§ 9-5 图乘法 位移计算举例
ki dsEIMM= kiCEI dxMMEI1
==D P EIydxEIMM 0w
= yEI 01 w×= xtgEI 01 wa
= BA kdxxMtgEI1 a BA kM dxxtgMEIi 1 a是 直线
ki dxEIMM直杆
α Mi
Mi=xtgα
y
x
Mk
dxx
y0
x0
ω
注,
y0=x0tgα
① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件,a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图至少有一个是直线。
③竖标 y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
④面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位置：
(a+l)/3 (b+l)/3
ω=hl/2
l
a b
h
l/2 l/2
h
二次抛物线 ω=2hl/3
h
3l/4 l/4 5l/8 3l/8
二次抛物线 ω=hl/3 二次抛物线 ω=2hl/3
4l/5 l/5
h
h
三次抛物线 ω=hl/4
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
h
n次抛物线 ω=hl/(n+1)
顶点顶点 顶点顶点顶点
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或
P
l/2 l/2
EIA B
m=1
1/2
Pl/4
EI
PllPl
EIB 162
1
42
11 2?==?
ql2/2
M
MP
MP
P=1l
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
q
A B
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
例：求梁 B点转角位移。 例：求梁 B点竖向线位移。
3l/4
M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
P P
a a a
例：求图示梁中点的挠度。
PaPa
MP
P=1
3a/4 MEI
Pa
Pa
aaaPa
EI
aa
24
23
2
22
2
23
2
2
1
3
4
3
2
=
=D
a/2 a/2
PaaaEI=D 343211
P
l/2 l/2C
例：求图示梁 C点的挠度。
MP
Pl
C
P=1 l/2
M
l/6
l
6 EI
Pl
12
3
=Pl
EIC 2
1 2=D
EI
Pl
48
5 3=
Pl
6
5×
ll
EI
y
C 222
10?
××==D w
5Pl/6？
？
⑦ 非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
a b
dc
l/3 l/3 l/3
ω1
ω2
y1 y2
( )bcadbdacl= 22
6
dc?
3
2
3
bl?
2
dc
33
2al=
2
yydxMM ki?= 2211 ww
Mi
Mk
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，
否则取负。
S = 9/6× （ 2× 6× 2 +2 × 4× 3
+6 × 3+4× 2） =111
（ 1）
3
2
6 4
9
S = 9/6× （－ 2× 6× 2+2× 0× 3
+6× 3－ 0× 2） = － 9
S=9/6× （ 2× 6× 2－ 2× 4× 3+6× 3－ 4× 2） =15
S = 9/6× （ 2× 6× 2+2× 4× 3－ 6× 3－ 4× 2） = 33
2
3
6
4（ 3）
9
（ 2）
32
6
4
9
（ 4）
2
3
6
9
＝
l
a b
dc
h
+ba
h
23
2 dchl?( )22
6 bcadbdaclS=
b)非标准抛物线乘直线形
E=3.3 × 1010 N/ m2 I=1/12 × 100× 2.53cm4=1.3 × 10-6 m4
折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 × 1.30× 10-6× 3.3× 1010
= 3.6465 × 104 N m2
例,预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。
已知：板宽 1m，厚 2.5cm，混凝土容重为 25000N/m3，求 C点的挠度。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625 N/m
2.2m 0.8m
A B C
解,q=25000× 1× 0.025＝ 625 N/ m
折减抗弯刚度
0.85EI=3.6465 × 104Nm2
200
378
P=10.8
MP
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625N/m
2.2m 0.8m
A B C
ω1
y1
ω3
( ) cmm 2.01026.03.534.055 553 3.022 064 65.3 1 3?===?
