1
§ 13-6 等效结点荷载
{F}= [K]{?} ………………(1)结构体系刚度方程：
一、位移法基本方程
k11?1+ k12? 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n? n+F1P=0
k21?1+ k22? 2 +· · · · · · · · · ·+ k2n? n+F2P=0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
kn1?1+ kn2? 2+ · · · · · · · · · ·+ knn? n+FnP=0
[K]{?} +{FP} ={0} …………...………(2)
{F} +{FP} ={0} …………..………(3)将 (1)式代入 (2)式：
表示结点位移 {?}和结点力 {F}之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。
基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。
基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。
2
二,等效结点荷载的概念结点结束力 ——{FP} 结点结束力 ——{FP}
等效结点荷载 {P}原荷载显然 {P}=–{FP}……… 解决了计算 等效结点荷载的问题等效原则 是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力
[K]{?} = {F} {FP}
+=
3
三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载 {P}
(1)局部座标单元的等效结点荷载 {P}e
e
TPPPPPPP MYXMYXF 222111?
e
{P}e
PF
e
(2)整体座标单元的等效结点荷载 {P}e
PTP T?
e e
(3) 结构的等效结点荷载 {P}
x
y
4
10
12
0
10
12
0
P
FP
1 1
1
2
x
y
1
2
3
4
8kN
4.8kN/m
A
B
C
5m
2.5
m
2.5
m 单元 1:?
10
12
0
1
1
1
P
P
P
M
Y
X
10
12
0
2
2
2
P
P
P
M
Y
X
单元 2:
5
4
0
1
1
1
P
P
P
M
Y
X
5
4
0
2
2
2
P
P
P
M
Y
X
902
4
0
0
3
2
1
1
0
0
0
3
2
1
2
0
0
0
0
4
3
2
1
P
12
10
-10
+4
+0
-5
10
12
0
10
12
0
P
F
1
5
4
0
5
4
0
P
F
2
5
0
4
5
0
4
P
T
FTP
2 2 2
10
5
12
4
5
[K]
求单元常数
{?}
[T]
{P}
原始数据、局部码、总码解方程 [K]{?}={P}
求出结点位移 {?}
开始单元刚度矩阵 k e
单元固端力PF
e
结束
§ 13-7 计算步骤和算例
[K]{?} = {F} {FP}
+
=
程序设计框图求杆端力
PFkF
e e ee
6
例,求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁 b2× h2=0.5m × 1.26m，立柱 b1 × h1=0.5m × 1m。
（ 1）原始数据、局部码、总码（设 E=1）
3
1
13
1
114121 103.83,1094.6,6,241,5.0 lEAlEImlmImA
12m
6m
A B
C Dq=1
kN
/m
3
3
1
13
2
1
13
1
13
1
1 1031.212,1094.66,108.274,109.132 l EIlEIlEIlEI
A B
C D
1
2
3x
y
1 3 4
52
6
{0} {0}
柱梁 3
2
23
2
224222 1094.6,105.52,12,12 1,63.0 lEIlEAmlmImA
3
3
2
23
2
2
23
2
23
2
2 1058.012,1047.36,108.274,109.132 lEIlEIlEIlEI
8
（ 2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵 k e
单元 1和 3
=10-3×
8.2794.609.1394.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
9.1394.608.2794.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
=10-3×
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
单元 2
（ 3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵 e[k]
[k] = [T]T k e [T]e
2[k]–
1[k] =– 3[k]–
9
单元 1和 3
的座标转换矩阵
（?=900）
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
1[k] = =10-3×[k] = [T]T k 1 [T]3
8.27094.69.13094.6
08 3 3003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
单元 2 （?=0° ）
2[k] k 2= =10-3×
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10
(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵 [K]
A B
C D
1
2
3x
y
1 3 4
52
6
{0} {0}
T654321
2
T000321
1
T000654
3
310
6.5547.394.69.1347.30
47.388.83047.358.00
94.6081.54005.52
9.1347.306.5547.394.6
47.358.0047.388.830
005.5294.6081.54
K
11
（ 5）求等效结点荷载 {P}
12m
6m
A B
C Dq=1
kN
/m A B
C D
1
2
3x
y
1 3 4
52
6
{0} {0}
3
3
0
3
3
0
P
F
1
单元固端约束力单元 1
（?=90° ）
3
0
3
3
0
3
3
3
0
3
3
0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
P
T
FTP
1 1 1
按单元定位向量
0
0
0
3
2
1
1
0
0
0
3
0
3
P
12
（ 6）解基本方程
0
0
0
3
0
3
6.5547.394.69.1347.30
47.388.83047.358.00
94.6081.54005.52
9.1347.306.5547.394.6
47.358.0047.388.830
005.5294.6081.54
10
3
B
B
B
A
A
A
v
u
v
u
求得结点位移,
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
B
B
B
A
A
A
v
u
v
u
（ 7）求各单元杆端力 eF
PFkF
e e ee
PFkF
1 1 11
1 1
FTF?
