2009-8-20 1
影响线的概念目的,解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。
内容,1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围；
2）确定内力的最大值及相应的荷载位置
—— 最不利荷载位置。
当单位荷载（ P=1）在结构上移动时，表示结构某一指定截面中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线。
定义：
荷载大小影响线 内力图
P=1 实际荷载性质 移动 固定横座标 表示荷载位置 表示截面位置纵座标 表示某一截面内力变化规律 表示全部截面内力分布规律
2009-8-20 2
P=1x
l
A B
BRA
R
1
ARLI.
1
BRLI.
C
a b
1la
lb1
CQLI.
ba
l
ab
CMLI.
2009-8-20 3
1、先按直接荷载作用画出内力影响线；
2、投影各结点与影响线相交，各交点间连以直线。
P=1
l=4d
A BC
2d 2d
D E
4
1
21
I.L QD
1
1
16
15d
Cy
8
5d
Ey
4
3d
I.L MD
结点荷载作用下的影响线
2009-8-20 4
§ 8-5 机动法作影响线理论基础,虚位移原理。
特 点,把作影响线的静力问题化为作位移图的几何问题。
优 点,不经计算可以得到影响线的形状。
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
虚功原理：
步 骤,1、将与待求影响线的内力对应的约束拆除，代之以内力；（ 原结构变成可变机构）
2、令可变机构在内力正方向上发生单位位移，构造符合约束条件的刚体体系位移；
3、刚体体系位移即为待求的内力影响线。应用几何关系求控制截面的影响线竖标。
2009-8-20 5
l
a
l
b
CQLI.
§ 8-6 影响线的应用一、求实际荷载作用的影响
a bC
1P 2P 3P
1y 2y
3y
11 yPQ C
dx
A B
q
l
a
l
b
CQLI.
22 yP 33 yP
BAC ydxqQ
BA yd xq
ABq
AB?
－影响线面积代数和
y
2009-8-20 6
二、求荷载的最不利位置如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－），
则此荷载所在位置称为 最不利位置 。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观地判断最不利位置。
q q
qmax
min
（１）一个集中荷载 （２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
2009-8-20 7
三、临界位置的判定
(1)求出使 Z值达极值时荷载的位置,称临界位置。
(2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。
0
+Z
-Z
x
1R 2R 3R
01
02
03
如何求临界位置呢？
3
1i
ii
332211
yR
yRyRyRZ
1y 2y
3y
:x 相应有当荷载移动?
x?
y?
1R 2R 3R
ii tgxy
x?
3
1i
ii
333
222
111
yRZ
)yy(R
)yy(R
)yy(RZZ
iiiiii tgRxtgxRyRZ
2009-8-20 8
01
02
03
1y 2y
3y
x?
y?
iiiiii tgRxtgxRyRZ
1R 2R 3R
Z
x
Z
x
x?
0Z
x? 0Z
使 Z成为 极大值 的临界位置必须满足的条件：
0tgRx,0Z ii 即
0tgR0x ii
0tgR0x ii
使 Z成为 极小值 的临界位置必须满足的条件：
0tgRx,0Z ii 即
0tgR0x ii
0tgR0x ii
0tgR ii一般情况下小结：极值位置时只要荷载移动 就变号。
ii tgR
2009-8-20 9
01
02
03
1y 2y
3y
x?
y?
1R 2R 3R1R 2R 3R
极值位置时只要荷载移动 就变号，它就是一个判别式。
ii tgR
在什么情形下它才会变号呢？
临界位置临界荷载总结,1）选一个荷载置于影响线的某个顶点；
2）利用判别式，看是否变号；
3）求出每个临界位置对应的 Z值；
4）比较各 Z值，得出最大值。
2009-8-20 10
10 15 5 20(kN)
3m 3.5m 4m
1.8m
3.36m 1.6m CML.I
设 kN15PK? 置于截面 C处由判别式有：
054.8 36.32056.5 36.31510tgR,0x ii
0104.8 36.3205156.5 36.310tgR,0x ii
mkN83M m a x
设 kN20PK? 置于截面 d处由判别式有：
3m 6m 14m 4m 8m3m
5.6m
c d
0204 6.12051510tgR,0x ii
0128 6.1204 6.151510tgR,0x ii
此处不是临界位置
10 15 5 20(kN)
3m 3.5m 4m
2009-8-20 11
1.8m
3.36m 1.6m CML.I
3m 6m 14m 4m 8m3m
5.6m
c d
10 15 5 20(kN)
3m 3.5m 4m
设 kN15PK? 置于 d截面处由判别式有：
058 6.12054 6.11510tgR,0x ii
048 6.1205154 6.110tgR,0x ii
mkN5.34M mi n
2009-8-20 12
影响线为三角形时的情形。
a b
c
左R 右R
0tg)RP(tgR c 右左
0tgRtg)PR( c 右左
b
ctg
a
ctg
b
RP
a
R c 右左
b
R
a
PR c 右左
2P
1P
3P
4P
5P
6P
2P1P 3P 4P 5P 6PcP
cP
若存在情形：
则是一临界位置注意荷载移出影响线范围以外的情形。
2009-8-20 13
§ 8-7 简支梁的包络图和绝对最大弯矩设计时要求在实际荷载作用下各截面的最大和最小内力值。
P=1x
l
A B
BRA
R
C
a b
l
ab
CMLI.
