2009-8-20 1
第 九 章
2009-8-20 2
§ 9-1 应用虚功原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述计算位移的目的：（ 1）刚度验算，（ 2）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（ 1）荷载
c?
c 1t
12 tt?
（ 2）温度变化、材料胀缩 （ 3）支座沉降、制造误差
AV?
BV?
以上都是绝对位移以上都是相对位移 广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
2009-8-20 3
二、虚功原理
1、实功与虚功实功 是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11,T22，
实功恒为正。
虚功 是力在其它原因产生的位移上作的功。如 T12，
如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。
P1 P2Δ
11
Δ22Δ
12
荷载由零增大到 P1，其作用点的位移也由零增大到
Δ11，对线弹性体系 P与 Δ成正比。
Δ
P
Δ11
P1
元功：
再加 P2,P2在自身引起的位移 Δ22上作的功为：
在 Δ12过程中,P1的值不变,Δ12与 P1无关
dT
O A
B
ΔKj
位移发生的位置产生位移的原因
dPdT
11111 2
1 PdTT
22222 2
1 PT
12112 PT
2009-8-20 4
2、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力 S。与位移有关的因素，称为广义位移 Δ。
广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即,T=SΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量
P
Δm β
2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角 β。
3）若广义力是等值、反向的一对力 P
P P
t
tA B
ΔBΔA这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两点间距的改变，即 AB两点的相对位移。
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
A B
Δ
m m
A?B这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两截面的相对转角。
BA PPT )( BAPP
BA mmT )( BAmm
2009-8-20 5
a b
A
BC
1c
P=1
A BC
a b
1R
三、虚力原理已知
1c
求?
虚功方程设虚力状态
a
bR0bPaR
11
0cR1 11
1ca
b
小结,（ 1）形式是虚功方程，实质是几何方程；
（ 2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。 构造一个平衡力系 ；
（ 3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
—— 虚设力系求刚体体系位移
2009-8-20 6
四、支座位移时静定结构的位移计算
（ 1） C点的竖向位移
c?
（ 2）杆 CD的转角?
l 3l23l
A B
C D
A B C
D
1
3
1 32
A B C D
1
l2
1
l
2
l2
3
已知位移
Ac
求,
c?
Ac 03111 Dc c
Ac c3
1
02112 Acl?
Acl2
1
所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。
求解步骤
（ 1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；
（ 3）解方程得
kk cR
定出方向。
（ 2）建立虚功方程 01
kk cR
2009-8-20 7
dB A
a a
m?
a a
B A?d
m?
1
a a
A
B
M
i
i
aMsin1
虚功方程,01dM
m
dMm
B A
i
i
B A
Qd
Q?
1
A
Q
sin1Q
01dQQ
dQQ
例 1、悬臂梁在截面 B处由于某种原因产生相对转角 d?，试求 A点在 i－ i方向的位移 。
m?
例 2、悬臂梁在截面 B处由于某种原因产生相对剪位移 d?,试求 A点在 i－ i方向的位移 。
Q?
2009-8-20 8
例 3、悬臂梁在截面 B处由于某种原因产生轴向位移 d?试求 A点在
ｉ － ｉ 方向的位移 。
N?
B A
B A
i
i
N?
N?
B A?
1
N N
由平衡条件：
cos1N
虚功方程：
01dNN
dNN
当截面 B同时产生三种相对位移时，在 i－ i方向所产生的位移?，
即是三者的叠加，有：
dNdQdMNQM
d
2009-8-20 9
§ 9-2 结构位移计算的一般公式 —— 变形体的位移计算推导位移计算公式的两种途径 {由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导－ 局部到整体 。
一、局部变形时的位移计算公式基本思路：
ds
d
d
d
R
i
i
d
ds?d ds
d
d
R
ds
R
1（ 1）三种变形：
在刚性杆中，取微段 ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。
2009-8-20 10
dsRdsd
dsd dsd
ds
d
d
d
R
i
i
d
ds?d ds
d
d
R
ds
1
Q,N,M
（ 2）微段两端相对位移：
续基本思路：设,0ds? 微段的变形以截面 B左右两端的相对位移的形式出现,即刚体位移,于是可以利用刚体虚功原理求位移。
（ 3）应用刚体虚功原理求位移 d?－ 即前例的结论。
dQdNdMd QNM
或 ds)QNM(d
2009-8-20 11
二、结构位移计算的一般公式
i
i
ds)QNM(d
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
ds)QNM(d
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
ds)QNM(
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
kk cRds)QNM(
2009-8-20 12
kk cRds)QNM(
适用范围与特点：
2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。
关于公式普遍性的讨论：
（ 1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。
（ 2）变形原因：荷载与非荷载。
（ 3）结构类型：各种杆件结构。
（ 4）材料种类：各种变形固体材料。
1） 适于小变形，可用叠加原理。
2009-8-20 13
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
kk cRds)QNM(
1c
2c
1t
2t
K
K?
