超静定结构
１、任务－计算超静定结构的内力和位移。
２、依据－静力平衡条件、变形协调条件。
３、超静定结构的两种基本解法：
力 法－以结构的多余未知力作为基本未知量。
位移法－以结构的结点位移作为基本未知量。
1
§ 10-1 超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构静力特征：
几何特征：
要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于解决多余约束的内力。
一个结构有多少个多余约束呢？
3
二、超静定次数一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。
P
1X 1X
P
Q
A
1X 1X
2X
2X
1次超静定
2次超静定切断一根链杆等于去掉一个约束去掉一个单铰等于去掉两个约束
4
P
1X 1X
2X
2X
3X 3X
3次超静定 切断一根梁式杆等于去掉三个约束
P
1次超静定 在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束
1X 1X
5
1
3
4次超静定
6
7
§ 10-2 力法的基本概念
1EI
q q
1X P1? 1X
11?
一、基本思路
q
（ 1）平衡条件
（ a） （ b） （ c） （ d）
如图（ b）当 取任何值都满足平衡条件。1X
（ 2）变形条件 0
11p1 0X 111p1
力法基本未知量、基本体系、基本方程。
=
2ql
2
1X1?
8
1X
11?
P1?
q
（ b） （ c）
EI
q
1X（ a）
l
2、力法基本体系－悬臂梁
1、力法基本未知量－ 1X
3、力法基本方程－ 0X
p1111
1X1?
11?
11111 X 0X P1111
4、系数与自由项
11P1,
PM
l
1M
EI8
qldx
EI
MM 4P1
P1 EI3
ldx
EI
MM 311
11?
5、解方程
0EI8qlXEI3 l
4
1
3
ql83X 1?
EI
q
1X
l
ql83X 1?
6、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）
（ 1）
8
ql3
EI
q
l
8ql
2
16ql
2
M
2ql
2
1X1?
PM 1M
l
（ 2）
P11 MXMM
1X?8
ql3 2
9
基本体系有多种选择；
1EI
q
（ a）
q
1X
（ b）
1X q
0X P1111
q
p1?
1X
111X?
q
q
1X
1X
p1?
) 111X?
（ c）
10
二、多次超静定结构
P P
1X
2X
（ 1）基本体系 悬臂刚架
（ 2）基本未知力 21 X,X
P
P1?
P2?
1X1?
11?
21?
（ 3）基本方程
0
0
2
1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
1X2?
22?
12?
（ 4）系数与自由项
（ 5）解力法方程
21 XX
（ 6）内力
P2211 MXMXMM 11
P
P
2X
1X
2X
同一结构可以选取不同的基本体系
P
1X
2X
P
1X
0
0
2
1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
12
n次超静定结构
0X.,,,,.,,,,,,,,,XX
.,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
0X.,,,,.,,,,,,,,,XX
0X.,,,,.,,,,,,,,,XX
nPnnn22n11n
P2nn2222121
nPnn1212111
1）
ij,iP
的物理意义；
2）由位移互等定理
jiij；
3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
ij?
4）柔度系数及其性质
nn2n1n
n22221
n11211
..,,,,,,,,,
.,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
..,,,,,,,,,
..,,,,,,,,,
对称方阵系数行列式之值 >0
主系数 0
ii
副系数
0
0
0
ij?
5)最后内力
Pnn2211 MXM............,XMXMM
ij?
位移的地点 产生位移的原因
13
§ 10-3 超静定刚架和排架一、刚架
3m 3m
3m
3m
q=
1k
N/
m
P=3kN
I
2I
2I
1
2
3 4
1X
2X
1X
2X
1X
2X1、基本体系与基本未知量：
21 X,X
2、基本方程
0
0
2
1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
14
3m 3m
3m
3m
q=
1k
N/
m
P=3kN
I
2I
2I
1
2
3 4
1X
2X
18 27
9
mkNM P?
1X1?
1X2?
6 6
3
mM1
6
6
mM2
3、系数与自由项 EI
2 0 7dx
EI
MM 11
11
EI
1 4 4dx
EI
MM 22
22
EI
135dx
EI
MM 21
2112
EI
702dx
EI
MM P1
P1 EI
520dx
EI
MM P2
P2
15
4,解方程
2.,,,.,,,,,,,,,052 0X14 4X13 5
1.,,,,.,,,,,,,,,070 2X13 5X20 7
21
21
kN11.1X
kN67.2X
2
1
5、内力
P2211 MXMXMM
2.6
7
2
1.33
3.56
4.33
5.66
mkNM?
2.67
3.33
1.11
1.9
3.33
kNQ
1.11
3.33
1.9
kNN
16
2X 2X
1X 1X
二、排架
mkN6.17?
mkN2.43?
排架主要分析柱子柱子固定于基础顶面不考虑横梁的轴向变形不考虑空间作用
J
I I
I I
J
2.1
m
4.6
5m 6.7
5m
2.6
m
1I
2I
3I
4I 4I
3I
441443442441 cm108.81Icm101.16Icm106.28Icm101.10I
1 2.83 1.59 8.1相对 值
1
2.83
1.59 1.59
8.1 8.1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
17
17.6 43.2
mkNM P?
1X 1X1?
mM1
9.35 9.35
6.75 6.75
mM2
mkN6.17?
2X1X2?
mkN2.43?
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
209.504.73 21122211
5.4930 3 P2P1
05.499.5020
03 0 3204.73
21
21
XX
XX
kNXkNX 73.033.4 21
18
PP MMMMXMXMM 212211 73.033.4
4.9 18
11.36.3 11.3 31.9
2.7
mkNM?