F单元 1：先求 {F} 然后求
① ①
13
PFkF
1 1 11
8.27094.69.13094.6
08 3 3003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
=10-3×
0
0
0
4.28
13.5
8 4 7
49.8
43.0
76.4
09.2
43.0
24.1
3
0
3
3
0
3
1 1
FTF
49.8
76.4
43.0
09.2
24.1
43.0
2
F
04.3
43.0
24.1
09.2
43.0
24.1
3
F
38.4
24.1
43.0
04.3
24.1
43.0
同样可得出：
14
（ 8）绘制内力图
1
F
49.8
76.4
43.0
09.2
24.1
43.0
2
F
04.3
43.0
24.1
09.2
43.0
24.1
3
F
38.4
24.1
43.0
04.3
24.1
43.0
1 2
1X
1Y
1M 2M
2X
2Y
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
F
e
A B
C D8.49
2.09 3.04
4.38M图 (kN·m)
4.76
1.24 0.43
1.24Q图 (kN) N图 (kN)
0.43 0.43
1.24
15
k3k2k1
§ 13-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 1
2 3
A
B D
x
y 0
00
1
0 2
1
0 3
C1 C21
0
4
0
00
T301201
1
T000201
2
T000401
3
单元定位向量
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 1 0 3
1
0
2
1
0
3
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 0 0 0
0
2
0
0
0
0
4
0
0
0
1 0 4 0 0 0
16
1
2
3
4
[K]=
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
k3k2k1
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 1 0 3
1
0
2
1
0
3
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 0 0 0
0
2
0
0
0
0
4
0
0
0
1 0 4 0 0 0
17
§ 13-9 桁架及组合结构的整体分析一、桁架
e
1u 2u1X
e
2X
e1 2
2
1
2
1
u
u
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
X
X
x
e
2X
x
y
X1
Y1
X2
Y2
1X
2
2
1
1
Y
X
Y
X
F e
2
2
1
1
v
u
v
u
e
2
2
1
1
2
2
1
1
0000
0101
0000
0101
v
u
v
u
l
EA
Y
X
Y
Xe e
c o ss i n00
s i nc o s00
00c o ss i n
00s i nc o s
T
18
l
l
P
EA= c
1
2
3
4 5
A
B
C
D
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
例：试用后处理法计算图示桁架各杆内力，设各杆 EA为常数。
（ 1）单元和结点编码，准备基本数据。
（ 2）建立结点位移向量和结点力向量：
{?}={?1?2?3?4?5?6?7?8}T
{P}={F1 F2 F3 F4 0 P 0 0}T
（ 3）建立整体座标系单刚 e[k]
0
01
000
0101
1
l
EA
k
对称
0
01
000
0101
3
l
EA
k
对称
1 2 5 6
5
6
7
8
1
00
101
0000
2
l
EA
k
对称
5 6 7 8
1
2
5
6
3 4 7 8
3
4
7
8
19
1
2
3
4 5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
（ 3）建立整体座标系单刚 e[k]
0
01
000
0101
1
l
EA
k
对称
1 2 5 6
5
6
7
8
1
00
101
0000
2
l
EA
k
对称
5 6 7 8
1
2
5
6
0
01
000
0101
3
l
EA
k
对称
3 4 7 8
3
4
7
8
1
11
111
1111
2
4
l
EA
k
对称
3 4 5 6
3
4
5
6
1 2 7 8
1
2
7
8
1
11
111
1111
2
5
l
EA
k
对称
20
4.形成原始总矩阵位移法方程
354.1
354.0354.1
10354.1
00354.0354.1
00354.0354.0354.0
01354.0354.0354.0354.1
354.0354.00000354.0
354.0354.00100354.0354.1
l
EA
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0
4
3
2
1
P
F
F
F
F
5.引进支座位边界条件?1 =?2=?3 =?4=0 划去 1 → 4行 (列 )
对称
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
6.解矩阵位移法方程
0
0
0
3 5 4.1
3 5 4.03 5 4.1
103 5 4.1
003 5 4.03 5 4.1
8
7
6
5
P
l
EA
对称
§ 13-6 等效结点荷载
{F}= [K]{?} ………………(1)结构体系刚度方程：
一、位移法基本方程
k11?1+ k12? 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n? n+F1P=0
k21?1+ k22? 2 +· · · · · · · · · ·+ k2n? n+F2P=0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
kn1?1+ kn2? 2+ · · · · · · · · · ·+ knn? n+FnP=0
[K]{?} +{FP} ={0} …………...………(2)
{F} +{FP} ={0} …………..………(3)将 (1)式代入 (2)式：
表示结点位移 {?}和结点力 {F}之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。
基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。
基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。
2
二,等效结点荷载的概念结点结束力 ——{FP} 结点结束力 ——{FP}
等效结点荷载 {P}原荷载显然 {P}=–{FP}……… 解决了计算 等效结点荷载的问题等效原则 是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力
[K]{?} = {F} {FP}
+=
3
三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载 {P}
(1)局部座标单元的等效结点荷载 {P}e
e
TPPPPPPP MYXMYXF 222111?
