 25
P
A B
C D
E F
C?
C?
C?
p
QCE
QCA QCBC?
基本未知量为：
C?
MCE
MCA
MCD
QCA
QCE
MCA
MCD
MCE
§ 11-3 位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 —— 多余未知力；
基本体系 —— 静定结构；
基本方程 —— 位移条件
（变形协调条件）
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
独立结点位移平衡条件
？一组单跨超静定梁
2009-8-20 2
二、基本未知量的选取
2、结构独立线位移：
（ 1）忽略轴向力产生的轴向变形 ---变形后的曲杆与原直杆等长；
（ 2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
C?D
A B
C D
1
2
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2009-8-20 3
线位移数也可以用几何方法确定。
1
4
0
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
2009-8-20 4
8m
4mi i
2i
A
B C
D
3k
N/
m
F1P
A
B
C
D
F2P
A
B
C
D
1
F11 F
21
A
B
C
D
2
F12 F
22
2?2
1?
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
三、选择基本体系四、建立基本方程
2009-8-20 5
ili 5.16?
1.5i
ili 75.03?
3(2i)
2i
4i
2
A
B
C
D
F12 F
22
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
A
B
C
D
1
F11 F
21
i i
2i
=1
k11 k
21
=1k
12 k22
=0………..(1)
=0………..(2)
k11?1 + k12?2 +F1P
k21?1 + k22?2 +F2P
k21
ii 5.146? 0
4i
6i
k11
1.5i
k12
k22
4
3i 163i
k11=10i k21= -1.5i k12= -1.5i
ik 161522?
2009-8-20 6
F1P
A
B
C
D
F2P4kN`·m
4kN·m
MP
F2P
0
4
0
F1P
-6
F1P=4kN·m F2P=-6kN
位移法方程：
06
16
15
5.1
045.110
21
21
ii
ii
ii
15 8 0.717 3 7.0
21
六、绘制弯矩图
4.42
13.62 5.69
1.4
M(kN·m)
PMMMM 2211
A
B C
D
五、计算结点位移
2009-8-20 7
k11?1+ k12? 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n? n+F1P=0
k21?1+ k22? 2 +· · · · · · · · · ·+ k2n? n+F2P=0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
kn1?1+ kn2? 2+ · · · · · · · · · ·+ knn? n+FnP=0
nnnn
n
n
kkk
kkk
kkk
.,,,,,
.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,
.,,,,,
.,,,,,
21
22221
11211
1 2
1=1k
11
k21
k12
k22
2=1
k11× 0+k21× 1
k21=k12
= k12 × 1+k22 × 0
ki j=kj i
具有 n个独立结点位移的超静定结构：
2009-8-20 8
例 1、试用位移法分析图示刚架。
（ 1） 基本未知量
（ 2）基本体系计算杆件线性刚度 i，
设 EI0=1,则
144 0 IElEIi
AB
AB
AB
2
1,
4
3
,1,1
CFBE
CDBC
ii
ii
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C D
F
E
4I0 5I0 4I0
3I0
3I0
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C D
F
E
4I0 5I0 4I0
3I0
3I0
Δ1
Δ2 Δ3
Δ1,Δ2,Δ3
2009-8-20 9
Δ1=1
4m 4m5m
4m
2m
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
（ 3）位移法方程
k11?1+ k12? 2+ k13? 3+F1P=0
k21?1+ k22? 2+ k23? 3+F2P=0
k31?1+ k32? 2+ k33? 3+F3P=0
（ 4）计算系数,k11,k12,k13,k21,k22,k23,k31,k32,k33
3 2
4
1.5
3
k11=3+4+3=10
k12=k21=2 k13=k31=?
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
Δ2=1
3
4
2 2
1
k22=4+3+2=9
k23=k32=?
