2009-8-20 1
第十一章位 移 法
2009-8-20 2
§ 11-1 位移法的基本概念
A
B
CPθA
θA
荷载效应包括：
内力效应,M,Q,N；
位移效应,θA
A
B
CP θA
θA
附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生 附加力矩施加力偶使结点产生的角位移，以 实现结点位移状态的一致性。
A
B
C
2009-8-20 3
A
B
CPθA
θA
实现位移状态可分两步完成：
分析：
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于 0，按此可列出基本方程。
1）在 可动结点上附加约束,
限制其位移，在荷载作用下，
附加约束上产生 附加约束力 ；
2）在 附加约束上施加外力,
使结构发生与原结构一致的结点位移。
2009-8-20 4
P
1 2 3 4 5i?
B
B?
B
B?
iu
iN
i?
ii l,A
A
B
B?
i? B?
ii s i nu
选择基本未知量?
i
i
i
i ul
EAN?
ii s i nu
i
i
i
i s i nl
EAN
Ps i nN ii
Ps i nlEA i2
i
i i
2
i
i s i n
l
EA
P
P
s i n
l
EA
s i n
l
EA
N
i
2
i
i
i
i
i
i
物理条件几何条件平衡条件变形条件
2009-8-20 5
位移法基本作法小结,
（ 1）基本未知量是结点位移；
（ 2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；
（ 3）建立基本方程分两步 —— 单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量 ;
（ 4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。
A?
A?
A
B
ABM
A
B
C
q
P
A?ABM
C
PA
关于刚架的结点未知量
2009-8-20 6
1
MAB
MBA
§ 11-2 等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩
（ 1）由杆端弯矩
BABAAB MM 和引起的和
A?
B?
MAB
MBAl
A?
B?
MAB
MBA 利用单位荷载法可求得
BAAB
BAABA
MM
EI
l
lMlM
EI
6
1
3
1
3
1
3
2
2
11
设 i
l
EI?
BAABA MiMi 6
1
3
1
同理可得
BAABB MiMi 3
1
6
1
1
杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角 θ A,θ B,弦转角
β ＝ Δ /l都以顺时针为正。
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。
E I
2009-8-20 7
A?
B?
E IMAB
MBAl
A?
B?
MAB
MBA
BAABA MiMi 6
1
3
1
BAABB MiMi 3
1
6
1
A?
B?
（ 2）由于相对线位移?引起的?A和?B
lBA
以上两过程的叠加
lMiMi BAABA
6
1
3
1?
lMiMi BAABB
3
1
6
1?
我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：
)2(1266 2 l il il iQQ BABAAB
)1(
642
624
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
2009-8-20 8
ΔθA θ
B
用力法求解单跨超静定梁
X1 X
2
Δ
1/l
1/lX2=1
1
2M
1M
X1=1
1
BC
AC
XX
XX
2222121
1212111
2211 33
2
2
1
EI
ll
EI
2112 63
1
2
1
EI
ll
EI
CC l 21
B
A
l
X
EI
l
X
EI
l
l
X
EI
l
X
EI
l
21
21
36
63
令
l
EIi?
l
i
iiX
l
i
iiX
BA
BA
6
42
6
24
2
1
2009-8-20 9
可以将上式写成矩阵形式
B
A
AB
BA
AB
l
i
l
i
l
i
l
i
ii
l
i
ii
Q
M
M
2
1266
6
42
6
24
1
2 3
4
2009-8-20 10
A
MAB
几种不同远端支座的刚度方程
（ 1）远端为固定支座
A
MAB
MBA 因?
B = 0，代入 (1)式可得
l
i
iM
l
i
iM
ABA
AAB
6
2
6
4
（ 2）远端为固定铰支座因 MBA = 0,代入 (1)式可得
liiM AAB 33?
)1(
642
624
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
A
MAB
MBA
（ 3）远端为定向支座 因 0,0
BAABB QQ?
代入（ 2）式可得
Al?2
1
ABAAAB iMiM
)2(1266 2 l il il iQQ BABAAB
l
EI
l
EI
l
EI
2009-8-20 11
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA
4i 2iθ=1A B
A B 1
212 li
li6?
li6?li6?
A B 1 0
li3?
A Bθ=1 3i 0
23 li
A Bθ=1 i － i 0
li3?
2009-8-20 12
二、由荷载求固端反力
mAB
EI
q
l
ABQ BAQ
8
2ql
m AB
qlQ
qlQ
BA
AB
8
3
8
5
8
2ql
m BA
qlQ
qlQ
BA
AB
8
5
8
3
EI
q
lABQ
BAQ
mBA
ABBAAB Ql
i
l
i
l
iQ
2
1266
BABABA
ABBAAB
m
l
i
iiM
m
l
i
iiM
6
42
6
24
在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：
2009-8-20 13
§ 11-3 位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 —— 多余未知力；
基本体系 —— 静定结构；
基本方程 —— 位移条件
（变形协调条件）
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
独立结点位移平衡条件
？一组单跨超静定梁
2009-8-20 14
二、基本未知量的选取
2、结构独立线位移：
（ 1）忽略轴向力产生的轴向变形 ---变形后的曲杆与原直杆等长；
（ 2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
C?D
A B
C D
1
2
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2009-8-20 15
线位移数也可以用几何方法确定。
1
4
0
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
2009-8-20 16
8m
4mi i
2i
A
B C
D
3k
N/
m
F1P
A
B
C
D
F2P
A
B
C
D
1
F11 F
21
A
B
C
D
2
F12 F
22
2?2
1?
