1
0))(( 211222221211 kkmkmk
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k
（ 1）主振型
1
1
2
111
12
21
11 C
mk
k
Y
Y?
2
1
2
211
12
22
12 C
mk
k
Y
Y?
m1
m2 Y21
Y11 Y12
Y22
最小圆频率称为第一 (基本 )圆频率,1? 2? —— 第二圆频率
0)()(
2
2
2221
121
2
11?
mkk
kmkD
特征方程频率方程
§ 15-4 两自由度体系的自由振动一、刚度法
2
0
1
1
2222121
2122111
mm
mm
D
令
2
1
21211222112222111222111
21
)(4)()(21 mmmmmm
2
2
1
1
11
主振型
2
2
111
212
22
12
2
1
111
212
21
11
11
m
m
Y
Y
m
m
Y
Y
二、柔度法
0)()( 2121122122112221112 mmmmmm
3
三、主振型及主振型的正交性
m1 m2
11121 Ym? 21221 Ym?
Y11 Y21
12122 Ym?
22222 Ym?
由功的互等定理：
整理得：
m1
m2
Y12
Y22
2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm
0))(( 22212121112221 YYmYYm
21
因,则存在：
)51.15(02221212111 YYmYYm
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。
第一主振型 第二主振型
4
由功的互等定理：
2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm
)51.15(02221212111 YYmYYm
上式分别乘以 ω12,ω22，则得：
0)()(
0)()(
2122
2
221112
2
21
2221
2
121211
2
11
YYmYYm
YYmYYm
第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；
第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；
某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；
各个主振型能单独存在，而不相互干扰。
5
§ 15-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动
y1(t)
y2(t)
P1(t)
P2(t)
tPtP
tPtP
s i n)(
s i n)(
22
11
如在平稳阶段，各质点也作简谐振动：
tYty
tYty
s i n)(
s i n)(
22
11
222
2
22121
121211
2
11
)(
)(
PYmkYk
PYkYmk
0
2
2
2221
121
2
11?
mkk
kmkD
Y1=D1/D0
Y2=D2/D0
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
212222211 PkmkPD
如果荷载频率 θ与任一个自振频率
ω1,ω2重合，则 D0=0,当 D1,D2
不全为零时，则出现共振现象
121121122 PkmkPD
0
0
22212122
21211111
ykykym
ykykym
..
..
)(
)(
2
1
tP
tP
6
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
212222211 PkmkPD
121121122 PkmkPD
m2
m1
k2
k1
例：质量集中在楼层上 m1,m2,层间侧移刚度为 k1,k2
解：荷载幅值,P1=P,P2=0，求刚度系数：
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
当 m1=m2=m,k1=k2=k
tP?sin
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY
0
2
2
2 )(
D
mkP
0
1211
2
112
0
2
2
)(
D
PkmkP
D
DY
0
2
D
Pk
2222212210 kmkmkkD
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY
0
2122
2
221
D
PkmkP
0
2
D
mP
0
1211
2
112
0
2
2 D
PkmkP
D
DY
0D
Pk 2220 2 kmkmkD
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1 3
m
k
m
k
2242 3 kkmm )3(
2
2
242
m
k
m
km
))(( 22212222142 m ))(( 2222122 m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
m
km
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
1
km
k
P
Y
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
k
P
Y
7
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
P
Y
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y1
mk
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y2
mk
两个质点的位移动力系数不同。
当
2121,618.1618.0 YYmkmk 和时和
趋于无穷大。
可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
也有例外情况?
8
l/3 l/3 l/3
m mPsinθt Psinθt
如图示对称结构在对称荷载作用下。
21122211,kkkk
与 ω 2相应的振型是
12k
2
211 mk
22
12
Y
Y? =－ 1
211222112222 kkmkmk
当 θ=ω2,D0=0,也有：
212222211 PkmkPD
121121122 PkmkPD
0122222 PkmkP?
0212211 PkmkP?
0
22
0
11,
D
DY
D
DY
不会趋于无穷大，不发生共振，
共振区只有一个。
对称体系在对称荷载作用下时，
只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振；当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。
9
k
k
P yst1
yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力
yst1= yst2=P/k 层间剪力,Qst1= P
动荷载产生的位移幅值和内力幅值
θ2mY2
θ2mY1
))(1(
)(
21
2
21
2
1
k
m
P
YYmPQ
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
P
Y
)(1 21
2
1
k mQ
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
层间动剪力,
10
例 15-9：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2,层间侧移刚度为 k1,k2
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
tP?sin
0
2
2
2
1 D
mkPY
0
2
2 D
PkY?