1 1R
2Rds
d ds
d
d
ds ds
M
ds
N
ds
Q
外虚功：
kke cR1W
内虚功,
dsQNMW i变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和 W
i,等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和 We 。 即：
dsQNMcR kk1
2009-8-20 14
三、位移计算的一般步骤,
1c
2c
1t
2t
K
K?
1 1R
2R
实际变形状态 虚力状态
kk cRds)QNM(
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；
(2) 求虚力状态下的内力及反力
kR.Q.N.M
表达式 ;
(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
kR.Q.N.M
2009-8-20 15
§ 9-3 荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。
ds)QNM(
重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。
,、
一、计算步骤
（ 1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载?内力?应力?应变过程推导应变表达式。
PPP Q.N.M
（ 2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
GA
Qk
EA
N
EI
M PPP
k--为截面形状系数 1.2 910
1A
A
(3) 荷载作用下的位移计算公式
dsGA QQkdsEANNdsEIMM PPP?
2009-8-20 16
二、各类结构的位移计算公式
（ 1）梁与刚架
dsEIMM P?
（ 2）桁架
EA
lNNds
EA
NNds
EA
NN PPP
（ 3）拱
dsEANNdsEIMM PP?
2009-8-20 17
q
2l 2l
A C B
AV?
(a) 实际状态
x
P=1
A C B
2l 2l
(b) 虚设状态
AC段?
2
lx0
0NP?
0M P?
0QP?
0?N
xM
1Q
CB段?
lx
2
l
0NP?
2
P 2
lx
2
qM?
2lxqQ P
0N?
xM
1Q
x
例 1,试计算悬臂梁 A点的竖向位移 CEI,
AV
。
1）列出两种状态的内力方程：
2009-8-20 18
AC段?
2
lx0
0NP?
0M P?
0QP?
0N?
xM
1Q
CB段?
lx
2
l
0NP?
2
P 2
lx
2
qM?
2lxqQ P
0N?
xM
1Q
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算
AV?
AC段?
2lx0 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。
CB段?
lx
2
l l l PP
2l 2l
dxGA QQkdxEIMM?
l 2l P
M
2
l
2
l EI
dx
2
lx
2
qxdx
EI
MM
EI384
ql7
192
l7
EI2
q 44
2009-8-20 19
CB段?
lx
2
l
0NP?
2
P 2
lx
2
qM?
2lxqQ P
0N?
xM
1Q
l 2l P
M
2
l
2
l EI
dx
2
lx
2
qxdx
EI
MM
EI384
ql7
192
l7
EI2
q 44
l 2l P
Q
2
l
2
l GA20
ql3
GA
dx
2
lxq12.1dx
GA
QQk?
GA20
ql3
EI384
ql7 24
QM
设为矩形截面 k=1.2
2009-8-20 20
3）讨论 比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。
GA
ql
EI
ql
QM 20
3
384
7 24
24
2
23.8
3 8 4
7
20
3
G A l
EI
EI
ql
GA
ql
M
Q
设材料的泊松比,由材料力学公式 。
3
1 3812GE
设矩形截面的宽度为 b、高度为 h，则有
,12bhI,bhA
3
代入上式
22
2 83.112
1
3
823.823.8?
l
h
l
h
G A l
EI
M
Q
%32.7,51%;83.1,101
M
Q
M
Q
l
h
l
h 时当时当
2009-8-20 21
2
P
2
P P
m/Nq
P 4qlP?
