二、单自由度体系自由振动微分方程的解
)( mk=w02 yy =+? w&&)(0 akyym =+ LL&&
)sin()( aw += taty
sincos)( 00 www += tvtyty
)0( 020 =?= yCyy
cossin)( 21 ww += tCtCty
)0( 010 w=?= vCvy&
y(t)
t
y0
－ y0
y(t )
t
v0/ω
－ v0/ω
T
t
a
－ a
T
α/ω
其中 δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移 。
k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力 。
Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为 W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移 。
计算时可根据体系的具体情况，视 δ,k,Δst 三参数中哪一个最便于计算来选用。
自振周期计算公式：
圆频率计算公式：
一些重要性质,
（ 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。
（ 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。
（ 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
st
g
W
g
mm
k
====w
1
gk
mT st?== 22
例 4、图示三根单跨梁,EI为常数，在梁中点有集中质量 m，
不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2
m m m
解,1）求 δ
EI
l
48
3
1 =?
P=13l/16
5l/32
P=1l/2
EI
lllll
EI
l
7 6 8
7)
32
5
216
3
22(6
1 32
1 ==?
EI
l
768
7 3
2 =? EI
l
1 9 2
3
3 =?
3
1
1
481
ml
EI
m
==
w
3
2
2 7
7 6 81
ml
EI
m
==
w
3
3
3
1921
ml
EI
m
==
w
据此可得,ω1? ω2? ω3= 1? 1.512? 2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
1
θ
例 5、求图示结构的自振圆频率。
解法 1：求 k θ=1/h
MBA=kh = MBCk
l
h
m
I→ ∞ EI
B
A
C
lh
EI
l
EI 33 ==?
lmh
EI
m
k
2
3==w
2
3
lh
EIk =?
1
h
解法 2：求 δ
EI
lhhlh
EI 33
2
2
1 2==?
2
11
31
m l h
EI
m
==
w
例 6、求图示结构的自振频率。
l
EI
m
k1
k11k11
k 3
3
l
EI
解：求 k
311
3
l
EIkk +=
m
k
m
k lEI +== 3311w
对于静定结构一般计算柔度系数方便。
如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为 ∞ 刚架 )计算刚度系数方便。
3
12
l
EI
一端铰结的杆的侧移刚度为：
3
3
l
EI
两端刚结的杆的侧移刚度为：
五、阻尼对自由振动的影响忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。
产生阻尼的原因,结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。
阻尼力的确定,总与质点速度反向 ;大小与质点速度有如下关系：
①与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。
②与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。
③与质点速度无关（如摩擦力）。
粘滞阻尼力的分析比较简单,(因为 R(t)=－ Cy ).
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
振动模型
y
ky
ym&&
k
m
yc&
y
有阻尼的自由振动,动平衡方程：
)14.15(0 LLL&&& =++ kyycym
w?w mcmk 2,==
( 阻尼比 ）
)1( 2?±?=wl
02 22 =++ w?wll)( = ltCety设解为,特征方程为：
1)ξ<1（低阻尼）情况
21?www?wl?== rri 其中
tCtCey rrt ww?w s i nc o s 21 +=?
++=? tyvtyey
r
r
r
t w
w
ww?w s i nc o s 00
0
c
)16.15(02 2 LLL&&& =++ yyy w?w
令低阻尼体系的自振圆频率
00
0
2
2
002
0
)(
)s i n (
yv
y
tg
yv
ya
taey
r
r
r
t
w
w
a
w
w
aw
w
+
=
+
+=
+=
ae-ξωt
t
y
t
y
低阻尼 y- t曲线无阻尼 y- t曲线
① 阻尼对自振频率的影响,
= 而随?w?ww,1 2r
当 ξ<0.2,则存在 0.96<ωr/ω<1。 在工程结构问题中，
若 0.01<ξ<0.1,可近似取,
TT rr ==,ww
r
T
k
k Te
y
y
w
w?w?w 2lnln
1
===
+
称为振幅的对数递减率,
11
ln2 1ln2 1,1 2.0
++
==
k
k
k
krr
y
y
y
y
w
w
w
w? 则如
nk
k
y
y
n += ln2
1
设 yk和 yk+n是相隔 n个周期的两个振幅则,
经过一个周期后，相邻两振幅 yk和 yk+1的比值的对数为,
工程中常用此方法测定阻尼
② 阻尼对振幅的影响,
振幅 ae-ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比常数==?+ T
k
k e
y
y?w1
振幅按等比级数递减,
EI=∞
m
例,图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为 m
9.8kN
，加一水平力 P=9.8kN，测得侧移 A0=0.5cm，
然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期 T=1.5s 及一个周期后的侧移 A1=0.4cm。求结构的阻尼比 ξ 和阻尼系数 c。
解：
0 3 3 5.04.0 5.0ln2 1ln2 1
1
===
+
k
k
y
y
mNAPk /10196005.0 108.9 4
3
0
=?==
11 8 9.4
5.1
22?=== s
T
w
= w?k2= w?mc 2 = ww?m2
2
cmsNmsN /2.332/3 3 2 2 0189.4 101960355.02
4
=?==
临界阻尼常数 cr为 ξ=1时的阻尼常数。（ 振与不振的分界点 ）
w? mc 2=
mkmc r 22 == w
rc
c=?
阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼,不出现振动，实际问题不常见。
2)ξ=1（临界阻尼）情况 )1( 2?±?=wl =?w l
tetCCy w?+= )( 21
tetvtyy ww?++= ])1([ 00
)16.15(02 2 LL&&& =++ yyy w?w
t
y
y 0
θ0
00 vtg =?
这条曲线仍具有衰减性，
但不具有波动性。
m
§ 15-3 单自由度体系的受迫振动受迫振动（强迫振动）,结构在动力荷载作用下的振动。
k y(t)
ym
ky
ym&&
P(t ) m P(t )
P(t )
弹性力 － ky,惯性力 ym&&?
和荷载 P(t)之间的平衡方程为,
)()( atPkyym LL&& =+
)24.15()(2 LL&& m tPyy =+ w
一、简谐荷载：
tmFtAw? s i ns i n)( 22 =+?
tmFtAtAw sinsinsin 22 =+?
tAy?sin=m tFyy?w sin2 =+&&
)( 22 w? +?
=
m
FA
tytm Fy st?ww?w sin)1( 1sin)1( 22222?=?=
w
F
m
Fy
st == 2
单自由度体系强迫振动的微分方程特解,
最大静位移 yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。
tyy st?
w?
s i n
1
1
22?=
特解可写为：
通解可写为：
tytCtCy st?
w?
ww s i n
1
1c o ss i n
2221?++=
设 t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：
0,1 2221 == CyC st w? w?
)s i n( s i n
1
1
22 ttyy st ww
w?
=
过渡阶段,振动开始两种振动同时存在的阶段；
平稳阶段,后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：
tyy st?
w?
s i n
1
1
22?=
最大动位移（振幅）为：
22m a x 1
1][
w
= styy
22
m a x
1
1][
w?
==
sty
y
动力系数 β为,
1
0
2
3
1 2 3
w
重要的特性：
当 θ/ω→0 时,β→1,荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。
当 0< θ/ω <1时,β>1,并且随
θ/ω的增大而增大。
当 θ/ω→1 时,β→∞ 。 即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把 0.75< θ/ω <1.25称为共振区 。
当 θ/ω>1时,β的绝对值随 θ/ω
的增大而减小。当 θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应 。
当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数,只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可 。
例：已知 m=300kg,EI=90× 105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1
求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。
2m
EI
m
k
Psinθt
2m
解,1)求 ω
kEI
l
2
1
2
1
48
3
21 +=+=
EI
l
EI
l
EI
l
192
5
19248
333
=+=?
1
3 16.1345
1921?=== s
ml
EI
m?w
2)求 β
5 5 2.11 1 22 =?= w
mEIlPPy 35
333
m a x 1075.510901 9 2
4510205 5 2.1
1 9 2
5
===
3)求 ymax,Mmax
mkNlPM,04.314205 5 2.141)(41m a x ===?
例、一简支梁（ I28b），惯性矩 I=7480cm4，截面系数 W=534cm3，
E=2.1× 104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q=35kN,转速
n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力 P=10kN,P的竖向分量为 Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长 l=4m）
解,1）求自振频率和荷载频率
SQlE I g 1
343 4.57400359807480101.24848 ===
Sn 13.526050014.32602 ===
2）求动力系数 β
88.5
4.573.521
1
1
1
2222 =?=?= w
EI
Pl
EI
Qly
stst 4848
33
m a x +=+?=?