e
{P}e
PF
e
(2)整体座标单元的等效结点荷载 {P}e
PTP T?
e e
(3) 结构的等效结点荷载 {P}
x
y
4
10
12
0
10
12
0
P
FP
1 1
1
2
x
y
1
2
3
4
8kN
4.8kN/m
A
B
C
5m
2.5
m
2.5
m 单元 1:?
10
12
0
1
1
1
P
P
P
M
Y
X
10
12
0
2
2
2
P
P
P
M
Y
X
单元 2:
5
4
0
1
1
1
P
P
P
M
Y
X
5
4
0
2
2
2
P
P
P
M
Y
X
902
4
0
0
3
2
1
1
0
0
0
3
2
1
2
0
0
0
0
4
3
2
1
P
12
10
-10
+4
+0
-5
10
12
0
10
12
0
P
F
1
5
4
0
5
4
0
P
F
2
5
0
4
5
0
4
P
T
FTP
2 2 2
10
5
12
4
5
[K]
求单元常数
{?}
[T]
{P}
原始数据、局部码、总码解方程 [K]{?}={P}
求出结点位移 {?}
开始单元刚度矩阵 k e
单元固端力PF
e
结束
§ 13-7 计算步骤和算例
[K]{?} = {F} {FP}
+
=
程序设计框图求杆端力
PFkF
e e ee
6
例,求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁 b2× h2=0.5m × 1.26m，立柱 b1 × h1=0.5m × 1m。
（ 1）原始数据、局部码、总码（设 E=1）
3
1
13
1
114121 103.83,1094.6,6,241,5.0 lEAlEImlmImA
12m
6m
A B
C Dq=1
kN
/m
3
3
1
13
2
1
13
1
13
1
1 1031.212,1094.66,108.274,109.132 l EIlEIlEIlEI
A B
C D
1
2
3x
y
1 3 4
52
6
{0} {0}
柱梁 3
2
23
2
224222 1094.6,105.52,12,12 1,63.0 lEIlEAmlmImA
3
3
2
23
2
2
23
2
23
2
2 1058.012,1047.36,108.274,109.132 lEIlEIlEIlEI
8
（ 2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵 k e
单元 1和 3
=10-3×
8.2794.609.1394.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
9.1394.608.2794.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
=10-3×
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
单元 2
（ 3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵 e[k]
[k] = [T]T k e [T]e
2[k]–
1[k] =– 3[k]–
9
单元 1和 3
的座标转换矩阵
（?=900）
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
1[k] = =10-3×[k] = [T]T k 1 [T]3
8.27094.69.13094.6
08 3 3003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
单元 2 （?=0° ）
2[k] k 2= =10-3×
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10
(4)用单元集成法形成整体刚度矩阵 [K]
A B
C D
1
2
3x
y
1 3 4
52
6
{0} {0}
T654321
2
T000321
1
T000654
3
310
6.5547.394.69.1347.30
47.388.83047.358.00
94.6081.54005.52
9.1347.306.5547.394.6
47.358.0047.388.830
005.5294.6081.54
K
11
（ 5）求等效结点荷载 {P}
12m
6m
A B
C Dq=1
kN
/m A B
C D
1
2
3x
y
1 3 4
52
6
{0} {0}
3
3
0
3
3
0
P
F
1
单元固端约束力单元 1
（?=90° ）
3
0
3
3
0
3
3
3
0
3
3
0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
P
T
FTP
1 1 1
按单元定位向量
0
0
0
3
2
1
1
0
0
0
3
0
3
P
12
（ 6）解基本方程
0
0
0
3
0
3
6.5547.394.69.1347.30
47.388.83047.358.00
94.6081.54005.52
9.1347.306.5547.394.6
47.358.0047.388.830
005.5294.6081.54
10
3
B
B
B
A
A
A
v
u
v
u
求得结点位移,
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
B
B
B
A
A
A
v
u
v
u
（ 7）求各单元杆端力 eF
PFkF
e e ee
PFkF
1 1 11
1 1
FTF?