1
1
1
1.5 1.5
4.5 3.0
PN
1
0.5 0.5
0 0
1.5 1.5
N2P 2P
例 2 计算屋架顶点的竖向位移。
0.25l 0.25l 0.25l 0.25lA
D
C
E
F
G B
2009-8-20 22
1
1
1
1.5 1.5
4.5 3.0
PN
1
0.5 0.5
0 0
1.5 1.5
N
EA
lNN P
C
AD
DC
DE
材料 杆件
PN N
l A
EA
lNN P
EA
lNN P?
钢筋砼钢
CE
AE
EG
ccAE
Pl97.1
ccAE
Pl81.3
ssAE
Pl63.0
ssAE
Pl13.1
sscc
C EAEAPl
13.181.32
A B
C
D
E
F
G
P74.4? 58.1? l263.0
P42.4? 58.1? l263.0 cA
cA
ccAE
Pl84.1
P95.0? 0 l088.0 cA75.0 0
P50.1 0 l278.0 sA 0
P50.4 50.1 l278.0 sA3
P00.3 50.1 l222.0 sA2
ssAE
Pl50.0
2009-8-20 23
P
P=1
例 3：求图示曲杆（ 1/4圆弧）顶点的竖向位移 Δ。
解,1）虚拟单位荷载虚拟荷载
3）位移公式为 ds=Rdθ
θdθ
ds
钢筋混凝土结构 G≈0.4E
矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
1200
1<
D
D
M
ND
400
1<
DMQ
D
2=DM
N
AR
I
2
4
1
2?
è
==
D
D
M
Q
R
h
GAR
EIk
可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略,
2）实际荷载
h 101<R如
2
12
1
R
h
sinPRM P
co sPQ P
sinPN P
sinRM
sinN
cosQ
dsGA QkQdsEA NNdsEI MM PPP
2
0
22
0
2
3
c o ss i n dGAk P RdEAPREIPR
GA
k P R
EA
PR
EI
PR
444
3?
QNM
2009-8-20 24
P
l/2 l/2
EIA B
x1
x2
例 4：求图示等截面梁 B端转角。
解,1）虚拟单位荷载
m=1
积分常可用图形相乘来代替
2） MP 须分段写
)20(2)( lxPxxM P
)2(2 )()( lxlxlPxM P
)0()( lxlxxM
l PB dxEI MM0
ll
l
dxEIlxxlPdxEIlxPx
2
2
0
1)(
2
)(1)(
2
EI
Pl
16
2
第 九 章
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§ 9-1 应用虚功原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述计算位移的目的：（ 1）刚度验算，（ 2）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（ 1）荷载
c?
c 1t
12 tt?
（ 2）温度变化、材料胀缩 （ 3）支座沉降、制造误差
AV?
BV?
以上都是绝对位移以上都是相对位移 广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
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二、虚功原理
1、实功与虚功实功 是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11,T22，
实功恒为正。
虚功 是力在其它原因产生的位移上作的功。如 T12，
如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。
P1 P2Δ
11
Δ22Δ
12
荷载由零增大到 P1，其作用点的位移也由零增大到
Δ11，对线弹性体系 P与 Δ成正比。
Δ
P
Δ11
P1
元功：
再加 P2,P2在自身引起的位移 Δ22上作的功为：
在 Δ12过程中,P1的值不变,Δ12与 P1无关
dT
O A
B
ΔKj
位移发生的位置产生位移的原因
dPdT
11111 2
1 PdTT
22222 2
1 PT
12112 PT
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2、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力 S。与位移有关的因素，称为广义位移 Δ。
广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即,T=SΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量
P
Δm β
2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角 β。
3）若广义力是等值、反向的一对力 P
P P
t
tA B
ΔBΔA这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两点间距的改变，即 AB两点的相对位移。
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
A B
Δ
m m
A?B这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两截面的相对转角。
BA PPT )( BAPP
BA mmT )( BAmm
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a b
A
BC
1c
P=1
A BC
a b
1R
三、虚力原理已知
1c
求?
虚功方程设虚力状态
a
bR0bPaR
11
0cR1 11
1ca
b
小结,（ 1）形式是虚功方程，实质是几何方程；
（ 2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。 构造一个平衡力系 ；
（ 3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。
单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
—— 虚设力系求刚体体系位移
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四、支座位移时静定结构的位移计算
（ 1） C点的竖向位移
c?
（ 2）杆 CD的转角?
l 3l23l
A B
C D
A B C
D
1
3
1 32
A B C D
1
l2
1
l
2
l2
3
已知位移
Ac
求,
c?