y3
ω2
y2
2202.2200211 =?=w
533.08.0321 ==y
)(85.0 1 332211 yyyEIC w?w?w=D
5552.2378322 =?=w
4.08.0212?=?=y
3.538.02 0 0313 =?=w
6.08.0433 ==y
P=1
1
1
l y1
y2
y3 M
23 =
ly
3
2
21 == yly
1283
2 32
3 ==
qllqlw
422
1
2
32
1 ===
qllql ww
8
3
2123
2
43
2
4
1 4222 =
=
EI
qllqllqllql
EI
( )1 332211=D M yyyEI www
1=N
0=N↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q
l
l
ql2/2
ql2/8
ql
ql/2
ql/2
MP
ω1
ω2
ω2
B
NP=0
900
1
93
4
3
4
8
3
2 1012
2
2
12
2
42 3
=====DD
=
l
h
bh
M
N
l
h
bhlAl
I
EI
ql
EA
ql
212
2
=××==D? PN EAqlEAlqlEA lNN
求 AB两点的相对水平位移。
36
18
9
MP P=1
P=1
6 3
M
)
( )=
EI
-756
×××? 3
3
2
2
318?
××××
EI 64
3636
3
11
×××?
2
6396
3
2(?
×?×?××?××?=D
EI 618336318263626
61
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
6kN
6m
3m
3m
A
B
EI=常数
99
4kN 4kN.m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m
4m4m EI
A B
求 θB
5kN
12
8
4
4
MP kN.m
1M kN.m
ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
lEI B
1
EI
qllqllllql
EIBV 24
11
283
2
3
2
2
3
2
11 422 =
=D
ql2/8
3ql2/2
MP
l M
求 B点竖向位移。
( )5.04181425.08264( )5.085.0122641= EIB?
75.04432 EI3
20?=
5m 5m
5m
5m
5m2kN/m
7kN
10kN
A
B
G
C
D
E
F
15kN
50kN.m
25
35 10
20
1kN
2kN
10
10
10
20
D AH EI=1 12 5 50 56 1012 5 50 23 10 23 5 254 12 10
12 5 25 23 10
12 10 10 10 13 10 12 10 20 10 23 10
= 3187 5.EI =1 594 10 2.
m
求 A点水平位移。
P=1
MP
ql2/2
l
l/2
A
B2EI EI
l/2
M
求 B点的竖向位移。
EI
ql
256
17 4=lllql
EI 2
5.0
2323
2
2
1 2
lqllqllqllqllEI 8222822265.021
2222
lql
EI
l
B 4
3
283
11 22=D
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
ylqlEIB 2833121 0
2
=D L
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？
ql2/8
l/2？
ql2/32
y0
求 ΔDV
P P P
4m× 3=12m
3m
A
B
D
C
－ 8P
P=1
－ 4/3
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
EA
PPPP
EADV 3
2804
3
485
3
553131 =
=D
例：试求等截面简支梁 C截面的转角。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
l/5 4l/5
2ql2/25 ql2/8
MP
11/5
4/5
1
qllqll 1
25853
2
25
2
52
1 22?
lqlEIC 218321
2
=?
EI
ql
100
33 3= M
2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。
A
B
P=1/l P=1/l P=1/l P=1/l
l l C
A
B
P=1/ l
P=1/l
l
⑤
A
B
P=1/ l
P=1/ l l
（ ）
④
AB杆的转角
AB连线的转角
AB杆和 AC杆的相对转角
§ 9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。
2）假设：温度沿截面高度为线性分布。
t1
t2
t0 h h
1h23）微段的变形
ds
dθ
at0ds
= aΔt/h
γ=0
D±Δit= MN htt wawa 0
ò? òD±= dsMhtdsNt aa 0
ò?ò D±=Dit dshtMdstN aa 0
该公式仅适用于静定结构
e=at0
at1ds
at2ds
直观确定。取绝对值计算，正负号
、升温为正；拉为正,MttN wD0
( )=D kk cRdsNQM 222
hththt /)( 12210?=
12 ttt?=D
dshdsttdsd /]/)([/ 12?== a
例 9-11 求图示刚架 C点的竖向位移。各杆截面为矩形。
a
a
0?