=+=+= W lPQWPlWQl 4 )(44m a x
st
g
=w
175.6MPa
必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
22b 3570cm4
3570 39.7
39.7 1.35
对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。
325
149.2
设体系在 t=0时静止，
然后有瞬时冲量 S作用 。
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应 P(t)
t
P
瞬时冲量 S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。
由动量定理：
m
tP
m
Sv?==
0
00=y
Δt
cossin)( 00 www += tvtytyt
m
Sty w
w s i n)( =
Δt
τ
t
t'
t'
tm Sty?= ww s i n)( )(s i n?w
w?= tm
S
tPSmv?==? 00
2、任意荷载 P(t)的动力反应 P(t)
t
τ
dPdS )(=
τ时刻的微分冲量对 t瞬时 (t
>τ)引起的动力反应,
)(s i n)(?ww= tm dPdy
初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式,
w?w dtPmty t )(s i n)(1)( 0=
(Duhamel 积分 )…… （ 15.29）
初始位移 y0和初始速度 v0不为零在任意荷载作用下的位移公式,
w?www dtPmtvtyty t )(s i n)(1s i nc o s)( 000++=
t
3、几种典型荷载的动力反应
1）突加荷载
=
0,
0,0)(
0 tP
ttP
当当
P(t)
t
P
w?w dtPmty t )(s i n)(1)( 0=
ww dtPmty t )(s i n1)( 0 0?=? )c o s1()c o s1(20 tyt
m
P
st www?=?=
yst=P0δ=P0 /mω2
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
质点围绕静力平衡位置作简谐振动
2)]([ m a x ==
sty
ty?
2）短时荷载
=
ut
utP
t
tP
,0
0,
0,0
)( 0
P(t)
t
P
u
阶段 Ⅰ (0<t<u),与突加荷载相同。 )c os1()( tyty
st w?=
阶段 Ⅱ (t>u),无荷载，体系以 t=u时刻的位移和速度 为初始条件作自由振动。
)c o s1()( uyuy st w?=
uyuv st ww s i n)( =
sincos )( 00 www += tvtyty )(s i ns i n)(c os)c os1()( utuyutuyty stst?+= wwww
)c os)(( c o s tuty st ww=
或者直接由 Duhamel积分作
w?w dtPmty t )(s i n)(1)( 0=
ww dtPmty u )(s i n1)( 0 0=
)c o s)(( c o s20 tutm P www= )2(s i n2s i n2 utuy st?= ww
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。
P(t)
t
P
P(t)
t
P
u
P(t)
t
P
u
)c os1()( tyty st w?=
))(c o s1()( utyty st= w
当 0<t< u
)c os1()( tyty st w?=
当 t> u
)c os1()( tyty st w?= ))(c os1( uty st w
)c os)(( c o s tuty st ww= )
2(s i n2s i n2
utuy
st?= w
w
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
ωT
最大动反应
1） 当 u >T/2 最大动位移发生在阶段 Ⅰ
)c os1()( tyty st w?=
styy 2m a x =
2） 当 u <T/2 最大动位移发生在阶段 Ⅱ
β =2
)2(s i n2s i n2)( utuyty st?= ww 2s i n2m a x uyy st w=
2s in2
uw? =
=
2
1
,2
2
1
,s i n2
T
u
T
u
T
u
当当
T
u
β
1/6
1
1/2
2
动力系数反应谱
(β 与 T和 u之间的关系曲线 )
3）线性渐增荷载
=
r
r
r
ttP
tt
t
tP
tP
当当
,
0,
)(
0
0
P(t)
t
P0
tr
这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel积分来求 解,
=
rr
r
st
r
r
st
ttttt
t
y
tt
t
t
t
y
ty
当当
,)}(s i n{ s i n
1
1
,
s i n
)(
ww
w
w
w
对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：
0 1.0 2.0 3.0 4.0 Ttr
1.4
1.2
1.0
1.6
1.8
2.0β
tr
P0
动力系数反应谱动力系数 β 介于 1与 2之间。
如果升载很短,tr<T/4,则 β 接近于 2,即相当于突加荷载情况。
如果升载很长,tr>4T,则 β 接近于 1,即相当于静荷载情况。
常取外包虚线作为设计的依据。
三、有阻尼的强迫振动
① 单独由 v0引起的自由振动：
② 瞬时冲量 ds=Pdt=mv0
所引起的振动，可视为以 v0=Pdt/m,y0=0为初始条件的自由振动：
tvey r
r
t w
w
w s i n0?=
tmP d tey r
r
t w
w
w s i n?=
③ 将荷载 P(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量：
)(s i n)( )(?www?= tem dPdy rt
r
④ 总反应
www dtemPty rtt
r
)(s i n)()( )(0=
+++? tyvtye
r
r
r
t w
w
ww?w s i nc o s 00
0
P(t)
t
τ
d
dPdS )(=
t
EI=∞
m
例,图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为 m
9.8kN
，加一水平力 P=9.8kN，测得侧移 A0=0.5cm，
然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期 T=1.5s 及一个周期后的侧移 A1=0.4cm。求结构的阻尼比 ξ 和阻尼系数 c。
解：
0 3 3 5.04.0 5.0ln2 1ln2 1
1
===
+
k
k
y
y
mNAPk /10196005.0 108.9 4
3
0
=?==
11 8 9.4
5.1
22?=== s
T
w
= w?k2= w?mc 2 = ww?m2
2
cmsNmsN /2.332/3 3 2 2 0189.4 101960355.02
4
=?==
（ 1） 突加荷载 P0
)]s i n( c o s1[)( 20 tte
m
Pty
r
r
r
t w
w
ww
w
w=?