F单元 1：先求 {F} 然后求
① ①
13
PFkF
1 1 11
8.27094.69.13094.6
08 3 3003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
=10-3×
0
0
0
4.28
13.5
8 4 7
49.8
43.0
76.4
09.2
43.0
24.1
3
0
3
3
0
3
1 1
FTF
49.8
76.4
43.0
09.2
24.1
43.0
2
F
04.3
43.0
24.1
09.2
43.0
24.1
3
F
38.4
24.1
43.0
04.3
24.1
43.0
同样可得出：
14
（ 8）绘制内力图
1
F
49.8
76.4
43.0
09.2
24.1
43.0
2
F
04.3
43.0
24.1
09.2
43.0
24.1
3
F
38.4
24.1
43.0
04.3
24.1
43.0
1 2
1X
1Y
1M 2M
2X
2Y
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
F
e
A B
C D8.49
2.09 3.04
4.38M图 (kN·m)
4.76
1.24 0.43
1.24Q图 (kN) N图 (kN)
0.43 0.43
1.24
15
k3k2k1
§ 13-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 1
2 3
A
B D
x
y 0
00
1
0 2
1
0 3
C1 C21
0
4
0
00
T301201
1
T000201
2
T000401
3
单元定位向量
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 1 0 3
1
0
2
1
0
3
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 0 0 0
0
2
0
0
0
0
4
0
0
0
1 0 4 0 0 0
16
1
2
3
4
[K]=
1 2 3 4
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
k3k2k1
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 1 0 3
1
0
2
1
0
3
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 0 2 0 0 0
0
2
0
0
0
0
4
0
0
0
1 0 4 0 0 0
17
§ 13-9 桁架及组合结构的整体分析一、桁架
e
1u 2u1X
e
2X
e1 2
2
1
2
1
u
u
l
EA
l
EA
l
EA
l
EA
X
X
x
e
2X
x
y
X1
Y1
X2
Y2
1X
2
2
1
1
Y
X
Y
X
F e
2
2
1
1
v
u
v
u
e
2
2
1
1
2
2
1
1
0000
0101
0000
0101
v
u
v
u
l
EA
Y
X
Y
Xe e
c o ss i n00
s i nc o s00
00c o ss i n
00s i nc o s
T
18
l
l
P
EA= c
1
2
3
4 5
A
B
C
D
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
例：试用后处理法计算图示桁架各杆内力，设各杆 EA为常数。
（ 1）单元和结点编码，准备基本数据。
（ 2）建立结点位移向量和结点力向量：
{?}={?1?2?3?4?5?6?7?8}T
{P}={F1 F2 F3 F4 0 P 0 0}T
（ 3）建立整体座标系单刚 e[k]
0
01
000
0101
1
l
EA
k
对称
0
01
000
0101
3
l
EA
k
对称
1 2 5 6
5
6
7
8
1
00
101
0000
2
l
EA
k
对称
5 6 7 8
1
2
5
6
3 4 7 8
3
4
7
8
19
1
2
3
4 5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
（ 3）建立整体座标系单刚 e[k]
0
01
000
0101
1
l
EA
k
对称
1 2 5 6
5
6
7
8
1
00
101
0000
2
l
EA
k
对称
5 6 7 8
1
2
5
6
0
01
000
0101
3
l
EA
k
对称
3 4 7 8
3
4
7
8
1
11
111
1111
2
4
l
EA
k
对称
3 4 5 6
3
4
5
6
1 2 7 8
1
2
7
8
1
11
111
1111
2
5
l
EA
k
对称
20
4.形成原始总矩阵位移法方程
354.1
354.0354.1
10354.1
00354.0354.1
00354.0354.0354.0
01354.0354.0354.0354.1
354.0354.00000354.0
354.0354.00100354.0354.1
l
EA
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0
4
3
2
1
P
F
F
F
F
5.引进支座位边界条件?1 =?2=?3 =?4=0 划去 1 → 4行 (列 )
对称
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
6.解矩阵位移法方程
0
0
0
3 5 4.1
3 5 4.03 5 4.1
103 5 4.1
003 5 4.03 5 4.1
8
7
6
5
P
l
EA
对称