Ac 03111 Dc c
Ac c3
1
02112 Acl?
Acl2
1
所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。
求解步骤
（ 1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；
（ 3）解方程得
kk cR
定出方向。
（ 2）建立虚功方程 01
kk cR
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dB A
a a
m?
a a
B A?d
m?
1
a a
A
B
M
i
i
aMsin1
虚功方程,01dM
m
dMm
B A
i
i
B A
Qd
Q?
1
A
Q
sin1Q
01dQQ
dQQ
例 1、悬臂梁在截面 B处由于某种原因产生相对转角 d?，试求 A点在 i－ i方向的位移 。
m?
例 2、悬臂梁在截面 B处由于某种原因产生相对剪位移 d?,试求 A点在 i－ i方向的位移 。
Q?
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例 3、悬臂梁在截面 B处由于某种原因产生轴向位移 d?试求 A点在
ｉ － ｉ 方向的位移 。
N?
B A
B A
i
i
N?
N?
B A?
1
N N
由平衡条件：
cos1N
虚功方程：
01dNN
dNN
当截面 B同时产生三种相对位移时，在 i－ i方向所产生的位移?，
即是三者的叠加，有：
dNdQdMNQM
d
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§ 9-2 结构位移计算的一般公式 —— 变形体的位移计算推导位移计算公式的两种途径 {由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导－ 局部到整体 。
一、局部变形时的位移计算公式基本思路：
ds
d
d
d
R
i
i
d
ds?d ds
d
d
R
ds
R
1（ 1）三种变形：
在刚性杆中，取微段 ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。
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dsRdsd
dsd dsd
ds
d
d
d
R
i
i
d
ds?d ds
d
d
R
ds
1
Q,N,M
（ 2）微段两端相对位移：
续基本思路：设,0ds? 微段的变形以截面 B左右两端的相对位移的形式出现,即刚体位移,于是可以利用刚体虚功原理求位移。
（ 3）应用刚体虚功原理求位移 d?－ 即前例的结论。
dQdNdMd QNM
或 ds)QNM(d
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二、结构位移计算的一般公式
i
i
ds)QNM(d
一根杆件各个微段变形引起的位移总和：
ds)QNM(d
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：
ds)QNM(
若结构的支座还有位移，则总的位移为：
kk cRds)QNM(
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kk cRds)QNM(
适用范围与特点：
2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。
关于公式普遍性的讨论：
（ 1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。
（ 2）变形原因：荷载与非荷载。
（ 3）结构类型：各种杆件结构。
（ 4）材料种类：各种变形固体材料。
1） 适于小变形，可用叠加原理。
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位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
kk cRds)QNM(
1c
2c
1t
2t
K
K?
1 1R
2Rds
d ds
d
d
ds ds
M
ds
N
ds
Q
外虚功：
kke cR1W
内虚功,
dsQNMW i变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和 W
i,等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和 We 。 即：
dsQNMcR kk1
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三、位移计算的一般步骤,
1c
2c
1t
2t
K
K?
1 1R
2R
实际变形状态 虚力状态
kk cRds)QNM(
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；
(2) 求虚力状态下的内力及反力
kR.Q.N.M
表达式 ;
(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
kR.Q.N.M
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§ 9-3 荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。
ds)QNM(
重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。
,、
一、计算步骤
（ 1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载?内力?应力?应变过程推导应变表达式。
PPP Q.N.M
（ 2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
GA
Qk
EA
N
EI
M PPP
k--为截面形状系数 1.2 910
1A
A
(3) 荷载作用下的位移计算公式
dsGA QQkdsEANNdsEIMM PPP?
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二、各类结构的位移计算公式
（ 1）梁与刚架
dsEIMM P?
（ 2）桁架
EA
lNNds
EA
NNds
EA
NN PPP
（ 3）拱
dsEANNdsEIMM PP?
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q
2l 2l
A C B
AV?
(a) 实际状态
x
P=1
A C B
2l 2l
(b) 虚设状态
AC段?
2
lx0
0NP?
0M P?
0QP?
0?N
xM
1Q
CB段?
lx
2
l
0NP?
2
P 2
lx
2
qM?