低阻尼 y- t曲线无阻尼 y- t曲线
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，
最初所引起的最大位移接近于静位移
yst=P0/mω2的两倍，
然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。
（ 2） 简谐荷载 P(t)=Fsinθt
)34.15(s i n2 2 LL&&& tmFyyy?w?w =++
设特解为,y=Asinθt +Bcos θt代入（ 15-34）得,
222222222222
22
4)(
2,
4)(?ww
w?
ww
w
+?
=
+?
=
m
FB
m
FA
}s i nc o s{ 21 tCtCey rrt ww?w +=? +{Asin θt +Bcos θt }
齐次解加特解得到通解：
自由振动，因阻尼作用，
逐渐衰减、消失。
纯强迫振动，平稳振动，
振幅和周期不随时间而变化。结论,在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。
y=Asin θt +Bcos θt =yPsin(θt － α) (15-35a)
2
1
2
2
2
2
2
2
22
)(1
)(2,41
21
w?
wa
w
w
=
+
=+=?
tgyBAy stP
振幅,yp，
最大静力位移,yst=F/k=F/mω2 ==
st
P
y
y?
21
2
2
2
2
2
2
41
+
w
w
==
st
P
y
y?
2
1
2
2
2
2
2
2
41
+
w
w
动力系数 β与频率比 θ/ω和阻尼比 ξ有关
4.0
3.0
2.0
1.0
0 1.0 2.0 3.0
β
θ/ω
ξ=0
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.3
ξ=0.5
ξ=1.0
几点注意：
① 随 ξ增大 β曲线渐趋平缓，
特别是在 θ/ω=1附近 β的峰值下降的最为显著 。
2
1=
共振时
② 当 θ接近 ω时,β增加很快，
ξ对 β的数值影响也很大 。 在
0.75< θ/ω <1.25(共振区 )内，
阻尼大大减小了受迫振动的位移,因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。 在共振区之外阻尼对 β
的影响较小，可按无阻尼计算。
③ β max并不发生在共振 θ/ω=1时，而发生在，
④ 由 y=yPsin(θt－ α ) 可见，阻尼体系的位移比荷载 P=Fsin θt 滞后一个相位角 α，
w
w? 2
1,1
1m a x =
=
峰
2
1
)(1
)(2
w?
wa
=?tg
但因 ξ很小，可近似地认为：
221?
w
=
当 θ<<ω时,α→0 ° 体系振动得很慢,FI,R较小，动荷主要由 S平衡,S与 y反向,y与 P基本上同步；荷载可作静荷载处理。
当 θ>>ω时,α→180 ° 体系振动得很快,FI很大,S,R相对说来较小，动荷主要由 FI 平衡,FI 与 y同向,y与 P反向；
)c o s (),s i n (
),s i n (),s i n (
2 aa
a?a?
=?=?=?=
=?=?=
tycycRtymymF
tkykyStyy
PP
I
PP
&&&
弹性力 S,惯性力 FI,阻尼力 R分别为：
t?sin?
2
1 tF?sin?=mw?2 2?=
当 θ=ω时,α→90 °
由此可见：共振时（ θ=ω）,S与 FI刚好互相平衡，
β yst
2
1
)(1
)(2
w
w
a
=?tg
)c o s (
),s i n (
),s i n (
),s i n (
2
a
a
a?
a?