2222212210 ))(( kmkmkkD
22
2201222,,0,kPYkDYmk当
m1
k1
tP?sin
m2
k2
这说明在右图结构上,适当加以 m2,k2系统可以消除 m1的振动（ 动力吸振器 原理）。
吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。
设计吸振器时，先根据 m2的许可振幅 Y2，选定
2
2 Y
Pk?,再确定
2
2
2?
km?
11
例：如图示梁中点放一电动机。重 2500N，电动机使梁中点产生的静位移为 1cm，转速为 300r/min，产生的动荷载幅值 P=1kN，
问,1）应加动力吸振器吗？ 2）设计吸振器。 (许可位移为 1cm)
Psinθt解,1）
s
st
g 13.31
01.0
81.9
s
n 14.31
60
3 0 02
60
2
频率比在共振区之内应设置吸振器。
2）由
k2
m2
2
2 Y
Pk? 弹簧刚度系数为：
5
2 10101.0
1000k N/m
2
5
2
2
2 4.31
101
km =102 kg
12
ll
dxxYxmtdxvxmT
0
222
0
2 )()()(c o s
2
1)(
2
1
§ 15-9 近似法求自振频率
1、能量法求第一频率 —— Rayleigh法根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能 T 和应变能 U 之和应等于常数。
※ 根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间
（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得,Umax=Tmax ω
※ 求 Umax,Tmax
ll
dxxYEItdx
x
y
EIU
0
22
0
2
2
2
)]([)(s i n
2
1
2
1
※ 求频率如梁上还有集中质量 mi，
位移幅值
)c os ()()s i n()(),( txYyvtxYtxy设：
.
l
dxxYxmT
0
22
m a x )()(2
1?
l
dxxYEIU
0
2
m a x )]([2
1
l
ii
l
YmdxxYm
dxxYEI
0
22
0
2
2
)]([
)]([
Yi为集中质量 mi处的位移幅值。
13
※ 假设位移幅值函数 Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件：
（铰支端,Y=0；固定端,Y=0,Y′=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的 ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求 ω1的近似解。
3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载 q（ x）（如自重）作用下的弹性曲线作为 Y（ x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载 q（ x）所作的功来代替，即
l dxxYxqU 0 )()(21
2
0
2
02
)]([
)()(
ii
l
l
YmdxxYm
dxxYxq
14
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
2）假设均布荷载 q作用下的挠度曲线作为 Y(x)
)2(24)( 323 xlxlxEIqxY
96 3 031224
52
0
2
02 1 2 0
)(
)(
lm
EIlq
dxxYm
dxxqY
EI
ql
l
m
EI
l 2
87.9
例 12 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
)()( xlxxY
l
mEI
y
x
满足边界条件且与第一振型相近
60/
2
5
2
lm
E I l
4
2 120
lm
EI
m
EI
l 2
95.10
3）假设
l
xaxY?s i n)(?
4
4
2
22
2
3
24
lm
EI
lam
l
E I a?
第一振型的精确解。
精确解mEIl 28696.9
15
x h
0
l
例 13 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
解：
单位长度的质量：
设位移形状函数：
2)1()(
l
xaxY
满足边界条件：
0)(,0)( lYlY
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
E
l
h
l
Eh
2
0
4
2
02 581.1,
2
5
Rayleigh 法所得 频率的近似解总是比精确解偏高 。 其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。 当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。
3
0
12
1?
l
xhI
l
xhm 0
截面惯性矩：
相比误差为 3%与精确解
E
l
h
2
0534.1?
16
1、假设多个近似振型
n21,
都满足前述两个条件。
2、将它们进行线性组合
（ a1,a2,,an是待定常数）
nnaaaxY 2211)(
3、确定待定常数的准则是,获得最佳的线性组合,这样的 Y（ x）代入频率计算公式中得到的 ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的 a1,a2,…,an的可能组合，确实获得了最小的 ω2值。
所选的 a1,a2,…,an使 ω2 获得最小值的条件是
),,2,1(,0
2
nia
i
这是以 a1,a2,…,an为未知量的 n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往越准。
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束,Ritz提出了改进方法：
18
例 14 用 Rayleigh— Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：悬臂梁的位移边界条件为：
（在左端）Y’=0Y=0
32212211 xaxaaaY设：
只取第一项
2121 x
代入：
l jiijl jiij dxmmdxEIk 00,
5,4
5
1111
lmmE I lk代入频率方程,0][][ 2 mk?
