1
位移法要点：
1）位移法的基本未知量是结点位移；
2）位移法以单根杆件为计算单元；
3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。
4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。
位移法计算刚架时的特点：
1）基本未知量是结点位移；
2）计算单元是一组单跨超静定梁；
3）位移法方程是根据平衡条件建立的。
应用位移法求解刚架需要解决三个问题：
①单跨超静定梁的内力分析；
②位移法基本未知量的确定；
③位移法方程的建立与求解。
① 把结构拆成杆件
（物理条件）
②把杆件装成结构
（变形协调、平衡）
2
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA
4i 2iθ=1A B
A B 1
212 li
li6?
li6?li6?
A B 1 0
li3?
A Bθ=1 3i 0
23 li
A Bθ=1 i － i 0
li3?
3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m 25kN.m
32kN
4m 4m
2m
2m
A
B C
D
E
2EI
EI EI
EI2
i=1 1
1
直接平衡法的计算步骤：
1）确定位移法的基本未知量。
（ 铰结点、
铰支座的转角，
定向支座的侧移不作为基本未知量）。
2）由转角位移方程列杆端弯矩表达式。
3）由平衡条件列位移法方程。
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。
6）校核 （平衡条件）
4
§ 11-6 对称结构的计算
1I 1I
2I
P P
M
M
Q
N
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：
利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。
N
Q
5
一、单数跨
(1)对称荷载
Δ1
2/l
EIi
BE?
F1P
2
231lq
2
261lq
k11
iBE
2iAB
4iAB
MP M1
k11 Δ 1 + F1P = 0
(2)反对称荷载
P P
A
B C
D
E
Δ1 Δ2
Δ3
A
B E
l/2
P 反弯点
A
B
Z3
Δ1
A
B
E
l/2
q
6
二、偶数跨
(1)对称荷载
q q
C C
M = Q = 0
P P
IN = 0
P P
2
I
2
I
反弯点
P
2
I
无限短跨
+2I
P
2
I
P
(2)反对称荷载
7
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m ↓↓↓↓
↓↓
↓↓
12kN
/m
↓↓↓↓↓↓↓2
4k
N/
m
4m
4m 4m
EI EI
EI2EIEI
24
24
24
72 72
4
20
8
20
8
M反对称 M对称
92
16 4 32
52
M图
(kN.m)
48
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
4m
3m
4m 4m
4I 4I 4I
4m
↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
i=1
A
C
B
ACAM 2q?
AACM q?4
ABAM q +? 162
Aq 164AABM q
×
12
4124 2
0?+ ACABA MMM
2
0168
A
A
q
q
MAB
MAC
A
=－ 8kN.m
=20kN.m
=8kN.m
=4kN.m
4
8
20
4
8
20
M图
(kN.m)
1）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同水平跨度同荷载的水平梁弯矩图相同。
2）对称结构在对称荷载作用下，
与对称轴重合的杆弯矩 =0，剪力 =0。
11
*§ 11-7 支座移动和温度改变时的计算基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端力一项不同。
l l
i i
A B C
MM BCBA?+? 0
Δ
lB
D?
2qlii B?
D? 036 q
liiM BBC
D 33 q
iM BBA?3 q
li
D? 5.1= l
iD5.1=
li
D5.1
M图一、支座移动时的计算
12
l l
i i
A B C
Δ
l l
i i
A B C
l l
i i
A B C
Δ/2Δ/2
Δ/2
Δ/2
li
D5.1
M反 =0
13
二、温度改变时的计算固端弯矩
杆件内外 温差 产生的,固端弯矩,
C
C
对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移,
立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移 Δ
Δ=αTL
M=－ 3iΔ/h
l l l l
h
l l l l l
h
升温 T° C
L
温变 产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向侧移产生的,固端弯矩,
14
6m 6m
4m
Co
30?
Co30?
Co10 Co10
Co
30?
例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度 h=0.6m。作弯矩图。
6m
Co
30?
Co30?
Co10
6m
Co10?
Co10?C
o
10?
Co
10?
Co
20?
Co
20
Co
10
6m
Co
10
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D A
B C
D
AB柱缩短 αt0 l=40α
CD柱伸长 αt0 l=40α
BC梁缩短 αt0 l=60α
各杆端的相对线位移
ΔAB= 60α ΔBC= － 80α
EIHEI AB?5.226 2DmAB=mBA
mBC=mCB EI
l
EI
BC?3.13
6
2?D
在杆件中面温差作用下：
中面温差 壁面温差
15
6m
Co
20?
Co
20
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D
EIh tEI 7.66?D－ mAB=mBA
－ mBC=mCB EI
h
tEI 7.66?D
杆端弯矩为
EIEIEIEIM BBAB?q?q 4.895.0)7.665.22(42+?
EIEIEIEIM BBBA?q?q 2.44)7.665.22(44 +?+?+?
EIEIEIEIM BBBC?q?q 3.5367.0)7.663.13(64+?
EIEIEIEIM BBCB?q?q 0.8033.0)7.663.13(62 +?++?
q 4.5?B?q 01.967.1B EIEI?