=?=
=?=
=?=
=
tycycR
tymymF
tkykyS
tyy
P
P
I
P
P
&
&&
有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。
k=mω2=mθ2
2wm
F
)90s i n ( 0= tkyS P? )90s i n ( 02?= tymF PI
)90c os ( 0=?=? tycycR P tym P?w s in2?=
)( mk=w02 yy =+? w&&)(0 akyym =+ LL&&
)sin()( aw += taty
sincos)( 00 www += tvtyty
)0( 020 =?= yCyy
cossin)( 21 ww += tCtCty
)0( 010 w=?= vCvy&
y(t)
t
y0
－ y0
y(t )
t
v0/ω
－ v0/ω
T
t
a
－ a
T
α/ω
其中 δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移 。
k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力 。
Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为 W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移 。
计算时可根据体系的具体情况，视 δ,k,Δst 三参数中哪一个最便于计算来选用。
自振周期计算公式：
圆频率计算公式：
一些重要性质,
（ 1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。
（ 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。
（ 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
st
g
W
g
mm
k
====w
1
gk
mT st?== 22
例 4、图示三根单跨梁,EI为常数，在梁中点有集中质量 m，
不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2
m m m
解,1）求 δ
EI
l
48
3
1 =?
P=13l/16
5l/32
P=1l/2
EI
lllll
EI
l
7 6 8
7)
32
5
216
3
22(6
1 32
1 ==?
EI
l
768
7 3
2 =? EI
l
1 9 2
3
3 =?
3
1
1
481
ml
EI
m
==
w
3
2
2 7
7 6 81
ml
EI
m
==
w
3
3
3
1921
ml
EI
m
==
w
据此可得,ω1? ω2? ω3= 1? 1.512? 2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
1
θ
例 5、求图示结构的自振圆频率。
解法 1：求 k θ=1/h
MBA=kh = MBCk
l
h
m
I→ ∞ EI
B
A
C
lh
EI
l
EI 33 ==?
lmh
EI
m
k
2
3==w
2
3
lh
EIk =?
1
h
解法 2：求 δ
EI
lhhlh
EI 33
2
2
1 2==?
2
11
31
m l h
EI
m
==
w
例 6、求图示结构的自振频率。
l
EI
m
k1
k11k11
k 3
3
l
EI
解：求 k
311
3
l
EIkk +=
m
k
m
k lEI +== 3311w
对于静定结构一般计算柔度系数方便。
如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为 ∞ 刚架 )计算刚度系数方便。
3
12
l
EI
一端铰结的杆的侧移刚度为：
3
3
l
EI
两端刚结的杆的侧移刚度为：
五、阻尼对自由振动的影响忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。
产生阻尼的原因,结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。
阻尼力的确定,总与质点速度反向 ;大小与质点速度有如下关系：
①与质点速度成反比（比较常用，称为粘滞阻尼）。
②与质点速度平方成反比（如质点在流体中运动受到的阻力）。
③与质点速度无关（如摩擦力）。
粘滞阻尼力的分析比较简单,(因为 R(t)=－ Cy ).
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
振动模型
y
ky
ym&&
k
m
yc&
y
有阻尼的自由振动,动平衡方程：
)14.15(0 LLL&&& =++ kyycym
w?w mcmk 2,==
( 阻尼比 ）
)1( 2?±?=wl
02 22 =++ w?wll)( = ltCety设解为,特征方程为：
1)ξ<1（低阻尼）情况
21?www?wl?== rri 其中
tCtCey rrt ww?w s i nc o s 21 +=?
++=? tyvtyey
r
r
r
t w
w
ww?w s i nc o s 00
0
c
)16.15(02 2 LLL&&& =++ yyy w?w
令低阻尼体系的自振圆频率
00
0
2
2
002
0
)(
)s i n (
yv
y
tg
yv
ya
taey
r
r
r
t
w
w
a
w
w
aw
w
+
=
+
+=
+=
ae-ξωt
t
y
t
y
低阻尼 y- t曲线无阻尼 y- t曲线
① 阻尼对自振频率的影响,
= 而随?w?ww,1 2r
当 ξ<0.2,则存在 0.96<ωr/ω<1。 在工程结构问题中，
若 0.01<ξ<0.1,可近似取,
TT rr ==,ww
r
T
k
k Te
y
y
w
w?w?w 2lnln
1
===
+
称为振幅的对数递减率,
11
ln2 1ln2 1,1 2.0
++
==
k
k
k
krr
y
y
y
y
w
w
w
w? 则如
nk
k
y
y
n += ln2
1
设 yk和 yk+n是相隔 n个周期的两个振幅则,
经过一个周期后，相邻两振幅 yk和 yk+1的比值的对数为,
工程中常用此方法测定阻尼
② 阻尼对振幅的影响,
振幅 ae-ξω t 随时间衰减，相邻两个振幅的比常数==?+ T
k
k e
y
y?w1
振幅按等比级数递减,
EI=∞
m
例,图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为 m
9.8kN
，加一水平力 P=9.8kN，测得侧移 A0=0.5cm，
然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期 T=1.5s 及一个周期后的侧移 A1=0.4cm。求结构的阻尼比 ξ 和阻尼系数 c。
解：
0 3 3 5.04.0 5.0ln2 1ln2 1
1
===
+
k
k
y
y
mNAPk /10196005.0 108.9 4
3
0
=?==
11 8 9.4
5.1
22?=== s
T
w
= w?k2= w?mc 2 = ww?m2
2
cmsNmsN /2.332/3 3 2 2 0189.4 101960355.02
4
=?==
临界阻尼常数 cr为 ξ=1时的阻尼常数。（ 振与不振的分界点 ）
w? mc 2=
mkmc r 22 == w
rc
c=?
阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼,不出现振动，实际问题不常见。
2)ξ=1（临界阻尼）情况 )1( 2?±?=wl =?w l
tetCCy w?+= )( 21
tetvtyy ww?++= ])1([ 00
)16.15(02 2 LL&&& =++ yyy w?w
t
y
y 0
θ0
00 vtg =?
这条曲线仍具有衰减性，
但不具有波动性。
m
§ 15-3 单自由度体系的受迫振动受迫振动（强迫振动）,结构在动力荷载作用下的振动。
k y(t)
ym
ky
ym&&
P(t ) m P(t )
P(t )
弹性力 － ky,惯性力 ym&&?
和荷载 P(t)之间的平衡方程为,
)()( atPkyym LL&& =+
)24.15()(2 LL&& m tPyy =+ w
一、简谐荷载：
tmFtAw? s i ns i n)( 22 =+?
tmFtAtAw sinsinsin 22 =+?
tAy?sin=m tFyy?w sin2 =+&&
)( 22 w? +?
=
m
FA
tytm Fy st?ww?w sin)1( 1sin)1( 22222?=?=
w
F
m
Fy
st == 2
单自由度体系强迫振动的微分方程特解,
最大静位移 yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。
tyy st?
w?
s i n
1
1
22?=
特解可写为：
通解可写为：
tytCtCy st?
w?
ww s i n
1
1c o ss i n
2221?++=
设 t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：
0,1 2221 == CyC st w? w?
)s i n( s i n
1
1
22 ttyy st ww
w?
=
过渡阶段,振动开始两种振动同时存在的阶段；
平稳阶段,后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
按自振频率振动按荷载频率振动平稳阶段：
tyy st?
w?
s i n
1
1
22?=
最大动位移（振幅）为：
22m a x 1
1][
w
= styy
22
m a x
1
1][
w?
==
sty
y
动力系数 β为,
1
0
2
3
1 2 3
w
重要的特性：
当 θ/ω→0 时,β→1,荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。
当 0< θ/ω <1时,β>1,并且随
θ/ω的增大而增大。
当 θ/ω→1 时,β→∞ 。 即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把 0.75< θ/ω <1.25称为共振区 。
当 θ/ω>1时,β的绝对值随 θ/ω
的增大而减小。当 θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应 。
当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数,只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可 。
例：已知 m=300kg,EI=90× 105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1
求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。
2m
EI
m
k
Psinθt
2m
解,1)求 ω
kEI
l
2
1
2
1
48
3
21 +=+=
EI
l
EI
l
EI
l
192
5
19248
333
=+=?
1
3 16.1345
1921?=== s
ml
EI
m?w
2)求 β
5 5 2.11 1 22 =?= w
mEIlPPy 35
333
m a x 1075.510901 9 2
4510205 5 2.1
1 9 2
5
===
3)求 ymax,Mmax
mkNlPM,04.314205 5 2.141)(41m a x ===?
例、一简支梁（ I28b），惯性矩 I=7480cm4，截面系数 W=534cm3，
E=2.1× 104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量 Q=35kN,转速
n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力 P=10kN,P的竖向分量为 Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力。（梁长 l=4m）
解,1）求自振频率和荷载频率
SQlE I g 1
343 4.57400359807480101.24848 ===
Sn 13.526050014.32602 ===
2）求动力系数 β
88.5
4.573.521
1
1
1
2222 =?=?= w
EI
Pl
EI
Qly
stst 4848
33
m a x +=+?=?