10?
10?
C P=1 P=1
－ 1
a
M
N
D=D tht NMc 0wawa
=?=Dt 10010 ooo=?=t 52 0100 oo
( ) a5a= haa 315a?= a
h 2
310 2a
§ 9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以?=0,?=0,?=0。 代入得到,=D
KKic cR
仅用于静定结构
a
bl/2 l/2
h 1 1
0=AY
1=
B hX
0=BY=
1
A hX
( )弧度hacR?=?=D?
( )=D kk cRdsNQM 222
应用条件,1)应力与应变成正比 ;
2)变形是微小的。
即,线性变形体系。
P1 P2 ①
F1 F2 ②
N1 M1 Q1
GA
kQ
EI
M
EA
N 2
022222 ===
GA
kQ
EI
M
EA
N 1
011111 ===
N2 M2 Q2一、功的互等定理
dsGAQkQEIMMEANN 121212? =D= FW 1221
= dsGAQkQEIMMEANN 212121? D= PW 2112
功的互等定理,在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功 W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功 W21。即,W12= W21
§ 9-7 互等定理二、位移互等定理 P1 ①
P2 ②
位移互等定理,在任一线性变形体系中，由荷载 P1所引起的与荷载 P2相应的位移影响系数 δ21 等于由荷载 P2所引起的与荷载 P1相应的位移影响系数
δ12 。或者说,由单位荷载 P1=1所引起的与荷载 P2相应的位移 δ21等于由单位荷载 P2=1所引起的与荷载 P1相应的位移 δ12 。
21
12
j
ij
ij Pd
D=
PP
D=D
1
21
2
12
PP D=D 212121
称为位移影响系数，等于 Pj=1所引起的与 Pi相应的位移。
注意,1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。
2） δ12与 δ21不仅数值相等，量纲也相同。
2112 dd =
三、反力互等定理 c 1
c 2
R11 R21
R22R12
j
ijij cRr =
cRcR = 212121
RcR ×?×= 22112 0
cRR ×?× 22111 0
称为反力影响系数，等于 cj=1所引起的与 ci相应的反力。
反力互等定理,在任一线性变形体系中，由位移 c1所引起的与位移 c2相应的反力影响系数 r21 等于由位移 c2所引起的与位移 c1相应的反力影响系数
r12 。或者说,由单位位移 c1=1所引起的与位移 c2相应的反力 r21等于由单位位移 c2=1所引起的与位移 c1相应的反力 r12 。
注意,1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。
2）反力互等定理仅用于超静定结构。
2112 rr =
P
l/2 l/2
3Pl/16
C
A
①
θ
ΔC
②
例：已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座 A的转动引起 C点的挠度。
解,W12=W21
∵ T21=0
∴ W12=PΔC－ 3Pl/16× θ ＝ 0
ΔC=3lθ /16
例：图示同一结构的两种状态，
求 Δ=？
P=1 ①
②m=1 m=1
A B
Δ=θA+ θB
θBθA
Δ
已知图 a梁支座 C上升 0.02m引起的 ΔD=0.03m/16，试绘图 b的 M图,
P
Rc
(b)
aa/2a/2
A B
C
D
ΔD
0.02m
(a)
Wab=0= Wba=P·ΔD+RC· ΔC
RC=－ 3P/32
3Pa/32
小结一、虚功原理 We=Wi
力,满足平衡位移,变形连续虚设位移 虚位移原理（求未知力）
虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）
虚功方程等价于位移条件虚设力系
lEANNdsEIMM PP KK cR二,Δ=
刚架、梁 桁架 支座移动组合结构、拱
各项含义
虚设广义单位荷载的方法三、图乘法求位移==D P EIydxEIMM 0w
图乘法求位移的适用条件
y0的取法
标准图形的面积和形心位置
非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理
适用条件
内容 W12= W21 2112
dd =
r12=r21
ki dsEIMM= kiCEI dxMMEI1
==D P EIydxEIMM 0w
= yEI 01 w×= xtgEI 01 wa
= BA kdxxMtgEI1 a BA kM dxxtgMEIi 1 a是 直线
ki dxEIMM直杆
α Mi
Mi=xtgα
y
x
Mk
dxx
y0
x0
ω
注,
y0=x0tgα
① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件,a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图至少有一个是直线。
③竖标 y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
④面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位置：
(a+l)/3 (b+l)/3
ω=hl/2
l
a b
h
l/2 l/2
h
二次抛物线 ω=2hl/3
h
3l/4 l/4 5l/8 3l/8
二次抛物线 ω=hl/3 二次抛物线 ω=2hl/3
4l/5 l/5
h
h
三次抛物线 ω=hl/4
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
h
n次抛物线 ω=hl/(n+1)
顶点顶点 顶点顶点顶点
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或
P
l/2 l/2
EIA B
m=1
1/2
Pl/4
EI
PllPl
EIB 162
1
42
11 2?==?