0.0
9
0.1
6
0.2
1
0.2
4
0.2
5
分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为内力包络图。
2009-8-20 14
12m
A B
BRA
R
3.5m 2P1P 3P 4P3.5m1.5
6.00 1.2 2.4 12m
215
366 465
559 574
578
212 179 153 127 94.3 65.0 41.7 25.3 16.4 8.2 0.0
弯矩包络图（ kN·m）
剪力包络图（ kN）
例：绘制简支梁在两台吊车作用下的弯矩包络图和剪力包络图。
kN82PPPP 4321
2009-8-20 15
1P 3P 4P2P
求绝对最大弯矩。可以分为两个步骤：
1）它出现在那一个截面？ 2）在那一个集中荷载下面？
1）直观判断：无论荷载在什么位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载下面，因此可以断定，绝对最大弯矩也一定出现在某一个集中荷载下面的截面。
A B
mR
x a l-x-a
l
axlRR,0M
AB
R表示梁上实有荷 载的合力作用点的弯矩cP,
由 0ax2l
lR0dxdM 2
a
2
lx
c
l/2
A B
BRA
R l/2
2a 2a
cMl
alRM
1
22
2
m a x
注意
1.R应是梁上实有荷载的合力
2.应选几个可能的 Pc计算相应的 Mmax其中最大的即为绝对最大弯矩。
3,Pc到 R的方向以向右为正。
ccA Mxl
axlRMxRM
R 3P 4P
x a l-x-a
cP1P
2009-8-20 16
6.00 1.2 2.4 12m
215
366 465
559 574
578
弯矩包络图（ kN·m）
续前例：计算简支梁在两台吊车作用下的绝对最大弯矩。
2
a
2
lx
c
2
m a x Ml
1
2
a
2
lRM
3.5m 2P1P 3P 4P3.5m1.5 kN82PPPP 4321
6m
A B
BRA
R 6m
m75.0a?
2m75.0 2m75.0
R
mkN5785.382121275.0212824M 2m a x
影响线的概念目的,解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。
内容,1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围；
2）确定内力的最大值及相应的荷载位置
—— 最不利荷载位置。
当单位荷载（ P=1）在结构上移动时，表示结构某一指定截面中某项内力变化规律的曲线，称为该项内力的影响线。
定义：
荷载大小影响线 内力图
P=1 实际荷载性质 移动 固定横座标 表示荷载位置 表示截面位置纵座标 表示某一截面内力变化规律 表示全部截面内力分布规律
2009-8-20 2
P=1x
l
A B
BRA
R
1
ARLI.
1
BRLI.
C
a b
1la
lb1
CQLI.
ba
l
ab
CMLI.
2009-8-20 3
1、先按直接荷载作用画出内力影响线；
2、投影各结点与影响线相交，各交点间连以直线。
P=1
l=4d
A BC
2d 2d
D E
4
1
21
I.L QD
1
1
16
15d
Cy
8
5d
Ey
4
3d
I.L MD
结点荷载作用下的影响线
2009-8-20 4
§ 8-5 机动法作影响线理论基础,虚位移原理。
特 点,把作影响线的静力问题化为作位移图的几何问题。
优 点,不经计算可以得到影响线的形状。
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
虚功原理：
步 骤,1、将与待求影响线的内力对应的约束拆除，代之以内力；（ 原结构变成可变机构）
2、令可变机构在内力正方向上发生单位位移，构造符合约束条件的刚体体系位移；
3、刚体体系位移即为待求的内力影响线。应用几何关系求控制截面的影响线竖标。
2009-8-20 5
l
a
l
b
CQLI.
§ 8-6 影响线的应用一、求实际荷载作用的影响
a bC
1P 2P 3P
1y 2y
3y
11 yPQ C
dx
A B
q
l
a
l
b
CQLI.
22 yP 33 yP
BAC ydxqQ
BA yd xq
ABq
AB?
－影响线面积代数和
y
2009-8-20 6
二、求荷载的最不利位置如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－），
则此荷载所在位置称为 最不利位置 。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观地判断最不利位置。
q q
qmax
min
（１）一个集中荷载 （２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
2009-8-20 7
三、临界位置的判定
(1)求出使 Z值达极值时荷载的位置,称临界位置。
(2)从各个临界位置中选出荷载的最不利位置。
0
+Z
-Z
x
1R 2R 3R
01
02
03
如何求临界位置呢？
3
1i
ii
332211
yR
yRyRyRZ
1y 2y
3y
:x 相应有当荷载移动?
x?
y?
