§ 10-4 超静定桁架和组合结构
a
a
P
1
2
3
4
5
6
P
1X
1X
EA=c
1X1?
1X1?
1
21?
21?
21?
21?
1N
PP
P
P
P2?
0
（ 1）基本体系与未知量
1X
（ 2）力法方程 0X
P1111
PN
（ 3）系数与自由项
aEAlNEAEA lN 22211 212111
223211 111 PaEAlNNEAEA lNN PPP
20
一、超静定桁架
a
a
P0.396P
0.396P
0.3
96
P
-0.
60
4P
N
P
1X
1X
思考,若取上面的基本体系，
力法方程有没有变化?
21
力法方程：
1111 PX?
PX 1111? EA aX 21?
（ 4）解方程
PPX 854.0422 2231
（ 5）内力
PNXNN 11
02 2231)222(1 1 PaEAXaEA
二、组合结构
1X
1X
1X1?
1N
1X1?
1M
1PM
2PM
01111 PX
EA
lNdx
EI
M 2121
11?
dx
EI
MMdx
EI
MMdx
EI
MMMdx
EI
MM PPPPP
P
21112111
1
11
1
1?
PX 讨论
22
§ 10-5 力法计算的简化
0.,,,,.,,,,,,,,,
.,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
0.,,,,.,,,,,,,,,
0.,,,,.,,,,,,,,,
2211
22222121
11212111
nPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
0
.,,,,,.,,,,,,,.,,,,,,,,
0
0
2222
1111
nPnnn
P
P
X
X
X
一、对称性的利用对称的含义,1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；
2、杆件截面和材料（ E I,EA）也对称。
1I 1I
2I
2X 2X
3X
3X
1X 1X
4
2X 1X2?
1X 1X 1?
1M 2M 3M
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
0
0
0
3333
2222121
1212111
P
P
P
X
XX
XX
P5.0 P5.0 P5.0 P5.0
PMPM?
1X 3?
3X
P
5
P5.0 P5.0
PM
P5.0 P5.0
PM?
6
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
03333 PX?
正对称荷载 反对称荷载
0.5P 0.5P
1、奇数跨对称结构的半边结构
2、偶数跨对称结构的半边结构正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩。
反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力。
1I 3I
2I
1I
2I
1）正对称荷载作用下
1I 3I
2I 不考虑轴向变形条件下，可简化为,1I
2I
1I 23
I
2I
2）反对称荷载作用下
1I 23
I
2I
1I 23I
2I
1I
2Il’
23
I
7
1I 1I
2I
P P/2 P/2 P/2 P/2
= +
P/2
1X
P/2
1X
1MPM
8
I I2I
P
I I2I
P/2 P/2
I
P/2
I I2I
P/2 P/2 P/2
I I
没有弯矩
2次超静定
35
9
二、广义未知力的利用用于原体系与基本体系都是对称的，但未知力并非对称或反对称。
1Y 2Y
1X 1X
2X 2X
1X 2? 1X 2?
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
同向位移之和反向位移之和
1X 1? 1X 1?
11 11 22
22
212
211
XXY
XXY
PMXMXMM 2211 10
§ 10-6 超静定拱
X1
l
f
01111 PX?
dsEIMM PP 11
略去剪力的影响；
当 f< l /3 时,?考虑轴力的影响。
X1=1
dsEA NNdsEI MM 111111?
X1=1状态
x
y
x
y?
P 状态大跨度、大截面拱可忽略第二项只能积分，不能图乘
MP=M° yM
1
co s1N
1
列方程
dsEI yMP?1 dsEAdsEIy
22
11
co s
当 f /l<1/4 时，可取 ds=dx
HX P
11
1
1?
y与?的计算一、两铰拱计算
11
在竖向荷载作用下
HyMXMMM 11
s i nc o s HQQ
c o ss i n HQN
计算特点,?和?只能积分； H—— 推力由变形条件求得；
11
1
PH
关于位移计算简化的讨论；
dsGAQkdsEANdsEIM
2
1
2
1
2
1
11?
dsEIMQN 21)1( 通常可以略去?Q
对于扁平拱，当
1010181 Nlhlf?时且
% 不能忽略
12
2、带拉杆的两铰拱 为什么要用拉杆？
墙、柱不承担弯矩推力减少了拱肋弯矩
E,I,A
E1,A1
X1
11 NM
X1=1
MP
01111 PX?
dxAENdsEANdsEIM l 0
11
2
1
2
1
2
1
11
ds
EI
MM P
P 11
=?1P
其中
110 11
2
0 11
2
1 1
AE
ldx
AEdxAE
N ll
11
11
11
2
1
2
1
11 AE
l
AE
lds
EA
Nds
EI
M
两类拱的比较,无拉杆
11
1
PH E1A1 HH
相当于无拉杆有拉杆
11
11
1
AE
lH
P
E1A1?0 0H
简支曲梁适当加大 E1A1使 H*较大，可减小拱肋 M,H求出后，计算内力公式与前面一样。 13
二、对称无铰拱的计算
EI=?