ql2/2
M
MP
MP
P=1l
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
q
A B
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
例：求梁 B点转角位移。 例：求梁 B点竖向线位移。
3l/4
M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
P P
a a a
例：求图示梁中点的挠度。
PaPa
MP
P=1
3a/4 MEI
Pa
Pa
aaaPa
EI
aa
24
23
2
22
2
23
2
2
1
3
4
3
2
=
=D
a/2 a/2
PaaaEI=D 343211
P
l/2 l/2C
例：求图示梁 C点的挠度。
MP
Pl
C
P=1 l/2
M
l/6
l
6 EI
Pl
12
3
=Pl
EIC 2
1 2=D
EI
Pl
48
5 3=
Pl
6
5×
ll
EI
y
C 222
10?
××==D w
5Pl/6？
？
⑦ 非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
a b
dc
l/3 l/3 l/3
ω1
ω2
y1 y2
( )bcadbdacl= 22
6
dc?
3
2
3
bl?
2
dc
33
2al=
2
yydxMM ki?= 2211 ww
Mi
Mk
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，
否则取负。
S = 9/6× （ 2× 6× 2 +2 × 4× 3
+6 × 3+4× 2） =111
（ 1）
3
2
6 4
9
S = 9/6× （－ 2× 6× 2+2× 0× 3
+6× 3－ 0× 2） = － 9
S=9/6× （ 2× 6× 2－ 2× 4× 3+6× 3－ 4× 2） =15
S = 9/6× （ 2× 6× 2+2× 4× 3－ 6× 3－ 4× 2） = 33
2
3
6
4（ 3）
9
（ 2）
32
6
4
9
（ 4）
2
3
6
9
＝
l
a b
dc
h
+ba
h
23
2 dchl?( )22
6 bcadbdaclS=
b)非标准抛物线乘直线形
E=3.3 × 1010 N/ m2 I=1/12 × 100× 2.53cm4=1.3 × 10-6 m4
折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 × 1.30× 10-6× 3.3× 1010
= 3.6465 × 104 N m2
例,预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。
已知：板宽 1m，厚 2.5cm，混凝土容重为 25000N/m3，求 C点的挠度。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625 N/m
2.2m 0.8m
A B C
解,q=25000× 1× 0.025＝ 625 N/ m
折减抗弯刚度
0.85EI=3.6465 × 104Nm2
200
378
P=10.8
MP
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625N/m
2.2m 0.8m
A B C
ω1
y1
ω3
( ) cmm 2.01026.03.534.055 553 3.022 064 65.3 1 3?===?