+? 0BCBA MMM
=－ 86.5αEI
=49.6αEI
=81.8αEI
=－ 49.7αEI
6m 6m
4m
86.5
M图 × αEI
49.7
81.8
位移法要点：
1）位移法的基本未知量是结点位移；
2）位移法以单根杆件为计算单元；
3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。
4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。
位移法计算刚架时的特点：
1）基本未知量是结点位移；
2）计算单元是一组单跨超静定梁；
3）位移法方程是根据平衡条件建立的。
应用位移法求解刚架需要解决三个问题：
①单跨超静定梁的内力分析；
②位移法基本未知量的确定；
③位移法方程的建立与求解。
① 把结构拆成杆件
（物理条件）
②把杆件装成结构
（变形协调、平衡）
2
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA
4i 2iθ=1A B
A B 1
212 li
li6?
li6?li6?
A B 1 0
li3?
A Bθ=1 3i 0
23 li
A Bθ=1 i － i 0
li3?
3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m 25kN.m
32kN
4m 4m
2m
2m
A
B C
D
E
2EI
EI EI
EI2
i=1 1
1
直接平衡法的计算步骤：
1）确定位移法的基本未知量。
（ 铰结点、
铰支座的转角，
定向支座的侧移不作为基本未知量）。
2）由转角位移方程列杆端弯矩表达式。
3）由平衡条件列位移法方程。
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。
6）校核 （平衡条件）
4
§ 11-6 对称结构的计算
1I 1I
2I
P P
M
M
Q
N
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：
利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。
N
Q
5
一、单数跨
(1)对称荷载
Δ1
2/l
EIi
BE?
F1P
2
231lq
2
261lq
k11
iBE
2iAB
4iAB
MP M1
k11 Δ 1 + F1P = 0
(2)反对称荷载
P P
A
B C
D
E
Δ1 Δ2
Δ3
A
B E
l/2
P 反弯点
A
B
Z3
Δ1
A
B
E
l/2
q
6
二、偶数跨
(1)对称荷载
q q
C C
M = Q = 0
P P
IN = 0
P P
2
I
2
I
反弯点
P
2
I
无限短跨
+2I
P
2
I
P
(2)反对称荷载
7
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m ↓↓↓↓
↓↓
↓↓
12kN
/m
↓↓↓↓↓↓↓2
4k
N/
m
4m
4m 4m
EI EI
EI2EIEI
24
24
24
72 72
4
20
8
20
8
M反对称 M对称
92
16 4 32
52
M图
(kN.m)
48
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
4m
3m
4m 4m
4I 4I 4I
4m
↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
i=1
A
C
B
ACAM 2q?
AACM q?4
ABAM q +? 162
Aq 164AABM q
×
12
4124 2
0?+ ACABA MMM
2
0168
A
A
q
q
MAB
MAC
A
=－ 8kN.m
=20kN.m
=8kN.m
=4kN.m
4
8
20
4
8
20
M图
(kN.m)
1）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同水平跨度同荷载的水平梁弯矩图相同。
2）对称结构在对称荷载作用下，
与对称轴重合的杆弯矩 =0，剪力 =0。
11
*§ 11-7 支座移动和温度改变时的计算基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端力一项不同。
l l
i i
A B C
MM BCBA?+? 0
Δ
lB
D?
2qlii B?
D? 036 q
liiM BBC
D 33 q
iM BBA?3 q
li
D? 5.1= l
iD5.1=
li
D5.1
M图一、支座移动时的计算
12
l l
i i
A B C
Δ
l l
i i
A B C
l l
i i
A B C
Δ/2Δ/2
Δ/2
Δ/2
li
D5.1
M反 =0
13
二、温度改变时的计算固端弯矩
杆件内外 温差 产生的,固端弯矩,
C
C
对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移,
立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移 Δ
Δ=αTL
M=－ 3iΔ/h
l l l l
h
l l l l l
h
升温 T° C
L
温变 产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向侧移产生的,固端弯矩,
14
6m 6m
4m
Co
30?
Co30?
Co10 Co10
Co
30?
例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度 h=0.6m。作弯矩图。
6m
Co
30?
Co30?
Co10
6m
Co10?
Co10?C
o
10?
Co
10?
Co
20?
Co
20
Co
10
6m
Co
10
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D A
B C
D
AB柱缩短 αt0 l=40α
CD柱伸长 αt0 l=40α
BC梁缩短 αt0 l=60α
各杆端的相对线位移
ΔAB= 60α ΔBC= － 80α
EIHEI AB?5.226 2DmAB=mBA
mBC=mCB EI
l
EI
BC?3.13
6
2?D
在杆件中面温差作用下：
中面温差 壁面温差
15
6m
Co
20?
Co
20
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D
EIh tEI 7.66?D－ mAB=mBA
－ mBC=mCB EI
h
tEI 7.66?D
杆端弯矩为
EIEIEIEIM BBAB?q?q 4.895.0)7.665.22(42+?
EIEIEIEIM BBBA?q?q 2.44)7.665.22(44 +?+?+?
EIEIEIEIM BBBC?q?q 3.5367.0)7.663.13(64+?
EIEIEIEIM BBCB?q?q 0.8033.0)7.663.13(62 +?++?
q 4.5?B?q 01.967.1B EIEI?
+? 0BCBA MMM
=－ 86.5αEI
=49.6αEI
=81.8αEI
=－ 49.7αEI
6m 6m
4m
86.5
M图 × αEI
49.7
81.8