2X2X
3X
1X
（ a）
（ b）
（ c）
（ 1）利用对称性
0
0
0
3333
2222121
1212111
P
P
P
X
XX
XX
当附加竖向刚臂长度变化时，就可能使,? 21 =? 12 = 0
0
0
0
3333
2222
1111
P
P
P
X
X
X
14
（ b）与（ c）具有完全等效关系。
此时将图（ c）在对称轴位置截断，
对于两对称内力,X1,X2。
X1=1作用下，基本体系同侧受拉；
X2=1作用下，基本体系异侧受拉。
即得：
y′
1X 1X
2X
2X
x
y
y
a
x
y
12?X11?X
x
y
y
1 y
2N
2Q
11?M
01?N
01?Q
yM2
c o s)c o s (2N
s in)s in (2Q
dsEIy12?
x'0
另选座标 yox 则 ayy
dsEIadsEI ydsEI ay 112?
y?
15
dsEIadsEI ydsEI ay 112?
令?12=0 则
ds
EI
ds
EI
y
a
1
1
即：若取刚臂端点到 x’轴距离为 a，则?12=0,该点称为弹性中心。
形象解释
（ a）
EI
y?
。
y
（ b）
ydsEIydsEI 11? a
ds
EI
ds
EI
y
y?
1?
等截面时
ds
dsy
a
要点,1、先计算 a； 2、将未知力放在弹性中心； 3、独立方程,?22考虑 N。
。 EI
1
y′
1X 1X
2X
2X
x
y
y
a x'
0
y?
16
例 1、试确定图示园弧拱的弹性中心,EI=常数，半径 R=6.25m 。
x?
y?
2.5m
0?0
y?
x?
ds
EI
ds
EI
y
a
1
1
c osRyRdds?
0
0
0
0 s i n
2
co s2
R
Rd
RdR
a?
8.025.6 52/s i n 0 Rl?
)(9 2 7 3.00 r a d
a=5.39m
l=10m
x?
y?
a=5.39m
17
例 2、试确定图示刚架的弹性中心。
2X 2X
3X
1X 1X2EI
EI EI
8m
4m
x?
y?
m
EIEI
EIEI 667.2
3
8
)4
1
(28
2
1
)24
1
(248
2
1
a
ds
EI
ds
EI
y
a
1
1
18
a
a
P
1
2
3
4
5
6
P
1X
1X
EA=c
1X1?
1X1?
1
21?
21?
21?
21?
1N
PP
P
P
P2?
0
（ 1）基本体系与未知量
1X
（ 2）力法方程 0X
P1111
PN
（ 3）系数与自由项
aEAlNEAEA lN 22211 212111
223211 111 PaEAlNNEAEA lNN PPP
20
一、超静定桁架
a
a
P0.396P
0.396P
0.3
96
P
-0.
60
4P
N
P
1X
1X
思考,若取上面的基本体系，
力法方程有没有变化?
21
力法方程：
1111 PX?
PX 1111? EA aX 21?
（ 4）解方程
PPX 854.0422 2231
（ 5）内力
PNXNN 11
02 2231)222(1 1 PaEAXaEA
二、组合结构
1X
1X
1X1?
1N
1X1?
1M
1PM
2PM
01111 PX
EA
lNdx
EI
M 2121
11?
dx
EI
MMdx
EI
MMdx
EI
MMMdx
EI
MM PPPPP
P
21112111
1
11
1
1?
PX 讨论
22
§ 10-5 力法计算的简化
0.,,,,.,,,,,,,,,
.,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
0.,,,,.,,,,,,,,,
0.,,,,.,,,,,,,,,
2211
22222121
11212111
nPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
0
.,,,,,.,,,,,,,.,,,,,,,,
0
0
2222
1111
nPnnn
P
P
X
X
X
一、对称性的利用对称的含义,1、结构的几何形状和支座情况对某轴对称；
2、杆件截面和材料（ E I,EA）也对称。
1I 1I
2I
2X 2X
3X
3X
1X 1X
4
2X 1X2?
1X 1X 1?
1M 2M 3M
0
0
0
3333232131
2323222121
1313212111
P
P
P
XXX
XXX
XXX
0
0
0
3333
2222121
1212111
P
P
P
X
XX
XX
P5.0 P5.0 P5.0 P5.0
PMPM?
1X 3?
3X
P
5
P5.0 P5.0
PM
P5.0 P5.0
PM?