y3
ω2
y2
2202.2200211 =?=w
533.08.0321 ==y
)(85.0 1 332211 yyyEIC w?w?w=D
5552.2378322 =?=w
4.08.0212?=?=y
3.538.02 0 0313 =?=w
6.08.0433 ==y
P=1
1
1
l y1
y2
y3 M
23 =
ly
3
2
21 == yly
1283
2 32
3 ==
qllqlw
422
1
2
32
1 ===
qllql ww
8
3
2123
2
43
2
4
1 4222 =
=
EI
qllqllqllql
EI
( )1 332211=D M yyyEI www
1=N
0=N↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
q
l
l
ql2/2
ql2/8
ql
ql/2
ql/2
MP
ω1
ω2
ω2
B
NP=0
900
1
93
4
3
4
8
3
2 1012
2
2
12
2
42 3
=====DD
=
l
h
bh
M
N
l
h
bhlAl
I
EI
ql
EA
ql
212
2
=××==D? PN EAqlEAlqlEA lNN
求 AB两点的相对水平位移。
36
18
9
MP P=1
P=1
6 3
M
)
( )=
EI
-756
×××? 3
3
2
2
318?
××××
EI 64
3636
3
11
×××?
2
6396
3
2(?
×?×?××?××?=D
EI 618336318263626
61
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
6kN
6m
3m
3m
A
B
EI=常数
99
4kN 4kN.m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m
4m4m EI
A B
求 θB
5kN
12
8
4
4
MP kN.m
1M kN.m
ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
lEI B
1
EI
qllqllllql
EIBV 24
11
283
2
3
2
2
3
2
11 422 =
=D
ql2/8
3ql2/2
MP
l M
求 B点竖向位移。
( )5.04181425.08264( )5.085.0122641= EIB?
75.04432 EI3
20?=
5m 5m
5m
5m
5m2kN/m
7kN
10kN
A
B
G
C
D
E
F
15kN
50kN.m
25
35 10
20
1kN
2kN
10
10
10
20
D AH EI=1 12 5 50 56 1012 5 50 23 10 23 5 254 12 10
12 5 25 23 10
12 10 10 10 13 10 12 10 20 10 23 10
= 3187 5.EI =1 594 10 2.
m
求 A点水平位移。
P=1
MP
ql2/2
l
l/2
A
B2EI EI
l/2
M
求 B点的竖向位移。
EI
ql
256
17 4=lllql
EI 2
5.0
2323
2
2
1 2
lqllqllqllqllEI 8222822265.021
2222
lql
EI
l
B 4
3
283
11 22=D
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
ylqlEIB 2833121 0
2
=D L
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？
ql2/8
l/2？
ql2/32
y0
求 ΔDV
P P P
4m× 3=12m
3m
A
B
D
C
－ 8P
P=1
－ 4/3
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
EA
PPPP
EADV 3
2804
3
485
3
553131 =
=D
例：试求等截面简支梁 C截面的转角。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
l/5 4l/5
2ql2/25 ql2/8
MP
11/5
4/5
1
qllqll 1
25853
2
25
2
52
1 22?
lqlEIC 218321
2
=?
EI
ql
100
33 3= M
2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。
A
B
P=1/l P=1/l P=1/l P=1/l
l l C
A
B
P=1/ l
P=1/l
l
⑤
A
B
P=1/ l
P=1/ l l
（ ）
④
AB杆的转角
AB连线的转角
AB杆和 AC杆的相对转角
§ 9-6 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。
2）假设：温度沿截面高度为线性分布。
t1
t2
t0 h h
1h23）微段的变形
ds
dθ
at0ds
= aΔt/h
γ=0
D±Δit= MN htt wawa 0
ò? òD±= dsMhtdsNt aa 0
ò?ò D±=Dit dshtMdstN aa 0
该公式仅适用于静定结构
e=at0
at1ds
at2ds
直观确定。取绝对值计算，正负号
、升温为正；拉为正,MttN wD0
( )=D kk cRdsNQM 222
hththt /)( 12210?=
12 ttt?=D
dshdsttdsd /]/)([/ 12?== a
例 9-11 求图示刚架 C点的竖向位移。各杆截面为矩形。
a
a
0?
10?
10?