2009-8-20 10
Δ3=1
4m 4m5m
4m
2m
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
1/2
1/2
9/8
9/8
k33=(1/6)+(9/16)=35/48
k31=k13= –9/8
k32=k23= –1/2
（ 5）计算自由项,F1P,F2P,F3P
4m 4m5m
4m
2m
A B C D
F
E
i=1 i=1 i=1
i=3/
4
i=1/
2
q=20kN/m(1/8) ×20× 42=40 (1/12) ×20× 52=41.7 F1P=40–41.7= –1.7
F2P=41.7
F3P=0
2009-8-20 11
（ 6）建立位移法基本方程：
0
48
35
2
1
8
9
07.41
2
1
92
07.1
8
9
210
321
321
321
（ 7）解方程求结点位移：
（ 8）绘制弯矩图
PMMMM 2211
94.1
94.4
94.0
3
2
1
A
B C
D
F
E
M图 （ kN?m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8 14.9
5
3.6
8.9
3.97
（ 9）校核 结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
2009-8-20 12
§ 11-4 无侧移刚架的计算如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。
A B C
3m 3m 6m
EI EI
P=20kN q=2kN/m
B
q
B EI
P?
BEI
MBA
MAB MBC
1,基本未知量?B
2,固端弯矩
mkNPlm BA 158 6208
mkNm AB 15
mkNqlm BC 98
2
3,列杆端转角位移方程
152 BAB iM?
154 BBA iM?
93 BBC iM?
6
EIi?设
4,位移法基本方程（平衡条件）
BCBBC ml
iiM 33?
2009-8-20 13
16.72
15.85
11.57
3.21
MBA MBC
q
B EI
P?
BEI
MBA
MAB MBC 3、列杆端转角位移方程
152 BAB iM?
154 BBA iM?
93 BBC iM?
4、位移法基本方程（平衡条件）
i
ii
MMM
B
BB
BCBAB
7
6
093154
00
mkNiiM AB 72.1615762
mkNiiM BA 57.1115764
mkNiiM BC 57.119763
5、各杆端弯矩及弯矩图
M图mkN?
(1)变形连续条件,在确定基本未知量时得到满足；
(2)物理条件,即刚度方程；
(3)平衡条件,即位移法基本方程。
超静定结构必须满足的三个条件,
2009-8-20 14
例 1、试用位移法分析图示刚架。
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C D
FE
4I0 5I0 4I0
3I0 3I
0
（ 1） 基本未知量?B,?C
（ 2） 杆端弯矩 Mi j
408 4208 22 qlm BA
7.4112 2 qlm BC
7.41?CBm
计算线性刚度 i,设 EI0=1,则
144 0 IElEIi
AB
AB
AB 2
1,
4
3,1,1
CFBECDBC iiii
梁 4033 BBABABBA miM
7.4124 CBBCM
7.4124 BCCBM
CCDM?3?
2009-8-20 15
柱
BBBEM 34
34
BBEBM 5.14
32
CCCFM 22
14
CCFCM 2
12
(3)位移法方程
00
00
CFCDCBC
BEBCBAB
MMMM
MMMM
梁
4033 BBABABBA miM
7.4124 CBBCM 7.4124 BCCBM
CCDM?3?
4m 4m5m
4m
2m
q=20kN/m
A B C
D
FE
4I。 5I。 4I。
3I。
3I。
07.4192
07.1210
CB
CB
2009-8-20 16
...,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
9.467.4189.4215.147.4124
5.434015.134033
mkNM
mkNmiM
CBBC
BBABABBA
(4) 解方程
89.415.1 CB (相对值 )
(5)杆端弯矩及弯矩图梁柱
mkNM
mkNM
CCCF
BBBE
8.9)89.4(22
2
1
4
45.315.133
4
3
4
A B C D
FE
43.5 46.9 24.5
14.7
3.45
1.7
9.8
4.89
M图 )( mkN?