m
EI
llm
EIlmE I l
214
2
5
2 1472.4,200
5
4
其精确解：
m
EI
l 21
5 1 6.3 与精确解相比，误差为 27%。
19
例 14 用 Rayleigh— Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：
32212211 xaxaaaY
取两项
xxx 6;2 232121
代入,
l jiijl jiij dxmmdxEIk 00,
76
65][,
126
64
][
76
65
32
2
lmlm
lmlm
m
E I lE I l
E I lE I l
k
代入频率方程：
求得 kij,mij：
0
12
7
6
6
6
6
4
5
4242
4242
EI
lm
EI
lm
EI
lm
EI
lm
求得最初两个频率近似值：
m
EI
l
m
EI
l
22
21
81.34
5 3 3.3
（ 0.48%）
（ 58%）
说明
m
EI
l
m
EI
l
22
21
03.22
516.3
精确解：
说明,1)由于 φ 1,φ 2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差，
故第二频率不准。
2)Rayleigh— Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。
20
2、集中质量法在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。
该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。
集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。
等效原则,使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。
作 法,将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。
l
m
m
EI
lm
EI
lm
EI
l 232221
83.88,84.39,87.9,精确解例 15 试用集中质量法求简支梁自振频率。
21
l
m
m
EI
lm
EI
l
m
EI
l
2322
21
83.88
,
84.39
,
87.9
:
精确解
2
lm
l/3 l/3
4
lm
4
lm
,80.9,21 mEIl解得
(－ 0.7%）
l/3 l/3 l/3 l/3
4
lm 8lm
4
lm
4
lm
8
lm
3
lm
l/3 l/3 l/3
6
lm
6
lm
3
lm
m
EI
l
m
EI
l
22
21
2.38
,
86.9
:
解得 (－ 0.1%）
(－ 3.1%）
m
EI
l
m
EI
l
m
EI
l
23
22
21
6.84
2.39
,
865.9
:
解得 (－ 0.05%）
(－ 4.8%）
(－ 0.7%）
22
对于对称刚架，可分别用不同的集中质量方案求出对称振动和反对称振动的自振频率。
2l
l
m5.1
m m
2l
l
2lm
4lm
lm5.1lm lm
2lm
4lm
2lm
lm2 lm2
2lm
1?求
lm2
最小频率对应着反对称振型
lm75.0
2lm
0))(( 211222221211 kkmkmk
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k
（ 1）主振型
1
1
2
111
12
21
11 C
mk
k
Y
Y?
2
1
2
211
12
22
12 C
mk
k
Y
Y?
m1
m2 Y21
Y11 Y12
Y22
最小圆频率称为第一 (基本 )圆频率,1? 2? —— 第二圆频率
0)()(
2
2
2221
121
2
11?
mkk
kmkD
特征方程频率方程
§ 15-4 两自由度体系的自由振动一、刚度法
2
0
1
1
2222121
2122111
mm
mm
D
令
2
1
21211222112222111222111
21
)(4)()(21 mmmmmm
2
2
1
1
11
主振型
2
2
111
212
22
12
2
1
111
212
21
11
11
m
m
Y
Y
m
m
Y
Y
二、柔度法
0)()( 2121122122112221112 mmmmmm
3
三、主振型及主振型的正交性
m1 m2
11121 Ym? 21221 Ym?
Y11 Y21
12122 Ym?
22222 Ym?
由功的互等定理：
整理得：
m1
m2
Y12
Y22
2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm
0))(( 22212121112221 YYmYYm
21
因,则存在：
)51.15(02221212111 YYmYYm
两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。
第一主振型 第二主振型
4
由功的互等定理：
2122222111222122212121211211 )()()()( YYmYYmYYmYYm
)51.15(02221212111 YYmYYm
上式分别乘以 ω12,ω22，则得：
0)()(
0)()(
2122
2
221112
2
21
2221
2
121211
2
11
YYmYYm
YYmYYm
第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；
第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；
某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；
各个主振型能单独存在，而不相互干扰。
5
§ 15-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动
y1(t)
y2(t)
P1(t)
P2(t)
tPtP
tPtP
s i n)(
s i n)(
22
11
如在平稳阶段，各质点也作简谐振动：
tYty
tYty
s i n)(
s i n)(
22
11
222
2
22121
121211
2
11
)(
)(
PYmkYk
PYkYmk
0
2
2
2221
121
2
11?
mkk
kmkD
Y1=D1/D0
Y2=D2/D0
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
212222211 PkmkPD
如果荷载频率 θ与任一个自振频率
ω1,ω2重合，则 D0=0,当 D1,D2
不全为零时，则出现共振现象
121121122 PkmkPD
0
0
22212122
21211111
ykykym
ykykym
..
..