6
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
03333 PX?
正对称荷载 反对称荷载
0.5P 0.5P
1、奇数跨对称结构的半边结构
2、偶数跨对称结构的半边结构正对称荷载作用下，对称轴截面只产生轴力和弯矩。
反对称荷载作用下，对称轴截面只产生剪力。
1I 3I
2I
1I
2I
1）正对称荷载作用下
1I 3I
2I 不考虑轴向变形条件下，可简化为,1I
2I
1I 23
I
2I
2）反对称荷载作用下
1I 23
I
2I
1I 23I
2I
1I
2Il’
23
I
7
1I 1I
2I
P P/2 P/2 P/2 P/2
= +
P/2
1X
P/2
1X
1MPM
8
I I2I
P
I I2I
P/2 P/2
I
P/2
I I2I
P/2 P/2 P/2
I I
没有弯矩
2次超静定
35
9
二、广义未知力的利用用于原体系与基本体系都是对称的，但未知力并非对称或反对称。
1Y 2Y
1X 1X
2X 2X
1X 2? 1X 2?
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
同向位移之和反向位移之和
1X 1? 1X 1?
11 11 22
22
212
211
XXY
XXY
PMXMXMM 2211 10
§ 10-6 超静定拱
X1
l
f
01111 PX?
dsEIMM PP 11
略去剪力的影响；
当 f< l /3 时,?考虑轴力的影响。
X1=1
dsEA NNdsEI MM 111111?
X1=1状态
x
y
x
y?
P 状态大跨度、大截面拱可忽略第二项只能积分，不能图乘
MP=M° yM
1
co s1N
1
列方程
dsEI yMP?1 dsEAdsEIy
22
11
co s
当 f /l<1/4 时，可取 ds=dx
HX P
11
1
1?
y与?的计算一、两铰拱计算
11
在竖向荷载作用下
HyMXMMM 11
s i nc o s HQQ
c o ss i n HQN
计算特点,?和?只能积分； H—— 推力由变形条件求得；
11
1
PH
关于位移计算简化的讨论；
dsGAQkdsEANdsEIM
2
1
2
1
2
1
11?
dsEIMQN 21)1( 通常可以略去?Q
对于扁平拱，当
1010181 Nlhlf?时且
% 不能忽略
12
2、带拉杆的两铰拱 为什么要用拉杆？
墙、柱不承担弯矩推力减少了拱肋弯矩
E,I,A
E1,A1
X1
11 NM
X1=1
MP
01111 PX?
dxAENdsEANdsEIM l 0
11
2
1
2
1
2
1
11
ds
EI
MM P
P 11
=?1P
其中
110 11
2
0 11
2
1 1
AE
ldx
AEdxAE
N ll
11
11
11
2
1
2
1
11 AE
l
AE
lds
EA
Nds
EI
M
两类拱的比较,无拉杆
11
1
PH E1A1 HH
相当于无拉杆有拉杆
11
11
1
AE
lH
P
E1A1?0 0H
简支曲梁适当加大 E1A1使 H*较大，可减小拱肋 M,H求出后，计算内力公式与前面一样。 13
二、对称无铰拱的计算
EI=?
2X2X
3X
1X
（ a）
（ b）
（ c）
（ 1）利用对称性
0
0
0
3333
2222121
1212111
P
P
P
X
XX
XX
当附加竖向刚臂长度变化时，就可能使,? 21 =? 12 = 0
0
0
0
3333
2222
1111
P
P
P
X
X
X
14
（ b）与（ c）具有完全等效关系。
此时将图（ c）在对称轴位置截断，
对于两对称内力,X1,X2。
X1=1作用下，基本体系同侧受拉；
X2=1作用下，基本体系异侧受拉。
即得：
y′
1X 1X
2X
2X
x
y
y
a
x
y
12?X11?X
x
y
y
1 y
2N
2Q
11?M
01?N
01?Q
yM2
c o s)c o s (2N
s in)s in (2Q
dsEIy12?
x'0
另选座标 yox 则 ayy
dsEIadsEI ydsEI ay 112?
y?
15
dsEIadsEI ydsEI ay 112?
令?12=0 则
ds
EI
ds
EI
y
a
1
1
即：若取刚臂端点到 x’轴距离为 a，则?12=0,该点称为弹性中心。
形象解释
（ a）
EI
y?
。
y
（ b）
ydsEIydsEI 11? a
ds
EI
ds
EI
y
y?
1?
等截面时
ds
dsy
a
要点,1、先计算 a； 2、将未知力放在弹性中心； 3、独立方程,?22考虑 N。
。 EI
1
y′
1X 1X
2X
2X
x
y
y
a x'
0
y?
16
例 1、试确定图示园弧拱的弹性中心,EI=常数，半径 R=6.25m 。
x?
y?
2.5m
0?0
y?
x?
ds
EI
ds
EI
y
a
1
1
c osRyRdds?
0
0
0
0 s i n
2
co s2
R
Rd
RdR
a?
8.025.6 52/s i n 0 Rl?
)(9 2 7 3.00 r a d
a=5.39m
l=10m
x?
y?
a=5.39m
17
例 2、试确定图示刚架的弹性中心。
2X 2X
3X
1X 1X2EI
EI EI
8m
4m
x?
y?
m
EIEI
EIEI 667.2
3
8
)4
1
(28
2
1
)24
1
(248
2
1
a
ds
EI
ds
EI
y
a
1
1
18