2lxqQ P
0N?
xM
1Q
x
例 1,试计算悬臂梁 A点的竖向位移 CEI,
AV
。
1）列出两种状态的内力方程：
2009-8-20 18
AC段?
2
lx0
0NP?
0M P?
0QP?
0N?
xM
1Q
CB段?
lx
2
l
0NP?
2
P 2
lx
2
qM?
2lxqQ P
0N?
xM
1Q
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算
AV?
AC段?
2lx0 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。
CB段?
lx
2
l l l PP
2l 2l
dxGA QQkdxEIMM?
l 2l P
M
2
l
2
l EI
dx
2
lx
2
qxdx
EI
MM
EI384
ql7
192
l7
EI2
q 44
2009-8-20 19
CB段?
lx
2
l
0NP?
2
P 2
lx
2
qM?
2lxqQ P
0N?
xM
1Q
l 2l P
M
2
l
2
l EI
dx
2
lx
2
qxdx
EI
MM
EI384
ql7
192
l7
EI2
q 44
l 2l P
Q
2
l
2
l GA20
ql3
GA
dx
2
lxq12.1dx
GA
QQk?
GA20
ql3
EI384
ql7 24
QM
设为矩形截面 k=1.2
2009-8-20 20
3）讨论 比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。
GA
ql
EI
ql
QM 20
3
384
7 24
24
2
23.8
3 8 4
7
20
3
G A l
EI
EI
ql
GA
ql
M
Q
设材料的泊松比,由材料力学公式 。
3
1 3812GE
设矩形截面的宽度为 b、高度为 h，则有
,12bhI,bhA
3
代入上式
22
2 83.112
1
3
823.823.8?
l
h
l
h
G A l
EI
M
Q
%32.7,51%;83.1,101
M
Q
M
Q
l
h
l
h 时当时当
2009-8-20 21
2
P
2
P P
m/Nq
P 4qlP?
1
1
1
1.5 1.5
4.5 3.0
PN
1
0.5 0.5
0 0
1.5 1.5
N2P 2P
例 2 计算屋架顶点的竖向位移。
0.25l 0.25l 0.25l 0.25lA
D
C
E
F
G B
2009-8-20 22
1
1
1
1.5 1.5
4.5 3.0
PN
1
0.5 0.5
0 0
1.5 1.5
N
EA
lNN P
C
AD
DC
DE
材料 杆件
PN N
l A
EA
lNN P
EA
lNN P?
钢筋砼钢
CE
AE
EG
ccAE
Pl97.1
ccAE
Pl81.3
ssAE
Pl63.0
ssAE
Pl13.1
sscc
C EAEAPl
13.181.32
A B
C
D
E
F
G
P74.4? 58.1? l263.0
P42.4? 58.1? l263.0 cA
cA
ccAE
Pl84.1
P95.0? 0 l088.0 cA75.0 0
P50.1 0 l278.0 sA 0
P50.4 50.1 l278.0 sA3
P00.3 50.1 l222.0 sA2
ssAE
Pl50.0
2009-8-20 23
P
P=1
例 3：求图示曲杆（ 1/4圆弧）顶点的竖向位移 Δ。
解,1）虚拟单位荷载虚拟荷载
3）位移公式为 ds=Rdθ
θdθ
ds
钢筋混凝土结构 G≈0.4E
矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
1200
1<
D
D
M
ND
400
1<
DMQ
D
2=DM
N
AR
I
2
4
1
2?
è
==
D
D
M
Q
R
h
GAR
EIk
可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略,
2）实际荷载
h 101<R如
2
12
1
R
h
sinPRM P
co sPQ P
sinPN P
sinRM
sinN
cosQ
dsGA QkQdsEA NNdsEI MM PPP
2
0
22
0
2
3
c o ss i n dGAk P RdEAPREIPR
GA
k P R
EA
PR
EI
PR
444
3?
QNM
2009-8-20 24
P
l/2 l/2
EIA B
x1
x2
例 4：求图示等截面梁 B端转角。
解,1）虚拟单位荷载
m=1
积分常可用图形相乘来代替
2） MP 须分段写
)20(2)( lxPxxM P
)2(2 )()( lxlxlPxM P
)0()( lxlxxM
l PB dxEI MM0
ll
l
dxEIlxxlPdxEIlxPx
2
2
0
1)(
2
)(1)(
2
EI
Pl
16
2