)(
)(
2
1
tP
tP
6
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
212222211 PkmkPD
121121122 PkmkPD
m2
m1
k2
k1
例：质量集中在楼层上 m1,m2,层间侧移刚度为 k1,k2
解：荷载幅值,P1=P,P2=0，求刚度系数：
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
当 m1=m2=m,k1=k2=k
tP?sin
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY
0
2
2
2 )(
D
mkP
0
1211
2
112
0
2
2
)(
D
PkmkP
D
DY
0
2
D
Pk
2222212210 kmkmkkD
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY
0
2122
2
221
D
PkmkP
0
2
D
mP
0
1211
2
112
0
2
2 D
PkmkP
D
DY
0D
Pk 2220 2 kmkmkD
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1 3
m
k
m
k
2242 3 kkmm )3(
2
2
242
m
k
m
km
))(( 22212222142 m ))(( 2222122 m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
m
km
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
1
km
k
P
Y
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
k
P
Y
7
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
P
Y
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y1
mk
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y2
mk
两个质点的位移动力系数不同。
当
2121,618.1618.0 YYmkmk 和时和
趋于无穷大。
可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
也有例外情况?
8
l/3 l/3 l/3
m mPsinθt Psinθt
如图示对称结构在对称荷载作用下。
21122211,kkkk
与 ω 2相应的振型是
12k
2
211 mk
22
12
Y
Y? =－ 1
211222112222 kkmkmk
当 θ=ω2,D0=0,也有：
212222211 PkmkPD
121121122 PkmkPD
0122222 PkmkP?
0212211 PkmkP?
0
22
0
11,
D
DY
D
DY
不会趋于无穷大，不发生共振，
共振区只有一个。
对称体系在对称荷载作用下时，
只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振；当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。
9
k
k
P yst1
yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力
yst1= yst2=P/k 层间剪力,Qst1= P
动荷载产生的位移幅值和内力幅值
θ2mY2
θ2mY1
))(1(
)(
21
2
21
2
1
k
m
P
YYmPQ
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2?
k
P
Y
)(1 21
2
1
k mQ
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
层间动剪力,
10
例 15-9：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2,层间侧移刚度为 k1,k2
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
tP?sin
0
2
2
2
1 D
mkPY
0
2
2 D
PkY?
2222212210 ))(( kmkmkkD
22
2201222,,0,kPYkDYmk当
m1
k1
tP?sin
m2
k2
这说明在右图结构上,适当加以 m2,k2系统可以消除 m1的振动（ 动力吸振器 原理）。
吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。
设计吸振器时，先根据 m2的许可振幅 Y2，选定
2
2 Y
Pk?,再确定
2
2
2?
km?
11
例：如图示梁中点放一电动机。重 2500N，电动机使梁中点产生的静位移为 1cm，转速为 300r/min，产生的动荷载幅值 P=1kN，
问,1）应加动力吸振器吗？ 2）设计吸振器。 (许可位移为 1cm)
Psinθt解,1）
s
st
g 13.31
01.0
81.9
s
n 14.31
60
3 0 02
60
2
频率比在共振区之内应设置吸振器。
2）由
k2
m2
2
2 Y
Pk? 弹簧刚度系数为：
5
2 10101.0
1000k N/m
2
5
2
2
2 4.31
101
km =102 kg
12
ll
dxxYxmtdxvxmT
0
222
0
2 )()()(c o s
2
1)(
2
1
§ 15-9 近似法求自振频率
1、能量法求第一频率 —— Rayleigh法根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能 T 和应变能 U 之和应等于常数。
※ 根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间
（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得,Umax=Tmax ω
※ 求 Umax,Tmax
ll
dxxYEItdx
x
y
EIU
0
22
0
2
2
2
)]([)(s i n
2
1
2
1
※ 求频率如梁上还有集中质量 mi，
位移幅值
)c os ()()s i n()(),( txYyvtxYtxy设：
.
l
dxxYxmT
0
22
m a x )()(2
1?
l
dxxYEIU
0
2
m a x )]([2
1
l
ii
l
YmdxxYm
dxxYEI
0
22
0
2
2
)]([
)]([
Yi为集中质量 mi处的位移幅值。
13
※ 假设位移幅值函数 Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件：
（铰支端,Y=0；固定端,Y=0,Y′=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的 ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求 ω1的近似解。
3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。
4、通常可取结构在某个静荷载 q（ x）（如自重）作用下的弹性曲线作为 Y（ x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载 q（ x）所作的功来代替，即
l dxxYxqU 0 )()(21
2
0
2
02
)]([
)()(
ii
l
l
YmdxxYm
dxxYxq
14
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
2）假设均布荷载 q作用下的挠度曲线作为 Y(x)
)2(24)( 323 xlxlxEIqxY
96 3 031224
52
0
2
02 1 2 0
)(
)(
lm
EIlq
dxxYm
dxxqY
EI
ql
l
m
EI
l 2
87.9
例 12 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线
)()( xlxxY
l
mEI
y
x
满足边界条件且与第一振型相近
60/
2
5
2
lm
E I l
4
2 120
lm
EI
m
EI
l 2
95.10
3）假设
l
xaxY?s i n)(?