1R 2R 3R
ii tgxy
x?
3
1i
ii
333
222
111
yRZ
)yy(R
)yy(R
)yy(RZZ
iiiiii tgRxtgxRyRZ
2009-8-20 8
01
02
03
1y 2y
3y
x?
y?
iiiiii tgRxtgxRyRZ
1R 2R 3R
Z
x
Z
x
x?
0Z
x? 0Z
使 Z成为 极大值 的临界位置必须满足的条件：
0tgRx,0Z ii 即
0tgR0x ii
0tgR0x ii
使 Z成为 极小值 的临界位置必须满足的条件：
0tgRx,0Z ii 即
0tgR0x ii
0tgR0x ii
0tgR ii一般情况下小结：极值位置时只要荷载移动 就变号。
ii tgR
2009-8-20 9
01
02
03
1y 2y
3y
x?
y?
1R 2R 3R1R 2R 3R
极值位置时只要荷载移动 就变号，它就是一个判别式。
ii tgR
在什么情形下它才会变号呢？
临界位置临界荷载总结,1）选一个荷载置于影响线的某个顶点；
2）利用判别式，看是否变号；
3）求出每个临界位置对应的 Z值；
4）比较各 Z值，得出最大值。
2009-8-20 10
10 15 5 20(kN)
3m 3.5m 4m
1.8m
3.36m 1.6m CML.I
设 kN15PK? 置于截面 C处由判别式有：
054.8 36.32056.5 36.31510tgR,0x ii
0104.8 36.3205156.5 36.310tgR,0x ii
mkN83M m a x
设 kN20PK? 置于截面 d处由判别式有：
3m 6m 14m 4m 8m3m
5.6m
c d
0204 6.12051510tgR,0x ii
0128 6.1204 6.151510tgR,0x ii
此处不是临界位置
10 15 5 20(kN)
3m 3.5m 4m
2009-8-20 11
1.8m
3.36m 1.6m CML.I
3m 6m 14m 4m 8m3m
5.6m
c d
10 15 5 20(kN)
3m 3.5m 4m
设 kN15PK? 置于 d截面处由判别式有：
058 6.12054 6.11510tgR,0x ii
048 6.1205154 6.110tgR,0x ii
mkN5.34M mi n
2009-8-20 12
影响线为三角形时的情形。
a b
c
左R 右R
0tg)RP(tgR c 右左
0tgRtg)PR( c 右左
b
ctg
a
ctg
b
RP
a
R c 右左
b
R
a
PR c 右左
2P
1P
3P
4P
5P
6P
2P1P 3P 4P 5P 6PcP
cP
若存在情形：
则是一临界位置注意荷载移出影响线范围以外的情形。
2009-8-20 13
§ 8-7 简支梁的包络图和绝对最大弯矩设计时要求在实际荷载作用下各截面的最大和最小内力值。
P=1x
l
A B
BRA
R
C
a b
l
ab
CMLI.
0.0
9
0.1
6
0.2
1
0.2
4
0.2
5
分别将各截面的最大和最小内力值连成的曲线称为内力包络图。
2009-8-20 14
12m
A B
BRA
R
3.5m 2P1P 3P 4P3.5m1.5
6.00 1.2 2.4 12m
215
366 465
559 574
578
212 179 153 127 94.3 65.0 41.7 25.3 16.4 8.2 0.0
弯矩包络图（ kN·m）
剪力包络图（ kN）
例：绘制简支梁在两台吊车作用下的弯矩包络图和剪力包络图。
kN82PPPP 4321
2009-8-20 15
1P 3P 4P2P
求绝对最大弯矩。可以分为两个步骤：
1）它出现在那一个截面？ 2）在那一个集中荷载下面？
1）直观判断：无论荷载在什么位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载下面，因此可以断定，绝对最大弯矩也一定出现在某一个集中荷载下面的截面。
A B
mR
x a l-x-a
l
axlRR,0M
AB
R表示梁上实有荷 载的合力作用点的弯矩cP,
由 0ax2l
lR0dxdM 2
a
2
lx
c
l/2
A B
BRA
R l/2
2a 2a
cMl
alRM
1
22
2
m a x
注意
1.R应是梁上实有荷载的合力
2.应选几个可能的 Pc计算相应的 Mmax其中最大的即为绝对最大弯矩。
3,Pc到 R的方向以向右为正。
ccA Mxl
axlRMxRM
R 3P 4P
x a l-x-a
cP1P
2009-8-20 16
6.00 1.2 2.4 12m
215
366 465
559 574
578
弯矩包络图（ kN·m）
续前例：计算简支梁在两台吊车作用下的绝对最大弯矩。
2
a
2
lx
c
2
m a x Ml
1
2
a
2
lRM
3.5m 2P1P 3P 4P3.5m1.5 kN82PPPP 4321
6m
A B
BRA
R 6m
m75.0a?
2m75.0 2m75.0
R
mkN5785.382121275.0212824M 2m a x