=+=+= W lPQWPlWQl 4 )(44m a x
st
g
=w
175.6MPa
必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
22b 3570cm4
3570 39.7
39.7 1.35
对于本例，采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。
325
149.2
设体系在 t=0时静止，
然后有瞬时冲量 S作用 。
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应 P(t)
t
P
瞬时冲量 S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。
由动量定理：
m
tP
m
Sv?==
0
00=y
Δt
cossin)( 00 www += tvtytyt
m
Sty w
w s i n)( =
Δt
τ
t
t'
t'
tm Sty?= ww s i n)( )(s i n?w
w?= tm
S
tPSmv?==? 00
2、任意荷载 P(t)的动力反应 P(t)
t
τ
dPdS )(=
τ时刻的微分冲量对 t瞬时 (t
>τ)引起的动力反应,
)(s i n)(?ww= tm dPdy
初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式,
w?w dtPmty t )(s i n)(1)( 0=
(Duhamel 积分 )…… （ 15.29）
初始位移 y0和初始速度 v0不为零在任意荷载作用下的位移公式,
w?www dtPmtvtyty t )(s i n)(1s i nc o s)( 000++=
t
3、几种典型荷载的动力反应
1）突加荷载
=
0,
0,0)(
0 tP
ttP
当当
P(t)
t
P
w?w dtPmty t )(s i n)(1)( 0=
ww dtPmty t )(s i n1)( 0 0?=? )c o s1()c o s1(20 tyt
m
P
st www?=?=
yst=P0δ=P0 /mω2
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
质点围绕静力平衡位置作简谐振动
2)]([ m a x ==
sty
ty?
2）短时荷载
=
ut
utP
t
tP
,0
0,
0,0
)( 0
P(t)
t
P
u
阶段 Ⅰ (0<t<u),与突加荷载相同。 )c os1()( tyty
st w?=
阶段 Ⅱ (t>u),无荷载，体系以 t=u时刻的位移和速度 为初始条件作自由振动。
)c o s1()( uyuy st w?=
uyuv st ww s i n)( =
sincos )( 00 www += tvtyty )(s i ns i n)(c os)c os1()( utuyutuyty stst?+= wwww
)c os)(( c o s tuty st ww=
或者直接由 Duhamel积分作
w?w dtPmty t )(s i n)(1)( 0=
ww dtPmty u )(s i n1)( 0 0=
)c o s)(( c o s20 tutm P www= )2(s i n2s i n2 utuy st?= ww
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。
P(t)
t
P
P(t)
t
P
u
P(t)
t
P
u
)c os1()( tyty st w?=
))(c o s1()( utyty st= w
当 0<t< u
)c os1()( tyty st w?=
当 t> u
)c os1()( tyty st w?= ))(c os1( uty st w
)c os)(( c o s tuty st ww= )
2(s i n2s i n2
utuy
st?= w
w
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
ωT
最大动反应
1） 当 u >T/2 最大动位移发生在阶段 Ⅰ
)c os1()( tyty st w?=
styy 2m a x =
2） 当 u <T/2 最大动位移发生在阶段 Ⅱ
β =2
)2(s i n2s i n2)( utuyty st?= ww 2s i n2m a x uyy st w=
2s in2
uw? =
=
2
1
,2
2
1
,s i n2
T
u
T
u
T
u
当当
T
u
β
1/6
1
1/2
2
动力系数反应谱
(β 与 T和 u之间的关系曲线 )
3）线性渐增荷载
=
r
r
r
ttP
tt
t
tP
tP
当当
,
0,
)(
0
0
P(t)
t
P0
tr
这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel积分来求 解,
=
rr
r
st
r
r
st
ttttt
t
y
tt
t
t
t
y
ty
当当
,)}(s i n{ s i n
1
1
,
s i n
)(
ww
w
w
w
对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：
0 1.0 2.0 3.0 4.0 Ttr
1.4
1.2
1.0
1.6
1.8
2.0β
tr
P0
动力系数反应谱动力系数 β 介于 1与 2之间。
如果升载很短,tr<T/4,则 β 接近于 2,即相当于突加荷载情况。
如果升载很长,tr>4T,则 β 接近于 1,即相当于静荷载情况。
常取外包虚线作为设计的依据。
三、有阻尼的强迫振动
① 单独由 v0引起的自由振动：
② 瞬时冲量 ds=Pdt=mv0
所引起的振动，可视为以 v0=Pdt/m,y0=0为初始条件的自由振动：
tvey r
r
t w
w
w s i n0?=
tmP d tey r
r
t w
w
w s i n?=
③ 将荷载 P(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量：
)(s i n)( )(?www?= tem dPdy rt
r
④ 总反应
www dtemPty rtt
r
)(s i n)()( )(0=
+++? tyvtye
r
r
r
t w
w
ww?w s i nc o s 00
0
P(t)
t
τ
d
dPdS )(=
t
EI=∞
m
例,图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为 m
9.8kN
，加一水平力 P=9.8kN，测得侧移 A0=0.5cm，
然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期 T=1.5s 及一个周期后的侧移 A1=0.4cm。求结构的阻尼比 ξ 和阻尼系数 c。
解：
0 3 3 5.04.0 5.0ln2 1ln2 1
1
===
+
k
k
y
y
mNAPk /10196005.0 108.9 4
3
0
=?==
11 8 9.4
5.1
22?=== s
T
w
= w?k2= w?mc 2 = ww?m2
2
cmsNmsN /2.332/3 3 2 2 0189.4 101960355.02
4
=?==
（ 1） 突加荷载 P0
)]s i n( c o s1[)( 20 tte
m
Pty
r
r
r
t w
w
ww
w
w=?