2009-8-20 17
小 结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；
2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；
3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括外力矩。
A B C D
q q
P
M
M
MCB MCD
C
2009-8-20 18
A
EI
l
QAB QBA
复习角变位移方程中的杆端剪力：
BAABA
ABAAB
Q
l
i
l
i
Q
Q
l
i
l
i
Q
2
2
33
33
A
B
C
D
1i
i i
q
q
QBA QDC
00 DCBA QQx
23l iQ DC
0836 2 qll i iql163
qll iQ BA 833 2其中绘制弯矩图的方法：
（ 1）直接由外荷载及剪力计算；
（ 2）由角变位移方程计算。
16
5
816
33 223 qlql
i
ql
l
im
l
iM
ABAB
16
33 2ql
l
iM
CDA
B
C
D
16
5 2ql
16
3 2ql
§ 11-5 有侧移刚架的计算
2009-8-20 19
P
h 1 h
2 h 3
I1 I2 I3
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
解,1）基本未知量,Δ Δ
Δ
2）各柱的杆端剪力侧移刚度 J=3i/h2,则：
Q1=J1Δ,Q2=J2Δ,Q3=J3Δ
Q1+Q2+Q3=P
J1Δ+J2Δ+J3Δ=P
iJ
P
P
Q1
Q2
Q3
i
i h
J
PJM=Q
ihi
i
i J
PJQ
P
柱顶剪力：
柱底弯矩：
J
hPJ 11
J
hPJ 33
J
hPJ 22
3）位移法方程
∑X=0
M
结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。
2009-8-20 20
A?
B?
E I
l
QAB QBA
A B
BABABA
ABBAAB
Q
l
i
l
i
l
i
Q
Q
l
i
l
i
l
i
Q
2
2
1266
1266
00 DCBA QQx
其中
2
12
2
ql
l
iQ
BA 2
12
l
iQ
DC
i
qlql
l
i
4802
24 3
2
A
B
C
D
i i
i1=?
q
q
复习角变位移方程中的杆端剪力：绘制弯矩图
2
24
56 qlm
l
iM
ABAB
2
24
16 qlm
l
iM
BABA
……………………………..
M（?ql2）
241
245
8
1
8
1
QDCQBA
2009-8-20 21
B?
MAB
QAB
MBA Q
BA
B?
MBC
QCD
QDC
MDC
例 1,用位移法分析图示刚架。
[解 ]（ 1）基本未知量?B,?
（ 2）单元分析
12
43
4
62 2 iiM
BAB?
12
43
4
64 2 iiM
BBA?
BBC iM?)2(3?
43 iM DC
B?
B C
8m
4mi i
2i
A
B C
D
3k
N/
m
675.05.1241246 2 iiqliiQ BBBA
243 iQ CD
2009-8-20 22
MAB
QAB
MBA Q
BA
B?
MBC
QCD
QDC
MDC
B?
B CMBC
MBA
（ 3）位移法方程
0 BM
)1.,,,,,(.,,,,,,,,,0 aMM BCBA
)1...(.,,,,,,,,,041510 ii B?
0 x
QBA + QCD =0…………...(2 a)
)2........(02475.36 ii B?
QBA QCD
（ 4）解位移法方程
45.12 iiM BAB?
45.14 iiM BBA?
BBC iM?6?
iM DC 75.0
243 iQ CD 675.05.1 iiQ BBA?
2009-8-20 23
)2........(02475.36 ii B?
（ 4）解位移法方程
)1.(.,,,,,,,,,045.110 ii B?
iiB
58.77 3 7.0
（ 5）弯矩图
MAB= -13.896 kN·m
MBA= -4.422kN·m
MBC= 4.422kN·m
MDC= -5.685kN·m
QBA= -1.42kN
QCD= -1.42kN
A
B C
D13.896
4.422
4.422
5.685
M图（ kN·m）
2009-8-20 24
A
B C
D
E
F
m
q
例 2,用位移法分析图示刚架。 思路
MBA
MBC
MCB
B? MBE
MEB
MCDm
B? C? C?M
CF
MFC
B?
C?
0 Bm 0 Cm
0 x
QBE QCF
基本未知量为：
B? C
2009-8-20 25
P
A B
C D
E F
C?
C?
C?
p
QCE
QCA QCBC?
基本未知量为：
C?
MCE
MCA
MCD
QCA
QCE
MCA
MCD
MCE