19
１、任务－计算超静定结构的内力和位移。
２、依据－静力平衡条件、变形协调条件。
３、超静定结构的两种基本解法：
力 法－以结构的多余未知力作为基本未知量。
位移法－以结构的结点位移作为基本未知量。
1
§ 10-1 超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构静力特征：
几何特征：
要求出超静定结构的内力必须先求出多余约束的内力，一旦求出它们，就变成静定结构内力计算问题了。所以关键在于解决多余约束的内力。
一个结构有多少个多余约束呢？
3
二、超静定次数一个结构所具有的多余约束数就是它的超静定次数。
P
1X 1X
P
Q
A
1X 1X
2X
2X
1次超静定
2次超静定切断一根链杆等于去掉一个约束去掉一个单铰等于去掉两个约束
4
P
1X 1X
2X
2X
3X 3X
3次超静定 切断一根梁式杆等于去掉三个约束
P
1次超静定 在连续杆中加一个单铰等于去掉一个约束
1X 1X
5
1
3
4次超静定
6
7
§ 10-2 力法的基本概念
1EI
q q
1X P1? 1X
11?
一、基本思路
q
（ 1）平衡条件
（ a） （ b） （ c） （ d）
如图（ b）当 取任何值都满足平衡条件。1X
（ 2）变形条件 0
11p1 0X 111p1
力法基本未知量、基本体系、基本方程。
=
2ql
2
1X1?
8
1X
11?
P1?
q
（ b） （ c）
EI
q
1X（ a）
l
2、力法基本体系－悬臂梁
1、力法基本未知量－ 1X
3、力法基本方程－ 0X
p1111
1X1?
11?
11111 X 0X P1111
4、系数与自由项
11P1,
PM
l
1M
EI8
qldx
EI
MM 4P1
P1 EI3
ldx
EI
MM 311
11?
5、解方程
0EI8qlXEI3 l
4
1
3
ql83X 1?
EI
q
1X
l
ql83X 1?
6、绘内力图（以弯矩图为例，采用两种方法）
（ 1）
8
ql3
EI
q
l
8ql
2
16ql
2
M
2ql
2
1X1?
PM 1M
l
（ 2）
P11 MXMM
1X?8
ql3 2
9
基本体系有多种选择；
1EI
q
（ a）
q
1X
（ b）
1X q
0X P1111
q
p1?
1X
111X?
q
q
1X
1X
p1?
) 111X?
（ c）
10
二、多次超静定结构
P P
1X
2X
（ 1）基本体系 悬臂刚架
（ 2）基本未知力 21 X,X
P
P1?
P2?
1X1?
11?
21?
（ 3）基本方程
0
0
2
1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
1X2?
22?
12?
（ 4）系数与自由项
（ 5）解力法方程
21 XX
（ 6）内力
P2211 MXMXMM 11
P
P
2X
1X
2X
同一结构可以选取不同的基本体系
P
1X
2X
P
1X
0
0
2
1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
12
n次超静定结构
0X.,,,,.,,,,,,,,,XX
.,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
0X.,,,,.,,,,,,,,,XX
0X.,,,,.,,,,,,,,,XX
nPnnn22n11n
P2nn2222121
nPnn1212111
1）
ij,iP
的物理意义；
2）由位移互等定理
jiij；
3） 表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；
ij?
4）柔度系数及其性质
nn2n1n
n22221
n11211
..,,,,,,,,,
.,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
..,,,,,,,,,
..,,,,,,,,,
对称方阵系数行列式之值 >0
主系数 0
ii
副系数
0
0
0
ij?
5)最后内力
Pnn2211 MXM............,XMXMM
ij?
位移的地点 产生位移的原因
13
§ 10-3 超静定刚架和排架一、刚架
3m 3m
3m
3m
q=
1k
N/
m
P=3kN
I
2I
2I
1
2
3 4
1X
2X
1X
2X
1X
2X1、基本体系与基本未知量：
21 X,X
2、基本方程
0
0
2
1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
14
3m 3m
3m
3m
q=
1k
N/
m
P=3kN
I
2I
2I
1
2
3 4
1X
2X
18 27
9
mkNM P?
1X1?
1X2?
6 6
3
mM1
6
6
mM2
3、系数与自由项 EI
2 0 7dx
EI
MM 11
11
EI
1 4 4dx
EI
MM 22
22
EI
135dx
EI
MM 21
2112
EI
702dx
EI
MM P1
P1 EI
520dx
EI
MM P2
P2
15
4,解方程
2.,,,.,,,,,,,,,052 0X14 4X13 5
1.,,,,.,,,,,,,,,070 2X13 5X20 7
21
21
kN11.1X
kN67.2X
2
1
5、内力
P2211 MXMXMM
2.6
7
2
1.33
3.56
4.33
5.66
mkNM?
2.67
3.33
1.11
1.9
3.33
kNQ
1.11
3.33
1.9
kNN
16
2X 2X
1X 1X
二、排架
mkN6.17?
mkN2.43?
排架主要分析柱子柱子固定于基础顶面不考虑横梁的轴向变形不考虑空间作用
J
I I
I I
J
2.1
m
4.6
5m 6.7
5m
2.6
m
1I
2I
3I
4I 4I
3I
441443442441 cm108.81Icm101.16Icm106.28Icm101.10I
1 2.83 1.59 8.1相对 值
1
2.83
1.59 1.59
8.1 8.1
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
17
17.6 43.2
mkNM P?
1X 1X1?
mM1
9.35 9.35
6.75 6.75
mM2
mkN6.17?
2X1X2?
mkN2.43?
0
0
2222121
1212111
P
P
XX
XX
209.504.73 21122211
5.4930 3 P2P1
05.499.5020
03 0 3204.73
21
21
XX
XX
kNXkNX 73.033.4 21
18
PP MMMMXMXMM 212211 73.033.4
4.9 18
11.36.3 11.3 31.9
2.7
mkNM?
19