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
三、选择基本体系四、建立基本方程
2009-8-20 17
ili 5.16?
1.5i
ili 75.03?
3(2i)
2i
4i
2
A
B
C
D
F12 F
22
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
A
B
C
D
1
F11 F
21
i i
2i
=1
k11 k
21
=1k
12 k22
=0………..(1)
=0………..(2)
k11?1 + k12?2 +F1P
k21?1 + k22?2 +F2P
k21
ii 5.146? 0
4i
6i
k11
1.5i
k12
k22
4
3i 163i
k11=10i k21= -1.5i k12= -1.5i
ik 161522?
2009-8-20 18
F1P
A
B
C
D
F2P4kN`·m
4kN·m
MP
F2P
0
4
0
F1P
-6
F1P=4kN·m F2P=-6kN
位移法方程：
06
16
15
5.1
045.110
21
21
ii
ii
ii
15 8 0.717 3 7.0
21
六、绘制弯矩图
4.42
13.62 5.69
1.4
M(kN·m)
PMMMM 2211
A
B C
D
五、计算结点位移
2009-8-20 19
k11?1+ k12? 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n? n+F1P=0
k21?1+ k22? 2 +· · · · · · · · · ·+ k2n? n+F2P=0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
kn1?1+ kn2? 2+ · · · · · · · · · ·+ knn? n+FnP=0
nnnn
n
n
kkk
kkk
kkk
.,,,,,
.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,
.,,,,,
.,,,,,
21
22221
11211
1 2
1=1k
11
k21
k12
k22
2=1
k11× 0+k21× 1
k21=k12
= k12 × 1+k22 × 0
ki j=kj i
具有 n个独立结点位移的超静定结构：
第十一章位 移 法
2009-8-20 2
§ 11-1 位移法的基本概念
A
B
CPθA
θA
荷载效应包括：
内力效应,M,Q,N；
位移效应,θA
A
B
CP θA
θA
附加刚臂附加刚臂限制结点位移，荷载作用下附加刚臂上产生 附加力矩施加力偶使结点产生的角位移，以 实现结点位移状态的一致性。
A
B
C
2009-8-20 3
A
B
CPθA
θA
实现位移状态可分两步完成：
分析：
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于 0，按此可列出基本方程。
1）在 可动结点上附加约束,
限制其位移，在荷载作用下，
附加约束上产生 附加约束力 ；
2）在 附加约束上施加外力,
使结构发生与原结构一致的结点位移。
2009-8-20 4
P
1 2 3 4 5i?
B
B?
B
B?
iu
iN
i?
ii l,A
A
B
B?
i? B?
ii s i nu
选择基本未知量?
i
i
i
i ul
EAN?
ii s i nu
i
i
i
i s i nl
EAN
Ps i nN ii
Ps i nlEA i2
i
i i
2
i
i s i n
l
EA
P
P
s i n
l
EA
s i n
l
EA
N
i
2
i
i
i
i
i
i
物理条件几何条件平衡条件变形条件
2009-8-20 5
位移法基本作法小结,
（ 1）基本未知量是结点位移；
（ 2）基本方程的实质含义是静力平衡条件；
（ 3）建立基本方程分两步 —— 单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量 ;
（ 4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。
A?
A?
A
B
ABM
A
B
C
q
P
A?ABM
C
PA
关于刚架的结点未知量
2009-8-20 6
1
MAB
MBA
§ 11-2 等截面杆件的刚度方程一、由杆端位移求杆端弯矩
（ 1）由杆端弯矩
BABAAB MM 和引起的和
A?
B?
MAB
MBAl
A?
B?
MAB
MBA 利用单位荷载法可求得
BAAB
BAABA
MM
EI
l
lMlM
EI
6
1
3
1
3
1
3
2
2
11
设 i
l
EI?
BAABA MiMi 6
1
3
1
同理可得
BAABB MiMi 3
1
6
1
1
杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角 θ A,θ B,弦转角
β ＝ Δ /l都以顺时针为正。
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。
E I
2009-8-20 7
A?
B?
E IMAB
MBAl
A?
B?
MAB
MBA
BAABA MiMi 6
1
3
1
BAABB MiMi 3
1
6
1
A?
B?
（ 2）由于相对线位移?引起的?A和?B
lBA
以上两过程的叠加
lMiMi BAABA
6
1
3
1?
lMiMi BAABB
3
1
6
1?