4
4
2
22
2
3
24
lm
EI
lam
l
E I a?
第一振型的精确解。
精确解mEIl 28696.9
15
x h
0
l
例 13 求楔形悬臂梁的自振频率。 设梁截面宽度为 1，高度为 h=h0x/l。
解：
单位长度的质量：
设位移形状函数：
2)1()(
l
xaxY
满足边界条件：
0)(,0)( lYlY
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
E
l
h
l
Eh
2
0
4
2
02 581.1,
2
5
Rayleigh 法所得 频率的近似解总是比精确解偏高 。 其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。 当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。
3
0
12
1?
l
xhI
l
xhm 0
截面惯性矩：
相比误差为 3%与精确解
E
l
h
2
0534.1?
16
1、假设多个近似振型
n21,
都满足前述两个条件。
2、将它们进行线性组合
（ a1,a2,,an是待定常数）
nnaaaxY 2211)(
3、确定待定常数的准则是,获得最佳的线性组合,这样的 Y（ x）代入频率计算公式中得到的 ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对所有的 a1,a2,…,an的可能组合，确实获得了最小的 ω2值。
所选的 a1,a2,…,an使 ω2 获得最小值的条件是
),,2,1(,0
2
nia
i
这是以 a1,a2,…,an为未知量的 n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶频率来。阶次越低往往越准。
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束,Ritz提出了改进方法：
18
例 14 用 Rayleigh— Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：悬臂梁的位移边界条件为：
（在左端）Y’=0Y=0
32212211 xaxaaaY设：
只取第一项
2121 x
代入：
l jiijl jiij dxmmdxEIk 00,
5,4
5
1111
lmmE I lk代入频率方程,0][][ 2 mk?
m
EI
llm
EIlmE I l
214
2
5
2 1472.4,200
5
4
其精确解：
m
EI
l 21
5 1 6.3 与精确解相比，误差为 27%。
19
例 14 用 Rayleigh— Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：
32212211 xaxaaaY
取两项
xxx 6;2 232121
代入,
l jiijl jiij dxmmdxEIk 00,
76
65][,
126
64
][
76
65
32
2
lmlm
lmlm
m
E I lE I l
E I lE I l
k
代入频率方程：
求得 kij,mij：
0
12
7
6
6
6
6
4
5
4242
4242
EI
lm
EI
lm
EI
lm
EI
lm
求得最初两个频率近似值：
m
EI
l
m
EI
l
22
21
81.34
5 3 3.3
（ 0.48%）
（ 58%）
说明
m
EI
l
m
EI
l
22
21
03.22
516.3
精确解：
说明,1)由于 φ 1,φ 2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差，
故第二频率不准。
2)Rayleigh— Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。
20
2、集中质量法在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。
该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。
集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。
等效原则,使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。
作 法,将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。
l
m
m
EI
lm
EI
lm
EI
l 232221
83.88,84.39,87.9,精确解例 15 试用集中质量法求简支梁自振频率。
21
l
m
m
EI
lm
EI
l
m
EI
l
2322
21
83.88
,
84.39
,
87.9
:
精确解
2
lm
l/3 l/3
4
lm
4
lm
,80.9,21 mEIl解得
(－ 0.7%）
l/3 l/3 l/3 l/3
4
lm 8lm
4
lm
4
lm
8
lm
3
lm
l/3 l/3 l/3
6
lm
6
lm
3
lm
m
EI
l
m
EI
l
22
21
2.38
,
86.9
:
解得 (－ 0.1%）
(－ 3.1%）
m
EI
l
m
EI
l
m
EI
l
23
22
21
6.84
2.39
,
865.9
:
解得 (－ 0.05%）
(－ 4.8%）
(－ 0.7%）
22
对于对称刚架，可分别用不同的集中质量方案求出对称振动和反对称振动的自振频率。
2l
l
m5.1
m m
2l
l
2lm
4lm
lm5.1lm lm
2lm
4lm
2lm
lm2 lm2
2lm
1?求
lm2
最小频率对应着反对称振型
lm75.0
2lm