低阻尼 y- t曲线无阻尼 y- t曲线
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，
最初所引起的最大位移接近于静位移
yst=P0/mω2的两倍，
然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。
（ 2） 简谐荷载 P(t)=Fsinθt
)34.15(s i n2 2 LL&&& tmFyyy?w?w =++
设特解为,y=Asinθt +Bcos θt代入（ 15-34）得,
222222222222
22
4)(
2,
4)(?ww
w?
ww
w
+?
=
+?
=
m
FB
m
FA
}s i nc o s{ 21 tCtCey rrt ww?w +=? +{Asin θt +Bcos θt }
齐次解加特解得到通解：
自由振动，因阻尼作用，
逐渐衰减、消失。
纯强迫振动，平稳振动，
振幅和周期不随时间而变化。结论,在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。
y=Asin θt +Bcos θt =yPsin(θt － α) (15-35a)
2
1
2
2
2
2
2
2
22
)(1
)(2,41
21
w?
wa
w
w
=
+
=+=?
tgyBAy stP
振幅,yp，
最大静力位移,yst=F/k=F/mω2 ==
st
P
y
y?
21
2
2
2
2
2
2
41
+
w
w
==
st
P
y
y?
2
1
2
2
2
2
2
2
41
+
w
w
动力系数 β与频率比 θ/ω和阻尼比 ξ有关
4.0
3.0
2.0
1.0
0 1.0 2.0 3.0
β
θ/ω
ξ=0
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.3
ξ=0.5
ξ=1.0
几点注意：
① 随 ξ增大 β曲线渐趋平缓，
特别是在 θ/ω=1附近 β的峰值下降的最为显著 。
2
1=
共振时
② 当 θ接近 ω时,β增加很快，
ξ对 β的数值影响也很大 。 在
0.75< θ/ω <1.25(共振区 )内，
阻尼大大减小了受迫振动的位移,因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。 在共振区之外阻尼对 β
的影响较小，可按无阻尼计算。
③ β max并不发生在共振 θ/ω=1时，而发生在，
④ 由 y=yPsin(θt－ α ) 可见，阻尼体系的位移比荷载 P=Fsin θt 滞后一个相位角 α，
w
w? 2
1,1
1m a x =
=
峰
2
1
)(1
)(2
w?
wa
=?tg
但因 ξ很小，可近似地认为：
221?
w
=
当 θ<<ω时,α→0 ° 体系振动得很慢,FI,R较小，动荷主要由 S平衡,S与 y反向,y与 P基本上同步；荷载可作静荷载处理。
当 θ>>ω时,α→180 ° 体系振动得很快,FI很大,S,R相对说来较小，动荷主要由 FI 平衡,FI 与 y同向,y与 P反向；
)c o s (),s i n (
),s i n (),s i n (
2 aa
a?a?
=?=?=?=
=?=?=
tycycRtymymF
tkykyStyy
PP
I
PP
&&&
弹性力 S,惯性力 FI,阻尼力 R分别为：
t?sin?
2
1 tF?sin?=mw?2 2?=
当 θ=ω时,α→90 °
由此可见：共振时（ θ=ω）,S与 FI刚好互相平衡，
β yst
2
1
)(1
)(2
w
w
a
=?tg
)c o s (
),s i n (
),s i n (
),s i n (
2
a
a
a?
a?
=?=
=?=
=?=
=
tycycR
tymymF
tkykyS
tyy
P
P
I
P
P
&
&&
有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。
k=mω2=mθ2
2wm
F
)90s i n ( 0= tkyS P? )90s i n ( 02?= tymF PI
)90c os ( 0=?=? tycycR P tym P?w s in2?=