我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：
)2(1266 2 l il il iQQ BABAAB
)1(
642
624
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
2009-8-20 8
ΔθA θ
B
用力法求解单跨超静定梁
X1 X
2
Δ
1/l
1/lX2=1
1
2M
1M
X1=1
1
BC
AC
XX
XX
2222121
1212111
2211 33
2
2
1
EI
ll
EI
2112 63
1
2
1
EI
ll
EI
CC l 21
B
A
l
X
EI
l
X
EI
l
l
X
EI
l
X
EI
l
21
21
36
63
令
l
EIi?
l
i
iiX
l
i
iiX
BA
BA
6
42
6
24
2
1
2009-8-20 9
可以将上式写成矩阵形式
B
A
AB
BA
AB
l
i
l
i
l
i
l
i
ii
l
i
ii
Q
M
M
2
1266
6
42
6
24
1
2 3
4
2009-8-20 10
A
MAB
几种不同远端支座的刚度方程
（ 1）远端为固定支座
A
MAB
MBA 因?
B = 0，代入 (1)式可得
l
i
iM
l
i
iM
ABA
AAB
6
2
6
4
（ 2）远端为固定铰支座因 MBA = 0,代入 (1)式可得
liiM AAB 33?
)1(
642
624
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
A
MAB
MBA
（ 3）远端为定向支座 因 0,0
BAABB QQ?
代入（ 2）式可得
Al?2
1
ABAAAB iMiM
)2(1266 2 l il il iQQ BABAAB
l
EI
l
EI
l
EI
2009-8-20 11
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA
4i 2iθ=1A B
A B 1
212 li
li6?
li6?li6?
A B 1 0
li3?
A Bθ=1 3i 0
23 li
A Bθ=1 i － i 0
li3?
2009-8-20 12
二、由荷载求固端反力
mAB
EI
q
l
ABQ BAQ
8
2ql
m AB
qlQ
qlQ
BA
AB
8
3
8
5
8
2ql
m BA
qlQ
qlQ
BA
AB
8
5
8
3
EI
q
lABQ
BAQ
mBA
ABBAAB Ql
i
l
i
l
iQ
2
1266
BABABA
ABBAAB
m
l
i
iiM
m
l
i
iiM
6
42
6
24
在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：
2009-8-20 13
§ 11-3 位移法的基本体系一、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 —— 多余未知力；
基本体系 —— 静定结构；
基本方程 —— 位移条件
（变形协调条件）
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
独立结点位移平衡条件
？一组单跨超静定梁
2009-8-20 14
二、基本未知量的选取
2、结构独立线位移：
（ 1）忽略轴向力产生的轴向变形 ---变形后的曲杆与原直杆等长；
（ 2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
C?D
A B
C D
1
2
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2009-8-20 15
线位移数也可以用几何方法确定。
1
4
0
将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
2009-8-20 16
8m
4mi i
2i
A
B C
D
3k
N/
m
F1P
A
B
C
D
F2P
A
B
C
D
1
F11 F
21
A
B
C
D
2
F12 F
22
2?2
1?
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
三、选择基本体系四、建立基本方程
2009-8-20 17
ili 5.16?
1.5i
ili 75.03?
3(2i)
2i
4i
2
A
B
C
D
F12 F
22
F11+F12+F1P=0………………(1a)
F21+F22+F2P=0………………(2a)
A
B
C
D
1
F11 F
21
i i
2i
=1
k11 k
21
=1k
12 k22
=0………..(1)
=0………..(2)
k11?1 + k12?2 +F1P
k21?1 + k22?2 +F2P
k21
ii 5.146? 0
4i
6i
k11
1.5i
k12
k22
4
3i 163i
k11=10i k21= -1.5i k12= -1.5i
ik 161522?
2009-8-20 18
F1P
A
B
C
D
F2P4kN`·m
4kN·m
MP
F2P
0
4
0
F1P
-6
F1P=4kN·m F2P=-6kN
位移法方程：
06
16
15
5.1
045.110
21
21
ii
ii
ii
15 8 0.717 3 7.0
21
六、绘制弯矩图
4.42
13.62 5.69
1.4
M(kN·m)
PMMMM 2211
A
B C
D
五、计算结点位移
2009-8-20 19
k11?1+ k12? 2+ · · · · · · · · · ·+ k1n? n+F1P=0
k21?1+ k22? 2 +· · · · · · · · · ·+ k2n? n+F2P=0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
kn1?1+ kn2? 2+ · · · · · · · · · ·+ knn? n+FnP=0
nnnn
n
n
kkk
kkk
kkk
.,,,,,
.,,,,,.,,,,,.,,,,,.,,,,,
.,,,,,
.,,,,,
21
22221
11211
1 2
1=1k
11
k21
k12
k22
2=1
k11× 0+k21× 1
k21=k12
= k12 × 1+k22 × 0
ki j=kj i
具有 n个独立结点位移的超静定结构：