C P=1 P=1
－ 1
a
M
N
D=D tht NMc 0wawa
=?=Dt 10010 ooo=?=t 52 0100 oo
( ) a5a= haa 315a?= a
h 2
310 2a
§ 9-7 静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以?=0,?=0,?=0。 代入得到,=D
KKic cR
仅用于静定结构
a
bl/2 l/2
h 1 1
0=AY
1=
B hX
0=BY=
1
A hX
( )弧度hacR?=?=D?
( )=D kk cRdsNQM 222
应用条件,1)应力与应变成正比 ;
2)变形是微小的。
即,线性变形体系。
P1 P2 ①
F1 F2 ②
N1 M1 Q1
GA
kQ
EI
M
EA
N 2
022222 ===
GA
kQ
EI
M
EA
N 1
011111 ===
N2 M2 Q2一、功的互等定理
dsGAQkQEIMMEANN 121212? =D= FW 1221
= dsGAQkQEIMMEANN 212121? D= PW 2112
功的互等定理,在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②的位移上作的功 W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功 W21。即,W12= W21
§ 9-7 互等定理二、位移互等定理 P1 ①
P2 ②
位移互等定理,在任一线性变形体系中，由荷载 P1所引起的与荷载 P2相应的位移影响系数 δ21 等于由荷载 P2所引起的与荷载 P1相应的位移影响系数
δ12 。或者说,由单位荷载 P1=1所引起的与荷载 P2相应的位移 δ21等于由单位荷载 P2=1所引起的与荷载 P1相应的位移 δ12 。
21
12
j
ij
ij Pd
D=
PP
D=D
1
21
2
12
PP D=D 212121
称为位移影响系数，等于 Pj=1所引起的与 Pi相应的位移。
注意,1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。
2） δ12与 δ21不仅数值相等，量纲也相同。
2112 dd =
三、反力互等定理 c 1
c 2
R11 R21
R22R12
j
ijij cRr =
cRcR = 212121
RcR ×?×= 22112 0
cRR ×?× 22111 0
称为反力影响系数，等于 cj=1所引起的与 ci相应的反力。
反力互等定理,在任一线性变形体系中，由位移 c1所引起的与位移 c2相应的反力影响系数 r21 等于由位移 c2所引起的与位移 c1相应的反力影响系数
r12 。或者说,由单位位移 c1=1所引起的与位移 c2相应的反力 r21等于由单位位移 c2=1所引起的与位移 c1相应的反力 r12 。
注意,1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。
2）反力互等定理仅用于超静定结构。
2112 rr =
P
l/2 l/2
3Pl/16
C
A
①
θ
ΔC
②
例：已知图①结构的弯矩图求同一结构②由于支座 A的转动引起 C点的挠度。
解,W12=W21
∵ T21=0
∴ W12=PΔC－ 3Pl/16× θ ＝ 0
ΔC=3lθ /16
例：图示同一结构的两种状态，
求 Δ=？
P=1 ①
②m=1 m=1
A B
Δ=θA+ θB
θBθA
Δ
已知图 a梁支座 C上升 0.02m引起的 ΔD=0.03m/16，试绘图 b的 M图,
P
Rc
(b)
aa/2a/2
A B
C
D
ΔD
0.02m
(a)
Wab=0= Wba=P·ΔD+RC· ΔC
RC=－ 3P/32
3Pa/32
小结一、虚功原理 We=Wi
力,满足平衡位移,变形连续虚设位移 虚位移原理（求未知力）
虚功方程等价于平衡条件虚力原理（求未知位移）
虚功方程等价于位移条件虚设力系
lEANNdsEIMM PP KK cR二,Δ=
刚架、梁 桁架 支座移动组合结构、拱
各项含义
虚设广义单位荷载的方法三、图乘法求位移==D P EIydxEIMM 0w
图乘法求位移的适用条件
y0的取法
标准图形的面积和形心位置
非标准图形乘直线形的处理方法四、互等定理
适用条件
内容 W12= W21 2112
dd =
r12=r21
